人教版高中数学全套教案导学案142正弦余弦函数的性质

1.4.2正弦、余弦函数的性质教学目标： 1、知识与技能掌握正弦函数和余弦函
数的性质． 2、过程与能力目标通过引导学生观察正、余弦函数的图像，从而发现正、余弦函数的性质，加深对性质
的理解．并会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间． 3、情感与态度目标渗透数形结合思想，培养学生辩证唯物主义观点．
、偶性和单调性。

教学重点：正、余弦函数的周期性；正、余弦函数的奇正、余弦函数周期性的理解与应用；正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应教学难点：用。

)正弦、余弦函数的性质(一
教学过程：一、复习引入：1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？（2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：
?3???3自变量???????02?2x2222:][来源函数值00000111??1xsin y
–1
x?????????52?2?5O ?221?–
,Z,X,X,K][科来源学f(x)?sinx性质如下：正弦函数
（观察图象） 1?正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2?规律是：每隔2?重复出现一次（或者说每隔2k?,k?Z重复出现）
3?这个规律由诱导公式sin(2k?+x)=sinx可以说明来:ZXXK]结论：象这样一种函数叫做周期函数。

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
???Zk?2k x)?sinx?2?kf(x)x?2xf(?k)sin(．时，）总有增加符语言：当（?k2x时，正弦函数
的值又重复出现；增加）当自变量1（也即：
?x)?sin2kxsin(x?恒成立。

，（2）对于定义域内的任意余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、讲解新课：
f x)，如果存在一个非零常数T，使得当x1．周期函数定义：对于函数取定义域内的每(f xf xf x)就叫做周期函数，非零常数(T)那么函数一个值时，都有：叫做这个(+T)=(函数的周期。

????22Rx?)?sin(?sinx?siny，有，能否说问题：（1）对于函数是它的周期？
3663?x?Rk2k?Z xsiny?是不是周期函数，如果是，，）正弦函数周期是多少？（，（2k?0）且*kT Z?kf()x)f(x T的周期，则吗？为什么？，的周期为（3）若函数也是
f(x)?f(x?T)?f(x?2T)??f(x?kT)）（是，其原因为：
2、说明：1?周期函数x?定义域M，则必有x+T?M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
f xf xf x)）?)就不为周期函数（如 ( 2?“每一个值”只要有一个反例，则((+t)00 3?T 往往是多值的（如y=sinx 2?,4?,…,-2?,-4?,…都是周期）周期T中最小f x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）( 的正数叫做y=sinx, y=cosx的最小正周期为2?（一般称为周期）
?2Rx?x?R x?sinyxcosy?；；的最小正周期为，，从图象上可以看出
f(x)?c没有最小正周期）（判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？
3、例题讲解
?1)??2sin(xyx2sincosxy??y3，）②（求下列三角函数的周期：例1 ①362x?R．
?)?23cosx3cos(x?，解：（1）∵?x?2Rx?xxy?3cos的值才能重复出现，，∴自变量只要并且至少要增加到，函数
?2Rx?x3cosy?．所以，函数，的周期是
??)?sin?2x2(sin(2x?2)?sinx，2（）∵?x?R x?x xsiny?2的值才能重复出现，，，函数只要并且至少要增加到∴自变量
?Rx?x2?siny．的周期是，所以，函数
???111??)?]?2sin(x?2sin(x?2sin[(x??)?2)，）∵（3
626226?x?R x?x x?sin2y的值才能重复出现，，∴自变量，只要并且至少要增加到函数
?Rx?xsin2y?．的周期是，所以，函数练习1。

