50条圆锥曲线性质和结论
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椭圆与双曲线的对偶性质(必背的经典结论)
1.
2. 椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的焦半径公式:
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
设过椭圆焦点F 作直线与椭圆椭 圆
3. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
4. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
5. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
6. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
7.
若000(,)P x y 在椭圆
2
2
221x y
a b +=上,则过0
P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b
+=. 8. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点
弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
+=.
9. 椭圆22
221x y a b
+= (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点
12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan
2
F PF S b γ
∆=.相交 P 、Q 两点,A 为椭圆
长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.
10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11.AB 是椭圆
2
2
221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则2
2
OM AB b
k k a ⋅=-, 即0
20
2y a x b K AB
-=。 12.若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b +=+. 13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b
+=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.
双曲线
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)
5. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程是
00221x x y y
a b
-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切
线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
-=.
7. 双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任
意一点12F PF γ∠=,则双曲线的焦点角形的面积为1
2
2t 2
F PF S b co γ
∆=.
8. 双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c - , 2(,0)F c
当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.
当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--
9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.
10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.
11.AB 是双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的
中点,则0202y a x b K K AB OM =⋅,即020
2y a x b K AB =。
12.若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)内,则被Po 所平分的中点弦的方
程是22
00002222x x y y x y a b a b
-=-.
13.若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)内,则过Po 的弦中点的轨迹方程
是22002222x x y y x y a b a b
-=-. 椭圆与双曲线的对偶性质(会推导的经典结论)
椭 圆
1. 椭圆22
221x y a b
+=(a >b >o )的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线
交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
2. 过椭圆22
221x y a b
+= (a >0, b >0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直
线交椭圆于B,C 两点,则直线BC 有定向且20
20BC b x k a y =(常数).
3. 若P 为椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,
12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则
tan t 22
a c co a c αβ
-=+. 4. 设椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆
上任意一点,在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有
sin sin sin c
e a
αβγ==+.
5. 若椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L ,则当0
<e
1时,可在椭圆上求一点P ,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
6. P 为椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为椭圆内一定点,
则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时,等号成立.
7. 椭圆22
0022
()()1x x y y a b
--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 8. 已知椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0),O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上两动点,且OP OQ ⊥.
(1)22221111||||OP OQ a b +=+;(2)|OP|2+|OQ|2
的最大值为22224a b a b +;(3)OPQ S ∆的
最小值是22
22a b a b +.
9. 过椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦
MN 的垂直平分线交x 轴于P ,则
||||2PF e
MN =. 10.已知椭圆22
221x y a b
+=( a >b >0) ,A 、B 、是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平
分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则2222
0a b a b x a a ---<<. 11.设P 点是椭圆22
221x y a b
+=( a >b >0)上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦
点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2
PF F S b γ
∆=.
12.设A 、B 是椭圆22
221x y a b
+=( a >b >0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB α∠=,
PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ
=-.(2) 2
tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-.