整除和同余
数论的整除性与同余定理
数论的整除性与同余定理数论是数学的一个重要分支，研究的是整数的性质和规律。
其中，整除性与同余定理是数论中最基本也是最重要的两个概念。
本文将围绕这两个概念展开详细讲解。
整除性是指整数a能被整数b整除，通常用符号“a|b”表示。
如果存在整数c，使得b = ac，我们就说a整除b。
整除性在数论中起着至关重要的作用，它为我们研究整数的性质提供了基础。
数的整除性有很多有趣的性质。
首先是整数的整除关系是反身性、对称性和传递性的。
即对于任意整数a、b、c，有以下性质成立：1. 反身性：a|a，即任意整数都能整除自身。
2. 对称性：如果a|b，则b|a，即如果a能整除b，那么b也能整除a。
3. 传递性：如果a|b，b|c，则a|c，即如果a能整除b，b能整除c，那么a也能整除c。
这些基本性质使得我们可以通过分析整除关系来推导得出更多有关整数的性质。
比如，根据整除性的传递性，我们可以得出一个结论：如果a|b，b|c，则a|c。
这个结论有时被称为“整除与传递”。
它告诉我们，如果一个整数同时整除两个数，那么它也必然整除两个数的最大公约数。
在数论中，同余定理是另一个重要的概念。
同余是指两个整数除以一个正整数m所得的余数相等。
如果a和b满足a≡b(mod m)，我们就说a与b同余，其中“≡”表示同余关系。
同余关系也具有一些有趣的性质。
同余定理可以进一步细分为三个定理：同余定理一、同余定理二和同余定理三。
下面分别进行详细介绍。
1. 同余定理一：如果a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a + c ≡ b + d (mod m)，a - c ≡ b - d (mod m)。
也就是说，同余的两个数之和、之差在模m下仍然同余。
2. 同余定理二：如果a≡b(mod m)，那么ac≡bc(mod m)。
也就是说，同余的两个数分别与另一个数相乘，在模m下仍然同余。
3. 同余定理三：如果ab≡ac(mod m)，且a与m互质，那么b≡c(mod m)。
初中数学竞赛：数的整除(同余)
初中数学竞赛：数的整除（同余）【内容提要】一. 同余的概念 两个整数a 和b 被同一个正整数m 除，所得的余数相同时，称a, b 关于模m 同余.记作a ≡b(mod m).如：8和15除以7同余1，记作8≡15(mod 7), 读作8和15关于模7同余.∵2003=7×286+1，∴2003≡1 (mod 7)；∵－7和6对于模13同余6（余数是非负数）∴－7≡6（mod 13）；∵35和0除以5，余数都是0（即都能整除）∴35≡0（mod 5）.二. 用同余式判定数的整除若a ≡b(mod m)， 则m|(a －b).即a －b ≡0(mod m)⇔m|(a －b).例如：11≡25(mod 7)⇔7|(25－11)； 或 7|(11－25).∵25+35≡2+3≡0 (mod 5)，∴5|25+35.三. 同余的性质 (注意同余式与等式在变形中的异同点)1. 传递性： )(m o d )(m o d )(m o d m c a m c b m b a ≡⇒⎭⎬⎫≡≡. 2. 可加可乘性：⎩⎨⎧≡+≡+⇒⎭⎬⎫≡≡).(mod )(mod ).(mod )(mod m bd ac m d b c a m d c m b a ；， 推论 可移性：a ≡b+c (mod m)⇒(a －b)≡c(mod m).可倍性：a ≡b(mod m)⇒ka ≡kb(mod m) (k 为正整数).可乘方：a ≡b(mod m)⇒ a n ≡b n (mod m) (n 为正整数).3. 当d 是a, b, m 的正公因数时， a ≡b(mod m)⇒d b d a ≡(mod dm ). 如：2是20，26，6的正公因数， 20≡26(mod 6)1310≡⇒(mod 3).四. 根据抽屉原则：任给m+1个整数，其中至少有两个数对于模m 同余.即至少有两个，其差能被m 整除.例如：任给5个数a,b,c,d, e.其中至少有两个，它们的差能被4整除.∵除以4的余数只有0，1，2，3四种.∴5个数除以4至少有两个同余.【例题】例1.已知：69，90，125除以正整数n有相同的余数.求：n的值解：∵69≡90(mod n)，90≡125(mod n).∴n|(90－69)，n|(125－90).而21,35的最大公约数是7，记作(21,35)=7 (7是质数).∴n=7例2.求388除以5的余数.解：∵38≡3 (mod 5)，∴388≡38≡(32)4≡(－1)4≡1 (mod 5).(注意9除以5余4，－1除以5也是余4，∴32≡－1 (mod 5)例3.求997的个位数字.解：∵74k+n与7n的个位数字相同，且9≡1 ( mod 4)，∴99≡19 ≡1(mod 4).