保险精算 第1章 利息理论基础52页PPT
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第一章 利息理论基础
⇒ d (1 + i ) = i ⇒ i − d = id
利息的度量（五）利息等价式
d (m ) i (m ) −1 δ ⇒ 1 + = 1 + i = e = (1 − d ) = 1 − m m (1.2.7) P 8, (1.3.13) i (m ) d (m ) ⇒ 1 + = 1 − m m i (m ) d (m ) i (m ) d (m ) * ⇒ − = m m m m
k =1 k =1
t
t
如何理解（1.3.7a）和（1.3.7b）（1.3.7c）
a (t ) = e
∫ δ (s )ds
0
t
= e ∫0
1
δ1ds
e ∫1
2
δ 2ds
∫t −1δs ds Le
t
= e δ1e δ 2 Le δt
in = a (n ) − a ( n − 1) = e δn − 1 a (n − 1)
d (4) 1− 4
4
(m )
d (4) 1− 4
3
d (4) 1− 4
2
1−
d
(4)
4
1 1
1− d
d
例1.2.1
求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名 义利率以及每年计息4次的年名义贴现率。
例1.2.1答案
(2) 1、 1 + i = 1 + i = 1 + 8% ⇒ i (2) = 7.85% 2
in = a (n ) − a ( n − 1) = e δ −1 a (n − 1)
保险精算第1章利息理论基础共52页文档
15
Actuarial Science
利息度量：转换频率不同
保险精算
16
名义利率与名义贴现率
“实际”一词的主要含义在于，利息为每个度 量期支付一次，或在期初，或在期末，视具体情况 而定。然而，实际上有很多在一个度量期中利息支 付不止一次或在多个度量期利息才支付一次的情形。 这时，我们称相应的一个度量期的利率和贴现率为 “名义”的。
味着递减的实际利率。
12
单利与复利
复利计息时，第 n期的实际利率为：
in
a(n)a(n1) a(n1)
(1i)n (1i)n1 (1i)n1
i (1i)n1 (1i)n1
i
结论：i n 关于 n为常数，即常数的复利意味
着恒定的实际利率。
13
单利与复利
对单利来讲，利息并不作为投资资金而再赚取 利息；对复利来讲，在任何时候，本金和到该时为 止得到的利息，总是用来投资以赚取更多的利息。
一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得到 的利息金额与期末投资可回收金额之比。通常用字
母 d表示。
实际利率与实际贴现率的定义十分类似，都是 用来度量利息的。
6
实际利率与实际贴现率
某人以1本金开始一项业务，实际利率为i，则在 一度量期末可收回金额1i ，而利息（贴现）金额为
i，若这笔业务的实际贴现率为 d，则
Interest
2
利息
影响利息大小的要素： 本金：业务开始时投资的金额 时期长度：从投资日开始到收回的时间跨度
度量期、期：年 业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻 的积累值（Accumulated value，或终值）。 为了在一定时间后得到某个积累值，而在开始 时投入的本金金额称为该积累值的现值（Present Value）
Actuarial Science
利息度量：转换频率不同
保险精算
16
名义利率与名义贴现率
“实际”一词的主要含义在于，利息为每个度 量期支付一次，或在期初，或在期末，视具体情况 而定。然而，实际上有很多在一个度量期中利息支 付不止一次或在多个度量期利息才支付一次的情形。 这时，我们称相应的一个度量期的利率和贴现率为 “名义”的。
味着递减的实际利率。
12
单利与复利
复利计息时，第 n期的实际利率为：
in
a(n)a(n1) a(n1)
(1i)n (1i)n1 (1i)n1
i (1i)n1 (1i)n1
i
结论：i n 关于 n为常数，即常数的复利意味
着恒定的实际利率。
13
单利与复利
对单利来讲，利息并不作为投资资金而再赚取 利息；对复利来讲，在任何时候，本金和到该时为 止得到的利息，总是用来投资以赚取更多的利息。
一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得到 的利息金额与期末投资可回收金额之比。通常用字
母 d表示。
实际利率与实际贴现率的定义十分类似，都是 用来度量利息的。
