一阶偏导连续的概念
第二节二元函数的一阶、二阶偏导数
第二节二元函数的一阶、二阶偏导数一、二元函数的一阶偏导数1、在某点处的一阶偏导数——已知二元函数z f(x ，y) 在点(x ，y 0)处及其附近有定义，若一元函数zf(x ，y 0)在点x 0处对x 可导，则称此导数值为二元函数z f(x ，y)在点(x 0，y 0)处对x 的一阶偏导数，记作f x (x 0，y 0) ，或z x |xx 0，或y y 0 f(x 0，y 0)z；，或 |x x xx yy若一元函数zf(x ，y 0 )在点y 0处对y 可导，则称此导数值为二元函数z f (x ，y)在点(x 0，y 0)处对y 的一阶偏导数，记作 f y (x 0，y 0)，或z y |xx 0，或f(x 0，y 0)，或 y y y 0z x 0。
|x yy y 0 2、可导与连续关系：尽管在某点处两个一阶偏导数都存在，却不能保证在该点处连续。
3、在某区域上的一阶偏导数——若二元函数zf(x ，y)在区域E 上每一点(x ，y)处都有对x ，对y 的一阶偏导数，则对于区域 E 上每一点(x ，y)都有一个对x 的一阶偏导数值和一个对 y 的一阶偏导数值与之对应，于是得到两个新的二元函数，这两个新的二元函数分别称为z f (x ，y)对x ，对y 的一阶偏导函数，简称一阶偏导数，分别记作 f x (x ，y)，或z x ，或 f(x ，y) z，或 和f y (x ，y)，或z y ，或f(x ，y)，或z。
x x yy 二、二阶偏导数1、定义——二元函数 zf(x ，y)一阶偏导数的一阶偏导数称为二元函数z f (x ，y)的二阶偏导数，共有四个，分别记作f xx (x ，y) (f x (x ，y))x ，或z xx ，或 f 2(x ，y)2zx 2 ，或x 22，2f xy (x ，y) (f x (x ，y))y ，或z xy ，或f(x y)，或 z y x x y2 ，2f yx(x，y) (f y(x，y))x，或z yx，或f(x y)，或zy xx yf yy(x，y) (f y(x，y))y，或z yy，或f2(x，y)，或2z。
偏导数的概念
f ( x x, y ) f ( x, y ) lim , ( x, y ) D x 0 x
存在，显然这个偏导数仍是x，y的函数，称它为函数
z=f(x,y)对x的偏导函数，记作
z f , , f x ( x, y )或z x ( x, y ). x x
类似地，可以定义函数z=f(x,y)在区域D内对自变
求导.
若求函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，只需 先求偏导函数fx(x,y)，然后再求fx(x,y)在点(x0,y0)处的函 数值，即 f x ( x, y ) |( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )，这样就得到了函数
z =f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.也可以先将y=y0代入
z f ( x, y ), y y0 .
上式表示y=y0平面上的一条 曲线z=f(x,y0).根据导数的几
何意义可知：fx(x0,y0)就是这
条曲线在点M0(x0,y0,z0)处的
切线关于x轴的斜率.
同样，fy(x0,y0)是这条曲线z=f(x,y)与平面x=x0的交 线
z f ( x, y ), x x0
f xy ( x, y, z ) 2 y, f xyz ( x, y, z ) 0, f xyz (1,1,1) 0.
1 例9 证明函数 u t
u 证 t 2
x2 3 1 2 4t t e
3 1 2 t
x2 e 4t
u 2u 满足方程 2. t x
f(x0,y0).
同样还可以举出函数在(x0,y0)点连续，而在该点 的偏导数不存在的例子. 例如，二元函数 f ( x, y ) x 2 y 2 ，在点(0,0)处 是连续的，但在(0,0)点偏导数不存在. 事实上，f ( x, y ) x 2 y 2 是初等函数，(0,0)点是 定义区域内的一点，故f(x,y)在点(0,0)点是连续的. 固定y=0，让x→0，考察在(0,0)点处对x的偏导 数.此时 f ( x,0) x 2 0 | x |，已知函数|x|在x=0处是 不可导的，即f(x,y)在点(0,0)处对x的偏导数不存在， 同样可证f(x,y)在(0,0)点对y偏导数也不存在.
