不等式高等数学证明方法论文
不等式的证明方法论文1413
不等式的证明方法论文不等式的证明方法摘要不等式的形式与结构多种多样，其证明方法繁多，技巧性强，也没有通法，所以研究范围极广，难度极大．目前国内外研究者已给出很多不等式的证明方法，已有文献分别就不等式的性质、各种证明方法及应用作了论述．论文以现有研究成果为基础，整理和归纳了常用的不等式证明方法，包括构造几何图形、构造复数、构造定比分点、构造主元、构造概率模型、构造方差模型、构造数列、构造向量、构造函数、代数换元、三角换元、放缩法、数学归纳法，让每一种方法兼具理论与实践性．旨在使学生对不等式证明问题有一个较为深入的了解，进而在解决相关不等式证明问题时能融会贯通、举一反三，达到事半功倍的效果，同时为从事教育的工作者提供参考．关键词：不等式；证明；方法Methods for Proving InequalityAbstract：The form of structure of inequality is diversity, and the proving methods of it are various which requires lots of skills, and there is no common way, so it is a extremely difficult study. Researchers have been given a lot of inequality proof methods at home and abroad, the existing literature, respectively, the nature of inequality, certificate of various methods and application are discussed. The paper on the basis of existing research results and summarizes the commonly used methods of inequality proof, including structural geometry, structure complex, the score point, tectonic principal component, structure, tectonic sequence probability model, structure of variance model, vector construction, constructor, algebra in yuan, triangle in yuan, zoom method, mathematical induction, making every kind of method with both theory and practice. The aim is to make the student have a more thorough understanding on the inequality problems , and in solving the problem of relative inequality proof can digest the lines, to achieve twice the result with half the effort, at the same time provide a reference for engaged in education workers.Key words: inequality; proof; method目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2．1 国内外研究状况 (1)2．2 国内外研究评价 (1)2．3 提出问题 (1)3 构造法 (1)3．1 构造几何图形 (1)3．2 构造复数 (2)3．3 构造定比分点 (2)3．4 构造主元，局部固定 (3)3．5 构造概率模型 (3)3．6 构造方差模型 (3)3．7 构造数列 (4)3．8 构造向量 (4)3．9 构造函数 (4)4 换元法 (5)4．1 代数换元 (6)4．2 三角换元 (6)5 放缩法 (6)5．1 添加或舍弃一些正项（或负项） (6)5．2 先放缩再求和（或先求和再放缩） (7)5．3 先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） (7)5．4 放大或缩小因式 (7)5．5 固定一部分项，放缩另外的项 (8)5．6利用基本不等式放缩 (8)6 数学归纳法 (8)7 结论 (9)7．1主要发现 (9)7．2启示 (9)7．3 局限性 (9)7．4 努力方向 (9)参考文献 (10)1引言不等式具有丰富的内涵和突出的地位，并且它与数学理论、现实生活、科学研究有着紧密的联系．加之，不等式的形式与结构多种多样，其证明方法繁多，技巧性强，有些不等式用一般的方法（如比较法、分析法、综合法）很难证出来，或者是论证过程很冗长，亦或根本证不出来[1]．于是，人们追寻不等式与其它知识的相互联系，构造新颖巧妙的组合，在不同知识体系的交汇处探究问题，逐步提高知识的“整合”能力，把需证明的不等式加以转换，使之以特殊的行之有效的方法得以证明，在此基础上还要注意从不同角度去分析不等式的结构与特征，应用联系、变化、对立统一的观点恰当地将问题转化，从而使不等式的证明化难为易[10]．探讨不等式证明的不同方法是一项有意义的工作，下文通过典型的例题，揭示了一些不等式证明方法在解题中的应用，旨在进一步拓宽人们证明不等式的能力．2文献综述2．1国内外研究状况国内许多专家、学者研究过不等式的证明方法．在其一般方法（比较法、分析法、综合法）的基础上．早在1987年，闻厚贵就在文[1]编著了不等式证法，该书将不等式的证明方法整理归类．1990年，严镇军在文[2]中编著了不等式，该书归纳了不等式的性质、证明技巧以及应用．1987年，易康畏在文[3]中编著了不等式的图解、证明及演绎，该论著利用图解的形式详细的分析证明了不同的不等式． 2009年，刘美香在文[4]中讨论了构造概率模型证明不等式．2003年，赵会娟、尹洪武在文[5]中研究了不等式证明的几种特殊方法．2004年，李文标在文[6]中浅谈了证明不等式的几种非常规方法；朱胜强在文[7]中探讨了不等式证明的几类非常规方法．2008年余焌瑞在文[8]中研究了构造法在不等式中的运用．2002王廷文、王瑞在文[9]中讨论了构造函数证明不等式．1997年，王廷文在文[10]中总结了构造法证明不等式．2007年，常椒凤在文[11]中讨论了数学解题中的图形构造法；同年，王保国在文[12]中介绍了不等式证明的六种非常规方法；黄俊峰在文[13]中介绍了利用向量的性质证明不等式． 2008年，谭景宝在文[14]中介绍用构造法证明不等式；在文[15]中周燕华就利用转换视角、构造主元证明不等式的方法给出了系统、详尽的举例论证．2008年，耿道永在文[16]中提出了有关不等式的几种新颖构造性证法．2．2国内外研究评价从查到的国内外文献来看，国内外研究者对不等式证明方法介绍了很多，文献[1-17]分别就不等式的性质、不同证明方法及应用作了论述，文献中阐述一种或几种不等式证明方法，一些文献写理论较多，一些文献写例子较多，理论很少，而且许多方法有名称不一而本质一样的情形，如判别式法、构造函数法在形式上都是根据二次函数的性质来进行分解求解的，因此可以归为构造函数法．所以，有必要重新整理和归纳不等式证明方法，让每一种方法兼具理论与实践性．2．3提出问题不等式的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性．而且不等式证明历来是中学、特别是高中数学教学的一个重点和难点．因此在前人研究不等式证明方法的基础上，试图完整地整理出常用的几类方法，使之系统化，并在此基础上探寻新的证明方法．3构造法所谓构造法，就是指通过对条件和结论充分细致的分析，抓住问题的特征，联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当地构造辅助元素，它可以是图形、函数、方程、或其等价命题等，以此架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决的数学方法．