∴997与71的个位数字相同都是7.例4.求证：7|(22225555+55552222).证明：∵22225555+55552222=(22225)1111+(55552)1111∵2222=7×317+3 ，5555=7×793+4.∴2222≡3 ( mod 7)；5555≡4 (mod 7).∴22225≡35≡5(mod 7)；55552≡42≡2 (mod 7).∴22225+55552≡5+2≡0 ( mod 7).即22225≡－55552 (mod 7).∴(22225)1111≡(－55552)1111≡－(55552)1111 (mod 7).∴22225555+55552222≡0 (mod 7).∴7|(22225555+55552222).例5.求使32n－1能被5整除的一切自然数n.解：∵32≡－1 (mod 5) ，∴(32)n≡(－1)n (mod 5).32n－1≡(－1) n－1 (mod 5)∵当且仅当n为偶数时，(－1) n－1=0.∴使32n－1能被5整除的一切自然数n是非负偶数例6.已知：a,b,c是三个互不相等的正整数.求证：a3b－ab3,b3c－bc3,c3a－ca3三个数中，至少有一个数能被10整除.证明：用同余式判定整除法证明当正整数n的个位数是0，1，4，5，6，9时，n3的个位数也是0，1，4，5，6，9.∴这时n3≡n (mod 10)；当正整数n的未位数为2，3，7，8时，n3的个位数分别是8，7，3，2.∵8与－2，7与－3，3与－7，2与－8，除以10是同余数，∴这时n3≡－n (mod 10)；把三个正整数a,b,c按个位数的情况，分为上述两类时，则至少有两个属于同一类.设a,b的末位数是同一类，那么a3b－ab3≡ab－ab≡0 (mod 10)；或a3b－ab3≡(－a)b－a(－b)≡0 (mod 10).∴10| (a3b－ab3)【练习】1.三个数33，45，69除以正整数N有相同余数，但余数不是0，那么N=_______.2. 求777的个位数字.3. 求379245除以19的余数； 41989除以9的余数.4. 求19891990÷1990的余数.5. 四个数2836，4582，5164，6522都被同一个正整数除，所得的余数都相同且不是 0，求除数和余数.6. 求证：7|(33334444+44443333).7. 已知：正整数n>2 . 求证：31111≡ 个n (mod 4).8. 任给8个整数，其中必有两个，它们的差能被7整除，试证之.9. 求使2n +1能被3整除的一切自然数n.10. 已知 69，90，125除以N (N>1) 有同余数，那么对于同样的N ，81同余于() （A ）3. （B ）4. （C ）5. （D ）7. （E ）8.【答案】1. N=12，6，2.(舍去3，∵余数是0).解法仿例1.2. 个位数字是3.∵7≡－1(mod 4), ∴ 777≡(－1)77(mod 4)……仿例33. 余数是18和1. ∵37≡－1 (mod 19) ∴原式≡－1 ≡18 (mod 19)；41989=(43)663 64≡1(mod 9) 64663≡1663 ≡1.4. 余数是1. ∵1989≡－1 (mod 1990) ∴19891990≡(－1)1990≡1 (mod 1990).5. 根据题意 2836≡4582≡5164≡6522≡r (mod m)而且4582－2836=1746, 6522－5164=1358.∴ m| 1746, 且m|1358， (1746，1358)=2×97∴m=194, 97, 2 (2不合题意.舍去)答：除数为194， 余数是120或除数为97， 余数是236. ∵ 33334444+44443333≡14444+(－1)3333≡0 (mod 7).7. 个个211111111-=n n 00+11≡11≡3 (mod 4).8. 8个正整数分别除以7，必有两个或两个以上是同余数9. ∵2≡－1 (mod 3) ∴2n ≡(－1)n (mod 3)2n +1≡(－1)n +1 (mod 3)当且仅当n奇数时, (－1)n+1≡0∴能被3整除的一切正整数n是奇数10. (B).。
大学整除与同余教案设计
教学目标：1. 理解整除与同余的概念，掌握整除与同余的基本性质。
2. 学会利用整除与同余的性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
教学重点：1. 整除与同余的概念及基本性质。
2. 应用整除与同余的性质解决实际问题。
教学难点：1. 理解整除与同余的性质，并能灵活运用。
2. 将实际问题转化为整除与同余问题。
教学用具：1. 多媒体课件2. 白板或黑板3. 练习题教学过程：一、导入1. 复习初中阶段学习的整除概念，引导学生回顾整除的定义和性质。