第五节高阶偏导数
解 z 3x2 y 6xy3
x
2z x 2
6xy 6 y3
z
y
x3 9x2 y2
2z y 2
18x2
y
2z 3x2 18xy2 xy
2z 3x2 18xy2 . yx
例2 设 u e xy sin z, 求
3u .
xyz
解 u ye xy sin z
x 2u e xy sin z xye xy sin z xy
例5
设z
1 x
f ( xy) y( x y),
f , 具有二阶
2z
连续偏导,求 xy .
x
x
x
x
解f u v
f u
v
y
y
y
y
zx
1 x2
f
1 x
f x
y x
1 x2
f
y x
f
y
zxy
1 x2
f y
1 x
f
y x
(
f
)y
y( )y
yf y
例6 设 z f (2x y) g( x, xy), 其中 f (t)二阶
e xy (1 xy)sin z
3u e xy (1 xy)cos z. xyz
例3 x ln z 所确定的函数 z f ( x, y),求 2z .
zy
xy
解 令 F(x, y, z) x z ln z z ln y
则 Fx 1
Fy
z y
Fz ln z 1 ln y
(
y x
)
(
y ), x
求
x 2 zxx
2xyzxy
y 2 zyy .
高等数学笔记(含数一内容)
隐函数求导
参数方程确定的函数求导
分段函数求导
先讨论关键点是否连续，确定连续后再判断函数各个部分是否可导。
求函数高阶导
一般使用数学归纳法解决。
微分
可微
定义：设y=f(x) (x∈D)，x₀∈D。若∆y=A∆x+৹(∆x)，则称f(x)在x=x₀处可微。
性质
可微一定可导，可导一定可微（充要条件）
若∆y=A∆x+৹(∆x)，则A=f'(x₀)，即dy∣₍x=x₀₎=f'(x₀)dx
二阶线性微分方程解的结构 齐+齐=齐 齐 + 非齐 = 非齐 非齐 + 非齐 = 齐 （拆解性质）对于方程**，若f(x)=f1(x)+f2(x)（即可拆成两部分），则分别构造两个二阶非齐次线性微分方程，且φ1(x)，φ2(x)分别为它们的特解，则 有原方程特解为：
y=φ1(x)+φ2(x) （系数和的特点）设φ1(x)，φ2(x)，...，φn(x)，为方程**的解，则通解的组合形式为y=k1φ1(x)+k2φ2(x)+...+knφn(x) 若y为方程*的通解，则k1+k2+...+kn=0（系数和为0） 若y为方程**的通解，则k1+k2+...+kn=1（系数和为1） （二阶常系数线性微分方程通解形式推导定理）
函数f(x)∈ c【a，b】的性质（函数在区间内恒连续）
性质1：∃最大值 M 和最小值 m （最值）； 性质2：∃M₀>0，使得∣f(x)∣≤M₀（有界）；
性质3： ∀η ∈【m，M】，∃ξ∈【a，b】，使得f(ξ)=η（介值定理）；
性质4：若 f(a)*f(b)<0，则∃c∈(a，b)，使得f(c)=0（零点定理）。 连续函数的运算
偏导数的概念【重点】
若求函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，只需 先求偏导函数fx(x,y)，然后再求fx(x,y)在点(x0,y0)处的函 数值，即 fx (x, y) |(x0,y0) fx (x0, y0 )，这样就得到了函数 z =f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.也可以先将y=y0代入 z=f(x,y)中，得z=f(x,y0)，然后对x求导数fx(x,y0)，再以 x=x0代入.两种做法是一致的.因为在这个过程中，y为 常数y0.
同样，fy(x0,y0)是这条曲线z=f(x,y)与平面x=x0的交
线
z f (x, y), x x0 在点M0(x0,y0,z0)处的切线关于y 轴的斜率.
二 、偏导数的求法
求多元函数的偏导数就相当于求一元函数导数.一 元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导数 仍然适用.
例如，给定一个二元函数z=f(x,y)，求 z 时，可将 x
固定y=0，让x→0，考察在(0,0)点处对x的偏导 数.此时 f (x,0) x2 0 | x |，已知函数|x|在x=0处是 不可导的，即f(x,y)在点(0,0)处对x的偏导数不存在， 同样可证f(x,y)在(0,0)点对y偏导数也不存在.
在点(x0,y0)处二元函数连续，推不出偏导数存在， 而偏导数存在也推不出函数在该点处连续，所以二元 函数连续与偏导数存在这二者之间没有因果关系.
2.二元函数偏导数的几何意义 二元函数z=f(x,y)的图形表示空间一张曲面.当y=y0
时，曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线方程为
z f (x, y),
y
y0.
上式表示y=y0平面上的一条 曲线z=f(x,y0).根据导数的几 何意义可知：fx(x0,y0)就是这 条曲线在点M0(x0,y0,z0)处的 切线关于x轴的斜率.
