华罗庚杯数学竞赛
华罗庚杯数学竞赛教材
华罗庚杯数学竞赛是中国乃至全球范围内备受关注的一项数学竞赛，因其高难度和广泛涉及的数学知识而备受推崇。
虽然没有特定官方教材，但以下是一些适合参加华罗庚杯数学竞赛备考的教材和资源：
1.《中学数学竞赛全真模拟试卷系列》：这套教材由权威的数学竞赛辅导专家编写，覆盖
了华罗庚杯数学竞赛所需要的各个知识点和题型，并提供详细的答案和解析。
2.《挑战华罗庚杯数学竞赛》：该教材是基于往年的华罗庚杯数学竞赛试题整理而成，可
以帮助学生熟悉考试模式和难度，并提供针对性的解题思路和方法。
3.《数学竞赛经典习题精选》：这本书收录了多年来数学竞赛中常见的经典习题，包括华
罗庚杯数学竞赛的相关题目，适合用来进行系统性的复习和训练。
4.网络资源：在网上可以找到大量的数学竞赛相关资料和题目，包括往年的试题、解析以
及各种辅导材料。
一些数学竞赛论坛和社群也提供了学生之间交流和分享经验的平台。
5.此外，参加华罗庚杯数学竞赛还需要对高中数学课程有扎实的基础掌握。
因此，建议学
生配合使用高中数学教材进行系统的学习和复习，巩固各个知识点的理解和应用能力。
最重要的是，参加数学竞赛不仅仅依赖于教材，更需要学生具备创新思维、问题解决能力和良好的数学直觉。
因此，除了教材外，培养自主学习和解决问题的能力，多参与数学竞赛训练和解题实践，也是提高竞赛成绩的关键。
1993年华罗庚杯数学竞赛
1993年华罗庚杯数学竞赛1993年，华罗庚杯数学竞赛在中国举行，这是一场备受期待的数学盛事。
华罗庚杯数学竞赛是以华罗庚先生的名字命名，旨在鼓励和奖励在数学领域有突出成就的中学生。
本次竞赛吸引了全国各地的学生参与，他们展示了自己卓越的数学才能和出色的解题能力。
华罗庚杯数学竞赛给年轻的数学家提供了一个交流和展示自己才华的平台，也为中国的数学事业做出了重要贡献。
1993年华罗庚杯数学竞赛的题目精心设计，涵盖了多个数学领域的知识和技巧。
这些题目不仅考验了学生的计算能力，更注重学生的数学思维和创新能力。
请我来为大家介绍一些当年的挑战题目和解题思路。
题目一：计算题已知正整数a，b，c满足abc=2209，且a>b>c。
求a，b，c的值。
对于这道题目，我们可以利用因式分解来得出解答。
首先，将2209进行因式分解，得到7*7*47。
因为a，b，c是正整数且a>b>c，所以我们可以得出a=47，b=7，c=1。
题目二：几何题已知三角形ABC的边长满足AB=5，BC=7，AC=3。
若三角形ADC的角ADC等于角BAC，求三角形ADC的边长DC的长度。
这道题目要求我们求解三角形ADC的边长DC的长度。
根据题目中给出的信息，我们可以通过余弦定理来计算。
首先，通过余弦定理，我们可以得到cos(ADC) = (7^2 + 3^2 - 5^2) / (2 * 7 * 3) = 0.5。
然后，我们可以求出角ADC的度数，即ADC = arccos(0.5) ≈ 60°。
接下来，利用正弦定理，我们可以得到三角形ADC中的线段DC的长度。
sin(DAC) / 3 = sin (60°) / DC。
然后，我们可以得出DC ≈ 3 / sin(60°) ≈ 3 / (√3/2) ≈ 2√3。
因此，三角形ADC的边长DC的长度约为2√3。
以上只是1993年华罗庚杯数学竞赛中的两道题目，这些题目展示了华罗庚杯数学竞赛的题目设计的多样性和挑战性。
华罗庚初中数学竞赛题
华罗庚初中数学竞赛模拟题华罗庚初中数学竞赛是中国数学竞赛的一种，旨在纪念数学家华罗庚并激发学生学习数学的兴趣。
这种竞赛的题目通常涉及广泛的数学知识，包括代数、几何、概率等，旨在挑战学生的数学思维和问题解决能力。
例如，一些典型的华罗庚初中数学竞赛题目可能包括：1.代数题：例如，给定一个二次方程，求解该方程的根，或者证明某个代数恒等式。
2.几何题：例如，求解某个几何图形的面积或体积，或者证明某个几何定理。
3.组合数学题：例如，求解某个组合问题的计数公式，或者证明某个组合恒等式。
4.数论题：例如，求解某个数论方程的解，或者证明某个数论定理。
此外，华罗庚初中数学竞赛还可能包括应用题，这类题目将数学知识应用于实际生活中，旨在考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
以下是一份模拟的华罗庚初中数学竞赛题，包含代数、几何和数论等多个领域的题目。
请注意，这些题目是为了模拟竞赛风格而设计的，难度可能较高。
华罗庚初中数学竞赛模拟题一、选择题（每题5分，共20分）1.设x和y是正实数，且满足x+y=1，则x1+y4的最小值为：A. 4B. 5C. 9D. 162.在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2=2c2，则角C的最大值为：A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘3.对于任意正整数n，定义f(n)为n的各位数字之和。
