50条圆锥曲线性质和结论
椭圆与双曲线的对偶性质(必背的经典结论)1.2. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).设过椭圆焦点F 作直线与椭圆椭 圆3. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.4. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.5. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.6. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.7.若000(,)P x y 在椭圆22221x ya b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=. 8. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.9. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB bk k a ⋅=-， 即0202y a x b K AB-=。
12.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
12.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-.13.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. 椭圆与双曲线的对偶性质（会推导的经典结论）椭 圆1. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2. 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.3. 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. 4. 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.5. 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 8. 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.9. 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 10.已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a ---<<. 11.设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.12.设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-.13.已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质（会推导的经典结论）双曲线1. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.2. 过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.3. 若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1,F2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）. 4. 设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异5. 于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记6. 12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-. 7. 若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.8. P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.9. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤.10.已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a-.11.过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 12.已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.13.设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b γ∆=.14.设A 、B 是双曲线22221x ya b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b a γ∆=+. 15.已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.16.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.17.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.18.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).19.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.20.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).21.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.22.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.。
圆锥曲线192条结论(清晰版本)
结论 13：点 M
（
x0
，
y
0
）在椭圆
x
a
m
2
2
y
n2
b2
1上，过点 M
作椭圆的切线方程
为
(x0
m)( x a2
m)
( y0
n)( y b2
n)
1．
结论 14：点 M
（
x0
，
y
0
）在双曲线
x
a
m2
2
y
x0
mx
a2
m
y0
n y
b2
n
1．
2
结论 15：点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y n2 2 px m上，过点 M 作抛物线的切线方 程为 y0 ny n px x0 2m．
，
y0
）在椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a b 0 ）上，过点 M
作椭圆的切线方
程为
x0 x a2
y0 y b2
1．
结论 8：点 M
（
x0
，
y0
）在椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a b 0 ）外，过点 M
作椭圆的两条切
线，切点分别为
A，B
，则切点弦
AB
的直线方程为
x0 x a2
y0 y b2
a ）作
双曲线（单支）的两条切线，切点分别为 A ，B ，则切点弦 AB 所在的直线必过点 P( a 2 ,0) ． m
结论 31：过抛物线 y 2 2 px（ p 0 ）外任意一点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ，
B ，弦 AB 的中点为 N ，则直线 MN 必与其对称轴平行．
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线常用结论1.圆锥曲线的定义：（1）定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。
若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
抛物线定义中，定点和定直线是焦点和准线，要注意定点不在定直线上，否则轨迹为过定点且和定直线垂直的直线.（2）抛物线定义给出了抛物线上的点到焦点距离与此点到准线距离间的关系，要善于运用定义对它们进行相互转化。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。
方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。
方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。
（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。
4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
圆锥曲线的经典结论
当 M (x0, y0 ) 在左支上时， | MF1 | ex0 a , | MF2 | ex0 a （同上）
9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点， 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M 、 N 两点，则 MF NF .（同上）
1（ a
0, b
0 ）的左右焦点分别为
F , F2 ，点 P 为双曲线上任意一点：
F1PF2
，则双曲线的焦点角形的面积为
S F1PF2
b2co t .（同上） 2
x2 y2 8. 双曲线 a2 b 2 1 （ a 0, b 0 ）的焦半径公式：
F1 ( c , 0 ) , F2 (c,0)
当 M (x0, y0 ) 在右支上时， | MF1 | ex0 a , | MF2 | ex0 a .