偏导数的定义与计算方法
偏导数的定义与计算方法偏导数是数学中的一个重要概念。
它可以在多变量函数中反映出每个变量对函数的影响程度。
偏导数的计算方法和一元函数的导数有所不同，下面将详细介绍偏导数的定义、性质以及计算方法。
一、偏导数的定义在多元函数中，每个自变量的取值都会影响函数值的大小。
因此，在计算偏导数时，需要将其他自变量看作常数，只考虑某一个自变量对函数的影响。
对于一个函数f(x1,x2,...xn)，对于自变量xi的偏导数定义为：∂f/∂xi=lim (Δxi→0) (f(x1,x2,...,xi+Δxi,...xn)-f(x1,x2,...,xi,...xn))/Δxi其中，Δxi表示自变量xi的增量，是一个很小的数。
当Δxi趋近于0时，称之为f对xi的偏导数。
二、偏导数的性质1. 偏导数存在性对于连续的多元函数，偏导数一定存在。
但对于非连续的函数，偏导数可能不存在。
2. 二阶偏导数如果一个函数的一阶偏导数存在，则可以进行二次偏导数的计算。
二次偏导数的计算方法和一次偏导数类似，只需要在一次偏导数的式子中再次取偏导数即可。
3. 高阶偏导数类似于二次偏导数，多元函数的任意阶偏导数也可以进行计算。
高阶偏导数的符号和计算方法与一阶偏导数相同。
4. 取偏导数的顺序不同的偏导数的计算顺序有可能会影响计算结果。
例如，f(x,y)=x^2y^2，如果先对x求偏导数，再对y求偏导数，得到的结果为：∂f/∂x=2xy^2，∂f/∂y=2x^2y如果先对y求偏导数，再对x求偏导数，得到的结果为：∂f/∂y=2xy^2，∂f/∂x=2x^2y由于偏导数的计算顺序不同，导致结果也不同。
因此，在取偏导数时，需要注意顺序。
三、偏导数的计算方法1. 公式法偏导数的计算可以使用公式法。
首先需要将待求的函数f(x1,x2,...xn)展开为多项式形式，然后按照偏导数的定义进行计算。
例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，需要求∂f/∂x和∂f/∂y。
第5节高阶偏导数资料讲解
第5节高阶偏导数资料讲解高阶偏导数指的是一个多元函数的某个变量对应的偏导数再次进行偏导数运算的结果，即对偏导数求导。
这是微积分中的一个重要概念，其在数学和工程中都有广泛应用。
一阶偏导数是指函数在该变量处的变化率，二阶偏导数是指函数在该变量处变化率的变化率，以此类推。
具体来说，设函数f(x,y)含有两个自变量x和y，f对x的偏导数为fx，对y的偏导数为fy，则f的二阶偏导数分别为fxx，fyy，以及两个偏导数的混合导数fxy和fyx。
混合导数fxy和fyx并不相等，它们是对同一函数f(x,y)在不同自变量处求偏导数得到的结果。
具体计算方法为先对x求偏导数fx，再对fx关于y进行求偏导数，得到fxy；同理，对y求偏导数fy，再对fy关于x进行求偏导数，得到fyx。
高阶偏导数的计算方法同样可以采用类似的方式：先求出函数的一阶偏导数，然后对一阶偏导数进行求偏导数，即可得到高阶偏导数。
以二阶偏导数为例，设函数f(x,y)的一阶偏导数分别为fx和fy，则f的二阶偏导数fxx，fyy和fxy可以通过以下公式进行计算：fxx = ∂²f / ∂x²这些公式可以进一步推广到高阶偏导数的情况下。
例如，若f的二阶混合导数fxy在一个区域上连续，那么f的二阶偏导数fxx和fyy也存在，且它们相等，即：fxx = ∂²f / ∂x² = ∂/∂x(∂f / ∂x) = ∂/∂x(fx)此外，高阶偏导数具有一些基本性质，如连续性、可交换性和与区间交换极限的等式等。
这些性质为高阶偏导数的计算和应用提供了一定的便利。
总之，高阶偏导数是微积分理论中的重要概念，在许多数学和工程问题中都有广泛的应用。
通过对偏导数的反复求导，我们可以进一步研究函数的性质和变化规律，帮助我们更好地理解和解决实际问题。
第5讲——二元函数最优化问题
第五讲 二元函数最优化问题§5.1 问题的引入一、 引例【引例】某厂生产两种型号的钢笔，甲种每支售价为10元，乙种每支售价为9元，而生产甲种笔x 支，乙种笔y 支的总费用为)33(01.032400),(22y xy x y x y x C +++++=元，问两种笔的产量各为多少时，企业利润最大？分析：此题讨论利润最大，属最优化问题，先建立函数关系——因变量为企业利润π由于C R -=π而成本为)33(01.03240022y xy x y x C +++++=——二元函数y x R 910+=——二元函数故C R -=π)]33(01.032400[91022y xy x y x y x +++++-+=40003.001.003.06822----+=y xy x y x ——二元函数故此问题为二元函数求最值问题二、 复习一元函数最值求法一元实际应用问题最值求法（步骤） 1、 建立函数关系式 2、 求最值(1) 求定义域 (2) 求一阶导 (3) 找所有可能极值点① 使一阶导＝0的点——驻点 ② 使一阶导不存在的点 实际问题通常可能极值点惟一 (4) 将惟一可能极值点转化为最值点因为实际问题存在最大（小）值 所以惟一可能极值点为最大（小）值点3、 答题显然，一元函数的最值与极值有关，若实际问题存在最值，则惟一可能极值点定是最值点，而可能极值点与一阶导有关二元函数与一元函数相类似，在二元函数中，若实际问题存在最值，则惟一可能极值点定是最值点，故二元实际问题应用，也将惟一可能极值点转化为最值点的一元函数可能极值点与一阶导有关，二元函数与一元函数相类似，只不过在一元函数中，为导数，而在二元函数中，不称为导数，而称为偏导数故二元函数极值的寻找也与一阶偏导数有关，判断仍与二阶偏导数有关故为了解最值，需先了解偏导数的概念及计算，以及如何根据偏导数寻找极值、判断极值§5.2 