构造法本质上是化归思想的运用，但它常常表现出简捷、明快、精巧、新颖等特点，使数学解题突破常规，具有很强的创造性．3．1构造几何图形有些不等式若是按常规的代数方法证明，则繁难无比．若是能揭去不等式抽象的面纱，恰当地赋予几何意义，并构造出相应的几何图形，将题设条件及数量关系直接在图形中得到体现，使条件与结论的关系明朗化，就能直观揭露出不等式问题的内在实质，由此获得具体、形象、简洁的证明方法．构造几何图形证明不等式，关键是构造出恰当的几何图形，把不等式由图形来表示出来．常用到 “两点间直线段最短”，“三角形中大边对大角”，“三角形两边之和大于第三边”，“直角三角形斜边大于直角边”等几何知识．例1已知正数111a b c a b c ,,,,,满足条件111a a b b c c k +=+=+=,求证：2111ab bc ca k ++<．2k 看作边长为k 的正方形的面积，从中构分析：如果我们把1ab ，1bc ，1ca 均看作三个矩形的面积，造出前面的这三个矩形．DF a =，1DG AH b ==，AG BH b ==，证明：构造边长为k 的正方形ABCD (如图１)，且令1BE c =，1CF a =，并作出相应的矩形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ．2111ab bc ca k ++<．图1 由ABCD S S S S I II III>++，可得利用数形结合解题的关键是理解代数式的几何意义，把已知条件或要证不等式中的代数量直观化为某个图形中的几何量，即构造出一个符合条件的几何图形，便可应用该图形的性质及相应的几何知识证明不等式．因此，对于函数的图象和常见曲线要熟记，以便在应用时，能够得心应手，信手拈来．3．2构造复数复数之间不存在大小关系，但复数的模、实部、虚部作为实数，它们之间是可以比较大小的，因此复数的模、实部、虚部各自或彼此之间存在一系列不等关系．构造复数证明不等式的思路是，根据待证不等式和已知条件构造复数，然后代入复数模的不等式中，再把模的不等式化为无理不等式或线段不等式．当求证的不等式中出现“平方和的算术根”的形式的时候很容易联想到复数的模．从而可通过构造复数并利用复数模的性质121212Z Z Z Z Z Z +≥+≥-来证明不等式．例2 设a ，b ，c ∈R ，求证：()2222222a b b c c a a b c +++++≥++． 分析：根据求证式的结构特点，联想复数模的性质121212Z Z Z Z Z Z +≥+≥-． 证明：构造复数1Z a bi =+，2Z b ci =+，3Z c ai =+，则221Z a b =+， 222Z b c =+， 223Z c a =+， ()()123Z Z Z a b c b c a i ++=+++++()22a b c a b c =++≥++，而123123Z Z Z Z Z Z ++≥++，所以()2222222a b b c c a a b c +++++≥++．构造复数证明不等式有很大的局限性，只有当不等式出现“平方和算术根”时，我们才考虑构造复数．3．3构造定比分点设1P ，2P 是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于1P ，2P 的任意一点，则存在一个实数λ使21PP P P λ=，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比．显然，当点P 在线段12PP 上时，λ>0；当点P 在线段12PP 或21P P 的延长线上时，λ<0．如果这条直线l 就是x 轴，且1P ，P ，2P 在x 轴上的实数分别为1p ，p ，2p (其中12p p <)，则12p p p <<的充要条件是λ>0．这样，我们就可以将证明一个不等式的问题转化为对一个实数的符号的判断问题．例3求证：()()()()222341221x x x x ---≤≤++． 分析：此题我们通常用判别式法去证．如果设4-，()()()()2223221x x x x --++，1分别是有向线段上的三点，则可通过定比λ的值确定内、外分点来证得．证明：设4-，()()()()2223221x x x x --++，1分别对应数轴上的点1P ，P ，2P ，P 分有向线段12PP 所成的比为λ，则 ()()()()()()()()()()222222234221312321221x x x x x x x x x x λ--++++==--+-++，所以，0λ≥或λ不存在，故点P 不是21P P 的外分点；当0λ>时，()()()()222341221x x x x ---<<++；当0λ=时，()()()()2223221x x x x --=-4++；当λ不存在时，()()()()22231221x x x x --=++． 综上所述，可知 ()()()()222341221x x x x ---≤≤++． 3．4构造主元，局部固定一些不等式的证明，若从整体上考虑很难入手，则当条件或结论中出现多个变量时，我们可以选取其中一个变量为主元局部固定，抓住这个主元逐一证明不等式．通常是先暂时固定某些变量，而考查个别变量的变化、结果，然后再确定整个问题的结果．例4 设1a ≤，函数()2f x ax x a =+-，求证：当1x ≤时，()54f x ≤． 分析：该问题一般是通过绝对值不等式的几次放缩来证明，但我们若换一个视角，以a 为主元，将题中关于x 的函数看成a 的一次函数，则原命题的陈述方式可改为：一次函数()()21g a x a x =-+的最值不超过54． 证明：设()()21g a x a x =-+，[]1,1a ∈-，[]1,1x ∈-．当210x -=，即1x =±时，()1g a =±．显然()()54f x g a =≤成立． 当210x -≠时，()g a 是a 的一次函数，故只需证明()514g ±≤．因为()22151124g x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，所以()5114g -≤≤，即()11g ≤；而()22151124g x x x ⎛⎫-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以()5114g -≤-≤，即()514g -≤．综上所述， ()54g a ≤，即()54f x ≤． 3．5构造概率模型概率论是研究随机现象的一门数学分支，它既有其独特的概念和方法，又与其它学科分支有着密切的联系．因此在解答有关数学问题时，若能依据题设条件构建概率模型，可使这些数学问题简捷巧妙解决．构造概率模型解题，关键在于要找到恰当的概率模型．一旦运用成功，它能从某些方面体现出问题的本质规律和数学的内在美，往往给人以耳目一新的感觉．例5 已知0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求证：4sin 2214x x π+≥⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 分析：原式即42sin cos 21sin cos x xx x+≥++，由条件知0sin 1x ≤≤，0cos 1x ≤≤．于是只需证2sin cos 1sin cos x x x x +≥++，亦只需证sin cos sin cos 1x x x x +-≤成立，显然利用概率模型来证极为简单．证明：设两独立事件A 和B ，即()sin P A x =，()cos P B x =， 则 ()()()()P A B P A P B P AB +=+-sin cos sin cos 1x x x x =+-≤， 于是 2sin cos 1sin cos x x x x +≥++．因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故sin 0x ≥，cos 0x ≥．