2. 提出问题：如何判断一个数能否被另一个数整除？3. 引入整除与同余的概念，激发学生的学习兴趣。
二、新课讲授1. 整除与同余的概念（1）整除：如果整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数，且没有余数，那么我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
（2）同余：如果整数a除以整数b（b≠0），除得的余数是整数c，那么我们就说a与b同余，记作a≡c（mod b）。
2. 整除与同余的性质（1）性质1：如果a能被b整除，那么a与b同余。
（2）性质2：如果a≡c（mod b），那么a-b能被b整除。
（3）性质3：如果a≡c（mod b），那么a+b≡c+b（mod b）。
3. 应用整除与同余的性质解决实际问题（1）判断一个数能否被另一个数整除。
（2）求解同余方程。
（3）解决实际问题，如日期、时间、密码等。
三、课堂练习1. 填空题：判断下列各数能否被3整除。
2. 选择题：下列哪个数与8同余？3. 应用题：求2008年2月29日到2010年2月28日共经过了多少天？四、课堂小结1. 回顾整除与同余的概念、性质及应用。
2. 强调整除与同余在解决实际问题中的重要性。
五、课后作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 查阅资料，了解整除与同余在其他领域的应用。
教学反思：本节课通过引入实际问题，引导学生理解整除与同余的概念，并掌握其基本性质。
在教学过程中，注重培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
整除性和同余性的定义和性质
整除性和同余性的定义和性质整除性和同余性是数学中非常重要的概念。
它们在代数、数论以及计算机科学等众多学科中有着广泛的应用。
本文将从定义、性质等方面对整除性和同余性进行详细的介绍。
一、整除性的定义和性质1.1 定义整除性是指对于两个整数a和b，若存在另外一个整数k，使得a=k×b，则称a可以被b整除，b是a的因数，a是b的倍数。
通常记为b|a。
1.2 性质①任何整数都可以被1和其本身整除。
②如果b|a，且c|b，则c|a。
③如果b|a，且a|c，则b|c。
④如果b|a，且a|b，则a=b或a=-b。
⑤如果b|a且b≠0，则|b|≤|a|，并且|a|/|b|是一个整数。
1.3 应用整除性在代数学和数论中都有广泛的应用。
以代数为例，整除性是求最大公因数和最小公倍数的基本工具。
对于给定的两个整数a和b，可以通过求解它们的公共因子（即两者都能够整除的整数）的最大值来得到它们的最大公因数。
而最小公倍数则可以通过求解a和b之间的联通代数条件来得到。
二、同余性的定义和性质2.1 定义同余性是指对于任意的整数a和b，若它们的差a-b能够被某一个正整数m整除，则称a和b在模m意义下同余，记为a≡b(mod m)。
2.2 性质① (自反性) a≡a(mod m)。
② (对称性) 若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。
③ (传递性) 若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
④ (加减法性) 若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)。
⑤ (乘法性) 若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
2.3 应用同余性在计算机科学中有广泛的应用。
由于计算机只能计算有限集合中的元素，因此需要在有限范围内的数据上进行运算。
同余性可以将数据限制在一个固定的范围内，并保证运算后的结果还在这个范围内，从而避免了数据溢出或越界的问题。
数论选讲
解： 又
(m + n)m ≥ mm + nm ⇒ mn ≤ 1413 。
44 = 256,53 = 3125 > 1413 ⇒ m ≤ 4 。 显然 m 为奇数。 当 m = 1时，对任何正整数 n ，不可能有 (m + n)m = n +1 = nm +1413 = n +1413 。
当 m = 3 时，由 (3 + n)3 = n3 +1413 可得 n2 + 3n −154 = 0 ，即
（1）必有自然数 k ，使得 Ak+1 = Ak 。 (2) 若 A = 1986 ，问上述的 Ak 等于多少？并说明理
由。
证明：（1）n = 0 时，对任意 k ，有 Ak = A 。当 n = 1 时，显然 A ≥ f ( A) 。 当 n ≥ 2 时，
