高一数学倍角公式和半角公式知识精讲

高一数学倍角公式和半角公式【本讲主要内容】倍角公式和半角公式（正弦、余弦、正切）【知识掌握】 【知识点精析】1. 倍角公式：二倍角公式sin sin cos ()cos cos sin ()cos sin tan tan tan ()222211222122222222αααααααααααααα==-=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪S C T注意：①公式T 2α只有当αππαππ≠+≠+∈k k k Z 242和()才成立； ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它只要两个角有二倍的关系，如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是32α的二倍等等都可以用二倍角公式。

例如：cos cos sin sin cos sin αααααα3663312622=-=， 12242151153022-=-=sin cos tan tan tan αα，°°°③熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）④注意公式的变形应用与逆用。

特别是公式：cos cos sin 2211222ααα=-=-可变形为cos cos sin cos 22122122αααα=+=-，，两式相除得tan cos cos 21212ααα=-+，这样就得到了降幂公式。

降幂公式sin cos cos cos tan cos cos 2221221221212ααααααα=-=+=-+⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪升幂公式cos cos sin cos sin 221122222ααααα=-=-=-⎧⎨⎪⎩⎪2. 半角公式：()()半角公式，，sin cos cos cos tan cos cos sin cos cos sin ααααααααααππαααπααα212212*********=±-⎛⎝ ⎫⎭⎪=±+⎛⎝ ⎫⎭⎪=±-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+≠+∈=-≠∈⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪S C T k k Z k k Z 注意：①应用半角公式时，要特别注意根号前的符号，它是由α2所在象限的三角函数符号确定。

②在已知sin cos αα、的前提下，解有关tanα2的化简、求值、证明问题时用T α2的有理式比较方便，因为它不涉及符号问题。

尤其选用分母为“等项式”的公式更为方便。

但这两个公式容易记混淆，所以对于这两个公式关键是明确推导过程。

如下：tansin cos sincoscos sin cos tansin cossin sincoscos sin αααααααααααααααα22222222122222222122===+===-掌握了推导过程不仅有利于记忆公式，还有助于我们掌握一些变换方法，更深刻的理解公式。

【解题方法指导】例1. 已知tan πα412+⎛⎝⎫⎭⎪= （1）求tan α的值；（2）求sin cos cos 2122ααα-+的值。

（1）思路一：变角：απαπ=+⎛⎝⎫⎭⎪-44tan πα412+⎛⎝⎫⎭⎪=∴=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪=-+⨯=-tan tan tan tan tan tanαπαππαππαπ4444144121112113· 思路二：利用两角和的正切公式展开：tan tan tan tantan tan tan tan tan tan tan παπαπαααπαααα441411412111213+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+-=+-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=∴+-==-又解得（2）思路一：变角降幂，并应用正切半角公式化简sin cos cos sin cos cos sin (cos )(cos )sin cos tan 212212212221221221212121312562αααααααααααα-+=-++=-++=+-=-=--=-思路二：利用倍角公式进行化简sin cos cos sin cos cos cos cos (sin cos )cos sin cos cos tan 21221212222121312562222ααααααααααααααα-+=-+-=-=-=-=--=-评述：此题是三角运算中的基本题型，它综合考查了两角和差的三角公式、倍角公式、半角公式等。

思路开阔变形多样，能充分展示学生应用所学知识分析问题，解决问题的能力。

学生失误分析：此题造成失误主要有两个原因：其一，错记、错用公式，如余弦的三个倍角公式很容易记混。

其二，是运算不过关。

例2. 化简：2124422cos tan sin απαπα--⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪·分析：化简要求函数名称尽可能少，次数尽可能低，对于分式，分子、分母要能分解出公因式要进行约分，角的形式也要尽量简单，因此，①切化弦，②约分，③找角的关系是本题化简的解题方向。

解法一：原式=--++⎛⎝⎫⎭⎪21211222222cos tan tan cos sin ααααα·()()()()()()()()=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪+=-+-+=--+=--=--=21112121211222222222222cos sin cos sin cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin αααααααααααααααααααααααααα解法二：原式=--⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪2124422cos tan sin απαπα·=--⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪=--⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-⎛⎝ ⎫⎭⎪==21244421244224221222cos sin cos cos cos sin cos cos sin cos cos ααπαπααπαπααπααα··评述：比较两种解法，解法一是常规解法但运算较繁琐，解法二是将“πα4-”看成一个整体，运算简洁，它体现的学生的整体思维意识。

