江苏省灌云县第一中学高二数学必修五课件：1.3 正弦定理、余弦定理的应用(1)
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高中数学 1.3 正弦定理、余弦定理的应用配套课件 苏教版必修5
教 师 备 课 资 源
菜单
SJ ·数学 必修5
教
学
易
教
错
法
易
分 析
●教学建议
误 辨
析
教 学
在学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些 当
方
堂
案 设
类型的三角形的基础上，让学生尝试绘制知识纲目图．生活
双 基
计
达
中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌 标
课
前
自 握前一节内容是学好本节课的基础．解有关三角形的应用题 课
主
时
导 学
有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，
作 业
课 堂 互 动 探 究
从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会． 教
师 备 课 资 源
菜单
SJ ·数学 必修5
教
学
易
教
错
法 分
测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分
易 误
析
辨
教 清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念， 析
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
2.过程与方法
辨 析
教
学
(1)本节课是解三角形应用举例的延伸，利用正弦定理、 当
方
堂
案 设
余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题；
双 基
计
达
课
(2)让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理 标
前
自 解，提高创新能力；进一步培养学生学习数学、应用数学的 课
主
时
正弦定理、余弦定理的应用课件(45张) 高中数学 必修5 苏教版
1. 如图， A， B， C， D 都在同一个与水平面垂直的平面内， B、 D 为两岛上的两座灯塔的塔顶． 测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° ，30° ，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60° ， AC＝ 0.1 km.试探究图中 B， D 间距离与 另外哪两点距离相等，然后求 B， D 的距离 (计算结果精确到 0.01 km， 2≈1.414， 6≈2.449)．
(3)水平距离、垂直距离、坡面距离、坡度和坡角 如图所示，BC代表水平距离，AC代表垂直距离，AB代表坡 面距离．
垂直距离 坡度＝ . 水平距离 坡角 坡面与水平面的夹角 α 叫做___________ ． α 为锐角． 记坡度为 i，坡角为 α，水平距离为 x，垂直距离为 y，则它们 的关系如下：
1．实际问题中的有关术语、名称 (1)仰角和俯角 测量时，以水平线为基准，视线在水平线上方所成的角叫做 仰角 俯角 ___________; 视线在水平线下方所成的角叫做___________.
(如图)
(2)方向角与方位角 ①指北或指南的方向线与目标方向
线所成的水平角(一般指锐角)叫做 方向角 ___________ ．目标方向线的方向
5 6 ________n mile.
解析：示意图如右，由题意可知：∠ACB＝ 45° ，由正 弦定理得： BC 10 ＝ ， sin 60° sin 45° 10 3 ∴ BC＝ · ＝ 5 6. 2 2 2
4．如图，一个重5 N的物体在30°的斜面上，物体的 上 方 接着一只弹簧秤，若平衡时弹簧秤的示数是2 N，则物体受 沿斜面向上 0.5 N ，方向是______________. 到的摩擦力的大小为________
最新苏教版必修5高中数学1.3《正弦定理、余弦定理的应用》ppt课件2
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
一、知识回顾：
（1）正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
（2）余弦定理：
ba22 c2
b2 a2
a2
c2 c2
b2
2bc cos 2ac cos 2ab cos
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
（4）三角形中的基本关系式：
sin(B C) sin A,
cos(B C) cos A,
4
sin B C cos A ,
2
2
cos B C sin A
2
2
．
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
P
A
Q
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
角 a 2R sin A,b 2Rsin B,c 2R sin C
边
sin A a , sin B b , sin C c
2R
2R
2R
cos A b2 c2 a2 , 2bc
cos B a2 c2 b2 , 2ac
cos C a2 b2 c2 , 2ab
A, B, C.
cos cos cos
A B C
b2 a2 a2
c2 a2 2bc c2 b2 2ac b2 c2
, , .