求下列三角函数的周期：
??x) 2? y=cos2x 3?1? y=sin(x+ y=3sin(+)
253? 2 (z) f??+z)=sinz 即：f+z)=解：1?令z= x+( 而 sin(23?? 2)?[(x++
∴周期T=2? ]=ff(x+) 33f x)=cos2x=cosz=cos(z+2?)=cos(2x+2?()=cos[2(x+?)]
z=2x 2?令∴f xf x) ∴T=?)=?即：(( +[来源:]??xx x)=3sinz=3sin(z+2?)=3sin(+(+2?+ 则：f) 令 3?z=2255??4x?f x+4?=3sin() ∴T=4?)= (?25思考：从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关？
??????x?R,x?cos(,)y?Asin(?xA)y?A（其中及函数一般结论：说明：（1）函数，?2?0?0?A?T；）
的周期为常数，且，??1?x0?R?)?2sin(?xy?)?2xy?sin()?xy?3cos(．；②，（2）若；，
如：①③26则这三个函数的周期又是什么？?2R?x?????T)xAy?cos(y?Asin(x??)，的周期及函数一般结论：函数?||??)+2cos(3x-) 2?y=|sinx| 1思考：求下列函数的周期：?y=sin(2x+46???2) 最小正周期T=? y=2cos(3x-) 最小正周期y解：1? =sin(2x+ T= 2121436∴T为T ,T的最小公倍数2?∴T=2?
? T=?作图
21 2
-面P36三、巩固与练习
四、小本节课学习了以下内容：结：周期函数的定义，周期，最小正周期
五、课后作业：
正弦、余弦函数的性质(二)
教学过程：
一、复习引入：
偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？
二、讲解新课：
1.奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？
(1)余弦函数的图形
当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。

????11)=,f()= ,即f(-例如：f(-)=f()；……由于cos(－x)=cosx ∴
333322(x).
ff(-x)=,,那么x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点以上情况反映在图象上就是：如果点（是偶y=cosxy=cosx的图象上，这时，我们说函数轴的对称点与它关于y(-x,y)也在函数函数。

(2)正弦函数的图形
的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？观察函数y=sinx说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对这个事实反映在图象上，称。

那么与它关于原点对称的点也就是说，如果点（x,yy=sinx的图象上任一点，）是函数的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。

y=sinx（-x,-y）也在函数
2.单调性??3,xxy］的图象上可看出：∈［－从sin＝，22??xx的值由－1增大到，］时，曲线逐渐上升，sin当∈［－1. 22??3xx的值由1减小到－］时，曲线逐渐下降，sin当1.
∈［，22结合上述周期性可知：
??kkk∈Z)］(π，＋正弦函数在每一个闭区间［－2上都是增函数，其值从－＋2π
22??3kkk∈Z)上都是减函数，π］＋在每一个闭区间［2(π，＋2；1增大到122其值
从1减小到－1.
kkk∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到(［余弦函数在每一个闭区间(21)－π，2π］1；kkk减小到1上都是减函数，其值从Z)∈(］π1)＋(2，π2在每一个闭区间［
－1.
3.有关对称轴
观察正、余弦函数的图形，可知
???k?k k∈Z
∈y=sinx的对称轴为x=Z y=cosx的对称轴为x= k2y?3sin2x的对称轴；）写出函数练习1。

（1?)x?y?sin(的一条对称轴是（ C （2））4????x?x直线(A) x轴，(B) y轴， (C) 直线， (D) 44
题。

11思考：P46面
例题讲解4.判断下列函数的奇偶性例1
1?sinx?cosx2);?sinx)?lg(sinx?1(fx;?(fx) (1) (2)
cosxsinx?1?
例2 函数f(x)＝sinx图象的对称轴是；对称中心是.
例3．P38面例3
例4 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0；
??2317??)?cos()??cos()sin(sin(?)??①②510418?1)??y2sin(x 例5 求函数的单调递增区间；32?1??]????ysin(x)x[2,2思考：你能求的单调递增区间吗？23
：习练2P40面的练习,Z,X,X,K],:[来源学科
正弦、余弦函数的性质结：本节课学习了以下内容：三、小
1．单调性
2．奇偶性
3．周期性
四、课后作业：。