二元函数的偏导数一、二元函数一阶偏导数 (一) 复习一元函数一阶导数定义一元函数)(x f y =在点0x 处的导数定义为：xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000其中：x ∆表示自变量x 在0x 处的改变量y ∆表示当自变量x 在0x 处有改变量x ∆时，函数相应改变量于是导数定义为：函数改变量比自变量改变量，当自变量改变量趋于0时的极限简称为：差商极限(二) 二元函数一阶偏导概念 1、二元函数改变量概念二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处的改变量分为两类——全改变量、偏改变量x 和y 都发生改变——),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆x 改变量；②偏y 改变量①偏x 改变量——仅x 发生改变（y 不变）——),(),(0000y x f y x x f z x -∆+=∆ ②偏y 改变量——仅y 发生改变（x 不变）——),(),(0000y x f y y x f z y -∆+=∆ 二元函数的导数，用的是偏改变量，因而称为偏导数 2、二元函数在一点处的偏导数值定义函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数表示为：),(00y x f x 或),(00y x x z∂∂，其定义如下：xy x f y x x f x z y x f x x x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆),(),(lim lim),(00000000函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数表示为：),(00y x f y 或),(00y x yz∂∂，其定义如下：yy x f y y x f yz y x f y y y y ∆-∆+=∆∆=→∆→∆),(),(limlim),(0000000一点处的偏导数),(00y x f x 、),(00y x f y 结果为——数值3、二元函数一阶偏导函数概念函数),(y x f z =在区域D 内每点对x 的偏导数都存在，则称函数在区域D 内对x 可偏导，于是对于区域D 内每一个点),(y x ，都有惟一确定的对x 的偏导函数值相对应，于是在D 内定义了一个新函数，以),(y x 为自变量，而对x 的偏导数值为因变量，称为函数),(y x f z =在区域D 内的对x 的偏导函数，记作：),(y x f x 或xz∂∂，其结果仍为y x ,的二元函数． 同理有函数),(y x f z =在区域D 内的对x 的偏导函数，记作：),(y x f y 或yz∂∂，其结果仍为y x ,的二元函数．4、一点处偏导数与导函数间关系),(0000)),((),(y xx x y x f y x f =， ),(0000)),((),(y x y y y x f y x f =(三) 二元函数一阶偏导的求法 1、 思想——转化为一元函数求导 2、 具体操作方法按照偏导数定义xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000——仅x 变，y 不变，故y 暂时看成常数，形成一元函数yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000——仅y 变，x 不变，故x 暂时看成常数，形成一元函数故二元函数求偏导的方法——转化为一元函数求导问题——对x 求偏导，将x 看成变量，y 暂时看成常数 ——对y 求偏导，将y 看成变量，y 暂时看成常数 ——对谁求偏导，将谁看成变量，另一变量暂时看成常数【例1】已知函数52332-+-+=y xy y x z ，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：y x y x xz3200302-=-+-+=∂∂【x 变量，y 常数】 2330233022+-=-+-+=∂∂x y x y yz【y 变量，x 常数】 【例2】已知厂商的生产函数为二元函数32316),(K L K L f y ==，其中L 表示劳动投入量，K 表示资本投入量，求L y ∂∂和Ky ∂∂． 解：3232323231322316)(6--=⋅='=∂∂L K L K L K L y L 【L 变量，K 常数】3131313132314326)(6--=⋅='=∂∂K L K L K L K y K 【K 变量，L 常数】 【例3】已知函数xye z =，求)2,1(xf 和)2,1(y f ． 解：xy xy x xy ye y e xy e xz=⋅='⋅=∂∂)(【x 变量，y 常数】 xy xy y xy xe x e xy e yz=⋅='⋅=∂∂)(【y 变量，x 常数】 )2,1(x f 2212e ye y x xy==== )2,1(y f 221e xe y x xy====二、二元函数的二阶偏导（数）二元函数的二阶偏导共有四个 1、符号及含义x x xxxx z x zx y x f z x z )()(),(22=∂∂∂∂===∂∂ 偏x 偏x ；先偏x 再偏x y x xy xy z x zy y x f z y x z )()(),(2=∂∂∂∂===∂∂∂ 偏x 偏y ；先偏x 后偏y x y yx yx z yzx y x f z x y z )()(),(2=∂∂∂∂===∂∂∂ 偏y 偏x ；先偏y 后偏x y y yy yy z y zy y x f z yz )()(),(22=∂∂∂∂===∂∂ 偏y 偏y ；先偏y 再偏y 其中y x z ∂∂∂2和xy z∂∂∂2称为二阶混合偏导2、求二阶偏导的方法(1) 先求一阶偏导；(2) 再对二阶偏导，即对一阶偏导结果再求一次偏导 【例4】已知函数52332-+-+=y xy y x z ，求各二阶偏导． 