第3章 聚合风险模型1
风险理论第1章效用理论与保险
实
布
概微
务
、
率积
风
论分
、、
02
Ⅰ
01
试准 科 第一章 效用理论与保险 2 第二章 个体风险模型 3 第三章 聚合风险模型 4 第四章 破产理论 5 第五章 保费原理
本章主要内容 本章从效用理论出发，研究风险决策的基本原
理以及在第保费一设章计中效的应用用理，并论分析与了保不同风险 险 态度的决策人的风险决策结果，最后应用期望效
上述不等式意味着保险人选用的效益函数是 个凸函数。
如果上面的不等号成立，那么他的期望效用将会提高。 如果用 P 表示保险人要求的最小保费，可从反映保险人
状况的效用均衡方程中解出：
如果U (x)是一个非减的连续函数，则有 P P 。
如果 P P，那么达成交易会同时增加被保险人与
保险人双方的期望效用。
相同的决策，即
等价于
效用函数的 确定
人们在做某个决策时，不自觉地使用这 效益函数，因此效用函数是客观存在的， 但却很难给出一个明确的解析式。
可以向决策人提出大量的问题，通过他 们对这些问题的回答来决定该决策人的 效用函数。
如“为了避免以概率q损失1个单位货 币，你愿意支付多少保费P？”
例 1.2.2（偏好风险与厌恶风险） 假设一个拥有资
如果上面的不等号成立，意味着他的期望效用将会提高。
如果用 P 代表被保险人愿意支付的最大保费，它是以下效 用均衡方程的解
E u w X u W P ， （1.10）
由于 u 是一个非减的连续函数，则有 P P 。
设保险人的效用函数为U ，原始本金为 W。
如费果P 承E 保U（损W失2）XP 。保X 险 U人W 方，那面么保：险人将以保
§3.3 集体风险模型
VarX 0.4 3.6 8 3.4 2 0.44
ES VarS 8 3.4 8 0.44 3.4 2 24 308.16
§3.3.2 S分布的精确求法
（一）、直接收集信息，建模拟合S的分布 （二）、分开研究个体理赔额X和理赔次数N 的分布，再研究S的分布。 1、该方法的优点 2、常见三种方法：卷积法、矩母函数法、拟 合法
f X (3)
⑵可分解性
若 S 是复合泊松分布，且个体理赔分布为 f X (x) . 假设理赔类型 C1 Cm ，对应理赔次数 N1 N m ，对应理赔额为 X (1) ,...X ( m)
( ( 则 S S1 S m ， Si X 1 i ) X Nii) i 1,...,m ； i P( X Ci )
i 1
m
S服从参数 i 且个体理赔分布为 f X ( x)
i 1
i f X ( x) 的复合泊松分布。
i
例3.11
1 1
设 S1 服从复合泊松分布， 1 10, f X (1) 0.7, f X (2) 0.3, S 2 也是复合泊松分布，
2 15, f X (1) 0.5, f X (2) 0.3, f X (3) 0.2, 若 S1 和 S 2 相互独立，求 S S1 S 2 的分布
N i 第 i 类型的理赔次数
则 Si 服从 i p( X Ci ) ，个体理赔分布为 X (i ) 的复合泊松分布
例3.12
设 S 服从复合泊松分布，
10, f X (1) 0.5, f X (2) 0.3, f X (3) 0.2, C1 ( X | X 2), C 2 ( X | X 2),
关于保险风险理论的研究
（） １
矩母 函数可以完全刻画随机变量 ｘ的分布特征 ：如果 的社会网络则具备了两个或以上社会网络的功能 ， 从而使得社会网 两个 随机 变量具有相矩母函数 ， 则它们 的分布函数也相同 。 络功能强化 。功能强化使得社会 网络 更好 的发挥 其社会功能 ， 创造 由于这种一一对应的关系 ，矩母函数便成为研 究随 机变量 社会价值。此外 ， 全民创业社会网络功能强化可以反作用于社会网 的一个得心应手的工具，以矩母函数表达的结论均可以转 矩母 函数有一个很好的性 质 ： 独 络 。功能强化为 强关 系的发生和增 强创造条件 ， 使得尚未发生强关 换成关于 分布 函数的关系 。