2ab
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
（3）推论：正余弦定理的边角互换功能．
①边 ②角
ห้องสมุดไป่ตู้ 二、数学运用
一、知识回顾：
（1）正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
（2）余弦定理：
ba22 c2
b2 a2
a2
c2 c2
b2
2bc cos 2ac cos 2ab cos
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（4）三角形中的基本关系式：
sin(B C) sin A,
cos(B C) cos A,
4
sin B C cos A ,
2
2
cos B C sin A
2
2
．
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P
A
Q
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角 a 2R sin A,b 2Rsin B,c 2R sin C
边
sin A a , sin B b , sin C c
2R
2R
2R
cos A b2 c2 a2 , 2bc
cos B a2 c2 b2 , 2ac
cos C a2 b2 c2 , 2ab
A, B, C.
cos cos cos
A B C
b2 a2 a2
c2 a2 2bc c2 b2 2ac b2 c2
, , .
2ab
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（3）推论：正余弦定理的边角互换功能．
①边 ②角
ห้องสมุดไป่ตู้ 二、数学运用
高中数学苏教版必修五《1.3正弦定理余弦定理的应用》课件
– 第四级
有量»．第注五级意解的个数．
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1.3– 第二级 • 第三级 – 第四级
谢谢大家 »第五级
苏教版 高中数学
3．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：
• 单击此（处1编）辑已母知版两文角本和样任式一边，求其他两边和一角； – 第二（级2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其
• 第 第定五理级：
a2 b2 c2 2bccos A,cos A b2 c2 a2 2bc
sin
A
1 2
ab
sin
C
1 2
ac
sin
B
2．正»弦第定五理级的变形：
（1） a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC
（2） sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
（3） sin A:sin B:sinC a :b:c
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5．应用余弦定理解以下两类三角形问题：
（1）已知三边求三内角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个内角．
单击此例处１ 编如辑图，母为版了测标量题河对样岸式两点A，B之间的距离，在河岸这边取点
C，D ，测得∠ A DC ＝８５°，∠ B DC ＝６０°，∠ A CD ＝４７°， ∠ B CD ＝７２°， CD ＝１００ｍ．设A，B ，C，D在同一平面内， • 单击此试处求编A，辑B母之版间文的本距样离式（精确到１ｍ）． – 第二级
• 第三级
– 第四级 » 第五级
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有量»．第注五级意解的个数．
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苏教版 高中数学
3．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：
• 单击此（处1编）辑已母知版两文角本和样任式一边，求其他两边和一角； – 第二（级2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其
• 第 第定五理级：
a2 b2 c2 2bccos A,cos A b2 c2 a2 2bc
sin
A
1 2
ab
sin
C
1 2
ac
sin
B
2．正»弦第定五理级的变形：
（1） a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC
（2） sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
（3） sin A:sin B:sinC a :b:c
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5．应用余弦定理解以下两类三角形问题：
（1）已知三边求三内角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个内角．
单击此例处１ 编如辑图，母为版了测标量题河对样岸式两点A，B之间的距离，在河岸这边取点
C，D ，测得∠ A DC ＝８５°，∠ B DC ＝６０°，∠ A CD ＝４７°， ∠ B CD ＝７２°， CD ＝１００ｍ．设A，B ，C，D在同一平面内， • 单击此试处求编A，辑B母之版间文的本距样离式（精确到１ｍ）． – 第二级
• 第三级
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《正、余弦定理的应用》课件(苏教版必修5)
N
∴ ∠ACB= ∠N’CB+ ∠N’CA=40 °+35 °=75 °， B
∴ ∠BAC= 180°—75 °—30 °=75 ° ，