解：y x y x xz3200302-=-+-+=∂∂【x 变量，y 常数】2330233022+-=-+-+=∂∂x y x y yz【y 变量，x 常数】 2)32(22=-=∂∂x y x xz【x 变量，y 常数】 3)32(2-=-=∂∂∂y y x yx z【y 变量，x 常数】 3)233(22-=+-=∂∂∂x x y xy z【x 变量，y 常数】 y x y yz y 6)233(222=+-=∂∂【y 变量，x 常数】 此题中，两个混合偏导相等一般，只要两个混合偏导连续，则一定相等由于幂函数在定义域内一定连续，而幂函数的导数仍为幂函数，故幂函数的两个混合偏导一定相等故今后幂函数不需分别求两个混合偏导，只需求一个即可【例5】已知函数2234x y e z -=，求各二阶偏导．解：222222343422346)6()34(x yx yx x yx xe x e x y e z ----=-⋅=-⋅=【x 变量，y 常数】222222343422348)8()34(x yx yy x yy ye y e x y e z ---=⋅=-⋅=【y 变量，x 常数】x x yx yx x x yxx e x e x xe z ))(6()6()6(222222343434----+-=-= x x yx y x y xe e )34(662234342222-⋅--=--)6(6622223434x xe e x yx y---=--)16(623422-=-x e x y【x 变量，y 常数】y xe x y xe e x xe z x yy x yy x yy x yxy 86)34(6)(6)6(222222223422343434⋅-=--=-=-=----223448x yxye --=【y 变量，x 常数】)6(8)(8)8(222222343434x ye e y ye z x yx x yx x y yx -===---223448x y xye --=【x 变量，y 常数】y x yx yy x yx yy y x yyy x y ye e e y e y ye z )34(88)(8)8()8(2234343434342222222222-+=+==-----)81(88882343434222222y e y ye e x yx yx y+=+=---【y 变量，x 常数】§5.3 二元函数的极值一、 二元函数极值的概念设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有定义，对于该邻域内任何异于),(00y x 的点),(y x (),(y x ),(00y x ≠)① 若恒有),(),(00y x f y x f >，则称),(00y x f 为函数),(y x f z =的极大值并称),(00y x 为函数),(y x f z =的极大值点② 若恒有),(),(00y x f y x f <，则称),(00y x f 为函数),(y x f z =的极小值并称),(00y x 为函数),(y x f z =的极小值点注意：二元函数极值仍为局部概念 二、 二元函数极值的求法 1、 二元函数的驻点使⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yz x z的点),(00y x 称为驻点2、 极值存在必要条件定理：若二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处取得极值，则),(00y x 为驻点，或在点),(00y x 处偏导不存在【注意】与一元函数相同，二元函数的驻点只是可能的极值点，是否为真正极值点，必须根据极值存在充分条件做进一步判定3、 极值存在充分条件使用条件——),(00y x 为驻点 使用方法——根据AC B -2的符号其中：),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy = ➢ 若02>-AC B ，则),(00y x 不是极值点 ➢ 若02<-AC B ，则),(00y x 是极值点，且① 若0>A ，则),(00y x 是极小值点 ② 若0<A ，则),(00y x 是极大值点➢ 若02=-AC B ，则),(00y x 是否为极值点不定 4、 二元函数求极值的步骤(1) 求两个一阶偏导x z ∂∂和yz ∂∂ (2) 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yz x z，得驻点),(00y x找使一阶偏导不存在点（一般无，∵若一阶偏导不存在，则二阶更不存在，无法用二阶判断了） (3) 求二阶偏导函数：),(y x f xx ，),(y x f xy ，),(y x f yy(4) 将驻点),(00y x 代入二阶偏导函数求值，得),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =(5) 用充分条件(02>-AC B 还是0<)判断驻点是极小值点还是极大值点当有多个驻点时，重复(4)和(5) (6) 写出结论【例1】求函数124),(223+---=y xy x x y x f 的极值解：(1)y x x