6
实际利率与实际贴现率
某人以1本金开始一项业务，实际利率为i，则在 一度量期末可收回金额1i ，而利息（贴现）金额为
i，若这笔业务的实际贴现率为 d，则
Interest
2
利息
影响利息大小的要素： 本金：业务开始时投资的金额 时期长度：从投资日开始到收回的时间跨度
度量期、期：年 业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻 的积累值（Accumulated value，或终值）。 为了在一定时间后得到某个积累值，而在开始 时投入的本金金额称为该积累值的现值（Present Value）
寿险精算原理 第一章
4、实际利率、名义利率、实际贴现率、名 义贴现率、利息强度和折现因子之间的等 价关系（单位时间为1年的情况下）：
m
m
i 1 m
d 1 i 1 v 1 d p 1 1
p
p
e
例3、已知年度实际利率为8%，求等价的 利息强度。 例4、一笔业务按利息强度6%计息，求投 资500元经8年的积累值。
a
a
n
1 i
n
dn
n a
a
n 1
1 i
n
1 i
n
n 1
n
1 i
i 1 i
※ d n 与 n无关，为常数，通常把这种情 况下的贴现率叫做复贴现率。
②与实际贴现率 d 等价的实际利率为 1 d 。 如果某人以实际贴现率 d 借款1元，则 实际上的本金为1 d ，而利息（贴现，意 味着期初支付）金额为 d ，则实际利率为：
例2、某银行以单利计息，年息为2%，某 人存入5000元，问5年后的积累值是多少？
例3、如果例2中银行以复利计息，其他条 件不变，问5年后的积累值是多少？
1.1.3 实际贴现率
某一个度量期的实际贴现率，是指该度量 期内得到的利息金额与此度量期期末积累 值金额之比。实际利率通常用字母 d 表示。 从投资日算起第 n 个度量期的实际贴侠率 用 d n 表示，则有
In a
n
a
n
n 1
1 i a
1 i n
n
1 i
n 1
i 1 i
1
保险精算第二版复习ppt
死亡即刻赔付的含义
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发 生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事 件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应 用场合，保险公司通常采用的理赔方式。
4.1.1 精算现值的概念
精算现值即趸缴纯保费，未来保险金给付 在签单时的现值，即一次性缴清的纯保费， 它是以预定利率和预定死亡率为基础计算 的。
续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
分布函数 t qx ：
t qx Pr(T (X ) t) pr(x X x t X x) s(x) s(x t) s(x)
剩余寿命的生存函数 t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr(X x t X t) s(x t) s(x)
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
符号：
1
A x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n 0
vt
t
px xt dt
en t
0
t
px xt dt
方差公式：
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
0
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 Ax
0
e2 t
fT
(t )dt
所以方差等价为
Var(zt )2Ax ( Ax )2
4.1.4 延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均 给付保险金的险种。
假定: (x)岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 基本函数关系
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发 生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事 件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应 用场合，保险公司通常采用的理赔方式。