∴ ∠ACB= ∠BAC， ∴ AB= BC=40x0.5=20，
∴ AC 2 AB2 AC 2 2AB AC cosABC 202 202 2 20 20cos30 800 400 3
N’ A
35
C
∴ AC 800 400 3 20 2 3 20 4 2 3 2
( 3 1)2
3 1
20
20
10 6 10 2
2
2
练习4：某人在高出海面600m的山上P处，测得海面上的航标A在正东，俯角为 30° ，航标B在南偏东60° ，俯角为45 ° ，求这两个航标间的距离。
P 30
例2：某渔船航行中不幸遇险，发出呼救信号。我海军舰艇在A处获悉后，测
出该渔船在方位角为45°，距离为10n mile的C处，并测得渔船正沿方
位角为105°的方向，以 6 3 n mile/h的速度向小岛靠拢。我海军舰
艇立即以18n mile/h速度前去营救。求舰艇的航向和靠近渔船所需时间。
解：设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为x h，
于是，四边形OACB的面积为
S SAOB SABC
1 OAOBsi n 3 AB2
2
4
1 21 sin 3 (5 4cos)
2
4
sin 3 cos 5 3
2sin( ) 5
4 3
34
因为0<α<π,所以当 , 5 ,
32
6
即∠AOB= 150°，四边形面积OABC面积最大。
则AB＝18x n mile，BC＝6 3x n mile，AC＝10 n mile，
江苏省灌云县第一中学高中数学 1.3 正弦定理,余弦定理
江苏省灌云县第一中学高中数学 1.3 正弦定理，余弦定理的应用（2）学案 苏教版必修5一、学习目标：1. 掌握正弦定理，余弦定理；2.会运用正弦定理，余弦定理解决实际问题；3.培养学生推理探索数学规律和归纳总结的思维能力．二、学习重点、难点：正弦定理，余弦定理及其应用．三、学习过程回顾正弦定理，余弦定理的内容及其变形；[例题解析]例1．为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得120ADC ∠=o ， 45BDC ∠=o ，3075ACD BCD ∠=∠=o o ，，3CD km =。
设,,,A B C D 在同一平面内，试求,A B 之间的距离？例 2．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45o ，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105o 的方向，以9/n mile h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h 的速度前去营救。
求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1o ，时间精确到1min ）？例3．半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC 。
问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？四、课堂练习：1. 在ABC ∆中，若c b a c b b a ++=+++311，则B= 。
2. 在ABC ∆中，若47c b ==，，BC 边的中线72AD =，则a = 。
3．在ABC ∆中，23AB BC ==，，5AB BC ⋅=u u u r u u u r ，则AC =u u u r 。
4.在ABC ∆中，如果::4:5:6a b c =，则ABC ∆的最小角的余弦值为 。
五、巩固练习1.在ABC ∆中，已知222cos cos a b c c a B b A a b c+-==+-，且，试判断ABC ∆的形状。
苏教版高中数学必修五课件1.3《正弦定理和余弦定理的应用》
问:点B在什么位置时,四边形OACB的面积最大?
最大面积为多少?
S
C
B
α
O
1
Aα
α
S
解 设AOB .在AOB中,由余弦定理,得
C AB2 12 22 21 2 cos 5 4 cos.
于是,四边形OACB的面积为
S SAOB SABC
B
α
O
1
Aα
1
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
正弦定理、余弦 定理的应用
课前回顾
（1）三角形常用公式：A B C
SABC
1 2
absin C
1 bc sin 2
A
1 2
ac sin
B
正弦定理： a b c ＝ 2R sin A sin B sin C
（2）正弦定理应用范围：
① 已知两角和任意边，求其他两边和一角
所以BAC 21.80 ,方位角为450 21.80 66.80.
由正弦定理,得sin BAC
BC sin ACB AB
9x sin1200 21x
33 14
,
答 舰艇应沿着方位角66.80的方向航行,经过40 min 就可靠近渔轮.
例3 作用于同一点的三个力 F1, F2, F3 平衡.
已知 F1 30N, F2 50N, F1与F2 之间的夹角
是600 ,求F3的大小与方向(精确到0.10 ).
解 F3 应和 F1 , F2 的合力平衡,所以 F3 和 F
在同一直线上, 并且大小相等, 方向相反.
如图, 在OF1 F中,由余弦定理, 得
【优质课件】苏教版必修5高二数学1.3《正弦定理、余弦定理的应用》一优秀课件.pptx
感谢各位老师！
祝江中有两条船相距30 m，船 与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和 30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则炮台高____ m. 解析 设两条船所在位置分别为A、B两点，炮台底部所在位 置为C点，
当堂测·查疑缺
1234
1.如图，在河岸AC上测量河的宽度BC， 测量下列四组数据，较适宜的是__④___组. ①a，c，α ②b，c，α ③c，a，β ④b，α，γ 解析 由α、γ、b，可利用正弦定理求出BC，其余不符 合题干要求.