x z 2832--=∂∂，y x yz 22--=∂∂ (2) 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yz xz，即⎩⎨⎧=--=--02202832y x y x x 得驻点)0,0(和)2,2(-无使一阶偏导不存在点(3) 86),(-=x y x f xx ，2),(-=y x f xy ，2),(-=y x f yy 在点)0,0(处：(4) 8)0,0(-==xx f A ，2)0,0(-==xy f B ，2)0,0(-==yy f C (5) ∵012)2()8()2(22<-=-⨯---=-AC B ，∴)0,0(为极值点又∵08<-=A ，∴)0,0(为极大值点，极大值为1)0,0(=f 在点)2,2(-处：(4) 4)2,2(=-=xx f A ，2)2,2(-=-=xy f B ，2)2,2(-=-=yy f C (5) ∵012)2(4)2(22>=-⨯--=-AC B ，∴)2,2(-不是极值点 (6) 函数有极大值1)0,0(=f ．【练习】求函数279),(33+-+=xy y x y x f 的极值．解：(1) y x y x f x 93),(2-=，x y y x f y 93),(2-=(2) 令⎩⎨⎧==0),(0),(y x f y x f y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-09309322x y y x ，得驻点)0,0(，)3,3(无使一阶偏导不存在点(3) x y x f xx 6),(=， 9),(-=y x f xy ， y y x f yy 6),(= 在点)0,0(处：(4) 0=A ，9-=B ，0=C(5) ∵0812>=-AC B ，∴)0,0(不是极值点 在点)3,3(处：(4) 18=A ，9-=B ，18=c(5) ∵02432<-=-AC B ，∴)3,3(是极值点又由于0>A ，∴)3,3()0,0(为极小值点 极小值为33(3,3)33933270f =+-⨯⨯+= (6) 函数有极小值0)3,3(=f ．§5.4 二元函数的最值及其应用一、二元函数最值概念若对于区域D 内的所有),(),(00y x y x ≠，都有),(),(00y x f y x f >，称),(00y x f 为二元函数),(y x f z =在区域D 内的最大值，),(00y x 称为最大值点若对于区域D 内的所有),(),(00y x y x ≠，都有),(),(00y x f y x f <，称),(00y x f 为二元函数),(y x f z =在区域D 内的最小值，),(00y x 称为最小值点最大值、最小值统称为极值，最大值点、最小值点统称为极值点二、实际问题求最值方法1、实际问题通常二元函数有惟一极值，则该惟一极值必为最值2、若实际问题存在最大（小）值，则惟一驻点定为最大（小）值点． 三、二元函数最值应用步骤 1、建立函数关系式 2、求极值(1) 求一阶偏导 (2) 找所有可能极值点① 找驻点② 使一阶偏导不存在的点 实际问题通常可能极值点惟一3、求最值因为实际问题存在最大（小）值 所以惟一可能极值点为最大（小）值点 4、答题四、经济学中二元函数最值应用举例【例1】某厂生产两种型号的钢笔，甲种每支售价为10元，乙种每支售价为9元，而生产甲种笔x 支，乙种笔y 支的总费用为)33(01.032400),(22y xy x y x y x C +++++=元，问两种笔的产量各为多少时，企业利润最大？解：1、建立函数关系——两种产品产量x 和y 为自变量，企业利润π为因变量收益函数为y x y x R 910),(+=总成本函数为)33(01.032400),(22y xy x y x y x C +++++= 利润函数),(),(),(y x C y x R y x -=π)]33(01.032400[91022y xy x y x y x +++++-+= 40003.001.003.06822----+=y xy x y x2、求极值 (1)y x x 01.006.08--=π，y x y 06.001.06--=π(2) 令⎩⎨⎧==00yx ππ，即⎩⎨⎧=--=--006.001.06001.006.08y x y x ，得惟一驻点)80,120(无使一阶偏导不存在点3、求最大值∵实际问题存在最大值∴惟一可能极值点)80,120(为最大值点4、答：甲种型号钢笔生产120支，乙种型号钢笔生产80支，可使企业利润最大．【例2】某商店销售A 、B 两种产品，A 产品的成本为2元／个，B 产品的成本是3元／个．A 产品的需求量为x ，价格为p ，B 产品的需求量为y ，价格为q ．两种产品的价格-需求方程分别为：q p x 254075+-=，q p y 302080-+=商店为得到最大利润，应如何对A 、B 两种产品定价？商店最大利润为多少？A 、B 两种产品的需求量各为多少？解：1、建立函数关系——两种产品价格p 和q 为自变量，企业利润π为因变量收益函数为qy px q p R +=),()302080()254075(q p q q p p -+++-= 总成本函数为y x q p C 32),(+=)302080(3)254075(2q p q p -+++-= 利润函数),(),(),(q p C q p R q p -=π)302080)(3()254075)(2(q p q q p p -+-++--=3903040451209522---++=q p pq q p2、求极值 (1)p q p 804595-+=π，q p q 6045120-+=π(2) 令⎪⎩⎪⎨⎧==00qp ππ，即⎩⎨⎧=-+=-+060451200804595q p p q ，得惟一驻点4=p ，5=q无使一阶偏导不存在点3、求最大值∵实际问题存在最大值∴惟一可能极值点4=p ，5=q 为最大值点此时A 产品需求量为：40=x ，B 种产品需求量为：10=y 商店最大利润为100)5,4(=π4、答：A 产品的销售价格为4元、B 产品销售价格为5元时，商店利润最大，最大利润为100元，此时A 产品需求量为40个，B 产品需求量为为10个．