则f(2023)+f(20232)+f(20233)的值为：A. 29B. 35C. 37D. 414.已知x和y是整数，且满足方程7x+5y=38，则(x,y)的解有：A. 1组B. 2组C. 3组D. 无穷多组5.已知x和y都是正整数，且满足x1+y1=51，则有序对(x,y)的个数为：A. 1B. 2C. 3D. 无穷多6.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,4)，点B在x轴上，且△AOB是等腰三角形（O为坐标原点），则点B的坐标为：A. (6,0)B. (8,0)C. (−3,0) 或(8,0)D. (6,0) 或(−6,0)7.对于任意正整数n，定义f(n)为n的各位数字之积。
关于“华罗庚金杯少年数学邀请赛”简介
“华罗庚⾦杯”少年数学邀请赛简介 “华罗庚⾦杯”少年数学邀请赛（以下简称“华杯赛”）是以华罗庚名字命名的数学竞赛。
始于1986年是纪念我国数学家华罗庚始创的，有中国优选法统筹法和经济数学研究会中国少年报，全国性⼤型少年数学竞赛活动⾄2011年已有xx届。
“华杯赛”的宗旨是：教育⼴⼤青少年从⼩学习和弘扬华罗庚教授的爱国主义思想、刻苦学习的品质、热爱科学的精神；激发⼴⼤中⼩学⽣对学习数学的兴趣、开发智⼒、普及数学科学。
“华杯赛”⾄今已成功地举办了xx届，全国有近100个城市，3000多万名少年⼉童参加了⽐赛。
“华杯赛”已经成为教育、⿎舞⼀代⼜⼀代青少年勇攀科学⾼峰和奋发向上的动⼒，深受⼴⼤学⽣、教师、家长的喜爱。
⽇本、韩国、马来西亚、新加坡、蒙古国等国家和⾹港、澳门、台湾地区也相继派队参赛。
华杯赛分为⼩学组（4.5.6年级）与中学组（7.8年级） “华杯赛”⼀贯坚持“普及性、趣味性、新颖性”相结合的命题原则。
赛制为每年xx届，每两年举办⼀次总决赛。
第xx届“华杯赛”赛程安排与奖项设置 第xx届“华杯赛”将于2011年举⾏，有关赛程、奖励等情况如下： ⼀、赛程 1、初赛：2011年3⽉19⽇上午10：00—11：00。
2、决赛：2011年4⽉16⽇上午10：00—11：30。
3、总决赛：2011年7⽉23⽇-24⽇ 代表队组成：⑴决赛⼀等奖中选拔初⼀组2名选⼿进⼊少年⼀组； ⑵决赛⼀等奖中选拔⼩学组2名选⼿进⼊少年⼆组； ⑶各代表队⾃主选拔总决赛当年⼩学六年级2名选⼿进⼊少年三组； 冬令营优秀选⼿组成：⑴获推荐的冬令营初⼀组选⼿进⼊少年⼀组； ⑵获推荐的冬令营⼩学组选⼿进⼊少年⼆组； ⼆、奖励 1、决赛 （1）设个⼈⼀、⼆、三等奖和“优秀教练员”、“优秀辅导员”奖；获决赛个⼈⼀、⼆、三等奖⽐例为本市参加决赛⼈数的36%。
其中：⼀等奖为参加决赛⼈数的6%，⼆等奖为参加决赛⼈数的12%，三等奖为参加决赛⼈数的18%。
华罗庚竞赛试题及答案初二
华罗庚竞赛试题及答案初二华罗庚数学竞赛是一项旨在培养学生数学兴趣和提高数学能力的比赛。
以下是一份适合初二学生的华罗庚数学竞赛试题及答案。
华罗庚数学竞赛初二试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是质数？A. 4B. 9C. 13D. 162. 如果一个数的平方根是2，那么这个数是：A. 2B. 4C. 8D. 163. 一个等差数列的首项是3，公差是2，那么第6项是：A. 13B. 15C. 17D. 194. 一个直角三角形的两个直角边分别是3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 85. 一个圆的半径是5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题2分，共10分）6. 如果一个数的平方是36，那么这个数是_________。
7. 一个数的立方是-27，那么这个数是_________。
8. 一个数的倒数是2/3，那么这个数是_________。
9. 如果一个等差数列的第3项是9，第5项是15，那么这个数列的公差是_________。
10. 一个圆的周长是31.4，那么它的半径大约是_________。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 证明：对于任意正整数n，n² - 1总是可以被8整除。
12. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，求证：它的体积V=abc。