a2c2k 2 a2b2
xP xQ
， xP xQ
M
2 a 2k 2c
2b2 ck
2abkN
， yP yQ
， yP yQ
，
M
M
M
第 2 页，共 18 页
xP yQ xQ y P
2a 2b 2k ， xP yQ
M
xQ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP
再根据上一条性质可得结论。
2 abckN ，则 x
M
2a2b2k 2a2bkN
M 2abckN
M 2 ab2 ck
a
M
M
a2
，
c
11. （点差法）
kOM k AB 即 K AB
AB 是椭圆
x2 a2
b2 a2 ，
b 2x0 a2 y0
圆锥曲线常用结论(收藏版)
二、通径（垂直焦点所在轴的焦点弦）：
①椭圆：通径=2b2/a, 焦点弦以通径最短；
②双曲线：通径=2b2/a, 同侧焦点弦以通径最短；
③抛物线：通径=2p 焦点弦以通径最短；
1.已知椭圆 x 2 y 2 1 ，过焦点的直线与椭圆交于 A,B 两点，则弦|AB|的长度范围是
;
42
解：显然，焦点弦|AB|为通径时最小，为 2b2/a=2;
= 0, AF1
• AF2
= c2，
则椭圆离心率 e=
;
6.椭圆
左右焦点分别为 F1,F2， 过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点，若|AF2|+|BF2|的最
大值为 8，则 b 的值是（ ）
2.√3; 3.2; 4.1+√2; 5.(√5-1)/2; 6.√6
三、斜率结论：垂径定理
C
O A
B ①AB 为弦，中点为 C,
A
C
则 KAB·KOC= - b2/a2
B O
P A
O
②AB 为中心弦，P 为椭 B
P
圆上任意点，则有
B
KAP·KBP= - b2/a2
A
O
①AB 为弦，中点为 C, 则 KAB·KOC= b2/a2 ②AB 为中心弦，P 为双 曲线上点，则有
KAP·KBP= b2/a2
1.4x2+9y2=144 内的一点 P(3,2)， 过点 P 的弦以 P 为中点，那么这弦所在的直线方程是
为长轴时最大，为 2a=4;
∴2 ≤|AB|≤4
2.设直线 L 过双曲线 C:的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A,B 两点，|AB|为 C 的
实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为
圆锥曲线经典性质总结及证明
圆锥曲线的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质）2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（中位线）3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.（第二定义）4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=.（求导）5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.（结合4） 6. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.（余弦定理+面积公式+半角公式）7. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义）8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上根据第8条，证毕10. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
圆锥曲线192条结论
圆锥曲线是平面上的一类曲线，其中最常见的包括椭圆、抛物线和双曲线。
这些曲线在数学、物理和工程领域中都有广泛的应用，有许多性质和结论与它们相关。
以下是关于圆锥曲线的一些结论：1. 椭圆：椭圆是一个闭合的曲线，其性质包括：- 所有点到两个焦点的距离之和是常数。
- 长轴和短轴是椭圆的两个主要轴。
- 椭圆可以是正圆或扁圆，取决于长轴和短轴的比例。
- 椭圆在焦点处有反射性质，光线从一个焦点反射到另一个焦点。
2. 抛物线：抛物线是一个开放的曲线，其性质包括：- 所有从焦点出发的光线都会反射到抛物线上的焦点。
- 抛物线具有对称性，焦点位于开口一侧。
- 抛物线用于天文望远镜和抛物面反射器等光学设备中。
3. 双曲线：双曲线也是一个开放的曲线，其性质包括：- 双曲线有两个焦点，光线从一个焦点反射后会经过另一个焦点。
- 双曲线有两个分支，分别向外延伸。
- 双曲线在电磁波和引力场中都有应用，如双曲线轨道。
4. 参数方程：圆锥曲线可以用参数方程来表示，这种方式使得可以描述各种不同形状和位置的圆锥曲线。
5. 极坐标方程：圆锥曲线也可以用极坐标方程来表示，这对于描述曲线与极坐标原点的关系非常有用。
6. 焦点和直径：焦点是圆锥曲线的一个重要性质，它决定了曲线的形状。
直径是曲线的两个焦点之间的距离。
7. 曲线的切线：切线是曲线上某一点的局部近似，它与曲线的斜率和曲线方程相关。
8. 曲线的面积：可以计算圆锥曲线下方的面积，这对于计算曲线下方的积分和应用非常有用。
这些是关于圆锥曲线的一些基本结论，具体的性质和结论会根据具体的圆锥曲线类型和应用领域而有所不同。
圆锥曲线在数学、物理、工程和其他领域中都有广泛的应用，是重要的数学概念之一。
50条圆锥曲线性质和结论
椭圆与双曲线的对偶性质(必背的经典结论)1.2. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).设过椭圆焦点F 作直线与椭圆椭 圆3. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.4. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.5. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.6. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.7.若000(,)P x y 在椭圆22221x ya b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=. 8. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.9. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB bk k a ⋅=-， 即0202y a x b K AB-=。
12.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
圆锥曲线知识要点及重要结论
圆锥曲线知识要点及重要结论圆锥曲线是数学中的一个重要概念，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种特殊的曲线形状。
本文将介绍圆锥曲线的基本定义、性质和重要结论，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个可移动的点P和两个固定点F1、F2组成的。
对于椭圆和双曲线而言，这两个固定点称为焦点，而抛物线只有一个焦点。
圆锥线还有一个固定的直线L，称为准线，通过焦点F1、F2的垂线交于准线上的点称为顶点。
圆锥曲线的定义可以用以下公式表示：椭圆：PF1 + PF2 = 2a，其中a为椭圆的大半轴长度；双曲线：|PF1 - PF2| = 2a，其中a为双曲线的距离焦点到准线的距离；抛物线：PF = PL，其中P为抛物线上任意一点，F为焦点，L为准线。