§5.5 二元函数条件极值 ——拉格朗日乘数法一、 问题的引入【引例】若某产品的产出函数为4.06.010),(y x y x N =，x 为人工数量，y 为资金数量．如果每个人工的费用30美元，每个单位资金的费用为60美元．如果总预算为300000美元，求：如何分配这个总预算，可以获得最大的生产率？该题目求函数4.06.010),(y x y x N =的最大值 已知变量x 和y 满足条件3000006030=+y x称问题为函数4.06.010),(y x y x N =在条件3000006030=+y x 下的极值——条件极值 二、 解决条件极值的方法——两种(1) 将条件代入函数，使函数减少一个变量，按极值方法计算 (2) 拉格朗日乘数法 三、 条件极值的拉格朗日乘数法以二元函数为例．求函数),(y x f z =在条件0),(=y x g 下的极值(1) 做拉格朗日函数),(),(),,(y x g y x f y x L λλ+=——三元函数(2) 求),,(λy x L 的驻点：即满足⎪⎩⎪⎨⎧===+==+=0),(),,(0),(),(),,(0),(),(),,(y x g y x L y x g y x f y x L y x g y x f y x L y y y x x x λλλλλλ的),(00y x(3) 由实际意义确定是极值【例1】若某产品的产出函数为4.06.010),(y xy x N =，x 为人工数量，y 为资金数量．如果每个人工的费用30美元，每个单位资金的费用为60美元．如果总预算为300000美元，求：如何分配这个总预算，可以获得最大的生产率？ 解：(1) 明确问题：极大值：4.06.010),(y xy x N =约束条件：03000006030),(=-+=y x y x g(2) 构造拉格朗日函数：)3000006030(10),(),(),,(4.06.0-++=+=y x y x y x g y x N y x L λλλ(3) 解一阶偏导数组成的方程组，求驻点⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=--03000006030060403066.06.04.04.0y x F y x F y x F y x λλλ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--6.06.04.04.015151y x y x λλ ∴6.06.04.04.015151---=-y x y x 则：y x 3=6000=x ，2000=y(4) 因为6000=x ，2000=y 为惟一驻点，故6000=x ，2000=y 为最大值点(5) 最大产出为4.38658)2000,6000(=N 【例2】某消费者购买甲、乙两种商品的价格为2=x p 和5=y p ，消费者用40个单位的费用购买这两种商品，又知当购买量分别为x 和y 时，消费者的效用函数2131),(y x y x =μ，问消费者如何购买，可以得到最大效用？最大效用为多少？ 解：(1) 明确问题：极大值：2131),(y x y x =μ约束条件：04052),(=-+=y x y x g(2) 构造拉格朗日函数函数：)4052(),,(2131-++=y x y x x x L λλ(3) 解一阶偏导数组成的方程组，求驻点⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+==+==+=--04052052102312131213221y x F y x F y x F Q Q λλλ⇒8=x ，524=y ，1201-=λ 因为实际问题存在最大值 所以惟一驻点8=x ，524=y 为最小值点 答：§5.6 最小二乘法Method of least squares一、问题的引入我们前面讨论了经济中常用函数，并且讨论了边际、弹性、最优化等问题．而这些问题讨论的前提是——已知一个函数关系式．如果没有这些关系，上述问题都将无法讨论．那么，这些函数关系是如何建立的呢？回归分析是经济分析中常用的一种方法，它是通过最小二乘法的原理将一组数据拟合为初等函数．引例：某种商品价格(x ：美元)与销售量(y ：件)间的数据如下表试确定销售量与价格间函数关系式．