f ( A) = 2n a0 + 2n−1 a1 +" + 2an−1 + an ≤ (2n + " + 2 + 1) ⋅ 9 = (2n+1 −1) ⋅ 9 ， A ≥ 10n an ≥ 10n = 10 ⋅10n−1 > 9 ⋅10n−1 > 9 ⋅ 23 ⋅10n−2 ≥ 9 ⋅ 23 ⋅ 2n−2 = 9 ⋅ 2n+1 > 9(2n+1 −1) ≥ f ( A)
一、基本知识
（一）整除与同余
1. 设 n 为正整数，则任意 n 个连续整数中有且仅有一个是 n 的倍数。 2. 若 p 为素数， n 为任意正整数，且 p a1 a2 "an ，则至少存在一个 ai ，使得 p ai 。
3. 若 ai ≡ bi (mod n),i = 1,2,", m ，则对任意的整数 ci (i = 1, 2,", m) ，均有
整除同余与不定方程
整除同余与不定方程摘要：一、整除与同余的概念1.整除的定义2.同余的定义二、不定方程的介绍1.不定方程的概念2.不定方程的例子三、整除与同余在不定方程中的应用1.整除在不定方程中的性质2.同余在不定方程中的性质四、不定方程的求解方法1.整除法求解2.同余法求解五、总结1.整除同余与不定方程的关系2.不定方程的求解技巧正文：整除同余与不定方程是数论中的重要概念，它们之间有着密切的联系。
整除是指一个整数可以被另一个整数整除，即余数为零。
同余是指两个整数除以某个整数后的余数相同。
而不定方程是指含有未知数的等式，其解不一定是整数。
本文将探讨整除与同余在不定方程中的性质及应用，并介绍求解不定方程的方法。
首先，我们来回顾一下整除与同余的概念。
整除是指一个整数可以被另一个整数整除，即余数为零。
例如，8 整除12，因为12 除以8 的余数为0。
同余是指两个整数除以某个整数后的余数相同。
例如，11 和19 同余，因为它们除以3 的余数都是2。
不定方程是含有未知数的等式，其解不一定是整数。
例如，x^2 + 3x + 2 = 0 是一个不定方程，其解为x = -1 和x = -2，都是整数。
然而，x^2 + 3x + 3 = 0 是一个不定方程，它没有实数解。
整除与同余在不定方程中的应用非常广泛。
整除在不定方程中的性质可以帮助我们简化问题，例如，如果一个不定方程有整数解，那么它的解一定可以表示为整数的乘积。
同余在不定方程中的性质可以帮助我们找到解的规律，例如，如果两个数同余，那么它们与任意整数的和仍然保持同余关系。
求解不定方程的方法有很多，其中整除法和同余法是常用的方法。
整除法求解不定方程的步骤如下：首先，将方程进行因式分解，然后将未知数表示为整数的乘积，最后根据整数的性质求解方程。
同余法求解不定方程的步骤如下：首先，将方程进行同余变形，然后利用同余性质求解方程。
总之，整除同余与不定方程是数论中的重要概念，它们之间有着密切的联系。
除法运算中的整除与余数知识点总结
除法运算中的整除与余数知识点总结在数学中，除法是一种基本的运算符号，用于将一个数称为另一个数的倍数。
在除法运算中，我们常常遇到两个关键概念：整除和余数。
本文将对整除和余数的概念进行详细解释，并探讨其在数学运算和实际问题中的应用。
一、整除的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。
我们可以用符号“|”来表示整除关系，例如，如果一个数a能够被另一个数b整除，则记作a | b。
例如，4 | 12 表示12能够被4整除，即12 ÷ 4 = 3，没有余数。
整除的应用非常广泛。
在数论中，整除是研究素数、因数分解、最大公约数和最小公倍数的基础。
在实际应用中，整除的概念经常用于整数的倍数关系、约数关系等。
二、余数的概念余数是指在除法运算中剩下的不够被除数整除的部分。
余数常常用符号“%”来表示。
例如，如果一个数a除以另一个数b得到的余数为r，则记作a % b = r。
例如，13 % 5 = 3，表示13除以5得到的余数为3。
余数的应用也非常广泛。
在计算机科学中，余数的概念经常用于判断一个数是否为偶数或奇数，进而进行条件判断。
在代数学中，余数的概念与同余关系有密切的联系。
三、整除与余数的性质与定理1. 若a | b 且 b | c，则a | c。
这是整除关系的传递性质。
2. 若a | b 且 b | a，则a = ±b。
这是整除关系的反对称性质。
3. 若a | b 且 a | c，则a | (pb + qc)，其中p和q为任意整数。
这是整除关系的线性性质。
4. 余数定理：对于任意整数a和正整数b，存在唯一的整数q和r，使得a = bq + r，其中0 ≤ r < b。
这个定理说明了除法运算总能得到一个唯一的余数。
五、整除与余数在实际问题中的应用整除与余数的概念不仅仅在数学中有重要的应用，它们在实际问题中也起着重要的作用。
1. 日历计算：通过整除和余数的概念，我们可以计算任意一天是星期几。
数论中的整除与同余概念