即得42sin cos 21sin cos x x x x +≥++，所以4sin 2214x x π+≥⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 对于一类涉及0与1的不等式，常可考虑利用概率性质()01P A ≤≤及加法公式()()()()P A B P A P B P AB +=+-，或()()()()()()()()P A B c P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+来证．其关键是求证式要符合概率加法公式的基本形式．3．6构造方差模型方差()()()222122n x x x x x xSn-+-++-=(其中x 是n 个数据1x ，2x ，，n x 的平均数)，是用于描述数据波动情况的一个量．方差的表达式可以写成()()222212122n n x x x xx x nS n++++++-=．显然有20S ≥(当且仅当12n x xx x ====时等号成立)．利用方差这一变式，我们可以通过构造方差来解决一类有关n 个实数的和与其平方和之间的关系问题．例6 设352x ≤≤，证明：．(2003年全国高中联赛试题) 证明:设原不等式的左边为u （0u >）22222244u S +++-=()21114044x u⎡⎤=+-≥⎢⎥⎣⎦，（352x ≤≤） 所以u ≤≤== 故u <,原不等式成立．通过构造方差模型，使得复杂的无理不等式的证证明问题得以简捷解决．3．7构造数列一个不等式有时涉及多个变量．如果能根据题设条件将某些变量看成是数列的项．则可借助数列中项之间的关系来沟通变量间的联系，使问题获解．通过构造等比数列或等差数列．将不等式中出现的多个变量都用公比或公差来表示．实现了化多元为一元．从而简化了不等式证明的难度．有些不等式中含有与自然数有关的变量，这时如果将这一变量看成是某一数列的项数，构造数列，则可结合数列的知识来证明不等式．例7 求证：131212654321+<-⋅⋅n n n ．分析：这是一道不等式的证明题，若我们总是在不等式的圈子里转悠，问题不能圆满的解决．跳出这个圈子，我们不难发现这是一个自然数有关的命题，那么，解决它的方法不外乎两种，一是利用数学归纳法；二是构造数列．我们来构一个数列{}n a ．证明： 令=n a 132********+⋅-⋅⋅n nn ， 则()()()()431213222221+⋅++⋅+=⎪⎭⎫⎝⎛+n n n n a a n n =1419281242028122323>++++++n n n n n n 所以，n n a a >+1，从而有，1121=>>>>--a a a a n n n ．因此原不等式得证．3．8构造向量向量这部分知识由于独有的形与数兼备的特点，使得向量成了数形结合的桥梁．对于某些不等式的证明，若能依据不等式的条件和结论，将其转化为向量形式，利用向量和及数量积关系式n m n m⋅≤⋅，往往避免复杂的凑配技巧，使证明过程直观而又容易理解．例8 已知,a b R +∈，1a b +=证明：设()1,1=m，(2n a =+，则2m n a ⋅=+2m =，2n=．由m n m n ⋅≤⋅，得≤构造向量时，要充分考虑待证不等式的结构特征，才能有的放矢．3．9构造函数函数揭示了变量之间的对应关系，同样也蕴含着变量之间的不等关系．我们常常利用一次函数的线性性质、二次函数的最值以及函数的单调性等性质证明某些不等式问题．如果能根据题目的条件与所证的不等式的结构特征．合理构造函数，常可使原本复杂的证明变得简便易行．构造函数证明不等式．其关键在于寻找恰当的函数模型．这往往需要将所证的不等式直接改造成函数关系式，或者将其看成某一函数解析式中的系数满足的关系．来探求函数解析式． 3．9．1构造一次函数由一次函数b kx y +=的图像可知，如果()0f m >,()0f n >，则对一切(,)x m n ∈均有()0f x >．我们将这一性质称为一次函数的保号性．利用一次函数的保号性可以证明一些不等式．例9 已知1a <、1b <、1c <,求证:2abc a b c +>++. 分析：首先将不等式化为20abc a b c +--->并整理得(1)20bc a b c -+-->，可将其看成是关于a 的一次函数式.证明:构造函数()(1)2f x bc x b c =-+--,这里1b <、1c <、1x <,则1bc <. 因为(1)12(1)(1)(1)0f bc b c bc b c -=-+--=-+-+->，(1)12(1)(1)0f bc b c b c =-+--=-->，所以,一次函数()(1)2f x bc x b c =-+--,当(1,1)x ∈-时,图象在x 轴的上方.这就是说,当1a <、1b <、1c <时,有(1)20bc a b c -+-->,即2abc a b c +>++.从上例的证明可以看出,构造一次函数证明不等式时,可按下列步骤进行: ⑴将不等式先移项使右边为零;⑵将不等号左边的式子整理成关于某一未知数x 的一次式()0f x >;⑶根据x 的取值范围(,)m n ,确定()f m 与()f n 的符号,确定当(,)x m n ∈时()f x 的符号进而证得不等式.构造一次函数证明不等式,其实质是将一个不等式的证明问题转化为确定解析式某个变量在两个特殊值处的符号问题,从而收到了以简驭繁的效果. 3．9．2构造二次函数通过对所证不等式的观察、分析，构造出二次方程．证明中借助于二次方程的判别式，从而使不等式得证．),0(x f 2>++=a c bx ax ）（设二次函数则02≥++c bx ax 恒成立的充要条件是，0ac 4-b 2≤=∆，根据这一等价关系，我们可以将关于其中一个不等式的证明转化为对另一个不等式的证明．例10 若b a 10<<，求证：112+<-a b b . 分析：结论即0112>++-a b b ，可将左式看成是以b 为主元的二次函数（其中a a 10<<），再予以证明. 证明：令x b =，由b a 10<<，得)1,0(a b x ∈=.构造二次函数)1,0(,11)(2a x a x x x f ∈++-=.其对称轴为21=x . ⑴当211≤a ，即2≥a 时，f(x)在(0，a1)上单调递减.于是 ）（x f >）（a 1f =)1(1111122+=++-a a a a a >0⑵当211>a ，即20<<a 时， 有 041-11)21()(>+=〉a f x f 综上，当)1,0(a x ∈时，011)(2>++-=a x x x f 恒成立,即不等式112+<-a b b 成立.4换元法通过对所证不等式添设辅助元素，使原来的未知量（或变量）变换成新的未知量（或变量），从而更容易达到证明的目的，这种证明不等式的方法称之为换元法．换元法多用于条件不等式的证明，换元法分为代数换元和三角换元．此法证明不等式的一般步骤是：(1)认真分析不等式，合理换元；(2)证明换元后的不等式；(3)得证后，导出原不等式．4．1代数换元对于那些具有一定结构特点的代数式，可以巧设某些代数式换元，把冗长而又复杂的不等式化为简单明了的代数式，则可简洁明快的解决问题．例11 设,,,+∈R c b a 求证:()()()c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥.分析:经过观察,我们发现,把c b a ,,中的两个互换,不等式不变,说明这是一个对称不等式,如果我们令=-+=y a c b x ,,b a c -+,c b a z -+=则原不等式可化为:()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+.这是一个较简单而且容易与已知不等式联系的不等式,因而可以按上述换元证明不等式． 证明:令c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=,,,则()z y a +=21,(),21z x b +=()y x c +=21. ,,,+∈R c b a 0<∴xyz 当时,有()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+；当0>xyz 时,有+∈R z y x ,,(否则z y x ,,中必有两个不为正值,不妨设0≤x ,0≤y ,则0≤c ,这与0>c 矛盾),因此02>≥+xy y x ,,02>≥+yz z y ,02>≥+zx x z()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+,综上所述,恒有，()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+把z y x ,,代入上式得: ()()()c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥4．