2012年济南市高三,三模

2012年济南三模 （理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若全集U =R ，集合{235}A x x =+<，B =｛3|log (2)x y x =+｝，则()UC A B = A ．{}14≥-≤x x x 或 B ．{}14>-<x x x 或 C ．{}12>-<x x x 或 D ．{}12≥-≤x x x 或2．已知非零向量a 、b 满足向量+a b 与向量-a b 的夹角为2π，那么下列结论中一定成立的是 A ．=a bB ．||||=a bC ．⊥a bD ．a b３．n S 是数列{}n a 的前n 项和，则“n S 是关于n 的二次函数”是“数列{}n a 为等差数列”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件４、如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”. 给出下列函数：①()sin cos f x x x =；②()2sin()4f x x π=+；③()sin f x x x=；④()21f x x +. 其中“同簇函数”的是( ) A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④５．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线y =无交点，则离心率e 的取值范围A ．(1,2)B ．(1,2]C ．D ．６．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的 体积等于( )A ．4B ．6C ．8D ． 12７．已知实数[0,8]x ∈，执行如右图所示的程序框图，则输出的x 不小于54的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．34 D ．54 ８. 函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是( )9．已知α、β是三次函数3211()2(,)32f x x ax bx a b R =++∈的两个极值点，且(0,1)α∈，(1,2)β∈，则32b a --的取值范围是 A ．2(,)5-∞ B ．2(,1)5C ．(1,)+∞D ．2(,)(1,)5-∞⋃+∞１0.过抛物线22y px =焦点F 作直线l 交抛物线于A,B 两点，O 为坐标原点，则ABC 为 A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．不确定D ．钝角三角形１１. 将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种5（第5题图）俯视图侧视图正视图1２.定义在R 上的函数()f x 满足'(1)()0x f x -≤，且(1)y f x =+为偶函数，当1211x x -<-时，有( )A ．12(2)(2)f x f x ->-B ．12(2)(2)f x f x -=-C ．12(2)(2)f x f x -<-D ．12(2)(2)f x f x -≤-2012年济南市高三5月份模拟考试试题数学（理工类）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13. i 是虚数单位，在1,2,3…2012中有 个正整数n 能使得2(1)2n n i i +=-⋅成立；14．已知函数2()321f x x x =++，若11()2()(0)f x dx f a a -=>⎰成立，则a ＝________.解析：因为⎠⎛-11f(x)d x ＝⎠⎛-11 (3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x)|1－1＝4，所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4⇒a ＝－1或a＝13. 答案： 13１5. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边为c b a ,,，若c b a ,,成等差数列，则角B 的范围是_____________16. 下列正确命题的序号是____________（1）”2m =-”是直线(2)10m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直的必要不充分条件（2）R a ∈∃，使得函数|||1|a x x y +++=是偶函数（3）不等式：121⋅≥2111⋅， ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅31131≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅412121 ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅5131141≥⎪⎭⎫⎝⎛++⋅61412131，…， 由此猜测第n 个不等式为++++51311(11n …)121-+n ≥+++614121(1n …)21n+ （4）若二项式222()x x+的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中4x -的系数是40 三、解答题：本大题共6个小题.共74分. 17. （本题满分12分）已知函数)3cos(sin 3)(π-+=x b x a x f 的图象经过点).0,67(),21,3(ππ (1)求实数b a ,的值；(2)求函数)(x f 的周期及单调增区间. 解： )1(函数)3cos(sin 3)(π-+=x b x a x f 的图象经过点),0,67(),21,3(ππ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+⨯∴0232321233a b a ------3分 解得：1,1-==b a ------6分(2)由(1)知：)62sin(2cos 212sin 23)32cos(2sin 3)2(ππ-=-=--=x x x x x x f ……………………9分函数f (x )的周期π=T （10分） 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，解得2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3 k ∈Z .即函数的增区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,6ππππk k k ∈Z . （12分）18.（本题满分12分）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情 况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)， 已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第 2小组的频数为12.(1)求该校报考飞行员的总人数;(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X 表示体重超过60公斤的学生人数，求X 的分布列和数学期望.18．