数论中的整除与同余概念整除和同余是数论中的重要概念。
整除指的是一个数被另一个数整除，也就是能够整除有余数为零的关系。
同余则是指两个数除以同一个数所得的余数相等。
这两个概念在数论中有着广泛的应用和深入的研究。
首先，我们来讨论整除的概念。
设a和b是两个整数，如果存在一个整数c，使得b=c*a，我们就说a整除b，记作a|b。
即b能够被 a 整除而没有余数。
整除是一个基本的数学运算，我们通过它可以判断两个数的倍数关系。
例如，如果a|b且a|c，那么我们可以得到a|(b+c)和a|(b-c)。
这是因为有整数d和e，使得b=d*a，c=e*a。
那么b+c=(d+e)*a，b-c=(d-e)*a，它们都可以被a整除。
正是因为整除的这些性质，我们能够通过对整数的整除关系进行研究，揭示整数之间的规律。
整除在数论中扮演着重要的角色，例如在质数的研究中，整除是一个关键概念。
质数指的是除了1和自身外没有其他因数的数，也就是只能被1和自身整除的数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
对于一个数n，我们可以通过判断是否有除了1和n外的其他因数来判断n是否为质数。
这个思想就是质数检验的基础。
接下来，我们来深入讨论同余的概念。
给定两个整数a和b，如果它们除以一个正整数m所得的余数相等，即(a-b)能被m整除，我们就说a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。
同余关系是模m下的一种等价关系，也就是说它满足以下性质：1. 自反性：对于任意的整数a，a≡a(mod m)。
2. 对称性：对于任意的整数a和b，如果a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)。
3. 传递性：对于任意的整数a、b和c，如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)。
同余关系的一个重要应用是在时钟和日历的计算中。
例如，我们常使用12小时制的时钟，它的小时数是以0到11表示的。
那么如果现在是下午8点，过了6个小时后是几点呢？我们可以通过同余的概念来解决这个问题。
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整除和同余
一、整除
1、整除的定义：一般地，如a ，b ，c 为整数，b 不为零，a ÷b=c ,即整数a 除以整数b （b 不为零），除得的商c 正好是整数而没有余数，或者说余数为零，那么就称，a 能被b 整除，或者说b 能整除a ，记作 a b 。
否着就称a 不能被b 整除，或b 不能整除a ，记作a b 。
2、数的整除的性质
（1）如果a 、b 都能被c 整除，那么他们的和与差也能被c 整除。
即：若果 a c ，b c ，那么b a c ±。
（2）如果b 与c 的积能整除a ，那么b 与c 都能整除a 。
即：如果 a bc ，那么 a b ，a c 。
（3）如果b 、c 都整除a ，且b 和c 互质，那么b 与c 的积能整除a 。
即：如果 a b ， a c ，且（b ，c)=1，那么 a bc 。
（4）如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a 。
即：如果 b c ， a b ， 那么 a c 。
（5）推论：如果 1a b ，2a b ，......， n a b ，那么 n n a c a c a c b +++ 2211 。
3、数的整除特征（一）
能被3整除的数的特征：
能被4（或25）整除的数的特征：
能被7（11或13）整除的数的特征：
能被8整除的数的特征：
能被9整除的数的特征：
能被11整除的数的特征：
4、带余除法定理：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b 不为零），那么一定存有另外两个整数q 和r ，r ≤0 ， r < b ，使得 r q b a +⨯= 。
5、辗转相除法： 两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。
辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数。
例如，252和105的最大公约数是21（252 = 21 × 12；105 = 21 × 5）；因为252 − 105 = 147，所以147和105的最大公约数也是21。
在这个过程中，较大的数缩小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。
这时，所剩下的还没有变成零的数就是两数的最大公约数。