2三角换元三角换元除了要正确换元外，还要熟练掌握三角函数的诱导公式以及三角函数的有界性等必要知识．对于含有根式的不等式或带有绝对值符号的不等式，可用三角换元法．把问题变成了熟悉的求三角函数值域．为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要．如变量x 、y 适合条件）（0r r y x 222>=+时，则可作三角代换θrcos x =、θrsin y =化为三角问题．例12 若,122≤+y x 求证:2222≤-+y xy x .分析:由,122≤+y x 知点()y x ,在圆122=+y x 的内部或边界上,因此可以考虑变换:,sin θr x =θcos r y = ()πθ20,10<≤≤≤r . 证明:设,sin θr x =θcos r y = ()πθ20,10<≤≤≤r , 则222y xy x -+θθ2sin 2cos 2+=r ⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤42cos 22πθr 22r ≤2≤.5放缩法在不等式证明中，经常用“舍掉一些正（负）项”而使不等式的各项变小（大），或在分式中利用放大或缩小分式的分子、分母，从而达到证明的目的．这种证明不等式的方法称之为放缩法．在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果．但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象．因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要．要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点．掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法．5．1添加或舍弃一些正项（或负项）若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负值，多项式的值变小．由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的．例13 已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a an n N a a a +-<+++∈证明：111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k kk k a k n a +++-==-=-≥-=--+- 1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 本题在放缩时就舍去了22k -，使分式值变小，从而使和式得到化简．5．2先放缩再求和（或先求和再放缩）若分子, 分母同时存在变量, 要设法使其中之一变为常量．分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可．具体可根据题目特征，选择先放缩再求和（或先求和再放缩）．例14 函数f （x ）=xx 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +)(2121*1N n n ∈-+． 分析：此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和． 证明：由f (n )=nn 414+=1-1111422n n>-+⋅ 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n22112211221121⋅-++⋅-+⋅-)(2121)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+- .评注：本题通过左边的合理变形和放缩，最终和右边式子的结构特征一致，轻松得到了所证结果．5．3先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）若不等式证明中涉及较复杂的分式，可根据题目特征，对分式作适当的放缩，以便于裂项化简分式（或先裂项再放缩），达到证明目的．例15 已知a n =n ，求证：∑n k=1 k a 2k＜3． 证明：∑nk=12ka =∑nk=1＜1＋∑nk=21(k －1)k (k ＋1)＜１＋∑nk=22(k －1)(k ＋1) ( k ＋1 ＋k －1 ) =1nk =+=1＋ ∑n k=2 (1(k －1) －1(k ＋1)) =1＋1＋2－1(n ＋1) ＜2＋2＜3．评注：本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标．5．4放大或缩小因式若因式中存在变量时，可以选择适当放缩使其中一部分变为常量，具体可根据题目特征选择放大或缩小因式．例16 已知数列{}n a 满足2111,0,2n na a a +=<≤求证：1211().32nk k k k a a a ++=-<∑证明22112131110,,,.2416n n a a a a a a +<≤=∴=≤≤2311,0,16k k a a +∴≥<≤≤当时 1211111111()()().161632nn k k k k k n k k a a a a a a a ++++==∴-≤-=-<∑∑评注：本题通过对因式2k a +放大，而得到一个容易求和的式子11()nk k k a a +=-∑，最终得出证明．例17 设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n 证明：∵ n n n n =>+2)1( 212)21()1(2+=+<+n n n n ∴ 212)1(+<+<n n n n ∴ 2)12(31321++++<<++++n a n n ， ∴2)1(2)1(2+<<+n a n n n评注：本题利用212n n +<，对n a 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的． 5．5固定一部分项，放缩另外的项一些不等式的证明，如若从整体考虑很难入手，通常可以先暂时固定某些项，而通过放缩个别项来达到化简和证明的目的． 例18 求证：2222111171234n ++++< 证明：21111(1)1n n n n n <=--- 2222211111111151171()().1232231424n n n n ∴++++<++-++-=+-<- 评注：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处．5．6利用基本不等式放缩针对一些特殊形式的不等式，我们可以运用基本不等式（例：m n a a +）进行放缩求解．例19 已知54n a n =-1对任何正整数m n ，都成立.1，只要证 51mn m n a a a >++因为 54mn a mn =-，(54)(54)2520()16m n a a m n mn m n =--=-++，故只要证 5(54)12520()16mn mn m n ->+-+++即只要证 202037m n +->因为558m n a a m n +=+-558(151529)m n m n <+-++-202037m n =+-，所以命题得证.评注：本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由m n a a +放大即可.6数学归纳法一个与自然数n 有关的数学命题，如果：（1）能证明当0k n =（0k 是使命题成立的最小整数）时，命题成立；（2）假设当k n =（0k k ≥的任意正整数）时，命题成立，证明当1k n +=时，命题成立．