6第六节稳定裕度
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高二物理竞赛课件负反馈放大电路的稳定裕度
R2
-
U R2US R1(1 )
PS
US I1
U2 S
R1(1 )
Po
R2 2
U2 S
R2 1
(1
)
2
解 U R2 I1
+ U=? －
I1 I1 US R1
I1
US R1(1
)
U R2
US R1 (1 )
P0 R2 2 PS R1 (1 )
选择参数可以得到电 压和功率放大。
负反馈放大电路的稳定裕 度
负反馈放大电路的稳定裕度
幅值裕度 Gm 20lg | AF | f f0
fc
f0 φm
电路稳定
Gm≤－10dB，且 Gm φm≥45º，负反馈放大
电路才具有可靠的稳 定性。
相位裕度 m 180 A F f fc
负反馈放大电路稳定性分析的一些原则
设反馈网络为电阻网络，放大电路为直接耦合形式。 ①附加相移由放大电路决定; ②振荡只可能产生在高频段。
即20 lg Av f0' 67dB
依20 lg Av Fvmax f0' 0可得：
270•
f (Hz) 20 lg Fvmax 67dB
即：Fvmax 4.47 104
讨论一
试问电路闭环后会产生自激振荡吗？若已知反馈网络
为纯电阻网络，且 20lg A 100dB ，则使电路不产生自
激振荡的 20lg F 的上限值为多少？
90• 135•
180• 270•
Av Fv (1 j
f
103 )(1 j f )(1 j f )
0.2
1
5
f (Hz)
波特图如图所示
精品文档-自动控制原理(第二版)(千博)-第5章
24
图 5-5 惯性环节的波德图
25
三、对数幅相图(Nichols图)
对数幅相图是以相角(°)为横坐标, 以对数幅频L(ω)(dB)
为纵坐标绘出的G(jω)曲线。频率ω为参变量。因此它与幅相
频率特性一样, 在曲线的适当位置上要标出ω的值, 并且要用
箭头表示ω增加的方向。
用对数幅频Hale Waihona Puke 性及相频特性取得数据来绘制对数幅相
第五章 频 域 分 析 法
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 关系 第九节 德图
频率特性的基本概念 频率特性的表示方法 典型环节的频率特性 系统开环频率特性 奈奎斯特稳定性判据和波德判据 稳定裕度 闭环频率特性 开环频率特性和系统阶跃响应的
利用MATLAB绘制奈奎斯特图和波
8
图 5-2 频率特性与系统描述之间的关系
9
利用频率特性曲线分析研究控制系统性能的方法称为频域 分析法。频域分析法主要有傅氏变换法和经典法。
(1) 傅氏变换法就是系统在输入信号r(t)的作用下，其输 出响应为
即把时间函数变换到频域进行计算并以此分析研究系统的方法。 (2) 经典法就是先求出系统的开环频率特性G(jω)并绘成
的对数频率
22
(1) 对数幅频特性曲线。通常用L(ω)简记对数幅频特性, 故
ω从0变化到∞时的对数幅频特性曲线如图5-3所示。
23
(2) 相频特性曲线。通常以j(ω)表示相频特性, 即 j (ω)=∠G(jω)。对于惯性环节, 有
j (ω)=-arctanTω 对不同ω值, 逐点求出相角值并绘成曲线即为相频特性曲线, 如图5-5所示。
45
图 5-11 振荡环节近似波德图
图 5-5 惯性环节的波德图
25
三、对数幅相图(Nichols图)
对数幅相图是以相角(°)为横坐标, 以对数幅频L(ω)(dB)
为纵坐标绘出的G(jω)曲线。频率ω为参变量。因此它与幅相
频率特性一样, 在曲线的适当位置上要标出ω的值, 并且要用
箭头表示ω增加的方向。
用对数幅频Hale Waihona Puke 性及相频特性取得数据来绘制对数幅相
第五章 频 域 分 析 法
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 关系 第九节 德图