4.1.1 精算现值的概念
精算现值即趸缴纯保费，未来保险金给付 在签单时的现值，即一次性缴清的纯保费， 它是以预定利率和预定死亡率为基础计算 的。
续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
分布函数 t qx ：
t qx Pr(T (X ) t) pr(x X x t X x) s(x) s(x t) s(x)
剩余寿命的生存函数 t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr(X x t X t) s(x t) s(x)
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
符号：
1
A x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n 0
vt
t
px xt dt
en t
0
t
px xt dt
方差公式：
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
0
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 Ax
0
e2 t
fT
(t )dt
所以方差等价为
Var(zt )2Ax ( Ax )2
4.1.4 延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均 给付保险金的险种。
假定: (x)岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 基本函数关系
寿险精算寿险精算概述与利息理论PPT学习教案
到非常复杂的问题，如管理一项大的养老基 金，等
精算的研究对象是“不确定性”。
说明金融行为不确定性的一个很好的例子 就是保险合同。
在投保车辆盗窃险时，一辆超豪华轿车的拥 有者，与一辆普通的旧车车主相比较，应交 多少保费呢？哪一辆将被偷是不确定的，但 是研究一下这两种车过去被盗窃的规律，精 算师就可以为每一种确定一个合适的保
由名义利率表示的实际利率为
i (1 im )m 1 m
由实际利率表示的名义利率为
1
im m[(1 i)m 1]
第32页/共103页
例1-2. 某人准备按照10%的年利率存入银行 614元，每半年结转1次利息，试计算其5年后
的本利和。（两种解法）
第33页/共103页
解法一
每半年的实际利率为10%÷2=5% 5年一共包含10个半年 解因法此二，614×(1+5%)10 ≈1000元
计算现值时的利率是否就是贴现率？
在分期付款时，借款人在每次付款中的本金和利息分别是多 少？它们具有什么规律？如何计算借款人的贷款余额？
债券如何定价？等。
第12页/共103页
四. 生命表
➢ 生命表（Life table）又称生命表（mortality table）， 它是根据一定时期的特定国家（或地区）或特定人口群体（ 如寿险公司的全体被保险人、某企业的全体员工）的有关生 存状况统计资料，编制成的统计表。
i=(1+2%) 4-1≈8.24%＞8%
第30页/共103页
⑶名义利率与实际利率的关系 im ：1年结转m次利息的名义利率
im ：每次结转利息的实际利率
m
(1 im )m m
： 1年结转m次利息的名义利率的年末累积值
1 i ：实际利率i的年末累积值
精算的研究对象是“不确定性”。
说明金融行为不确定性的一个很好的例子 就是保险合同。
在投保车辆盗窃险时，一辆超豪华轿车的拥 有者，与一辆普通的旧车车主相比较，应交 多少保费呢？哪一辆将被偷是不确定的，但 是研究一下这两种车过去被盗窃的规律，精 算师就可以为每一种确定一个合适的保
由名义利率表示的实际利率为
i (1 im )m 1 m
由实际利率表示的名义利率为
1
im m[(1 i)m 1]
第32页/共103页
例1-2. 某人准备按照10%的年利率存入银行 614元，每半年结转1次利息，试计算其5年后
的本利和。（两种解法）
第33页/共103页
解法一
每半年的实际利率为10%÷2=5% 5年一共包含10个半年 解因法此二，614×(1+5%)10 ≈1000元
计算现值时的利率是否就是贴现率？
在分期付款时，借款人在每次付款中的本金和利息分别是多 少？它们具有什么规律？如何计算借款人的贷款余额？
债券如何定价？等。
第12页/共103页
四. 生命表
➢ 生命表（Life table）又称生命表（mortality table）， 它是根据一定时期的特定国家（或地区）或特定人口群体（ 如寿险公司的全体被保险人、某企业的全体员工）的有关生 存状况统计资料，编制成的统计表。