解：（1）设报考飞行员的人数为n ,前三小组的频率分别为321,,p p p ,则由条件可得:⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++++==15)013.0037.0(323211312p p p p p p p 解得375.0,25.0,125.0321===p p p ……4分 又因为np 1225.02==，故48=n ……………………………6分(2) 由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为855)013.0037.0(3=⨯++=p p ……8分所以x 服从二项分布,k k k C k x p -==33)83()85()(∴则815512125351222525121351512270=⨯+⨯+⨯+⨯=Ex ……………………12分 (或: 815853=⨯=Ex )18、（本题满分12分） 在斜三棱柱111C B A ABC -中，侧面AB A AC C 面⊥11，a AA 21=,a AB CA C A ===1,AC AB ⊥,中点为1AA D . (1)求证：11A ABB CD 面⊥；(2)在侧棱1BB 上确定一点E ，使得二面角A C A E --11的大小为3π.18.（1）证：ABC A ACC 面面⊥11 ，AC AB ⊥ 11A A C C AB 面⊥∴，即有CD AB ⊥； 又C A AC 1=，D 为1AA 中点，则1AACD ⊥ 11A ABB CD 面⊥∴ ……………………………4分(2)如图所示以点C 为坐标系原点，CA 为x 轴，1CA 为z 轴， 建立空间直角坐标系xyz C -,则有),,0(),,0,0(),0,,(),0,0,(11a a B a A a a B a A),0,(1a a C -，设),,(z y x E ，且1BB λ=，即有),0,(),,(a a z a y a x -=--λ， 所以E 点坐标为),,)1((a a a λλ-. ……………………………7分 由条件易得面A C A 11地一个法向量为)0,1,0(1=n …………….8分 设平面11C EA 地一个法向量为),,(2z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥EA n C A n 1112可得⎩⎨⎧=-++-=-0)1()1(0az ay ax ax λλ令1=y ，则有)11,1,0(2λ-=n ， …………………………………10分则21)1(1113cos2=-+==λπ,得331-=λ所以，当331-=时，二面角A C A E --11的大小为3π…………………12分20. （本题满分12分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t 天（1≤t ≤30, t ∈N ﹢）的旅游人数()f t (万人)近似地满足()f t = 4 +1t,而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)=120-｜t-20｜. (1)求该城市的旅游日收益w(t)（万元）与时间t （1≤t ≤30,t ∈N ﹢）的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值.（1）解：()()()()2012014--⎪⎭⎫ ⎝⎛+==t t t g t f t W ……………………………4分=()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤≤++302041405592011004401t t t t tt …………………………………6分（2）当[]20,1∈t ，441100424011004140=⋅+≥++tt t t （t=5时取最小值）………9分 当(]3020，，∈t ，因为()t tt W 4140559-+=递减，所以t=30时，W(t)有最小值W(30)= 32443………11分 所以[]30,1∈t 时，W(t)的最小值为441万元………12分21.已知直线1:+=x y l ，23:22=+y x O 圆,直线l 被圆截得的弦长与椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的短轴长相等,椭圆的离心率23=e(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 过点M (0，13-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．21．解： (Ⅰ)则由题设可知1=b ， 2分又23=e 2=a 3分 所以椭圆C 的方程是2212x y +=. ……4分(Ⅱ)解法一：假设存在点T （u, v ）. 若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-，将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=． ……5分设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则 12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--及112211,,33y kx y kx =-=-所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--2221212121(1)()()339v k x x u k kv x x u v =+-+++++++222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-=+ ……8 分 当且仅当0=⋅恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ， ……9分所以2222618180,0,33250.u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩解得0, 1.u v ==此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）. ……10分当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T （0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件. ……12分解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是22 1.x y +=若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是22116().39x y ++=……6分 由22221,116().39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得01x y =⎧⎨=⎩. 由此可知所求点T 如果存在，只能是（0，1）. ……7分 事实上点T （0，1）就是所求的点. 证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点T （0，1）；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-，代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.k x kx +--=8分设点A 、B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-，21212121212416()1(1)()39TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++222216161632160.189k k k k ---++==+ 所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）. ……11分综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件. ……12分(22)(本小题满分14分)设函数2'()2(1)ln (),()k f x x x k N f x ∙=--∈表示()f x 导函数。