13. 已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，且a² + b² = c²，证明这个三角形是直角三角形。
14. 一个圆的半径是r，求圆的周长和面积的公式。
四、应用题（每题10分，共20分）15. 一个农场主有一块长方形的土地，长是宽的两倍。
如果这块土地的周长是100米，求这块土地的长和宽。
16. 某公司计划在一年内将销售额提高20%，如果去年的销售额是100万元，求今年计划的销售额。
答案一、选择题1. C2. B3. A4. A5. B二、填空题6. ±67. -38. 3/29. 310. 5（或近似值）三、解答题11. 略12. 略13. 略14. 周长：2πr，面积：πr²四、应用题15. 长：50米，宽：25米16. 计划销售额：120万元结束语：通过这份试题，我们希望同学们能够加深对数学概念的理解，提高解决实际问题的能力。
华杯赛历届试题及答案
华杯赛历届试题及答案华杯赛，全称“华罗庚数学金杯赛”，是一项面向中学生的数学竞赛，旨在激发学生对数学的兴趣，提高他们的数学素养。
以下是历届华杯赛的部分试题及答案，供参考：一、选择题1. 下列哪个数是最小的正整数？- A. 0- B. 1- C. 2- D. 3答案：B2. 如果一个数除以3的余数是2，除以5的余数是1，那么这个数除以15的余数是多少？- A. 3- B. 4- C. 5- D. 6答案：A二、填空题1. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，其体积是________ 立方厘米。
答案：2402. 计算下列数列的第10项：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...答案：55三、解答题1. 一个水池有注水口和排水口，单开注水口每小时可注水20吨，单开排水口每小时可排水10吨。
如果同时打开注水口和排水口，水池每小时净增水量是多少吨？如果池中原有水100吨，需要多少时间才能将水排空？答案：同时打开注水口和排水口时，水池每小时净增水量是20吨- 10吨 = 10吨。
要将100吨水排空，需要的时间为100吨÷ 10吨/小时 = 10小时。
2. 一个班级有48名学生，其中1/3是男生，剩下是女生。
问这个班级有多少名女生？答案：班级中有48名学生，其中1/3是男生，即48 * (1/3) = 16名男生。
剩下的学生是女生，所以女生人数为48 - 16 = 32名。
四、证明题1. 证明对于任意的正整数n，n的立方与n的和不小于n的平方与n 的两倍之和。
答案：设n为任意正整数。
我们需要证明n^3 + n ≥ n^2 + 2n。
展开立方项，得到n^3 + n - n^2 - 2n = n(n^2 - n - 1) = n(n - (1 + √5)/2)(n - (1 - √5)/2)。
由于n是正整数，(n - (1 +√5)/2)和(n - (1 - √5)/2)都是负数或零，因此整个表达式是非负的，即n^3 + n ≥ n^2 + 2n。
第一届“华罗庚金杯”数学竞赛试题3篇
第一届“华罗庚金杯”数学竞赛试题第一篇题目一：小球爬梯子有一架高度为$n$级的梯子，小球从梯子底部出发，每次可以向上爬一级或两级，问小球爬到第$n$级梯子共有多少种不同的爬法？题目二：搭积木有一堆$n$个积木，第$i$块积木的长度为$L_i$，每块积木都可以旋转，但不可以翻转，问依次将这些积木叠放起来，最多可以叠起几个积木？题目三：配对情况有$m$个男孩和$m$个女孩，问他们配对的方案数有几种？如果规定每个男孩和每个女孩只能搭配一次，且有可能有不止一种情况使得每个人都能匹配上，那么方案数又是多少？第二篇题目一：多项式的值给定一个二次多项式$f(x)=ax^2+bx+c$，和两个实数$x_1,x_2$，求$f(x_1)+f(x_2)$的值。
题目二：分数化小数给定两个正整数$a,b(a<b)$，求将$a$除以$b$得到的无限小数形式中，从小数点后第$m$位到小数点后第$n$位的数列。
题目三：折纸一张长度为$l$，宽度为$w$的纸片对折$n$次，每次将纸片从一侧对折，则最终纸片的长度和宽度分别为多少？第三篇题目一：方格剖分在一个$n\times n$的正方形网格中，若每条相邻的水平或竖直线段均被剖分，例如一个$3\times 3$的网格如下图所示，则称这个网格被剖分成了若干个单元，求给定网格被剖分成若干单元的方案数。
题目二：翻硬币有一个$n\times m$的方格图，每个格子中放置着一枚硬币，每次可以选择一个格子，并将它和它周围的四个格子分别翻转（即由正面变成反面，或由反面变成正面）。