那么可以断言，这个数学命题对所有自然数n 都成立．这种证明不等式的方法称之为数学归纳法．例20 证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++． 那么当n =k +1时，11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k ．这就是说，当n =k +1时，不等式成立．综上所述：由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．评注：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．7结论7．1主要发现不等式的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性．而且不等式证明历来是中学、特别是高中数学教学的一个重点和难点．本文系统地归纳整理了几大类不等式的证明方法．如若学生在掌握不等式的基础知识以后，能够灵活应用文中几类方法，以其为指导，不等式问题将能够迎刃而解，使得解决不等式问题时思路清晰，运算简便．尤其是应用构造法，架起一座连接条件和结论的桥梁，在解决一些非常规不等式时作用很大．7．2 启示从文中可以看出不等式与几何图形、复数、概率、方差、数列、向量、函数有着密切的联系，在处理不等式问题时，若能灵活运用这些思想与方法，则会取得事半功倍的效果．教师在讲解具体数学内容和方法时，应该高度重视不等式方法的挖掘和渗透，重视理论和实践的结合，让学生切实领悟其价值，滋生应用的意识．同时学生在解题和学习的过程中也应认真思考，发现和归纳不等式的新方法．7．3局限性本文把理论和实践相结合，归纳了几类不等式证明的方法在解题中的应用，其中主要工作属归结概括，在一些方面存在局限性，一是在不同知识体系间寻求“交汇”跨度大、难度高，不易发现其中的本质联系；二是由于本文整理归纳了较多不等式的证明方法，多则不精，广而不深．7．4努力方向不等式的证明方法种类繁多，不同知识体系间的跨度大、难度高．在教学实践中，并不是短时间可以全部学习掌握的，需要长期学习并积累，而对于不等式的证明方法新的研究与发展，则要在大量的实践中不断摸索．。
高等数学下不等式的证明方法简论,作者：杨洋
关
键
2
高等数学下不等式的证明方法
目 录
Abstract..............................................................................................................................................1 摘 目 要...............................................................................................................................................2 录...............................................................................................................................................3
1 引 言.............................................................................................................................................4
1.1 对 Holder，Minkowski 不等式构造单调性函数...................................................................................4 1.2 对 Opial 不等式构造单调性函数............................................................................................................6 2 高等数学不等式的代数证明方法......................................................................................................................9 2.1 直接运不等式定理证明不等式................................................................................................................9 2.2 利用最值和确界的方法来证明不等式..................................................................................................10 2.3 利用无穷小的性质证明不等式..............................................................................................................11 2.4 利用数学归纳法证明不等式.................................................................................................................11 2.5 利用函数的单调性证明不等式.............................................................................................................12 2.6 利用微分中值定理证明不等式.............................................................................................................13 2.7 利用泰勒公式证明不等式.....................................................................................................................15 2.8 利用函数的凸性证明不等式.................................................................................................................17 2.9 利用积分不等式证明不等式.................................................................................................................18 2.10 利用定积分的定义证明不等式...........................................................................................................18 2.11 利用柯西定理证明不等式...................................................................................................................19 2.12 利用取对数法证明不等式...................................................................................................................20 3 高等数学不等式的几何证明方法....................................................................................................................21 3.1 几何构造法证明不等式.........................................................................................................................21 3.2 向量构造法证明不等式........................................................................................................................22