因此解法二更具有启发性。

另外在解决三角函数的有关问题中，我们经常需要将某个角的三角函数值转化为它相应的余角的三角函数值，然后求解，这首先源于对题目中角的特殊结构的认识，其次要熟悉：157536 +-+-ααπαπα与，与等等互为余角，本题中就用到了：παπα44+-与互为余角，请同学注意。

【考点突破】【考点指要】在高考试题中，对二倍角公式，半角公式考查次数相对较多，既有中等难度的解答题，也有选择、填空题。

选择题一般占5分，解答题一般占12—13分。

重点考查学生利用这些公式进行恒等变换的能力，以及结合其它公式进行运算的能力。

本讲内容在高考中主要考查：灵活运用“和、差、倍、半”等三角公式进行三角函数的化简，求值及三角恒等式的证明。

重点考查学生思维的灵活性和发散性，以及观察能力，运算推理能力和综合分析能力。

解决“和、差、倍、半角公式”应用问题的基本思路和方法：它可以解决三类基本题型：三角函数式的化简；三角函数的求值；三角恒等式的证明。

（1）三角函数式的化简的思路和方法： ①直接应用公式；②切化弦、异名化同名、异角化同角 （2）三角函数的求值的思路和方法：①给角求值问题：一般是利用和、差、倍、半公式进行变换，使其出现特殊角，若无特殊角，则可出现正负抵消或约分的情况，从而求出其值。

②给值求值问题：已知某三角函数值，求其它三角函数的值，一般应先化简所求式子（或变为已知的式子），弄清实际所求，再求值，主要方法有： <1>消去法<2>解方程（组）法 <3>应用比例的性质等（3）三角恒等式的证明的思路和方法：三角恒等式分为“条件恒等式”和“绝对恒等式”，它的证明灵活多变，下面提供两条思路可供参考。

<1>根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变换命题等方法，使等式两边化异为同。

<2>对于条件恒等式要注意认真观察，发现已知条件与求证等式之间的关系，选择适当途径。

常用方法有代入法、消去法、综合法、分析法等。

【典型例题分析】例3. 已知函数f x x x()sin cos =--⎛⎝ ⎫⎭⎪1224π（I ）求f x ()的定义域；（II ）设α是第四象限的角，且tan α=-43，求f ()α的值。

分析：（I ）求定义域，需考虑分母cos x ≠0（II ）先利用和差角公式、倍角公式对三角函数式进行化简得到2(cos sin )αα-，再由已知条件tan α=-43，α所在象限求出sin cos αα、代入即可。

解：（I ）由cos ()x x k k Z ≠≠+∈02，得ππ故f x ()的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≠Z k k x x ，2| （II ） tan αα=-43，且是第四象限的角 ∴=-=sin cos αα4535，故：f ()sin cos sin cos cos ααπαααα=--⎛⎝ ⎫⎭⎪=--⎛⎝ ⎫⎭⎪122412222222 =-+=-=-=1222221452sin cos cos cos sin cos cos (cos sin )ααααααααα评述：本题综合考查了“同角三角函数关系式”、“和差角公式”、“二倍角公式”等基础知识。

失误分析：三角公式记忆不准确，或化简技巧没掌握。

例4. △ABC 的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时，cos cosA B C++22取得最大值，并求出这个最大值。

分析：结合三角形内角和等于π，及诱导公式可得到cos sin B C A+=22，再利用二倍角公式cos sin A A =-1222，将三角式转化为-++222212sinsin A A ，最后用二次函数方法求出最大值。

解： A B C B C A++=+=-ππ，得222∴+=∴++=+=-+=--⎛⎝ ⎫⎭⎪+∴==cossin cos cos cos sinsin sin sin sinB C AA B C A AA AA A A 22222212222221232212322当，即时πcos cosA B C ++22取最大值32评述：本题以二次函数为载体考查了诱导公式，倍角公式等基础知识，将三角函数的最值问题转化为二次函数的最值问题，也是高考的热点，在这里同学们应注意的是，整理成y a x b c =-+(sin )2时，要考虑b 的取值及|sin |x ≤1的条件，才能正确求出最值。

例5. 已知函数f x x x x ()sin sin cos =-+32 （1）求f 256π⎛⎝⎫⎭⎪的值； （2）设()απα∈⎛⎝⎫⎭⎪=-021432，，f ，求sin α的值。