i=(1+2%) 4-1≈8.24%＞8%
第30页/共103页
⑶名义利率与实际利率的关系 im ：1年结转m次利息的名义利率
im ：每次结转利息的实际利率
m
(1 im )m m
： 1年结转m次利息的名义利率的年末累积值
1 i ：实际利率i的年末累积值
保险精算课件利息理论与生命表.ppt
第三节 精算师及职责
截止到2007年9月底，中国精算师一共有90名，还有471名 中国准精算师。2008年5月9日，中国精算师协会成立大会 在北京召开，……大会由中国精算师协会副会长万峰主持， 产生了110名中国精算师、640名中国准精算师。 专家预测， 在未来几年内，中国市场至少需要精算师约5000人。
意外险精算研究自然灾害和意外事故的出 现频率、损失分布以及相关计算问题。 分类：
1、损失分布理论：研究过去统计资料的条件下， 未来损失分布，以此作为预测的基础。
２、风险理论：通过分析出险频率与损失幅度的分 布，研究出险次数与每次损失大小的复合随机过程， 以检测需要的基金数量，以及破产概率大小。
第二节 保险精算特点
第三节 确定年金
例2：某人从银行贷款30万购房，期限20年，每年 底需还款多少，这笔钱简单相加是多少，20年后的 终值是多少？（利率为6%）
20年期的1元期末付年金的现值为
a 20 (1 vn ) / i [(1- 0.9434 20 ) 1] / 0.06 11.47
300000=年还款额× a20 每年还款额=26155元， 20年累计还款=2×2.616=52.31万，利息为22.3万 20年后该贷款的终值为 20×3.207=64.14万 利息为34.1万
2、英国精算师资格考试
3、日本精算师资格考试 4、澳大利亚精算师资格考试
中国精算师是国家惟一承认有签署我国寿险公司精算报告资格的精算师。 而北美精算师资格(FSA)则是最具权威的精算师认证体系。
在美国，要通过精算师资格考试，平均需要5-7年的时间，考试费总计 大约需要3000多美元。
美国和加拿大的精算师主要在以下几个领域工作： ⑴、人寿、健康、 财产保险公司；⑵、精算师顾问公司；⑶、健康服务机构；⑷、州保险 部门；⑸、联邦政府机构；⑹、大学和学院等。保险业、基金业、证券 投资业、银行及一些政府部门尤其是社会保障部门都需要。
寿险精算学利息理论基础
精算师需要根据市场情况和公司战略，设计出符合市场需求的人寿保险产品，并确保产品具有合理的费 率水平。
保险费率的计算
01
02
03
保险费率是保险公司根据风险大 小和预期损失情况，向投保人收 取的保费标准。
寿险精算学在保险费率计算中发 挥着重要作用，通过对死亡率、 利率、疾病发生率等风险因素的 评估和预测，精算师可以制定出 合理的费率标准。
计算投资组合的预期收益，通常使用历史收益率、未来收益率和风 险调整后收益率等指标。
绩效评估
比较投资组合的实际表现与预期表现的差异，常用的指标包括夏普 比率、阿尔法系数和贝塔系数等。
投资组合的优化与调整
资产配置优化
根据投资目标和风险承受能力，确定最优的资 产配置比例。
动态调整
根据市场环境和投资组合的实际表现，定期或 不定期调整投资组合的资产配置。
信用风险
由于发行人违约，无法按时偿还 本金或利息的风险。
回报
债券的回报主要来源于利息收入 和资本利得（买卖债券的价差） 。
01
02
利率风险
由于市场利率波动，导致债券价 格波动的风险。
03
04
流动性风险
由于市场不活跃或缺乏交易对手 ，导致债券难以买卖的风险。
04
投资组合理论
投资组合的基本概念
投资组合
由多种资产组成的集合，包括股票、债券、现金等。
资产配置
投资者根据风险承受能力和投资目标，将资金分配到不同的资产 类别中。
多样化
通过持有多种不同类型的资产，降低单一资产的风险，提高整体 投资组合的风险调整后收益。
投资组合的评估方法
风险评估
衡量投资组合的风险水平，包括市场风险、信用风险和操作风险等。
保险费率的计算
01
02
03
保险费率是保险公司根据风险大 小和预期损失情况，向投保人收 取的保费标准。
寿险精算学在保险费率计算中发 挥着重要作用，通过对死亡率、 利率、疾病发生率等风险因素的 评估和预测，精算师可以制定出 合理的费率标准。
计算投资组合的预期收益，通常使用历史收益率、未来收益率和风 险调整后收益率等指标。
绩效评估
比较投资组合的实际表现与预期表现的差异，常用的指标包括夏普 比率、阿尔法系数和贝塔系数等。
投资组合的优化与调整
资产配置优化
根据投资目标和风险承受能力，确定最优的资 产配置比例。
动态调整
根据市场环境和投资组合的实际表现，定期或 不定期调整投资组合的资产配置。
信用风险