2. 圆锥曲线的性质2.1 椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，它的性质如下：- 所有椭圆上的点到焦点的距离之和等于常数2a，其中a为椭圆的大半轴长度；- 椭圆的长轴是焦点的连线，短轴是准线的连线；- 椭圆是一个封闭曲线，对称于长轴和短轴。
2.2 双曲线双曲线是圆锥曲线中的一种，它的性质如下：- 所有双曲线上的点到焦点的距离之差的绝对值等于常数2a，其中a为焦点到准线距离的一半；- 双曲线的两支分别相交于点F1、F2，这两个点称为焦点；- 双曲线是一个非封闭曲线，它与准线之间没有交点。
2.3 抛物线抛物线是圆锥曲线中的一种，它的性质如下：- 抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离；- 抛物线是一个非封闭曲线，它与准线相切于顶点。
3. 圆锥曲线的重要结论3.1 椭圆的离心率椭圆的离心率是用来衡量椭圆形状扁度的指标，其定义为离心距与长轴长度的比值。
离心率的取值范围为0到1，当离心率为0时，椭圆变成了一个圆，而当离心率为1时，椭圆变成了一个线段。
3.2 双曲线的离心率双曲线的离心率也是衡量其形状的指标，其定义为离心距与焦点距离之差的比值。
离心率的取值范围大于1，当离心率趋近于无穷大时，双曲线的形状趋近于两个平行线。
圆锥曲线知识要点及结论个人总结
圆锥曲线知识要点及结论个人总结《圆锥曲线》知识要点及重要结论 一、椭圆1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离的和等于常数)2(221F F a a >的点P 的轨迹叫做椭圆.若212F F a =，点P的轨迹是线段21F F .若2120F F a <<，点P 不存在.2 标准方程)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点为)0,(),0,(21c F c F -.)0(12222>>=+b a b x a y ，两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222c b a+=.3 几何性质椭圆是轴对称图形，有两条对称轴. 椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心.椭圆的顶点有四个，长轴长为a 2，短轴长为b 2，椭圆的焦点在长轴上. 若椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，则by b a x a ≤≤-≤≤-,；若椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y ，则ay a b x b ≤≤-≤≤-,.二、双曲线1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离之差的绝对值等于常数)20(221F F a a <<的点的轨迹叫做双曲线.若212F F a =，点P 的轨迹是两条射线.若212F F a >，点P不存在. 2 标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x ，两焦点为)0,(),0,(21c F c F -.)0,0(12222>>=-b a b y a x ，两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222b a c +=.3 几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心. 双曲线的顶点有两个21,A A ，实轴长为a 2，虚轴长为b 2，双曲线的焦点在实轴上. 若双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，则Ry a x a x ∈≥-≤,或；若双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a b x a y ，则Rx a y a y ∈≥-≤,或.4 渐近线 双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 有两条渐近线x a b y =和x aby -=.即02222=-b y a x双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 有两条渐近线x b a y =和x bay -=.即02222=-bx a y双曲线的渐进线是它的重要几何特征，每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线，但对于同一组渐进线却对应无数条双曲线. 与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 共渐进线的双曲线可表示为)0(2222≠=-λλby a x .直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后的方程的二次项系数0≠”和“0>∆”同时成立. 5 等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的标准方程为)0(12222>=-a ay a x 或)0(12222>=-a a x a y .等轴双曲线的渐近线方程为x y ±=.6 共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线.如：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的共轭双曲线为)0,0(12222>>=-b a ax b y ，它们的焦点到原点的距离相等，因而在以原点为圆心，22b a +为半径的圆上.且它们的渐近线都是x aby =和x ab y -=. 三、抛物线1 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线F l (不在l 上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.2 标准方程 (1) )0(22>=p px y，焦点为)0,2(p ，准线方程为2px -=，抛物线张口向右. (2) )0(22>-=p px y，焦点为)0,2(p -，准线方程为2p x =，抛物线张口向左. (3) )0(22>=p py x，焦点为)2,0(p ，准线方程为2py -=，抛物线张口向上. (4) )0(22>-=p py x，焦点为)2,0(p -，准线方程为2p y =，抛物线张口向下.其中p 表示焦点到准线的距离. 3 几何性质抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为)0(22>=p px y 或)0(22>-=p px y，则对称轴是x 轴，若方程为)0(22>=p py x或)0(22>-=p py x，则对称轴是y 轴. 若抛物线方程为)0(22>=p px y ，则R y x ∈≥,0. 若抛物线方程为)0(22>-=p px y ，则R y x ∈≤,0. 若抛物线方程为)0(22>=p py x ，则R x y ∈≥,0.若抛物线方程为)0(22>-=p py x ，则R x y ∈≤,0.圆锥曲线的一些重要结论【几个重要结论】 1 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点为)0,(),0,(21c F c F -，),(00y x P 为椭圆上一点，则)1()()(22022020201a x b c x y c x PF -++=++=a a cx a a cx a cx a x c +=+=++=020202202)(2因为ax a ≤≤-0，c a a acx c a c acxc +≤+≤-<≤≤-00,， 所以a acx PF+=1. 同理，acx a PF a PF0122-=-=.