二、最小二乘法 (一) 画（散点）图(二) 根据散点图确定拟合图形形状（函数类型）——此题显然应拟合成直线可拟合为抛物线c bx ax y ++=2可拟合为指数函数bxae y =也可拟合为直线b ax y += 也可拟合为分段函数当不能确定拟合为何种类型函数更合适时，可拟合多个函数，然后比较哪个更好，更贴切 我们只将拟合为直线的方法，其他思想相同，请自学 拟合为直线（线性函数）的方法——线性回归(三) 拟合的最好标准为更能说明问题，采用下面图形1、图中各点依次称为),(11y x ，),(22y x ，……，),(n n y x2、设拟合的直线方程为b ax y +=，其中为待定系数要通过最小二乘法，找到最好的a 和b3、将1x 代入b ax y +=，得b ax y +=1，则),(),(111b ax x y x +=为拟合直线上的点实际点),(11y x 与拟合直线上的点),(11b ax x +间有一个误差——b ax y b ax y --=+-1111)(，该误差可能正，也可能负实际点),(22y x 与拟合直线上的点),(22b ax x +间有一个误差——b ax y b ax y --=+-2222)(，该误差可能正，也可能负……实际点),(n n y x 与拟合直线上的点),(b ax x n n +间有一个误差——b ax y b ax y n n n n --=+-)(，该误差可能正，也可能负每个实际点与拟合直线上的点都有误差，且误差有正有负 4、所谓最好，最贴切指——误差最小5、但不能将这些误差直接相加，因为其中必然有正有负——直接相加将相互抵消——平方之和6、所有点误差平方之和为∑=--=--++--+--ni i i n n b ax y b ax y b ax y b ax y 12222211)()()()( ——使其最小7、将∑=--ni i ib ax y12)(中的a 和b 看成变量——二元函数，问题转化为：——求a 和b 的值——使∑=--=ni i ib ax yb a F 12)(),(最小——二元函数求最小值问题8、a ni i i a ni i ia b ax y b ax yb a F ])[(])([),(1212∑∑==--=--=∑=-⋅--=ni i i i x b ax y 1)()(2∑=-⋅--=ni i i i x b ax y 1)()(2∑=+-=ni i i i i bx y x ax 12)(2][21112∑∑∑===+-=n i i n i i i n i ibx y x ax ][21112∑∑∑===+-=ni i n i i i n i ix b y x x ab ni i i b n i i i b b ax y b ax y b a F ])[(])([),(1212∑∑==--=--=∑=-⋅--=n i i i b ax y 1)1()(2∑=-⋅--=n i i i b ax y 1)1()(2∑=+-=ni i i b y ax 1)(2][2111∑∑∑===+-=n i n i i n i i b y ax ][211nb y x a ni i n i i +-=∑∑==令 ⎩⎨⎧==0),(0),(b a F b a F b a则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-∑∑∑∑∑=====0][20][2111112nb y x a x b y x x a ni in i i ni i n i i i n i i即：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====n i i n i i n i i i n i i n i i y nb x a y x x b x a 1111129、实际操作时，通常画表列出求a 和b 所需的参数：∑=ni ix 1，∑=ni iy 1，∑=ni ii y x 1，∑=ni ix12三、 用最小二乘法线性回归的步骤【例1】已知某种商品价格(x ：美元)与需求量(y ：件)间的数据如下表(1) 利用最小二乘法确定价格-需求关系的线性方程．(2) 如果每件产品的成本为3美元，欲取得最大利润的价格应该是多少？ 【解】(1) ① 设拟合的价格-需求关系的线性方程b ax y +=② 画表③ 计算a 和b8.16255.12756.12255.585)(22112111-=-⨯⨯-⨯=-⋅-=∑∑∑∑∑=====ni i n i i ni in i i n i i i x x n y x y x n a 92.10525)8.16(6.1211=⨯--=-=∑∑==nx a yb ni ini i④ 所求价格-需求关系为：92.1068.1+-=x y (2) ① 建立利润随价格变化函数关系)(x πx x x x xy x R 92.1068.1)92.1068.1()(2+-=+-==76.3204.5)92.1068.1(33)(+-=+-==x x y x C)76.3204.5(92.1068.1)()()(2+--+-=-=x x x x C x R x π76.3296.1568.12++-=x x② 求极值96.1536.3)(+-='x x π令0)(='x π，得惟一驻点75.4=x 无使)(x π'不存在点 ③ 求最值∵实际问题存在最大值∴惟一可能极值点75.4=x 为最大值点 ④ 答：价格为4.75美元时，利润最大。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一阶偏导连续的概念
一阶偏导连续是指一个多元函数的所有偏导数都存在且连续。
具体来说，考虑一个具有多个自变量的函数，例如一个二元函数
f(x, y)。
如果这个函数在某个点 P 的附近，所有偏导数∂f/∂x 和∂f/∂y 都存在且连续，那么我们说这个函数在点 P 处具有一阶偏导
数连续。
一阶偏导连续的概念可以推广到具有任意多个自变量的函数。
对
于一个 n 元函数 f(x₁, x₂, ..., xₙ)，如果在某个点 P 的附近，所有偏导数∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂xₙ 都存在且连续，那么我们说这个函数在点 P 处具有一阶偏导数连续。
一阶偏导数连续是微积分中非常重要的一个概念，它保证了函数
在某点附近的局部性质可以通过一阶偏导数来刻画。
同时，一阶偏导
数连续还可以用于证明一些重要的定理，例如多元函数的泰勒展开定理。