给定初始状态和目标状态，请你问最少需要几步才能从初始状态变换为目标状态。
题目三：密码破解假设我们知道一个ASCII码长度为$n$的字符串$s$的明文形式是一个英文单词（不区分大小写），现在我们知道了它的密文形式$t$，求一个可能的字符串$k$，使得将$t$和$k$一位一位地异或后得到的结果是$s$的ASCII码形式。
2024-2025学年下期“华罗庚”杯四年级数学竞赛
2024-2025学年下期“华罗庚”杯四年级数学竞赛一、填空。
（1-6题每空1分，7-14题每空2分，共30分）1、0.01里面有（）个11000,10个0.1是（）。
2、甲乙两人的年龄相差24岁，乙的年龄是甲的3倍，乙是（）岁。
3、一桶油连桶重94.5千克，用去一半后连桶重51.5千克，原来桶里的油重（）千克，空桶重（）千克。
4、有一个三位小数，保留两位小数后是20.00，这个三位小数最大是（），最小是（）。
5、假如一个三角形两条边的长度分别是2cm和5cm，那么第三条边的长度取整理米最长是（）厘米，最短是（）厘米。
6、把一根木头锯成5段，每锯一段要用3分钟，锯成5段共需（）分钟。
7、（）－68＋56=200 68＋（）÷5=1248、王云在计算325－□×5时先算了减法，结果得出1500，那么这道题的正确结果应当是（）。
9、小虎在计算一道小数减法题时，错把减数41.5看成了4.15，结果差是95.85，正确的差是（）。
10、同学们去礼堂听报告，每排坐的人数相等，坐了28排；假如每排多坐2人,则24排正好坐满.原来每排坐了( )人。
11、一辆汽车，上山用了3小时，平均每小时行40千米，下山用了2小时，平均每小时行60千米。
这辆汽车上、下山的平均速度是（）千米/时。
12、一个数的小数点向右移动一位,这个数就增加了72，这个数原来是（）。
13、在一个减法算式中，被减数、减数与差的和是600，减数是差的3倍，减数是（）。
14、一个直角三角形中，锐角∠A比锐角∠B大20°，∠A＝（）度，∠B＝（）度。
二、我会推断：（6分）1、大于0小于1的一位小数有多数个。
（）2、计算小数加减法时，要留意末尾对齐。
（）3、等边三角形肯定是锐角三角形。
（）4、求近似数时，小数末尾的0不能去掉。
（）5、平行四边形具有稳定性，三角形简单变形。
（）6、每个三角形都有3条高。
（）三、简便计算（每题3分，共24分）278×67＋278×34－278 222×999＋333×334245－(71－55) 1420＋(515－420)－315 7000÷125 238×101－238156×201 20242024×2024－20242024×2024三、解决问题（5×8=40分）1、皮皮和明明两家人一块出去旅游，一共有6个大人，3个小孩。
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第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组）（时间2007年4月21日10：00～11：30）一、填空（每题10分，共80分） 1、计算：=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯-3553134217685.17 。
2、“b 的相反数与a 的差的一半的平方”的代数表达式为 。
3、规定符号“⊕”为选择两数中较大者，规定符号“⊙”为选择两数中较小者，例如：3⊕5=5，3⊙5=3，则4、已知 5-=-n m ，1322=+n m ，那么 44n m += 。
5、用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图1，从正面看这个立体，如图2，则这个立体的表面积最多是 。
图1（从上向下看） 图2（从正面看） 6、满足不等式|13|22|1|3+>--n n n 的整数n 的个数是 。
7、某年级原有学生280人，被分为人数相同的若干个班。
新学年时，该年级人数增加到585人，仍被分为人数相同的若干个班，但是多了6个班，则这个年级原有 个班。
8、如果锐角三角形的三个内角的度数均为整数，并且最大角是最小角的5倍，那么这个三角形的最大角的度数是 。
学校 姓名 考号∶∶∶∶∶∶∶∶∶装∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶订∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9、已知a ，b ，c 都是整数，当代数式 c b a 327++ 的值能被13整除时，那么代数式 c b a 2275-+的值是否一定能被13整除，为什么？ 10、如图3所示，在四边形ABCD 中，ND MN AM ==，FC EF BE ==，四边形ABEM ，MEFN ，NFCD 的面积分别记为1S ，2S 和3S ，求312S S S +=？（提示：连接AE 、EN 、NC 和AC ）11、图4是一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个9位数。