＝Ｆ１
＝ ｊ Ｆ一 Ｆ ”
（） ｎ
ｊ ２ ３ 一 ｎ ＝
，
Ｆ ＝Ｆ
７ ４８
《 ３代经济》Ｏ１ ０ 下） ＂ － ２１ 年１ 月（
瑗 论 探 索
＿＿ ＿ ＿ ＿ ● － － ＿＿ ＿ ＿ ｌ ＿ ＿＿ ＿ ＿ ● ● ■＿ ● ● ●
ＣＯＮ ＴＥＭ ＰＯＲＡ ＲＶ ＥＣＯ Ｎ
，
，
给定时间内保单的总理赔量为 ｓ则有： ，
二 ｓ ｘ １ ＋ｘ ２ ＋… ＋ｘ ＝ ｘ
。
设各年内的理赔总量均是复合 Ｐｉｏ 变量， ｏｓ ｓｎ 但各年理赔总量的 分布可能不同，则定理表明 ： ｍ年期的总理赔量也服从复合
（） ５
Ｐ ｉｏ ｏｓ ｎ分 布 。 ｓ 三、 长期 聚合 风 险模 型
【 关键词】风 险理论
一
风险模型 破 产概 率
、
短期 个别 风 险模 型
１ 函数 分 析 、
矩母函数对于一个 非负随机变量 ｘ，其分布 函数 为 Ｆ （ ）其矩母函数定义为 ： Ｘ， 会 网络结构 ； ， 其次 在强关 系弱关 系作用下 ， 使得社会网络不断进行
短期聚合风险模型
解
N：{0,1,2,3} N=n 0 1 2 3 fN(n) 0.1 0.3 0.4 0.2 X=x fX(x) X：{1,2,3} 1 0.5 2 3 0.4 0.1
因N最大为3，X最大为3，所以S最大为9。 fS(x)=Pr(S=x)=∑n=0,1,2,3f*n(x)fN(n) f*n(x)=Pr(X1+X2+…+Xn=x) =∑all y≤x Pr(X1+X2+…+Xn-1+Xn=x|Xn=y)Pr(Xn=y) =∑all y≤x f*(n-1) (x-y) f(y) 特别地，f*0(x)=Pr(0=x) 当且仅当x=0时, f*0(0)= 1 f*1(x)=Pr(X1=x) f*2(x)=Pr(X1+X2=x) f*3(x)=Pr(X1+X2+X3=x)
第三节 总损失S的分布
X的k阶原点矩为 pk=E[Xk]； X的矩母为Mx(t)=E[etX]; N的矩母为MN(t)=E[etN]; S的矩母为MS(t)=E[etS]; E[S]=E[E[S|N]]=E[E[∑Ni=1Xi|N]]=E[NE[Xi]]=E[Np1]=p1E[N]; Var[S]=E[Var[S|N]]+Var[E[S|N]]=E[Nvar[X]]+Var[NE[X]] =E[N]Var[X]+Var[N](E [X] )2 =(p2-p12)E[N]+p12Var[N];
个体模型： S=X1+X2+…+X10 其中 Xi为第i个风险载体的损失量。 S= 第1号个体损失+第2号个体损失 +……+第10号个体损失 = 0+1.24+1.19+0+0.30 +0+(0.65+2.47)+0+0+0 =5.85 聚合模型: S=X1+X2+…+X5 其中 Xi为第i次事故导致的损失量； S=第1次事故损失+第2次事故损失 +…+第5次事故损失 =0.65+1.24+1.19+0.30+2.47 =5.85
聚合风险模型
可以证明，方法（1）下得到索赔的方差大约
等于方法（2）的方差的80 % ．
如果我们没有用正确的方法，而是用上述前一
种方法来计算停止损失保费，那么对于那些比期望
理赔大的自留额来说，其停止损失保费就会大约少 20 %。
2 下面将对 N , 分布来检验经验法则 3 . 10 . 1 ，记： 2 2 （1） d ; , 为服从 N , 分布的随机变量的停止损失保费，
自留损失的矩 的计算：注意到下面的等式
由此可得：
由此可以计算停止损失赔付下自留损失S S d 的矩
如何算啊？
例3 . 9 . 4 （停止损失保费的NP 近似）对于某些随机 变量， X>y 的概率用NP 法来近似的效果会相当．那 么可否对X 的停止损失保费也给出一个近似呢？
效果会非常好．
对 u 1 和
y 1，定义如下一个辅助函数
则有： （ 1） （ 2）
q u u
和
q w y y
.
q .