不等式证明毕业论文
不等式证明毕业论文本篇论文主要研究不等式的证明，介绍了不等式的基本概念和证明方法，并详细阐述了几种常用不等式的证明过程，并对证明过程中需要注意的细节进行了分析。
一、不等式的基本概念不等式是数学中的一类常见且极其重要的结论形式，它与等式类似，都是表示一个值与另一个值之间的关系，但不等式却不一定要求这两个值相等，而只需要它们满足一定的大小关系。
常见的不等式有单变量不等式、双变量不等式、多变量不等式等。
二、不等式的证明方法证明不等式的方法一般分为数学归纳法、数学分析法、构造法、反证法、代数法、几何法等多种，而选择不同的证明方法往往取决于不同的不等式性质。
1. 数学归纳法数学归纳法是一种非常常用的证明方法，它通过证明一个基本条件成立，再证明该基本条件成立时下一步也成立，反复循环这个过程最终达到证明整个结论的目的。
这种证明方法对于很多不等式问题非常有效，因为它可以将整个证明过程分成逐步推进的几个步骤，每个步骤都是简单且显然成立的。
例如，我们考虑证明以下的不等式：$$1+2+3+...+n\\leq\\frac{n(n+1)}{2}(n\\in N^*)$$首先，我们将该式子称之为P(n)，即需要证明P(n)成立。
接着，我们通过证明P(1)为真来展开证明，即证明1的结论成立：$$1\\leq\\frac{1(1+1)}{2}$$证明上述结论后，我们进入下一步，假设P(k)成立，即$$1+2+3+...+k\\leq\\frac{k(k+1)}{2}$$接下来，我们考虑P(k+1)成立，即$$1+2+3+...+k+(k+1)\\leq\\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$将等式两边加上(k+1)即可得到$$1+2+3+...+k+(k+1)\\leq\\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$于是，我们通过数学归纳法证明了该不等式。
2. 数学分析法数学分析法通常适用于一些比较复杂的不等式，该方法能够通过对数学表达式的一些基本性质进行分析，从而推导出结论。
不等式证明论文
不等式证明论文摘要：不等式是数学中的一个重要课题，揭示了现实世界中广泛存在的量与量之间的不等关系，在现实生活和生产活动中有着重要的应用。
就知识间的内在联系而论，不等式是进一步学习函数、方程等知识必不可少的基础，不少数学问题的解决，都将直接或间接地用到不等式的有关知识。
下面就来看一下不等式的证明以及它的简单应用一、不等式的证明问题不等式的证明问题，是中学数学的重点和难点问题，是解决函数最值问题、应用题的常用工具，也是学好其他方面数学知识的基础。
因此，学好、掌握不等式的证明将会给我们以后在处理一些数学问题解决方面带来便捷和帮助。
下面我将就这个问题谈一下自己的体会和心得。
在证明不等式时，应从条件入手，从不同的思维角度去探求多种证明方法，并努力做到举一反三，总结出简捷的解法。
二、不等式的几种证明方法总结以往我们所学的数学知识不难发现不等式的证明方法多种多样，它可以和许多其他的数学内容相结合，如数列，函数，三角函数，二次曲线，方程等等。
因此证明时，除应用不等式性质外，还要用到其他数学知识的技能和技巧，在方法上有比较法、分析法、综合法、反证法、换元法、数学归纳法、放缩法等等。
问题：已知a，b∈R+且a+b=1，求证：a4+b4≥18下面我将就上面这个具体的不等式证明问题来简单介绍一下不等式证明证明的几种方法。
1.分析法：就是从寻求使结论成立的充分条件入手，逐步寻求需条件成立的充分条件，直到所需的条件已知正确为止。
证明a4+b4≥18就是证明（a2+b2）2-2a2b2≥18即证明（1-2ab）2-2a2b2≥18即2a2b2-4ab+78≥0也就是证明（ab-74）（ab-14）≥0∵a，b∈R+，a+b=1∴0由a+b≥2ab得ab≤（a+b2）2=14∴（ab-74）（ab-14）≥0成立∴a4+b4≥182.综合法：就是从已知或证明过的不等式出发根据不等式性质推导出要证明的不等式。
综合法往往是分析法证明的逆过程，表述简单，条理清楚。
证明不等式的方法论文
证明不等式的方法李婷婷摘要： 在我们数学学科中，不等式是十分重要的内容。
如何证明不等式呢？在本文中，我主要介绍了不等式概念、基本性质和一些从初等数学中总结出的证明不等式的常用方法，分别有比较法、综合法、放缩法、数学归纳法、换元法、判别式法、分解法方法。
证明不等式的方法多种多样，在这里我就只例举这些方法。
证明不等式方法因题而异，灵活多变，技巧性强。
通过学习这些证明方法，使我们进一步掌握不等式证明，可以帮我们解决生活中的许多实际问题。
关键字：不等式；数学归纳法；函数；单调性不等式作为一个重要的分析工具和分析的手段，在数学中具有举足轻重的地位，不等式的证明可分为推理性问题和探索性问题，推理性问题是指在特定条件下，阐释证明过程，解释内在规律，基本方法有比较法,综合法；探索性问题大多是与自然数有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的方法思路，以数学归纳法完成证明，不等式证明还有其他方法：换元法，放缩法等。
不等式的证明没有固定的程序，证法因题而易，技巧性强。
希望通过这些方法的学习。
我们可以很好的认识数学的一些特点，从而开扩我们的数学视野。
1不等式概念及基本性质1.1不等式的概念：表示不相等关系的式子。
实数集内的任意两个数b a ,总是可以比较大小的，如果b a -是正数，则b a >;如果b a -是零，则b a =；如果b a -是负数，则b a <。
反过来也对。
即有a ≧b 0≥-⇔b a 这里符号⇔表示等价于。
这个定义虽然简单，实际它反映不等式的性质。
许多不等式的证明，是从这个定义出发。
首先，根据不等式的定义，容易证明下述不等式的简单性质，这些性质是证明其他不等式的基本工具。
1.2不等式基本性质1.2.1b a >a b <⇔(对称性)1.2.2若b a >,c b >,则c a >(传递性)1.2.3若b a >,则c b b a +>+(加法保序性)1.2.4若b a >,0>c ，则bc ac >(乘正数保序性)1.2.5若b a >,d c >,则.a c b d +>+若b a >,d c <,d b c a ->-.0>>b a ,0>>d c ,则bd ac >.1.2.6若b a >,0>ab ,则.11b a <1.2.7若0>>b a ,0>>c d ,则.d b c a >1.2.8若0>>b a ,.,N n n n n b a b a n >>∈，则1.2.9若0>>b a ,m ,.,N nm n m n m n m b a b an --<>∈，则 1.2.10含绝对值的不等式 ()()()........4.3.0)2((1)1212222n n a a a a a b a b a b a a x a x a x a a x ba xb a a b x ax a a x a x ++≤++++≤±≤--≤≥⇔≥⇔>≥-≤≤--⇔≤+<<-⇔<⇔≤或1.2.11若，R ,∈b a 则().0,022≥-≥b a a 1.2.12若，+∈R ,b a 则.2ab b a ≥+符号当且仅当b a =时成立。
不等式证明论文完整版
分析左右两边均可写成两部分： ， .