请写出这个9位数，简单说明理由。
12、平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共顶点，最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共边，最多可以选出多少个三角形？（前两问不要求说明理由）三、详答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13、壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳和李薇闲谈时，王雪说：“菲菲比刘芳小29岁”；李薇说：“路路和刘芳的年龄的和是36岁”，刘芳说：“路路和王雪的年龄的和是35岁”。
已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人年龄的总和是105岁。
请回答：谁是路路的妈妈？壮壮、菲菲和路路的年龄各是多少岁？14、请回答：81能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？81能否表示为3个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由。
第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（初一组）一、填空（每题10分，共80分）二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程） 9、解：设x ，y ，z ，t 是整数，并且假设)(13)327(2275tc zb ya c b a x c b a +++++=-+ （1） 比较上式a ，b ，c 的系数，应当有 5137=+y x7132=+z x （2） 22133-=+t x取 3-=x ，可以得到 2=y ，1=z ，1-=t ，则有c b a c b a c b a 2275)327(3)2(13-+=++--+ （3）既然 )327(3c b a ++和)2(13c b a -+都能被13整除，c b a 2275-+就能被13整除。
【说明】 c b a 2275-+表式为均能被13整除的两个代数式的代数和，表达方式不唯一，例如：取10=x ，则有 5-=y ，1-=z ，4-=t ，则有 )45(13)327(102275c b a c b a c b a ++-++=-+实际上，（2）是一组二元整系数不定方程，我们先解第一个，得到 k x 133+-=，k y 72-=，这里k 是任意整数， 将 k x 133+-=代入其余方程，解得k z 21-=，k t 31--=，这里k 是任意整数， 则可以有])31()21()72[(13)327)(133(2275c k b k a k c b a k c b a --+-+-++++-=-+评分参考：有类似于（3）的代数表达式，给10分。
10、解：如图3a ，连接AE 、EN 和NC ，易知 由 MEN AEM S S ∆∆=， EFN CNF S S ∆∆=， 上面两个式子相加得2S S S CNF AEM =+∆∆ （1）并且四边形AECN 的面积=22S 。
连接AC ，如图3b ,由三角形面积公式，易知 AEC ABE S S ∆∆=21， CNA CDN S S ∆∆=21 上面两个式子相加得 21=+∆∆CDN ABE S S 四边形AECN 的面积=2S （2） 将（1）式和（2）相加，得到22S S S S S CDN ABE CNF AEM =+++∆∆∆∆， 既然1S S S ABE AEM =+∆∆， 3S S S ABE CNF =+∆∆因此 图3b 2312S S S =+，21312=+S S S 。
答：21312=+S S S 评分参考：①能利用三角形面积公式导出结果（1），给4分；②能利用三角形面积公式导出结果（2），给4分；③正确给出答案，给2分。
11、解答：填数的方法是排除法，用（m ，n ）表示位于第m 行和第n 列的方格。