和
w .
都是单调增的，并且
q u y w y u.
设 Z 是一个具有均值 0 ，标准差 1 和偏度 0 的随机变量．
例 3. 9 . 5 ( CLT 和 NP 停止损失近似的比较)求满足到
E[ X ] 0, Var[ X ] 2 1 ,
1 1
以 及 偏 度 分 别 为
0, , ,1, 2, 4 的随机变量 X 的停止损失保费的近似值， 自留 4 2
额分别取为 d = 0 ，1，… ，4 .
（2） . .; 0,1 ， （3）记到 . 为 N ( O , l ）的分布函数， . . 为相应的概率 密度函数．
风险理论——精选推荐
第一章风险与风险决策理论第一节风险的含义一、风险的含义▪在不同的领域关于风险的定义不同。
▪在保险学中，风险通常被定义为“潜在损失的概率”或“不确定后果之间的差异程度”等等。
▪在投资分析中，由于损失与盈利总是相互关联的，风险常被分为纯粹风险和投资风险两种。
▪有人主张风险是客观存在的，因而应该被客观的度量，也有人强调风险是因人而异的主观概念。
▪对风险附加各种特殊的含义以适应其在不同领域中的应用，如社会风险、政治风险和自然风险等等。
▪等等▪风险是自然状态的不确定性（Uncertainty）与人的行为相结合而蕴含的某种后果；是相对于面临着某种不确定性状态的某个人或某些人而言的。
▪与风险直接有关的三要素：（1）自然状态的不确定性；（2）人的主观行为；（3）自然与人结合所蕴含的潜在后果。
▪最常见的三种情况：（1）从当事人或决策者的角度出发讨论潜在后果以及其所对应的不确定性，而且往往是关心不利的潜在后果；（通常的风险理论，我们主要讨论的内容）（2）从某个决策问题出发，讨论一个决策者面对某种风险的反应或态度，常称之为风险态度（Risk Attitude），或者比较一群人各自风险态度之间的差异；（度量和比较决策这个对风险的态度是风险研究的重要组成部分）（3）参照某个决策者的问题和目标来讨论每项备选方案的风险大小。
（投资分析和管理决策的核心内容）二、保险精算问题保险业务通常分成寿险和非寿险；寿险以被保险人的生命为标的，以生死为事故；非寿险是指除了寿险外的一切保险业务。
二者关系：虽然二者在本质上都是保险，但人寿保险的保修期相对较长，损失分布规律也相对比较稳定；而非寿险则多为短期保险，标的的损失情况也五花八门，损失情况较为复杂。
无论是人寿保险还是非寿险，在其经营和管理的过程中都需要在各个环节和各种层次上作一系列的管理决策，这就是保险公司内控系统中的核心问题，也称为精算问题：即如何制定合理的保费；如何提留适当的准备金；如何确定自留风险和安排再保险，等等。
风险集市模型指标
风险集市模型指标风险集市模型是一种通过交易合约来管理和转移风险的金融模型。
它的出现为金融市场带来了更多的灵活性和创新性。
在风险集市模型中，各方可以通过交易合约来买卖风险，并根据市场需求和预期来确定价格。
这种模型为风险管理提供了更多的选择，使得市场参与者能够更好地管理自身风险，实现风险的有效转移和分散。
在风险集市模型中，有许多重要的指标被用来衡量和评估风险的程度和价值。
这些指标的准确度和全面性对于风险管理至关重要。
下面将介绍一些常用的风险集市模型指标。
1. 风险价值（Value at Risk，VaR）：VaR是衡量在给定置信水平下的最大可能损失的指标。
它通过对市场价格的历史数据进行分析，给出了在一定置信水平下的最大可能损失金额。
VaR的计算可以帮助投资者评估自身的风险承受能力，并制定相应的风险管理策略。
2. 预期损失（Expected Loss，EL）：EL是衡量在给定期望收益下的平均损失的指标。