由于发行人违约，无法按时偿还 本金或利息的风险。
回报
债券的回报主要来源于利息收入 和资本利得（买卖债券的价差） 。
01
02
利率风险
由于市场利率波动，导致债券价 格波动的风险。
03
04
流动性风险
由于市场不活跃或缺乏交易对手 ，导致债券难以买卖的风险。
04
投资组合理论
投资组合的基本概念
投资组合
由多种资产组成的集合，包括股票、债券、现金等。
资产配置
投资者根据风险承受能力和投资目标，将资金分配到不同的资产 类别中。
多样化
通过持有多种不同类型的资产，降低单一资产的风险，提高整体 投资组合的风险调整后收益。
投资组合的评估方法
风险评估
衡量投资组合的风险水平，包括市场风险、信用风险和操作风险等。
寿险精算学利息理论基础
• 某人现在投资1000元，第3年末再投资 2000元，第5年末再投资2000元。其中前4 年以半年度转换名义利率5%复利计息，后 三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末 此人可获得多少积累值？
A(7)1000(1j)8e3 2000(1j)2e3 2000e2 10001.0258e0.0920001.0252e0.092000e0.06 5756
• 以第7年末为时间参照点，有
1 .0 6 6 4 1 .0 6 4 x 1 .0 6 1 0 x 3 .7 4 3 5
• 以第8年末为时间参照点，有
1 . 0 6 7 4 1 . 0 6 5 x 1 0 1 . 0 6 x 3 . 7 4 3 5
• 请同学们自己练习以其他时刻为时间参照 点
（2） (1i)2 1
6(舍去负根)
由(1i)2 1 6
i 20.4% （i 2.204舍去)
例1.7：求时间
• 假定i(12) 分别为12%、6%、2%
• 计算在这三种不同的利率场合复利计息， 本金翻倍分别需要几年？
i(12) 2% 时 ， (10.17% )12n2 n ln2 34.7
i
a 1 v v n 1 (1 i ) a 1 v n
n
n
d
s 1 (1 i ) (1 i ) n 1 1 (1 i ) n (1 i ) nபைடு நூலகம் 1
n
1 (1 i )
i
s (1 i ) (1 i ) n (1 i ) s 1 (1 i ) n
• 工具：现金流图
现金流 p 0
p1
p2
pn
时间坐标 0 t1
t2
tn
• 方法：建立现金流分析方程（求值方程） • 原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。
A(7)1000(1j)8e3 2000(1j)2e3 2000e2 10001.0258e0.0920001.0252e0.092000e0.06 5756
• 以第7年末为时间参照点，有
1 .0 6 6 4 1 .0 6 4 x 1 .0 6 1 0 x 3 .7 4 3 5
• 以第8年末为时间参照点，有
1 . 0 6 7 4 1 . 0 6 5 x 1 0 1 . 0 6 x 3 . 7 4 3 5
• 请同学们自己练习以其他时刻为时间参照 点
（2） (1i)2 1
6(舍去负根)
由(1i)2 1 6
i 20.4% （i 2.204舍去)
例1.7：求时间
• 假定i(12) 分别为12%、6%、2%
• 计算在这三种不同的利率场合复利计息， 本金翻倍分别需要几年？
i(12) 2% 时 ， (10.17% )12n2 n ln2 34.7
i
a 1 v v n 1 (1 i ) a 1 v n
n
n
d
s 1 (1 i ) (1 i ) n 1 1 (1 i ) n (1 i ) nபைடு நூலகம் 1
n
1 (1 i )
i
s (1 i ) (1 i ) n (1 i ) s 1 (1 i ) n
• 工具：现金流图
现金流 p 0
p1
p2
pn
时间坐标 0 t1
t2
tn
• 方法：建立现金流分析方程（求值方程） • 原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。
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味着递减的实际利率。
12
单利与复利
复利计息时，第 n期的实际利率为：
in
a(n)a(n1) a(n1)
(1i)n (1i)n1 (1i)n1
i (1i)n1 (1i)n1
i
结论：i n 关于 n为常数，即常数的复利意味
着恒定的实际利率。
13
单利与复利
对单利来讲，利息并不作为投资资金而再赚取 利息；对复利来讲，在任何时候，本金和到该时为 止得到的利息，总是用来投资以赚取更多的利息。
