关于一个不等式证明问题的研究

关于一个不等式证明问题的研究
对于不等式，在高中数学中是很常见的，不过对于不等式的解题方法，解题思路也是五花八门，各具特色。

但总的来说，在数学解题之初，人们总是通过对数学问题所涉及的数式、图形、结构、形式等具体对象的观察，从而投过现象去寻求数学问题的基本特征，揭示隐蔽在已知和未知条件中的信息，最后从多角度，多方面获得相对应的解题策略。

设,10,10<<<<b a 求证
22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a 。

设计意图：此题是不等式的证明，能够根据外部特征采用基本不等式求解，但是对于此问题能够采用更加新颖的数学方法求解。

这样能够培养学生的创造性思维和发散性思维。

让学生能够更加灵活的使用多种数学方法。

此问题能够更深层次明白在面对一个数学问题时，对于题目的外在形式及其结构，不但要注重外形上的分析，而且要注重内容上的理解，能从一个孤独静止的数学形式中找出关联活动的数学内容。

实际上，在对数学问题的探究中，同一属性内容能够有多种不同的存有形式，同一数学形式又能够从多种内容上去理解。

在探究解题思路时，要善于将条件和结论向两轴做对角度投影，在这个多角度投影中，数学知识不是孤立的单点或离散的片段，数学方法也不是互不相关的一招一式，他们是不可分割的整体，组成一条又一条的知识链。

解题思路探求的敏捷性、发散性就在于当知识链的某一环节受到刺激时，整条知识链就活跃起来。

方法1
分析：对于此不等式，其左边的每一项的根号内都是两个正数的平方和，所以采用基本不等式()2
222y x y x +≥+（0,0>>y x ）, 将平分和转化为和的平方，消去根号，所以有：
)]1()1[(2
2)]1([22])1[(22)(22)1()1()1()1(2
2222222b a b a b a b a b a b a b a b a -+-+-+++-++≥-+-+-+++-++ 22=
评注：此方法是最常见也最基础的方法，在多数不等式问题中均实用
方法2
分析：从题目中根据a,b 的取值范围,10,10<<<<b a 所以想的三角函数代换法，然后结合不等式的一些性质求解
令βα22cos ,sin ==b a 于是22222222)1()1()1()1(b a b a b a b a -+-+-+++-++ =βαβαβαβα44444444sin cos sin sin cos cos cos sin +++++++
)sin (cos 2
2)sin (sin 22)cos (cos 22)cos (sin 2222222222βαβαβαβα++++++≥ =22
评注：三角函数在已知参数取值范围情况下的不等式问题中，是使用非常广泛的。

方法3
分析：从要求证的不等式中，每一个小部分都含有根号，并且根号里还有两项的平方，所以能够联想到复数的模长来实行计算。

设i b a i b a bi a bi a z z z z )1()1(,)1(,)1(,4321-+-=-+=+-=+=， 所以22222222)1()1()1()1(b a b a b a b a -+-+-+++-++ =z z z z 4321
+++ z z z z 4321+++≥ =2222=+i
评注：关于复数的模长，这种解题思路很新颖，但在具体问题中使用不是特别常见，但其思维方式特别富有创造力。

方法4
分析：仍然从题目中a,b 的取值范围,10,10<<<<b a 采用作单位正方形,如图1所示，所证不等式即点M （a,b ）到O （0.0），A(1,0), B(1,1), C(0,1)四点的距离之和不小于22
当,10,10<<<<b a 点M 在正方形OABC 内部，所以
22222222)1()1()1()1(b a b a b a b a -+-+-+++-++ =MC MB MA MO +++
22=+≥AC OB (M 取对角线交点时不等号去等号)
评注：使用坐标系，这种方法可谓是万能钥匙，在绝大部分问题中，此方法都具有一定的可行性，而且结合图形，更直观，新颖。

图1 图二
方法5
分析：从要证明的结论出发，及各部分式子的结构特点，容易联想到证明勾股定理时所采用的方法，及如图2所示，作单位正方形ABCD ，取DE=AF=a,DG=CH=b,EF 与GH 相交于M ，则M 在正方形ABCD 内。

由勾股定理得 22222222)1()1()1()1(b a b a b a b a -+-+-+++-++
=MB MA MC MD +++
22=+≥BD AC
评注：数学结合，此方法看是简单，实则难以想到，所涉及知识面相对来说较大，需要在平时解决数学问题过程中多作积累，归纳。

方法6
图3
分析：如图3所示，取线段AC=1，在AC 上取AO=a,过O 作BD ⊥AC,取OD=b ，BD=1，所以 2
121=⋅=BD AC S ABCD 四边形(定值). 因为，面积一定的四边形以正方形的周长为最小，所以ABCD 为正方形，即a=b=
21时， AB+BC+CD+DA=222
24=⨯最小，即 22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a
评注：此方法根据面积一定，周长最小，这种方法是很早之前我们都接触过的，只要在平时练习过程多积累对总结，是容易理解，也容易想到。

上面对问题来说，能够从这些方面求解。

对于问题本身，我们也能够作多层次对角度的探究，从而将这类问题实行如下推广
推广1、设10,10,10<<<<<<c b a 求证
+-++++-++++-+++222222222222)1()1()1(c b a c b a c b a c b a
222222222)1()1()1()1()1()1(c b a c b a c b a -++-+-+-+++-+-+
222)1()1()1(c b a -+-+-34≥对于此问题，仍然借鉴上一问题的解题思路，
下面就我们采用方法4的解题，来求解此问题。

此问题较上一题而已，仅仅将二维变成三维，将平面变成了空间立体。

还是根据a,b,c 的取值范围，放到空间直角坐标系中，作一单位正方体，要证明的不等式，及是空间内一点到正方体八个顶点的距离之和，这是很容易得证的。

另外还能够用方法6得出结果。

猜想、如果10,10,10,10<<<<<<<<d c b a 这样的条件，我们能不能假想为四维空间，然后仍然视为空间内到一顶点的距离。

如果延展到n 个，这个结论是否还是成立呢？通过前期我们所作的各种猜想，这是十分可行的。

对于此类问题，就能够用距离来解决。

推广2、设10,10,10<<<<<<c b a 求证
+
-++++-++++-+++3333333333333333)1()1()1(c b a c b a c b a c b a +-+-++-++-++-+-333333333333)1()1()1()1()1()1(c b a c b a c b a
3
333)1()1()1(c b a -+-+-333≥ 猜想2、在推广2成立的基础上，我们能否大胆做出猜想：能否将题中的3次换成n 次是否依然成立呢；或者再将其推广a 、b 、c 、d...n 是还是成立。

总结：通过上面对一简单不等式的探究，我们多方面来思考问题。

同时也能够体现在神奇的
数学世界中，几何不单单是几何，代数也不单单是代数，它们之间有着莫大的联系，在对问题的思考过程中，应该在不同知识之间实行信息转换，解题思路也会在这种转换中诞生。

实际上，在我们求解数学问题过程中，主要是依靠我们的那种对数学题的直觉思维，而这所谓的直觉思维，能够根据一个题目的外部特征，通过视觉获得信息，使用思维辨识其形式、结果和数量关系，从而发现某些规律和性质。

然后再通过视觉上所获得的信息，与我们所解决的问题实行类比，得到启发，再根据所得启发，实行合情猜想及推理。