它是对损失的数学期望，可以帮助投资者更好地了解风险的平均程度。
EL的计算可以帮助投资者评估投资组合的整体风险水平，并制定相应的风险控制措施。
3. 杠杆率（Leverage Ratio）：杠杆率是衡量资本结构和财务稳定性的指标。
它是企业的总负债与净资产之比，可以反映企业的债务风险水平。
杠杆率越高，企业的债务风险越大。
在风险集市模型中，投资者可以通过监控杠杆率来评估风险的程度，并做出相应的风险调整。
4. 流动性风险（Liquidity Risk）：流动性风险是指资产或证券在市场上买卖的便利程度。
在风险集市模型中，流动性风险是一个重要的指标，可以帮助投资者评估市场交易的风险和成本。
较高的流动性风险意味着买卖交易的成本较高，投资者需要更加谨慎地进行交易。
5. 信用风险（Credit Risk）：信用风险是指债务人无法按照合约规定的方式履行债务义务的风险。
在风险集市模型中，信用风险是一个重要的指标，可以帮助投资者评估债权人的偿付能力和风险水平。
也能做精算actuar
用R也能做精算—actuar包学习笔记（三）李皞（中国人民大学统计学院风险管理与精算）3 风险理论本部分主要介绍风险理论中的聚合风险模型。
在机动车保险中，对于一辆或一批机动车，其每年发生的事故次数服从一个离散分布，每次事故的损失金额服从一个离连续分布。
那么，这一年总的损失额可以表示为：(1)可以看出是一个随机和，我们把事故次数的分布称作索赔频率分布（frequencydistribution），每次损失额的分布称作索赔强度分布（severity distribution），的分布称为复合分布（compound distribution）。
上一小节讲如何估计分布的参数，假设我们已经将频率分布和强度分布的参数估计出来了，那么现在的问题就是如何得到总损失额的分布，事实上，就保险公司的整体运营来讲，精算师可能更关心这个分布。
对于的分布，我们有：(2)其中，是频率分布，是强度分布，是强度分布的n重卷积。
如果随机变量仅在0，1，2…取值，那么n重卷积的计算方法如下：(3)3.1 连续分布的离散化为什么要对连续分布进行离散化？通常我们假设索赔强度分布是连续分布，虽然理论上可以这么讲，但是实际操作中通常会采用一些数值计算方法来计算复合分布，这些方法要求索赔强度具有离散的分布，因此需要对现有的连续分布进行离散化处理。
在某种程度上，离散化更加接近实际，比如损失额通常是整数倍的货币单位。
所谓离散化就是将连续分布的支集区域划分为若干小区域，然后以这个区域中的某一个点代替原来连续分布在这片区域的取值概率。
这个“代表点”可以是这个区域的左右端点，也可以是区域中点。
此外，通常只对分布的“主体”进行离散化，什么叫做分布的“主体”？以正态分布为例，其分布的支集为，显然不可能对其所有取值范围进行离散化，由于正态分布在两侧的取值概率很小，可以忽略不计，我们于是可以以均值为中心，以若干倍标准差为半径划定一个区域，在这个区域上进行离散化，这个区域上的分布函数就是该分布的“主体”，区域的大小则依赖于研究的精确程度。
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（3）如果取
i qi
，则在两个模型中保单 i 的期望赔付次
i log 1 qi qi
数相同．为了安全起见我们也可以取
．
•在聚合模型和个体模型下保单i发生0理赔的概率相等． •比原先模型下有更大的理赔总额，因此，隐含了差额。
（4）尽管上式仍然具有个体模型的形式，由定理3.4.1
Panjer 递推
定理3.5.1( Panjer 递推) 考虑这样一个复合分布，其中