由辗转相除法也可以推出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，如21 = 5 × 105 + (−2） × 252。
这个重要的等式叫做贝祖等式。
举例：用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。
849219814911 =÷
283
28491981 =÷ 3283894=÷
∴（4811,1981）=283
二、同余
1、同余的定义：若两个整数 a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同 余，用式子表示为：b a ≡ )(mod m （*） ，可读作：a 同余于b ，模m 。
同余式（*）意味着（假设b a ≥）： mk b a =- ，k 是整数 ，即)(b a m - 。
若a 可被m 整除，可用同余式表示为：0≡a )(mod m 。
2、同余的性质：
（1）a a ≡)(mod m （反身性）
（2）若 b a ≡)(mod m ，那么a b ≡)(mod m （对称性）
（3）若 b a ≡)(mod m ，c b ≡)(mod m ， 那么 c a ≡)(mod m （传递性）
（4）若 b a ≡)(mod m ，b c ≡)(mod m ，那么 b c a ≡±)(mod m （可加减性）
（5）若 b a ≡)(mod m ，d c ≡)(mod m ，那么 bd ac ≡)(mod m （可乘性）
（6）若 b a ≡)(mod m ，那么 n
n b a ≡)(mod m （其中n 为自然数）
（7）若 bc ac ≡)(mod m ，1),(=m c ，那么b a ≡)(mod m
3、数的整除特征（二） 我们把所讨论的数N 记为：123a a a a N n =
能被n 2（或n 5）整除的数的特征：1a N ≡)2(mod 12a a N ≡)4(m o d 123a a a N ≡)8(mo d ......123a a a a N k ≡)2(mod k
能被9或3整除的数的特征：)(123a a a a N n ++++≡ )9(mod
能被11整除的数的特征：))
1((14321+-⋅++-+-≡n n a a a a a N )11(mod
能被7或11或13整除的数的特征：45123a a a a a a N n -≡)13(mod
能被17或59整除的数的特征：451233a a a a a a N n ⨯-≡)17(mod
能被19或53整除的数的特征：451237a a a a a a N n ⨯-≡)19(mod
能被23或29整除的数的特征：5612345a a a a a a a N n ⨯-≡)23(mod
能被31整除的数的特征：451238a a a a a a N n ⨯+≡)31(mod
能被37整除的数的特征：45123a a a a a a N n +≡)37(mod
推导举例：45123a a a a a a N n -≡)13(mod 123a a a a N n ==123451000a a a a a a n +⨯
=45123451001a a a a a a a a a n n -+⨯
=451234513117a a a a a a a a a n n -+⨯⨯⨯
例题：
例1、360共有多少个约数？
例2、求21672和11352的最小公倍数
例3、把三位数ab 3接连重复地写下去，共写1993个ab 3，所得的数ab ab ab 333 恰是91的倍数，试求 ab ？
例4、任意改变某一个三位数的各个位数字的顺序得到一个新数。
试证：新数与原数之和不能等于999.
例5、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。
方法一：
方法二：
例6、a 除以5余1，b 除以5余4，如果3a > b ，那么b a -3除以5余几？
例7、若a 为自然数，证明)(1019491985a a
-
例8、设12+n 是质数，试证：21，22， ，2n 被12+n 除所得的余数各不相同。
例9、试证：不小于5的质数的平方与1的差必能被24整除。
例10、任给7个不同的整数，证明其中必有两个数，其和或差是10的倍数。
练习：
1、已知 y x 199345 ，求所有满足条件的六位数 y x 199345 。
2、57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零，求248被这个自然数除的余数。
3、已知1471994⨯=，71是质数，请导出判定被71整除的公式。
4、求证：0431*******≡+)17(mod
5、任意选出6个不同的自然数，证明其中总有两个数，它们的差是5的倍数。