Actuarial Science
1.1 利息度量
1.1.1 实际利率和实际贴现率 1.1.2 单利和复利 1.1.3 名义利率和名义贴现率
保险精算
1
利息
所谓利息（Interest），是指在一定时期内借款 人向贷款人支付的使用资金的报酬。
利息的实质是资金的使用者付给资金所有者的 租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该 笔资金而蒙受的损失。
d i 1i
d(1i)i diid
v 1 1i
dv1
i d 1 d
d iv
7
实际利率与实际贴现率
用i n 表示从投资日算起的第n个度量期的实际利
率，则：
in
A(n)A(n1) A(n1)
其中，n为大于等于1的整数
用d n表示从投资日算起的第n个度量期的实际贴
现率，则：
dn
A(n)A(n1) A(n)
折现因子a 1(1) ,记为v
第n期利息I n
InA(n)A(n1)
Actuarial Science
利息度量：计息时刻不同
保险精算
5
实际利率与实际贴现率
某一度量期的实际利率（Effective annual rate） 是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时
投入的本金金额之比。通常用字母 i表示。
t 1时，相同单复利场合，单利计息比复利计 息产生更大的积累值，即1it(1i)t。所以短期 业务一般单利计息。
t 1时，相同单复利场合，复利计息比单利计
息产生更大的积累值，即1it(1i)t。所以长期 业务一般复利计息。
14
应用实例
例 某银行以单利计息，年息为2%，某人 存入5000元，问5(0.5)年后的积累值是多少？ 若以复利计算，其他条件不变，问5(0.5)年后 的积累值是多少？
一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得到 的利息金额与期末投资可回收金额之比。通常用字
母 d表示。
实际利率与实际贴现率的定义十分类似，都是 用来度量利息的。
6
实际利率与实际贴现率
某人以1本金开始一项业务，实际利率为i，则在 一度量期末可收回金额1i ，而利息（贴现）金额为
i，若这笔业务的实际贴现率为 d，则
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名义利率与名义贴现率
用i (m ) 符号记每一度量期支付m次利息的名义利
率。
所谓名义利率（Nominal interest）是指每1/ m
个度量期支付利息一次，而在每个度量的实际利率
为 i(m) / m。
即每一个度量期 i (m ) 的名义利率等价于每1/ m度
量期i(m) / m的实际利率。
20 2% 1000
d1AI(11)1200201.96% 1
i2AI(21)1300202.94% 1 d2AI(22)1300502.85% 7
9
Actuarial Science
利息度量：积累方式不同
保险精算
10
单利与复利
考虑投资一单位本金。
如果其在 t时的积累值为 ห้องสมุดไป่ตู้(t)1it
则该笔投资以每期单利计算，并将这样产生的 利息称为单利（Simple interest）。
15
Actuarial Science
利息度量：转换频率不同
保险精算
16
名义利率与名义贴现率
“实际”一词的主要含义在于，利息为每个度 量期支付一次，或在期初，或在期末，视具体情况 而定。然而，实际上有很多在一个度量期中利息支 付不止一次或在多个度量期利息才支付一次的情形。 这时，我们称相应的一个度量期的利率和贴现率为 “名义”的。
3
利息
t期积累函数（因子）a (t ) 1------------------------------a (t )
总量函数 A(t)
k------------------------------A(t ) a 1(t) ------------------------- 1
0
t
t期折现函数（因子）a 1(t)
其中，n为大于等于1的整数
8
应用实例
例 某人存1000元进入银行，第1年末存款 余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求i1 、i2 、d 1 、d 2分别等于多少？
解 A(0)1000A(1)1020 A(2)1050
I1A(1)A(0)20
I2A (2)A (1)50
则
i1
I1 A(0)
Interest
2
利息
影响利息大小的要素： 本金：业务开始时投资的金额 时期长度：从投资日开始到收回的时间跨度
