2018-2019学年湖南常德芷兰实验学校高一上学期期中考试数学试题

2018-2019学年湖南常德芷兰实验学校高一上学期期中考试
数学试题
一． 选择题（每小题4分）
1．设集合A={x|1<x<2}，B={x|x<a}满足A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[2，+∞）
B ．（﹣∞，1)
C ．[1，+∞）
D ．（2，+∞)
2.下列结论正确的是( )
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C.若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是正六棱锥
D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
3.设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b
＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100
4.函数y ＝x |x |
·a x (a ＞1)的图象的大致形状是(
)
5.下列各组函数是同一函数的是（）
①()f x
()g x =()f x x =
与2()g x =
； ③0()f x x =与01()g x x
=；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。

A.①②B.①③C.③④D.①④
6.已知01,1a b <<<-,则函数x
y a b =+的图像必定不经过（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 7.已知(3),1()log ,1a
a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩是R 上的增函数，那么a 的取值范围是（）
A.(1，3)
B.3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
C.[32，3)
D.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
8.已知)3(log )(2
2a ax x x f +-=在),2[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）
A. (]4,∞-
B. ]4,4(-
C. ),4()4,(+∞⋃--∞
D. []4,4-
9．已知函数x x f 23)(-=，x x x g 2)(2-=，构造函数)(x F ，定义如下：当)()(x g x f ≥时，)()(x g x F =；当)()(x g x f <时，)()(x f x F =，那么)(x F ( )
A ．有最大值3，最小值-1
B ．有最大值3，无最小值
C ．有最大值7-
D ．无最大值，也无最小值
10．某四面体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中的最大面的面积为( )
A ．2 2
B ．4
C ．2 3
D ．2 6
11．已知三棱锥A BCD -中，AB CD ==AC BC AD BD ====，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )
A ．4π C ．2π D 12ABCDA 1
B 1
C 1
D 1是棱长为1SABCD 是高为1的正四棱锥，若点S ，A 1，B 1，C 1，D 1在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A.916π B ．2516πC.4916π D ．8116
π 二．填空题（每小题4分）
13.已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为 ．
14.若函数f （x ）=4x 2
﹣mx+5﹣m 在[﹣2，+∞）上是增函数，则实数m 的取值范围为 ．
15.函数y=212log (412)x x +-的单调递增区间是 _______ .
16.直线y ＝1与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 _______ .
三．解答题（共56分）
17.（8分）在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．
18.（8分）设集合A={x|x 2+4x=0}，B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}，若A ∩B=B ，求a 的值．
19．（10分）设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x
－1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值
20.（10分）已知()()
212log f x x mx m =--．
（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围；
（2）若函数()f x 在区间12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭
上是递增的，求实数m 的取值范围．
21.（10分）已知定义域为R 的函数()122x x b f x a
+-+=+是奇函数。

（1）求a ，b 的值；
（2）若对任意的t ∈R ，不等式()()
22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围。

22.（10分）已知函数f （x ）=x 2-4x +a +3，a ∈R ；
（1）若函数y =f （x ）在[-1，1]上存在零点，求a 的取值范围；
（2）设函数g （x ）=bx +5-2b ，b ∈R ，当a =3时，若对任意的x 1∈[1，4]，总存在x 2∈[1，4]，使得g （x 1）=f （x 2），求b 的取值范围．
期中考试答案 1-6 ADABCA 7-12 CBCCDD 13.11,2⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
14.(],16-∞- 15.(),6-∞- 16.51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
17.[解析] 过点C 作CE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，
∵∠ADC ＝135°，∴∠EDC ＝45°.
又∵CE ⊥DE ，∴CE ＝ED ＝2.
易得CF ＝4，BF ＝3，∴BC ＝5.
四边形ABCD 绕AD 旋转一周所形成的几何体是以EC ，AB 为底面半径，EA 为高的圆台，去掉一个以EC 为底面半径，ED 为高的圆锥，
∴S 表＝25π＋42π＋π(10＋25)＝60π＋42π， V ＝π3(22＋22×52＋52)×4－13π×22×2＝
1483π. 18．【解答】解：根据题意，集合A={x|x 2+4x=0}={0，﹣4}，
若A ∩B=B ，则B 是A 的子集，
且B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}，为方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的解集，
分4种情况讨论：
①、B=∅，△=[2（a+1）]2﹣4（a 2﹣1）=8a+8＜0，即a ＜﹣1时，方程无解，满足题意； ②、B={0}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根0，
则有a+1=0且a 2﹣1=0，解可得a=﹣1，
③、B={﹣4}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根﹣4，
则有a+1=4且a 2﹣1=16，此时无解，
④、B={0、﹣4}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个的实根0或﹣4，
则有a+1=2且a 2﹣1=0，解可得a=1，
综合可得：a=1或a ≤﹣1．
19解 令t ＝a x
(a >0且a ≠1)，
则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2 (t >0)． ①当0<a <1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a ，1a ，
此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．
所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12
－2＝14.
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13.
又因为a >0，所以a ＝13.
②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，
此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上为增函数．
所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2
－2＝14，
解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.
20.解：（1）由函数的定义域为R 可得： 不等式x 2-mx -m ＞0的解集为R ，∴△=m 2+4m ＜0，解得-4＜m ＜0， ∴所求m 的取值范围是：m ∈（-4，0）．
（2）由函数f （x ）在区间上是递增的，
得：g （x ）=x 2-mx -m 区间上是递减的，且g （x ）＞0在区间上恒成
立； 则，解得． 21.(1)a=2,b=1 (2)1
3k <-
22.解：（1）∵f （x ）=x 2-4x +a +3的函数图象开口向上，对称轴为x =2， ∴f （x ）在[-1，1]上是减函数，
∵函数y =f （x ）在[-1，1]上存在零点，
∴f （-1）f （1）≤0，即a （8+a ）≤0，
解得：-8≤a ≤0．
（2）a=3时，f（x）=x2-4x+6，
∴f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，
∴f（x）在[2，4]上的最小值为f（2）=2，最大值为f（4）=6．
即f（x）在[2，4]上的值域为[2，6]．
设g（x）在[1，4]上的值域为M，
∵对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得g（x1）=f（x2），∴M⊆[2，6]．
当b=0时，g（x）=5，即M={5}，符合题意，
当b＞0时，g（x）=bx+5-2b在[1，4]上是增函数，
∴M=[5-b，5+2b]，
∴，解得0＜b≤．
当b＜0时，g（x）=bx+5-2b在[1，4]上是减函数，
∴M=[5+2b，5-b]，
∴，解得-1≤b＜0．
综上，b的取值范围是．。