而 ，则 故可证明。
证明
.
即所证不等式成立。
2.5
型如 型不等式，可将 视为数列{ }的前几项和，而 = ,即 为数列 的前几项和。则即 ，应用 = 求出 去与 比较，若有 则有 。
例 5 求证： .
分析这是不等式属典型通项公式法证明。
Key words:Inequality;ElementaryMath;Methodsof proof
引言
数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起, 东欧国家有一个较大的研究群体, 特别是原南斯拉夫国家。目前, 数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达，对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家。在 1882年-1928 年数学不等式理论的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,而且应该给出等号成立的证明。于1934年以来, 数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论。
关键词:不等式；初等数学；证明方法
Abstract
The inequalityproofhas always been a difficultpoint inmathematicsteaching inmiddleschool.However, italso plays an important role,and isan indispensable mathematical toolinmathematicsteaching. As for the method, there are many fliexiblity and skills and haveno fixed principle to obey. Therefore,theinequalityprooftakes an important partin the development ofthe students’mathematicalthinking, andlogical thinking.Arage of knowledge includingalgebra, trigonometry, geometry andevery area ofprimarymathematics, there is a strong integrated and diversity. Becausemany elementary mathematics problems often contains a higher level mathematics, theory and more practice problems. In order to solve the problem that highermathematicalienated from the middle-mathmaticals. This paperwillapplythe principlesmethods of mathematics to some elementary mathematical proofandCalculationpurposely.Doing like this:Not only toenlargestudents’range of knowledge, but also enable students torealize that using theprinciples ofadvanced Mathematicsto solveElementary Math problemsjust like doing a familiar job with ease.Therefore, this paperwillusea variety of knowledgesuch as: 1Inequality out the basic method; 2.Inequalityout special methods; 3. Using advanced mathematicsfrom different aspects to analysis some example to gain some methodsof the inequality proof.
不等式证明方法的探毕业论文究
不等式证明方法的探毕业论文究目录一．不等式的概念：................................... - 1 - 二．不等式的证明方法................................. - 1 -1.比较法：........................................ - 1 -2.综合法：........................................ - 2 -3.分析法: ......................................... - 3 -4.数学归纳法: ..................................... - 4 -5.反证法: ......................................... - 6 -6.换元法: ......................................... - 7 -7.放缩法: ......................................... - 7 -8.利用单调函数法：................................ - 9 -9.利用微分中值定理：.............................. - 9 -10、利用不等式定理：............................. - 10 -11、利用泰勒公式：............................... - 11 -12、利用函数的极值法：........................... - 11 -13、中值定理法：................................. - 12 -14.利用函数的凹凸性：............................ - 12 -15.利用定积分理论：.............................. - 13 - 小结: ............................................... - 14 - 参考文献：.......................................... - 15 -一．不等式的概念：用不等号把两个数学式子连结起来而得到的式子叫做不等式。
浅议不等式的证明 数学专业毕业论文
摘要在初等数学中，证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、判别式法、换元法、数学归纳法等等，但是所用的都是初等数学知识。
本文利用高等数学中的有关知识，给出几种不等式的证明方法：单调性，辅助函数，凹凸性，中值定理，最值、极值定理，泰勒公式，定积分性质，柯西施瓦茨。