度量期、期：年 业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻 的积累值（Accumulated value，或终值）。 为了在一定时间后得到某个积累值，而在开始 时投入的本金金额称为该积累值的现值（Present Value）
如果其在 t时的积累值为 a(t)(1i)t
则该笔投资以每期复利计算，并将这样产生的 利息称为复利（Compound interest）。
11
单利与复利
单利计息时，第 n期的实际利率为：
in
a(n)a(n1) a(n1)
(1in)[1i(n1)] 1i(n1)
1 1 i(n 1)
结论：i n 关于 n单调递减，即常数的单利意
1i
i(m) (1
)m
m
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名义利率与名义贴现率
时间点 0 1/m
2/m
解
单利 A ( 5 ) 5a 0 ( 5 ) 0 5 0 ( 1 5 0 2 % 0 5 ) 0 1 . 1 5 0元5 00 A ( 0 . 5 ) 5 0 0 0 a ( 0 . 5 ) 5 0 0 0 ( 1 0 . 5 2 % ) 5 0 0 0 1 . 0 1 5 0 5 0 元 复利 A (5 ) 50 a (5 0 ) 5 00 (1 0 2 % 0 5 5 ) 5 .4元20 A ( 0 . 5 ) 5 0 0 0 a ( 0 . 5 ) 5 0 0 0 ( 1 2 % ) 0 . 5 5 0 2 4 . 9 元
12
单利与复利
复利计息时，第 n期的实际利率为：
in
a(n)a(n1) a(n1)
(1i)n (1i)n1 (1i)n1
i (1i)n1 (1i)n1
i
结论：i n 关于 n为常数，即常数的复利意味
着恒定的实际利率。
13
单利与复利
对单利来讲，利息并不作为投资资金而再赚取 利息；对复利来讲，在任何时候，本金和到该时为 止得到的利息，总是用来投资以赚取更多的利息。
Actuarial Science
1.1 利息度量
1.1.1 实际利率和实际贴现率 1.1.2 单利和复利 1.1.3 名义利率和名义贴现率
保险精算
1
利息
所谓利息（Interest），是指在一定时期内借款 人向贷款人支付的使用资金的报酬。
利息的实质是资金的使用者付给资金所有者的 租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该 笔资金而蒙受的损失。
d i 1i
d(1i)i diid
v 1 1i
dv1
i d 1 d
d iv
7
实际利率与实际贴现率
用i n 表示从投资日算起的第n个度量期的实际利
率，则：
in
A(n)A(n1) A(n1)
其中，n为大于等于1的整数
用d n表示从投资日算起的第n个度量期的实际贴
现率，则：
dn
A(n)A(n1) A(n)
折现因子a 1(1) ,记为v
第n期利息I n
InA(n)A(n1)
Actuarial Science
利息度量：计息时刻不同
保险精算
5
实际利率与实际贴现率
某一度量期的实际利率（Effective annual rate） 是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时
投入的本金金额之比。通常用字母 i表示。
t 1时，相同单复利场合，单利计息比复利计 息产生更大的积累值，即1it(1i)t。所以短期 业务一般单利计息。
t 1时，相同单复利场合，复利计息比单利计
息产生更大的积累值，即1it(1i)t。所以长期 业务一般复利计息。
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应用实例
例 某银行以单利计息，年息为2%，某人 存入5000元，问5(0.5)年后的积累值是多少？ 若以复利计算，其他条件不变，问5(0.5)年后 的积累值是多少？
一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得到 的利息金额与期末投资可回收金额之比。通常用字
母 d表示。
实际利率与实际贴现率的定义十分类似，都是 用来度量利息的。
6
实际利率与实际贴现率
某人以1本金开始一项业务，实际利率为i，则在 一度量期末可收回金额1i ，而利息（贴现）金额为
i，若这笔业务的实际贴现率为 d，则
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名义利率与名义贴现率
用i (m ) 符号记每一度量期支付m次利息的名义利
率。