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，),(0y x P 为双曲线上一点，则a acx PF+=1，a acx PF -=2.2 椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两焦点为21,F F ，P 为椭圆上一点，若θ=∠21PFF ，则21PF F ∆的面积为2tancos 1sin 22αααb b =+.解：根据椭圆的定义可得aPF PF 221=+ ①由余弦定理可得αcos 242122212212PF PF PF PF F F c -+== ② 由①②得)cos 1(2442122α+=-PF PF c a.从而αcos 12221+=b PF PF所以，21F PF ∆的面积为2tan cos 1sin sin 212221ααααb b PF PF =+=双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点为21,F F ，P 为其上一点，若α=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为2cot cos 1sin sin 212221ααααb b PF PF =-=.3 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，N M ,是C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PNPM ,的斜率都存在，并记为PNPMk k,时，那么PMk 与PNk之积是与点P 位置无关的定值. 解：设),(),,(11y x M y x P ，则),(11y x N --.1010101,x x y y k x x y y k PN PM----=--=，从而2120212001010101x x y y x x y y x x y y k kPNPM--=----⋅--=⋅.又因为),(),,(1100y x M y x P 都在椭圆上，故1,1221221220220=+=+by a x b y a x .两式相减得，02212022120=-+-by y a x x ，因而2221202120ab x x y y -=--即22ab k k PNPM -=⋅.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x .N M ,是C 上关于原点对称的两点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PNPM ,的斜率都存在，并记为PNPMk k,时，那么PMk 与PNk之积是与点P 位置无关的定值.【常用方法】1 在求轨迹方程时，若条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以用定义求轨迹方程，这是常用求轨迹的数学方法，称为定义法. 2本章经常会碰到直线l 与圆锥曲线C 相交于两点的问题，若已知l 过定点),(0y x P ，则可设l 的方程为x x =或)(00x x k yy -=-.然后分两种情况进行研究，一般处理方法是把直线方程代入曲线C 的方程中，整理得到关于x 或y 的一元二次方程(要注意二次项系数是否为零).韦达定理和判别式经常要用到！若l 的条件不明显时，则可设l 的方程为m x =或mkx y +=.3 本章还经常用到“点差法”：设直线l 与圆锥曲线C 交于点),(),,(2211y x B y x A ,则B A ,两点坐标都满足曲线C 的方程，然后把这两个结构相同的式子相减，整理可以得到直线AB 的斜率1212x x y y--的表达式，也经常会出现2121,y y x x++，这样又可以与线段AB 的中点),(00y x P 联系起来！4 若三点),(),,(),,(02211y x P y x B y x A 满足以线段AB 为直径的圆经过点P 或BP AP ⊥时，常用处理方法有： ①根据勾股定理可得222PBPA AB+=；②根据AP 的斜率与BP 的斜率之积为1-，可得120201010-=--⋅--x x y y x x y y ；③根据),(),,(,002020101y y x x y y x x--=--==⋅可得))(())((02010201=--+--y y y y x x x x .5求轨迹方程的方法常见的有：直接法、定义法、待定系数法、代入法（也叫相关点法）.1 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.离心率c e a ==△PF 1F 2中，记12F PFα∠=, 12PF Fβ∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin c eaαβγ==+.线到中心的距离为2a c，焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c=。
有关圆锥曲线的结论
有关圆锥曲线(d e)结论公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]★说明:圆锥曲线我们并未学完,有些内容（如焦半径公式）,将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用,不要过分纠结于此有关解析几何(de)经典结论一、椭 圆1. 点P 处(de)切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处(de)外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处(de)外角,则焦点在直线PT 上(de)射影H 点(de)轨迹是以长轴为直径(de)圆,除去长轴(de)两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径(de)圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径(de)圆必与以长轴为直径(de)圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上,则过0P (de)椭圆(de)切线方程是00221x x y ya b+=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ,则过Po 作椭圆(de)两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2(de)直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)(de)左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆(de)焦点角形(de)面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）(de)焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F(de)椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F(de)直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上(de)顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M,A 2P 和A 1Q 交于点N,则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆221a b+=(de)不平行于对称轴(de)弦,M ),(00y x 为AB(de)中点,则22OM AB b k k a ⋅=-,即0202y a x b K AB -=.12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内,则被Po 所平分(de)中点弦(de)方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内,则过Po(de)弦中点(de)轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 二、双曲线1. 