频率特性的基本概念 频率特性的表示方法 典型环节的频率特性 系统开环频率特性 奈奎斯特稳定性判据和波德判据 稳定裕度 闭环频率特性 开环频率特性和系统阶跃响应的
利用MATLAB绘制奈奎斯特图和波
8
图 5-2 频率特性与系统描述之间的关系
9
利用频率特性曲线分析研究控制系统性能的方法称为频域 分析法。频域分析法主要有傅氏变换法和经典法。
(1) 傅氏变换法就是系统在输入信号r(t)的作用下，其输 出响应为
即把时间函数变换到频域进行计算并以此分析研究系统的方法。 (2) 经典法就是先求出系统的开环频率特性G(jω)并绘成
的对数频率
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(1) 对数幅频特性曲线。通常用L(ω)简记对数幅频特性, 故
ω从0变化到∞时的对数幅频特性曲线如图5-3所示。
23
(2) 相频特性曲线。通常以j(ω)表示相频特性, 即 j (ω)=∠G(jω)。对于惯性环节, 有
j (ω)=-arctanTω 对不同ω值, 逐点求出相角值并绘成曲线即为相频特性曲线, 如图5-5所示。
45
图 5-11 振荡环节近似波德图
稳定裕度
当=1时为图中A点
Im
向量 OA=G(j1)
令 (－1，j0) 为P点
-1
0 Re
向量 PA=1+G(j1)
F(
j1 )
G( j1) 1 G( j1)
OA PA
P
OA
M (1) F( j1) PA
●
(1) F( j1)
A
OA PA
j G(s平面
Ag
-1 g
→∞ 0
c
j G(s平面
Ag
-1 g
→∞
0
C
→0
→0
除了相位稳定裕度和幅值稳定裕度之外，另一种相对稳定
性的度量指标是闭环幅频特性的峰值Mp。
越大，Lg越大，则系统的相对稳定性越好。但对实际系 统而言不可能选得非常大。一般可取在30°～60°，Lg >6dB
当频率特性曲线穿过(－1,j0)点 时，系统处于临界稳定状态。这时：
A(g)=1, (c)=－180°,g=c 。
最小相位系统稳定的条件为：
当A(c)=1时，(c)＞－180° 当(g)=－180°时A(g)＜1
可以用A(g)和(c)来表示频率特性曲线接近(－1,j0)点的程度，
3．利用等M圆和等N圆求闭环系统频率特性
在绘有等M圆图的G(s)平面上，画出开环系统频率特性的极 坐标图GK(j)。GK(j)与等M圆的交点给出了一组交点频率和与 该组频率对应的闭环系统的幅值，据此可以画出以为横坐标， M()为纵坐标的闭环系统幅频特性曲线。
在绘有等N圆图的G(s)平面上，画出开环系统频率特性的极 坐标图GK(j)。 GK(j)与等N圆的交点给出了一组交点频率和与 该组频率对应的闭环系统的相角，据此可以画出以为横坐标， ()为纵坐标的闭环系统相频特性曲线。
(自动控制原理)稳定裕度
2 干扰和噪声
外部干扰和噪声会降低系统的稳定裕度。
3 参数变化
系统参数的变化会对稳定裕度产生影响。
提高稳定裕度的方法和技巧
1
参数调整
通过调整系统参数来增加稳定器类型和参数来提高稳定裕度。
3
滤波器应用
通过滤波器来减少干扰和噪声对系统稳定裕度的影响。
结论和总结
稳定裕度是评估系统稳定性的重要指标，它能够确保系统在面对干扰和参数变化时保持稳定。了解稳定 裕度的定义、计算方法和影响因素，以及提高稳定裕度的方法和技巧，对于优化系统设计和提高系统可 靠性至关重要。
(自动控制原理)稳定裕度
稳定裕度是评估系统稳定性的重要指标。它衡量系统在面对干扰时的能力， 是确保系统可靠运行的关键。
定义稳定裕度
稳定裕度可以定义为系统离稳定界限的距离。它衡量了系统在存在不确定因素或参数变化时仍然保持稳 定的能力。
稳定裕度的公式和计算方法
稳定裕度公式
常见的稳定裕度公式是： 稳定裕度 = 1 / (1 + G(s))
计算方法
计算稳定裕度时，需要确定系统的传递函数， 并对其进行频率响应分析。
1. 确定幅值裕度和相位裕度的要求。 2. 绘制系统的频率响应曲线。 3. 根据要求的裕度计算稳定裕度。
稳定裕度的意义和重要性
1 系统可靠性