理赔额取非负整值，具有概率分布函数 p x , x 0,1, 2,,
而且事件“有n个理赔发生”的概率满足递归式
这里a 和b 是两个实数．于是事件“理赔总额等于s” 的概率满足如下关系式：
1 . Poisson 分布， a 0, b 0 ，
理赔 bi ．
建立一个聚合模型来近似所有保单产生的
总损失和总收益．
b （1）保单 i 导致赔付i 的次数为 I i Bernoulli qi 分
布， 我们现在用一个 Poisson i 随机变量来替代赔付
bi 的次数Ii ．
在个体模型中，考虑理赔总额
（2）考虑下面的近似随机变量：
例 3 .3 .2（负二项分布也是复合泊松分布）
在某个交叉路口
N Poisson
一年之中发生 N 次重大交通事故．第 i 次事故中伤亡人数是
Li Li
，所以总伤亡人数为
S L1 L2 LN
．设
,
服从参数为 c 的对数分布，即
其中 h c log 1 c 。现问 S 的分布是什么？
逆高斯分布 IG( , )
X 0, 分布函数为
当x
0 时其极限为 0 ；
而当 x 时其极限为 1。
导数在 0, 上取正值，具有如下形式：
矩母函数
矩母函数在 t 2 处有穷，而在t 该 分布累积量母函数的反函数．
2
处无穷．
逆高斯”这个名字源于其累积量函数是正态 “
第3章 聚合风险模型
3.1 引
言
本章我们要引入聚合风险模型.同第2章那样，我们要
计算在某个时间段内理赔总额的分布函数，但是现在
要把风险组合理解为在随机时间点上产生的理赔全体. 记 其中N 表示理赔次数， X i 表示第i个理赔额．
此外，按习惯约定当N = 0 时S = 0.
这样的模型称为聚合风险模型！
给出．记
Tk X1 X k . 由对称性得
另一种方法
Poisson 分布，此时 a 0, b 0 ，被简化为
例 3.5.3 （Panjer 递推） 续例 3.4.3，考虑复合泊松分布，其中
4且
Pr X 1, 2,3
1 1 1 1 1 4, p 2 , , p 1 p 3 4 2 4． 4 2和 于是把
例 3.3. l（泊松分布，参数的不确定性） 设某个汽车驾驶员
在一年中发生的车祸次数服从一个 Poisson 分布．参数 未知，
且因人而异．我们设 是一个随机变量 ．如果给定 ，一年
中车祸的次数 N 的条件分布是Poisson ， 那么 N 的分布是什么？
的分数部分的影响是可以忽略不计的.
为使用近似方法，我们需要S 的半不变 量． 记 k 为理赔额分布的k阶矩，对于复合泊松分布， 我们有
tk 我们知上式 的系数即为所需要的半不变量 k!
偏度
个体和聚合风险模型
• 考虑n个一年期寿险保单．
• 第i个被保人在年内死亡的概率为qi ．
• 如果第i个被保人在年内死亡则保险公司应支付
非负整值随机变量，可以用一种有效的方式来计
算复合泊松分布F．
设 4 , Pr X 1, 2,3 4 , 2 , 4 .
1 1 1
S 1N1 2 N 2 3N3
采用卷积来计算S 的分布。
1 4
1 1 1 1, 2 4 2, 3 4 1 4 2 4
损失保费是逐段线性的．当d 取非整数值时停止损失
保费的计算可以通过插值法来完成．
利用Panjer 递归法，停止损失保费也可以通过递归求 得．事实上，由（3.34）的后一式，对整数d,
作为一个例子，我们取复合Poisson(1)分布,其中
p 1 p 2 1 2
于是Panjer递推公式（3.31）可以被
Pi , i 1, 2, , m
分布
，那么 S =
S1 S2 Sm
仍是一个复合
泊松随机变量，具有参数
证明 记 mi 为 Pi 的矩母函数，则S的矩母函数为
故S是一个复合泊松随机变量.