点P 处(de)切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处(de)内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处(de)内角,则焦点在直线PT 上(de)射影H点(de)轨迹是以长轴为直径(de)圆,除去长轴(de)两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径(de)圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径(de)圆必与以实轴为直径(de)圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上,则过0P (de)双曲线(de)切线方程是00221x x y ya b -=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ,则过Po 作双曲线(de)两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2(de)直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线221a b-=（a ＞0,b ＞o ）(de)左右焦点分别为F 1,F 2,点P为双曲线上任意一点12F PF γ∠=,则双曲线(de)焦点角形(de)面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）(de)焦半径公式：(1(,0)F c - ,2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F(de)双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F(de)直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上(de)顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M,A 2P 和A 1Q 交于点N,则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）(de)不平行于对称轴(de)弦,M ),(00y x 为AB(de)中点,则0202y a x b K K AB OM =⋅,即0202y a x b K AB =.12. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内,则被Po 所平分(de)中点弦(de)方程是2200002222x x y y x y a b a b -=-.13. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内,则过Po(de)弦中点(de)轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b-=-.椭圆与双曲线(de)对偶性质--（会推导(de)经典结论）椭 圆1. 椭圆221a b+=（a ＞b ＞o ）(de)两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y轴平行(de)直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点(de)轨迹方程是22221x y a b-=. 2. 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补(de)直线交椭圆于B,C 两点,则直线BC 有定向且202BC b x k a y =（常数）.3. 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点(de)任一点,F 1,F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则tan t 22a c co a c αβ-=+. 4. 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）(de)两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点,在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin sin sin ce aαβγ==+.5. 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）(de)左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L,则当0＜e 1时,可在椭圆上求一点P,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2(de)比例中项.6. P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为椭圆内一定点,则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时,等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点(de)充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8. 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上两动点,且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2(de)最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆(de)最小值是2222a b a b+.9. 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）(de)右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN(de)垂直平分线交x 轴于P,则||||2PF eMN =. 10. 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）,A 、B 、是椭圆上(de)两点,线段AB(de)垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.11. 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点(de)任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)122tan2PF F S b γ∆=.12. 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）(de)长轴两端点,P 是椭圆上(de)一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是椭圆(de)半焦距离心率,则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2)2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b aγ∆=-. 13. 