关键词不等式高等数学中值定理泰勒公式柯西施瓦茨AbstractIn the elementary mathematics, Common methods used on proof of inequality are comparation, synthesis, analysis, negative approach, discriminant law, substitution of variables, mathematical induction and so on, All of them belong to elementary mathematics knowledge. In this article based on higher mathematics, Some methods to prove inequality have been given: monotonicity,auxiliary function, convex-concave,value theorem,extreme value、extreme value theorem, taylor formula, definite integral,cauchy schwartz.Key words inequality higher mathematics value theorem taylor formula cauchy schwartz目录1、引言 (1)2、利用函数的单调性证明不等式 (1)3、利用函数的凹凸性证明不等式 (2)4、利用拉格朗日中值定理证明不等式 (2)5、利用函数的最值、极值定理证明不等式 (3)6、利用泰勒公式证明不等式 (4)7、利用定积分的性质证明不等式 (5)8、利用柯西不等式证明不等式 (5)参考文献 (6)浅议不等式的证明1引言用不等号连接起来的两个解析式所成的式子叫不等式，证明不等式就是根据不等式的性质证明对于式中字母所容许的数值，不等式恒成立．不等式证明在中学里占有重要的地位，是进一步学习数学的基础，例如在讨论方程或方程组的解中，研究函数的定义域、值域、单调性、最值等问题中都要用到．然而，不等式证明又是中学里的一个重点、难点．其特点是方法灵活多样，技巧性很强，这使得它成为高考中的一个热门问题．证明不等式的途径是对原不等式作代数变形，在初等数学中，常用的方法有比较法、综合分析法、反证法、放缩法、数学归纳法、判别式法、换元法等等．然而，现在高中课本中又增加了一些高等数学知识，我们思考能否用高等数学中的有关知识来证明某些使用初等方法证明比较困难或暂时还无法证明的不等式，使之过程更加简洁、易懂，答案是肯定的，因此讨论高等数学知识在某些初等数学不等式中的应用是非常重要的，同时初等数学中的许多问题往往蕴含着高等数学中的一些方法，因而将高等数学中的某些原理、方法应用于初等数学中的证明，不仅可以开拓学生的视野，而且可以使学生体会到用高等数学的原理、方法解决初等数学问题时居高临下，驾轻就熟的感觉，进而了解高等数学与初等数学密不可分的关系．本文着重阐述了用高等数学中的有关知识来证明某些初等不等式，使之用初等方法证明比较困难或暂时还无法证明的不等式得到解决．高等方法主要适用于中学里的函数不等式．2利用函数、辅助函数的单调性证明不等式2.1函数单调性证明定理1[1] 若函数f 在区间),(b a 内可导，则f 在),(b a 内递增（递减）的充要条件是()()()00≤'≥'x f x f ，),(b a x ∈不等式与函数有着密切的关系，因此，根据求证的不等式构造函数，利用函数的单调性可巧证一些不等式，此方法尤其适用于中学里的函数不等式的证明．例2.1.1 证明：当0>x 时，)1ln(22x x x +<-.证明：设()2)1ln(2x x x x f +-+=，()()x x x x x f f +=+-+='=1111,002则，所以当0>x 时，()()][()()()0,000,012>=>>+='x f f x f x x f xx x f 即上单，在从而，也即2)1ln(2>+-+x x x ，故)1ln(22x x x +<-.2.2辅助函数单调性证明辅助函数方法比较常用，其主要思想是将不等式通过等价变形，找到一个辅助函数，通过求导确定函数在所给区间上的单调性，即可证明出结论。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不等式的高等数学证明方法
内容摘要：在初等数学中，我们对不等式的证明采用移项初等变形方法达到证明不等式的目的，但有些不等式仅利用此方法证起来很麻烦，甚至证不出来，因此总结了一些用高等数学的方法来证明不等式，如利用中值定理，函数单调性，函数的极值，凸凹性，概率的方法等。
关键词：不等式证明方法
在学习数学的过程中，不等式证明是非常重要的，下面主要介绍一些用高等数学的知识证明不等式的方法.希望通过这些方法的学习，我们可以很好的认识数学的一些特点.从而开拓一下我们的数学视野.
1. 拉格朗日中值定理与函数单调性
1.1 拉格朗日中值定理
若函数f满足如下条件：(i)f在闭区间[a,b]上连续；(ii)f在开区间（a,b）内可导，则在(a,b)内至少存在一点,使得（1），其中（1）被称为拉格朗日公式。
例、证明不等式，其中0分析：应用拉格朗日中值定理，关键是找出函数及区间，这可结合不等式特点找，则此不等式可改为,由此猜到取,区间在[a,b].
证明：由于,取,而在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，故由拉格朗日中值定理，存在使得
又01.2 函数单调性
定理1.2 设函数在区间i上可导，则在上递增的充要条件是.
例、证明不等式
证明：设.则
.则
进而有
.
根据函数单调性则当时有： ,
.进而得.
2. 柯西中值定理
定理2.1（柯西中值定理）设函数和满足：（i）在[a,b]上都连续（ii）在（a,b）内都可导（iii）和不同时为0 （iv）则存在使得.
例．，证明：.
证明：设，则.对于在[a,b]上应用柯西中值定理有：.设，考察.由于，显然当时，即.所以在时单调递减，从而有，
即.故.
3. 函数极值与最值
通过变换，把某些问题归纳为求函数极值达到证明不等式的目的。
例：设，求证：.
证明：令=-2+
当时， .当时，.
故.
4. 函数的凸凹性和詹森不等式
4.1 函数的凸凹性
定义：设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点和对于任意的实数总有：,则称为上的凸函数.反之，若总有：则称为上的凸函数。
函数凸凹性的判别方法：（1）为上的凸函数的充要条件是：对于上任意三点，总有.
（2）设为在区间上的可导函数，则下述论断互相等价：1’为上的凸函数.2’为上的增函数.3’对上的任意两点有
（3）设函数为区间上的二阶可导函数，则在上为凸函数的充要条件是.
4.2 詹森不等式
1.定义:若函数为上的凸函数，则对任意的,有.
2.应用。
例．证明不等式,其中均为正数。
证明：设,由的一阶和二阶导数,.
.可见在时为严格凸函数.依詹森不等式有:.从而有:
即:.
又因为.所以.
5. 概率
不等式的证明也可用概率的方法。
例：设函数且这里
求证：.
证明：由题所给的已知条件知非负,且,所以为某一随机变量的密度函数,则
.
即：
6. 隐函数
1.隐函数定理：若满足下列条件：（i）函数在以为内点的某一区域上连续；（ii）（通常称为初始条件）；（iii）在内存在连续的偏导数；（iv），则在点的某临域内，方程唯一地确定了一个定义在某区间内的函数（隐函数），使得①时且；②在内连续.
不等式的证明方法有许多种，当然一道题可以有多种证明方法，下面我从一道题的证明方法来体会一下不等式证明的多样性。
例如：当时，试证：.
利用函数单调性证法：令
则.显然对任意的，有.根据不等式定理：对任意的，都有.即：。
当然还有更多证法，可见不等式证明中的灵活多样，这样可以引起学生学习兴趣，激活学生思维，是培养学生观察力、判断力、推理能力的最好催化剂。
参考文献：
[1].余元希田万海毛宏德《初等代数研究》
[2].华东师范大学数学系编《数学分析》
[3].盛祥耀《高等数学》高等教育出版社。