稳定裕度能够确保系统在面对干扰或参数变化时保持稳定性。
2 容错能力
稳定裕度增加系统的容错能力，即使出现不确定情况也能维持系统的稳定。
3 稳定边界
通过评估稳定裕度，可以确定系统的稳定边界，并提前采取措施来避免系统不稳定。
常见的稳定裕度指标
相位裕度 幅值裕度 增益裕度
系统响应相位与稳定边界相差的角度值。 系统响应幅值与稳定边界之间的比例关系。 系统传递函数增益与单位增益相差的值。
第六节稳定裕度
2019/9/28
频率分析法--稳定裕度
14
【例5-18】 一单位反馈系统的开环传递函数为
G(s)
K
s(1 0.2s)(1 0.05s)
K=1时系统的相位裕度和幅值裕度。要求通过增益K的调
整，使系统的幅值裕度为20dB，相位裕度 40
解： 幅值裕度
相角穿越频率 g
(g ) G( jg )H( jg ) 180
A(g ) g
2
0.33216
1 g 2 1 0.04g 2
所以，幅值裕度为：Lg 20 log A( g ) 9.6(dB)
2019/9/28
频率分析法--稳定裕度
8
当增益从k=10增大到k=100时，幅值特性曲线上移20dB，相位 特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是12dB和-30度。因此系统在k=10时是稳定的，在k=100时是不稳 定的。
k=10和k=100时，试求系统的 相位稳定裕度和幅值裕度。
-
s(s 1)(s 5)
[解]：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。
当k=10时，开环系
统波德图如右所示。
8dB
这时系统稳定的幅
值裕度和相位裕度
大约是8dB和21度。
因此系统在不稳定
21
之前，增益可以增
加8dB.
2019/9/28
kg
-1 g•
c •
Re 稳定系统
c
•
g • -1
kg
G0 ( j g )
Im Re
不稳定系统
幅值穿越频率 c 相位穿越频率 g
G0 ( jc ) 1 ( jg ) 1800
控制系统的稳定性分析与稳定裕度设计
控制系统的稳定性分析与稳定裕度设计控制系统的稳定性是指系统在受到外界干扰或参数变化时，是否能保持输出的稳定性和可控性。
稳定性分析与稳定裕度设计是控制系统设计与优化中非常重要的环节。
本文将介绍控制系统的稳定性分析方法和稳定裕度设计的原则与方法。
一、稳定性分析方法在控制系统中，稳定性分析的目的是确定系统的稳定性边界，也就是确定系统参数的取值范围，使系统保持稳定。
常用的稳定性分析方法有两种：频域方法和时域方法。
1. 频域方法频域方法一般基于系统的传递函数进行分析，常用的工具有Bode图和Nyquist图。
Bode图可以直观地表示系统的幅频特性和相频特性，通过分析Bode图可以确定系统的相角裕度和幅值裕度，从而判断系统的稳定性。
Nyquist图则是通过绘制系统的频率响应曲线来判断系统的稳定性。
2. 时域方法时域方法主要根据系统的差分方程进行分析，常用的工具有阶跃响应和脉冲响应。
通过分析系统的阶跃响应曲线和脉冲响应曲线，可以得出系统的超调量、调节时间和稳态误差等指标，从而判断系统的稳定性。
二、稳定裕度设计原则与方法稳定裕度是指系统在满足稳定性的前提下，能够容忍一定幅度的参数变化或干扰。
稳定裕度设计可以提高系统的鲁棒性和可靠性，常用的稳定裕度设计原则和方法有以下几点：1. 相角裕度设计相角裕度是指系统在开环传递函数的相角曲线与-180度线之间的角度差。
通常情况下，相角裕度越大表示系统的稳定性越好。
为了增加相角裕度，可以通过增大系统的增益或者增加相位补偿器的相位裕度。
2. 幅值裕度设计幅值裕度是指系统在开环传递函数的幅度曲线与0dB线之间的距离。
幅值裕度越大表示系统对参数变化和干扰的鲁棒性越好。
为了增加幅值裕度，可以通过增大系统的增益或者增加幅值补偿器的增益。
3. 稳定裕度的频率特性设计系统的稳定裕度也与频率有关，不同频率下的稳定裕度可能存在差异。
因此，需要根据系统的工作频率范围来设计稳定裕度。