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）(de)右准线l 与x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F (de)直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF (de)中点.14. 过椭圆焦半径(de)端点作椭圆(de)切线,与以长轴为直径(de)圆相交,则相应交点与相应焦点(de)连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径(de)端点作椭圆(de)切线交相应准线于一点,则该点与焦点(de)连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点(de)距离与以该焦点为端点(de)焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点(de)内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心(de)比例中项.双曲线1. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）(de)两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行(de)直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点(de)轨迹方程是22221x y a b+=.2. 过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补(de)直线交双曲线于B,C 两点,则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =-（常数）.3. 若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外(de)任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）. 4. 设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）(de)两个焦点为F 1、F 2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点,在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.5. 若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）(de)左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L,则当1＜e 1时,可在双曲线上求一点P,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2(de)比例中项.6. P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为双曲线内一定点,则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时,等号成立.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点(de)充要条件是22222A a B b C -≤.8. 已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）,O 为坐标原点,P 、Q 为双曲线上两动点,且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2(de)最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆(de)最小值是2222a b b a-. 9. 过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）(de)右焦点F 作直线交该双曲线(de)右支于M,N 两点,弦MN(de)垂直平分线交x 轴于P,则||||2PF e MN =. 10. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上(de)两点,线段AB(de)垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a +≥或220a b x a+≤-.11. 设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点(de)任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b γ∆=.12. 设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）(de)长轴两端点,P是双曲线上(de)一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e分别是双曲线(de)半焦距离心率,则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b a γ∆=+. 13. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）(de)右准线l 与x 轴相交于点E ,过双曲线右焦点F (de)直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF (de)中点.14. 过双曲线焦半径(de)端点作双曲线(de)切线,与以长轴为直径(de)圆相交,则相应交点与相应焦点(de)连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径(de)端点作双曲线(de)切线交相应准线于一点,则该点与焦点(de)连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点(de)距离与以该焦点为端点(de)焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点(de)内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对(de)旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心(de)比例中项.其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点(de)线段称为圆锥曲线(de)弦,利用方程(de)根与系数关系来计算弦长,常用(de)弦长公式：212122111AB k x x y y k=+-=+- 2、直线(de)一般式方程：任何直线均可写成(A,B 不同时为0)(de)形式.3、知直线横截距,常设其方程为(它不适用于斜率为0(de)直线) 与直线垂直(de)直线可表示为.4、两平行线间(de)距离为.5、若直线与直线平行则 （斜率）且（在轴上截距） （充要条件）6、圆(de)一般方程：,特别提醒：只有当时,方程才表示圆心为,半径为(de)圆.二元二次方程表示圆(de)充要条件是且且.7、圆(de)参数方程：（为参数）,其中圆心为,半径为.圆(de)参数方程(de)主要应用是三角换元：解析几何专题·经典结论·常用技巧；8、为直径端点(de)圆方程切线长：过圆（）外一点所引圆(de)切线(de)长为（）9、弦长问题：①圆(de)弦长(de)计算：常用弦心距,弦长一半及圆(de)半径所构成(de)直角三角形来解：；②过两圆、交点(de)圆(公共弦)系为,当时,方程为两圆公共弦所在直线方程..。