第七行、第八行和第3列有9，所以，原题图4左下角的“小九宫”格中的9应当填在（9，2）格 图4a子中；第1列、第2列和第七行有数字5，所以，在图4右下角的“小九宫”格中的数字5只能填在（9，3）中；第七行、第八行有数字6，图4中下部的“小九宫”格的数字6应当填在（9，6）；此时，在第九行尚缺数字7和3，由于第9列有数字7，所以，7应当填在（9，8）；3自然就填在（9，9）了，填法见图4a 。
九位数是 495186273。
评分参考：①正确给出答案，给5分；②对图4左边中间的“小九宫”格的5个空格的填法，能说明理由，给5分，每个空格给1分；③即使最后答案不正确，对于推理正确的空格填法，要适当给分； 12、解答：（1）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，有6种取法；再从余下的5个点中选取1个做三角形的第二个顶点，有5种取法；再从余下的4个点中选取1个做三角形的第三个顶点，有4种取法。
因为任何3个点不在同一条直线上，所以，这样选出的三个点可以做出1个三角形。
但是，如果选出的三个点相同的话，则做出的三角形相同，三个点相同的取法有3×2×1=6种，所以，以这6个点为顶点可以构造20123456=⨯⨯⨯⨯个不同的三角形。
（2）每个三角形有3个顶点，所以，6个点最多只能构造2个没有公共顶点的三角形。
（3）用英文大写字母A 、B 、C 、D 、E 、F 记这6个点，假设可以选出两两没有公共边的5个三角形，它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母。
这里不同的英文大写字母仅有6个。
因此，这5个三角形中至少有3个三角形有同一个顶点，无妨设为A 。
根据假设，这3个三角形两两没有公共边，即除去公共顶点A 之外，其余6个顶点互不相同，即表示这6个顶点的字母不相同。
但是，除A 之外，我们仅有5个不同的字母。
所以，不可能存在5个三角形，它们两两没有公共边。
又显然ABC ∆，ADE ∆，BDF ∆和CEF ∆这4个三角形两两没有公共边。
所以，最多可以选出4个三角形，其中任何两个三角形都没有公共边。
评分参考：①回答第一问正确给3分；②回答第二问正确给2分；③第三问，回答正确给2分，能解释理由再给2分。
三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程） 13、解：设刘芳的年龄为x 岁。
① 刘芳和路路的年龄和是36岁，是个偶数，他们的年龄差也是一个偶数，而路路和妈妈的年龄的差是奇数，因此路路的妈妈不是刘芳。
注意到菲菲比刘芳小29岁，菲菲的妈妈不是刘芳，所以，壮壮的妈妈是刘芳。
②壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为()272-x路路)36(x -岁，他的妈妈应当是 )2736(+-x 岁，和为 )299(x - 菲菲)29(-x 岁，她的妈妈应当是 )2729(+-x 岁，和为 )312(-x 由于6个人共105岁，所以，105)312()299()272(=-+-+-x x x 。
③解出x =32,菲菲比刘芳小29岁，所以菲菲3岁；路路和刘芳的年龄的和是36，路路4岁；路路和王雪的年龄的和是35岁，所以王雪31岁。
答：王雪是路路的妈妈；壮壮5岁、菲菲3岁和路路4岁。
评分参考：①第一步，能判断出壮壮的妈妈是刘芳，给5分；②能正确回答谁是路路的妈妈，给5分；③能正确回答3个孩子的年龄，给5分。
14、解：（1）由于1613121=++，故有 4812411616131218181++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=。
所以，81能表示为3个互异的正整数的倒数的和（表示法不唯一）。
（2）不妨设c b a <<，现在的问题就是寻找整a ，b ，c ，满足22211181cb a ++= 由c b a <<，则有222111a b c <<，从而 2222311181a c b a <++=, 所以 242<a 。
又有2181a >，所以 82>a ，故92=a 或16。
若92=a ，则有 72191811122=-=+c b ，由于21721b <，并且 721112222=+>cb b ，所以 722>b ， 144722<<b 。
故 812=b ，100或121。
将 812=b 、100和121分别代入 7272222-=b b c ，没有一个是完全平方数，说明当 92=a 时，22211181c b a ++=无解。
若 162=a ，则161161811122=-=+cb 。
类似地，可得： 32162<<b ，即 252=b ，此时，925161616222⨯=-=b b c 不是整数。