在系统的工作频率范围内，要保证系统的相角裕度和幅值裕度都能满足要求。
567稳定裕度
三、稳定裕度概念使用时的局限性 1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为1的点或相角为180度的点可能不止一个，这时使用幅值和相位稳定裕 度可能会出现歧义； 2、非最小相位系统不能使用该定义；对于广泛使用的
开环稳定反馈系统，Kg d、B 均 为正值。且通常取值为：
Kg : Kg dB 6dB 一般取10～20dB
M () j
n2
(n2 2 )2 (2n)2
r n 1 2 2 0 0.707
Mr M r
2
1
1 2
0 0.707
% e / 1 2 100 %
%
Mr
M r ：反映系统对某个 频率正弦输入信 号响应的平稳性。
谐振峰值与最大超调量之间的关系
（2）与b t的s 关系
: 300,
一般取400～ 600
3、有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有 部分曲线很靠近(-1,j0)点，这时闭环系统的稳 定性依然不好。见下图：
Ag
1
第七节 频率特性和时域性 能指标的关系
一、开环频率特性相位裕量与时域性能指标
之间的关系
G( j)H j
n2
( j)[( j) 2n )
第六节 稳定裕度
一、相角裕量 (相位稳定裕度)
g
1
c
(c )
c ：增益交界频率
180 (c )
[相位稳定裕度物理意义]：稳定系统在增益交界频率
处c 将相角减小 度，则系统变为临界稳定；再 减小，就会变为不稳定。即在增益交界频率 c
上，使系统穿越 (1, j点0)尚可增加的迟后相角量。
2、高频段： 把 1的0区c段。
反映了系统的抗高频干扰的能力，希望 衰减的大一些。
《自动控制原理》第5章 控制系统的频域分析 ：稳定裕度
0.4
0.2
0
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5
10
15
20
25
30
35
40
Time (sec)
一、根据开环对数频率特性分析系统性能 （三频段）
1、低频段分析系统的？
低频斜率 系统型别
0dB/dec
0
-20dB/dec
Ⅰ
-40dB/dec
Ⅱ
阶跃输入稳态误差
1 K 1
0 0
19
低频段分析系统的稳态性能
斜率决定系统的型，ess 低频段高度决定开环增益K
1 h
A( x )
-1
幅值裕度h 1
A(x )
9
L(ω) 最 小 相 位 系 统
Φ(ω)
90
-20dB/dec
h
h 20lg( A(x )) L(x )dB
不稳定
ω
h>0:系统是稳定的。
ω
180
270
10
例1： 已知系统开环传递函数为：
G(s)
s2 (s
200 2)(s
1)
求幅值裕度和相角裕度。
时域：动态过程的开始部分。
28
二、根据闭环对数频率特性分析系统性能 自学部分
29
本章学习重点
理解频率特性的定义 熟练掌握串联开环系统的频率特性极坐标图和 Bode图的绘制 熟练掌握Nyquist 稳定判据 掌握根据开环对数频率特性分析闭环系统的动 态性能和稳态性能。
30
时域：动态过程的中间部分。
高阶系统：经验公式
0.16 0.4( 1 1) 35 90 sin
ts
(4
~
9)
1
c
阅读：218页例5-16
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Wednesday, April 01, 2015
12
稳定裕度的计算
例3 G ( s )
5 s s s( 1)( 1) 2 10 100 , s( s 2)( s 10 ) ，求
kg。
解法I：由幅相曲线求 , kg。 (1)令 G( jωc ) 1
100
c c2 2 2 c2 10 2
2015
4
[例]设控制系统如下图所示 R( s ) k=10和k=100时，试求系统 的相位稳定裕度和幅值裕度。
k s ( s 1)(s 5)