1234
3.我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分 别位于地面点C和D处，已知CD＝6 km， ∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于 地面点B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC ＝15°(如图)，求我炮兵阵地到目标的距离.
1234
1234
解 在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°， ∠ACD＝45°，
§
内容
Contents
Page 索引
01
明目标、 知重点
填要点· 记疑点
02
03
探要点· 究所然
当堂测· 查疑缺
04
明目标、知重点
1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测 量问题. 2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测 量问题. 3.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能 力，并激发探索精神.
探究点三 求高度问题
例3 如下图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑 物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.
反思与感悟 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题 时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个 三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和 高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.
高中数学第一章1.3第一课时正弦定理余弦定理的应用课件苏教必修5.ppt
基础知识梳理
1．解三角形应用题的基本思路 解三角形应用题的关键是将__实__际__问__题____转化为解三 角形问题来解决，所以首先将实际问题抽象转化为数 学问题(解三角形问题)，然后利用正余弦定理对三角 形进行求解，最后再回到实际问题中作答．
2．解三角形应用问题的一般步骤 (1)准确理解题意，分清已知与所求； (2)根据题意画出示意图或准确地理解图形； (3)建立数学模型， 合 理 运 用 __正__余__弦__定__理__和__其__它__三__角__与__平__面__几__何__知__识____ 正确求解，并作答； (4)再根据实际问题的意义和精确度的要求给出答案．
变式训练
2．为测量建造中的上海东方明珠电视塔已到达的高度 ，李明在学校操场的某一直线上选择A、B、C三点， AB＝BC＝60米，且在A、B、C三点观察塔的最高点， 测得仰角分别为45°、54.2°、60°.已知李明身高1.5 米，试问建造中的电视塔已到达的高度．(结果保留一 位小数)
解：根据题意画出示意图，设DE＝x，则h＝x＋1.5. 在Rt△AED、Rt△BED、 Rt△CED中， AE＝DE·cot45°＝x， BE＝DE·cot54.2°＝x·cot54.2°，
【解】 如图
设乙船速度为 v 海里/小时，在 C 处追上甲船， ∠BAC＝45°＋180°－105°＝120°， 在△ABC 中，由余弦定理得，
BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC， 即(23v)2＝(23×9)2＋102－2×23×9×10×cos120°，整理得 v ＝21， 又由正弦定理可知：sin∠BCBAC＝sAinCB，
所以缉私船沿北偏东 60°方向，需 14.7 分钟才能最快追上
走私船．
苏教版必修五1.3正弦定理、余弦定理的应用ppt课件
8．(1)△ABC 中用 a、b 和角 C 表示三角形面积的公式为 1 S＝ absin C 2 ______________ ． (2)△ABC 中，已知 A＝30°，b＝4，c＝3，则△ABC 的 面积为________． 1
解析：由三角形面积公式知 S＝ bcsin A＝3. 2 答案：3
栏 目 链 接
栏
(4)李强出校门向东，前进200米，再向北走200米便回到家 中，李强家在学校的哪个方向？
答案：
1．(4)东偏北45度方向200 2米处．
栏 目 链 接
2．地面上三个点A、B、C，若B在A正北方向上，C在A北偏东 20° 方 向 上 ， C 在 B 东 偏 北 25° 方 向 上 ， 则 C 在 A 东 偏 北 ________ 70° 方向上， C 在 B 北偏东 ______ 65° 方向上， A 在 C 西偏南 ______ 70° 方 向 上 ， B 在 C 西 偏 南 ______ 25°方 向 上 ， B 在 C 南 偏 西 65°方向上． ______ 3．(1)山下B点望山上A点仰角为30°，则山上A点望山下B点 30°． 俯角为______ (2) 方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平 角．若水平面上点A处测得点B的方位角是120°，则点B在点 30°方向上． A东偏南______
9．△ABC 中，A 与 B＋C 互补， 与 互余，所以 2 2 sin A ，cos(B＋C)＝__________ sin(B＋C)＝__________ －cos A ， A A B＋C B ＋C cos sin 2 sin ＝__________ ，cos ＝__________. 2 2 2 10．设 Rt△ABC 的两直角边长为 a，b，则它的内切圆半径 r＝ 1 (a＋b－ a2＋b2) _______________. 2 11．设△ABC 的周长为 2p，内切圆半径为 r，则△ABC 的面积＝ pr ________. 1 1 1 acsin B bcsin A 2 2 12．S＝ absin C＝________ ＝________. 2