所谓名义利率（Nominal interest）是指每1/ m
个度量期支付利息一次，而在每个度量的实际利率
为 i(m) / m。
即每一个度量期 i (m ) 的名义利率等价于每1/ m度
量期i(m) / m的实际利率。
20 2% 1000
d1AI(11)1200201.96% 1
i2AI(21)1300202.94% 1 d2AI(22)1300502.85% 7
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Actuarial Science
利息度量：积累方式不同
保险精算
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单利与复利
考虑投资一单位本金。
如果其在 t时的积累值为 ห้องสมุดไป่ตู้(t)1it
则该笔投资以每期单利计算，并将这样产生的 利息称为单利（Simple interest）。
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Actuarial Science
利息度量：转换频率不同
保险精算
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名义利率与名义贴现率
“实际”一词的主要含义在于，利息为每个度 量期支付一次，或在期初，或在期末，视具体情况 而定。然而，实际上有很多在一个度量期中利息支 付不止一次或在多个度量期利息才支付一次的情形。 这时，我们称相应的一个度量期的利率和贴现率为 “名义”的。
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利息
t期积累函数（因子）a (t ) 1------------------------------a (t )
总量函数 A(t)
k------------------------------A(t ) a 1(t) ------------------------- 1
0
t
t期折现函数（因子）a 1(t)
其中，n为大于等于1的整数
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应用实例
例 某人存1000元进入银行，第1年末存款 余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求i1 、i2 、d 1 、d 2分别等于多少？
解 A(0)1000A(1)1020 A(2)1050
I1A(1)A(0)20
I2A (2)A (1)50
则
i1
I1 A(0)
Interest
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利息
影响利息大小的要素： 本金：业务开始时投资的金额 时期长度：从投资日开始到收回的时间跨度
度量期、期：年 业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻 的积累值（Accumulated value，或终值）。 为了在一定时间后得到某个积累值，而在开始 时投入的本金金额称为该积累值的现值（Present Value）
如果其在 t时的积累值为 a(t)(1i)t
则该笔投资以每期复利计算，并将这样产生的 利息称为复利（Compound interest）。
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单利与复利
单利计息时，第 n期的实际利率为：
in
a(n)a(n1) a(n1)
(1in)[1i(n1)] 1i(n1)
1 1 i(n 1)
结论：i n 关于 n单调递减，即常数的单利意
1i
i(m) (1
)m
m
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名义利率与名义贴现率
时间点 0 1/m
2/m
解
单利 A ( 5 ) 5a 0 ( 5 ) 0 5 0 ( 1 5 0 2 % 0 5 ) 0 1 . 1 5 0元5 00 A ( 0 . 5 ) 5 0 0 0 a ( 0 . 5 ) 5 0 0 0 ( 1 0 . 5 2 % ) 5 0 0 0 1 . 0 1 5 0 5 0 元 复利 A (5 ) 50 a (5 0 ) 5 00 (1 0 2 % 0 5 5 ) 5 .4元20 A ( 0 . 5 ) 5 0 0 0 a ( 0 . 5 ) 5 0 0 0 ( 1 2 % ) 0 . 5 5 0 2 4 . 9 元