C (s)
[解]：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。 当k=10时，开环系 统波德图如右所示。 这时系统的相位稳 定裕度和幅值裕度 大约是8dB和21度。 因此系统在不稳定 之前，增益可以增 加8dB. 5
剪切频率 ωc 相角裕度
G( jωc ) 1
180 G( jc )
kg 1 G( jg )
相位交界频率ωg G( jωg ) 180 幅值裕度 kg
, k g 的几何意义 , k g 的物理意义
系统在 kg
一般要求
40 kg 2
相角 方面的稳定储备量 幅值
由三角函数关系得： g 0.2g 1, 解得： g 2.24 2 A( g ) 0.33216 2 2 g 1 g 1 0.04 g 所以，幅值裕度为： Lg 20log A( g ) 9.6(dB)
Wednesday, April 01, 2015
c
Wednesday, April 01, 2015
10
' (c ) 180 30 150 ，从图中看出： c 10 。所以原始 幅频曲线向下移动的分贝数为: Lg 20log A(c ' ) 20log A(10) 22dB
'
设新的开环放大系数为 k1 ，原始的开环放大系数为k=200，则有 22 20log k 20log k1 （讨论 1 时较明显）。解得： k1 15
第六节
稳定裕度
Wednesday, April 01, 2015
1
本节主要内容：
稳定裕度的概念 使用稳定裕度概念综合系统
Wednesday, April 01, 2015
2
当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。 A ( ) 1 , ( ) 180 ,c g 。对于最小相位系统， 这时： g c 可以用 A( g )和 (c )来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度， 或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。
180 (c ) 180155.38 24.6 相角裕度为：
Wednesday, April 01, 2015
6
幅值裕度：先求相角穿越频率 g
g 的相角为： 相角穿越频率处 (g ) 90 tg 1g tg 1 0.2g 180
即：tg 1g tg 1 0.2g 90
g 2 10 4.47
kg 1 G( j 4.47) 1 2.4 0.4167
16
例4
s 1) 2.5 ，求 , kg。 G( s ) s s s s( 1)( 1)( 1) 2 5 12.5 6(
解.作L(w)求
c
6
c
2.5 1 1
c2[c4 104 c2 400] 1000
试根得
c 2.9
180 G( jc ) 180 (2.9)
2.9 2.9 180 90 arctan arctan 2 10 90 55.4 16.1 18.5
g
Wednesday, April 01, 2015
18
稳定裕度的概念 稳定裕量的定义
(开环频率指标) 剪切频率 ωc 相位裕量
G( jωc ) 1
180 G( jc )
kg 1 G( jg )
相位交接频率ωg G( jωg ) 180 幅值裕量kg
稳定裕量的意义
8dB
21
Wednesday, April 01, 2015
相位裕度和幅值裕度的计算：
相位裕度：先求穿越频率 c 0.2k 2 A( ) (当k 10时) | s | | s 1 | | 0.2s 1 | 1 2 1 0.04 2 在穿越频率处，A( ) 1 ，所以 2 (1 2 )(1 0.04 2 ) 4 ，解 此方程较困难，可采用近似解法。由于 c较小（小于2），所以： 2 A( ) 1, 解得： c 1.25 2 1 穿越频率处的相角为： (c ) 90 tg 1c tg 1 0.2c 155.38
Wednesday, April 01, 2015