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（1）已知三边求三内角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个内角．
例１ 如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点 C，D ，测得∠ A DC ＝８５°，∠ B DC ＝６０°，∠ A CD ＝４７°， ∠ B CD ＝７２°， CD ＝１００ｍ．设A，B ，C，D在同一平面内， 试求A，B之间的距离（精确到１ｍ）．
例３ 作用于同一点的三个力Ｆ ，Ｆ ，Ｆ 平衡．已知Ｆ ＝３０Ｎ，Ｆ
1
2
3
1
2
＝５０Ｎ，Ｆ 与Ｆ 之间的夹角是６０°，求Ｆ 的大小与方向（精确到
1
2
3
0.１°）．
练习：课本P21习题1.3第2，4题．
课题小结：
解斜三角形问题即用正余弦定理求解，已知三角形边角的 三个量（至少一条边），即可求其余所有量．注意解的个数．
高中数学 必修5
z xxk
复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，解斜三
角形的要求和常用方法．
1．a正弦b定理c、三2R角形面积公式： sin A sin B sin C
SABC
1 2
bcsin
A
1 2
absin C
பைடு நூலகம்
1 2
acsin
B
a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC
2．正sin弦A 定a理,si的n B变 形b ,：sin C c
例２ 如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在A处获 悉后，测出该渔轮在方位角为４５°，距离为１０ｎｍｉｌｅ的C处，并测 得渔轮正沿方位角为１０５°的方向，以９ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度向小岛靠 拢．我海军舰艇立即以２１ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度前去营救．求舰艇的航向 和靠近渔轮所需的时间（角度精确到０.１°，时间精确到１ｍｉｎ）．
2R
2R
2R
（1）sin A:sin B:sinC a :b:c
3．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形 问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角
； （4．的2余a）2弦对定b已2角理知：c，2 两从2bc边而cos和A进,c其o一s A中步 b一2求2边cb其2c的a2 对角，求另一边 5．应用余他弦的定理边解以和下角两类．三角形问题：
例１ 如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点 C，D ，测得∠ A DC ＝８５°，∠ B DC ＝６０°，∠ A CD ＝４７°， ∠ B CD ＝７２°， CD ＝１００ｍ．设A，B ，C，D在同一平面内， 试求A，B之间的距离（精确到１ｍ）．
例３ 作用于同一点的三个力Ｆ ，Ｆ ，Ｆ 平衡．已知Ｆ ＝３０Ｎ，Ｆ
1
2
3
1
2
＝５０Ｎ，Ｆ 与Ｆ 之间的夹角是６０°，求Ｆ 的大小与方向（精确到
1
2
3
0.１°）．
练习：课本P21习题1.3第2，4题．
课题小结：
解斜三角形问题即用正余弦定理求解，已知三角形边角的 三个量（至少一条边），即可求其余所有量．注意解的个数．
高中数学 必修5
z xxk
复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，解斜三
角形的要求和常用方法．
1．a正弦b定理c、三2R角形面积公式： sin A sin B sin C
SABC
1 2
bcsin
A
1 2
absin C
பைடு நூலகம்
1 2
acsin
B
a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC
2．正sin弦A 定a理,si的n B变 形b ,：sin C c
例２ 如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在A处获 悉后，测出该渔轮在方位角为４５°，距离为１０ｎｍｉｌｅ的C处，并测 得渔轮正沿方位角为１０５°的方向，以９ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度向小岛靠 拢．我海军舰艇立即以２１ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度前去营救．求舰艇的航向 和靠近渔轮所需的时间（角度精确到０.１°，时间精确到１ｍｉｎ）．
2R
2R
2R
（1）sin A:sin B:sinC a :b:c
3．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形 问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角
； （4．的2余a）2弦对定b已2角理知：c，2 两从2bc边而cos和A进,c其o一s A中步 b一2求2边cb其2c的a2 对角，求另一边 5．应用余他弦的定理边解以和下角两类．三角形问题：