(1)m个独立复合泊松保单组合的总和仍然服从复合泊松
分布. (2)对同一个复合泊松保单观测m年且假设逐年的结果相 互独立，则m年结果的总和也仍然服从复合泊松分布．
注意到 Li 的矩母函数是
于是S 的矩母函数为
这是一个参数为 / h c / log 1 c 和 1 c 的负二项分布的矩母函数．
复合泊松分布
定理 3.4.l 复合泊松的和仍是复合泊松） 如果S1 , S2 ,, Sm （
是一列独立的复合泊松随机变量， 分别具有参数 i 和理赔
可知S服从复合泊松分布，S对应于聚合模型，其参数
为
如果 i qi ，则期望赔付次数保持相等：
S 和 S 的期望也是相等的：
S 和 S 的方差：
S略大一些
3.8 几个理赔额分布的参数族
1 ．伽玛分布 ( , ) ：适用于理赔分布的尾概率不是太 “重”情形，例如在机动车险中保对自己车辆损伤情况； 2 ．对数正态分布 LN ( , 2 ) ：适用于理赔分布的尾概率略微 重一些的情形，例如火险中的理赔额； 3 . Pareto ( , x0 ) 分布：在发生大理赔的可能性很大时用这 个分布，特别是在责任险中．
把 上 式 对所 有 的 n i k 相 加， 可 求 出 N k 的 边 际 分布为
i
Poisson k
． N i 之间的独立性是由于 Pr N
1
n1 , , N m nm
等于
Ni ni
的边际概率的乘积．
例3.4.3（应用：稀疏向量算法） 如果理赔额X 是
代入 Panjer 递推公式得到
初始值 f 0 e4 0.0183．我们有
例3.5.4 （Panjer 递推与停止损失保费） 对于一 个整值随机变量S , 其值整取自留额的停止损失保 费可以表示为（见1.4节）:
既然停止损失保费的右导数满足
而按照自留额所在的区间分布函数取常数值，故停止
2
2
设理赔额服从指数
Exp 1
分布，即 1,1 分布.
卷积的分布为： (n,1)
理赔次数的分布
• 理赔发生应该是一个“稀有事件”。 • 泊松分布，负二项分布是较好的选择。 泊松分布P(λ )
P( N k )
k
k!
e , E[ X ] Var[ X ] , E[e tX ] exp( e t 1)
这是一个在0点有跳度p 而在其它处为指数型的分布 函数．
利用给定N = n 之下S 的条件分布，可计算分布F :
因此
当选取的X 为某些特殊的随机变量时，n重卷积 比较容易计算，如正态分布和伽玛分布。
(1) n 个服从 N , 分布的独立随机变量和的分布为N n , n ； (2) n 个服从 , 分布的独立随机变量和的分布为 n , .
1
2
,
是一列独立 Poisson 1 随机变量，X
ij1, 2, 是一列相互独立且具有共同分布 P 的随机变量，
那么对整数值 ，有
上中的S是 个独立同分布的随机变量的和，我们可
以直接应用中心极限定理．注意到在上面取 为整数
值的做法是不失一般性的，这是因为当很大时对应
(1) N 1 , N 2 , N m 相互独立； (2) N i 服从 Poisson i 分布。
证明
记 N N1 Nm , n n1 nm .对 N = n 取条件得
N1 ,, N m 的条件分布为多项分布 M n, 1 ,, m ．于是，
负二项分布N(r,p)
r k 1 r r (1 p) r (1 p) p (1 p) k , E[ X ] P( N k ) , Var[ X ] , 2 k p p r p E[e tX ] 1 (1 p)e t
t s 1 的系数，我们有 比较
如何用Panjer递推公式计算卷积???
复合分布的近似
定理 3.6.1（复合泊松分布与中心极限定理） 设 S 服从 P 复合泊松分布，其参数为 ，理赔分布 具有有限方 差．记
E S
和
2 Var S
，则
证明
如果 N , N
（1）由（3.1）给出的S 具有一个复合分布。 （2）记：
（3）利用给定N 之下S 的条件分布，可以计算S 的期望值．
（4）总理赔额的方差可以由条件方差的公式得到。
（5）同样技巧可以求出总理赔额S 的矩母函数。
例3 . 2 . l （分布函数具有封闭形式的复合分布） 设N 服从参数为p 的几何分布，0 < p < 1 , X 服从参数为1 的指数分布，那么S 的分布函数是什么？
设Λ的分布函数为 U Pr ，则N 的分布为