15
解法II：由Bode图 , kg。 求 5
s s 1)( 1) 2 10 5 10 2 由L(w): G( jc ) 1 c c 1 c 2 得 c 10 3.16 2.9 s( G( s)
7
当增益从k=10增大到k=100时，幅值特性曲线上移20dB，相位 特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是12dB和-30度。因此系统在k=10时是稳定的，在k=100时是不稳 定的。
12dB
30
Wednesday, 所示。试确定当k=10时闭环系统的稳定性 及其使相位稳定裕度为30度时的开环放大系数k。
180 G( jc ) 180 (3.16)
3.16 3.16 180 90 arctan arctan 2 10 90 57.67 17.541 14.8 18.5
Wednesday, April 01, 2015
g
g
g
g
g
g
g
g
A B 90 arctan 1 A B
整理得
A B 1
4 2 解出 g 7.4 (rad/ s) g 49.75g 312.5 0 2 2 2 2 2 2 1 2 5 12 . 5 g g g g kg 3.135 G( jg ) 2 2 300 2.5
Wednesday, April 01, 2015
13
(2.1)令
( g ) 180
90 arctan
g
2
arctan
g
10
可得 arctan
g
2
arctan
g
10
90
g
2 g 20 2 10 tan 90 2 g 4.47 g 1 20
所以当开环放大系数下降到15时，闭环系统的相位稳定裕度是 g 20，所以 30度，这时的幅频稳定裕度为：由图中看出 Lg 20log A(g ) |k 15 20log A(20) |k 15 10(dB)
Wednesday, April 01, 2015
11
稳定裕度的定义
, k g 的几何意义 , k g 的物理意义
L( ) c 180 (c ) 1 ( ) 180 g kg G( jg )
稳定裕度计算方法
Wednesday, April 01, 2015
9
' ωc g c
150 210
(c ) 210 180 ,c 38，显然 闭环系统是不稳 上图蓝线为原始波德图。 定的。为了使相位稳定裕度达到30度，可将幅频曲线向下平移。即将开环放 ' 大系数减小，这时相频特性不变。截止频率左移至 ，移到哪里？
1200 j100(20 2 ) G X jGY 2 2 (4 )(100 )
令 得
Im[G( j )] GY 0
g 20 4.47 代入实部 GX ( g ) 0.4167
G ( g ) 0.4167
1 1 kg 2.4 G( jg ) 0.4167
L( )
1
g
A( g )
c g
( c )
( )
Lg
c
( g )
1 180 (c ) 为幅值稳定裕度和相位稳定裕 [定义]： 和 kg A( g ) 度。 在对数坐标图上，用 Lg表示 k g 的分贝值。即 Lg 20logkg 20log A(g )
Wednesday, April 01, 2015
17
求g ( g ) arctan2.5 90 arctan 2 arctan 5 arctan12.5 180
arctan arctan arctan arctan 90 12.5 5 2 2.5 g g g g 12 . 5 5 2 2 . 5 arctan 90 arctan 2 2 g g 1 1 12 . 5 5 2 2.5
G( jc ) 1
c
c
2
6 2 2.5 c
c
6 2 4. 8 2. 5
180 G( jc )
4.8 4.8 4.8 4.8 180 arctan 90 arctan arctan arctan 2.5 2 5 12.5 180 62.5 90 67.4 43.8 21 20.3
g
2 2 1 g g 22 g 102 kg G( jg ) 100