二阶张量与四阶张量双点积的结果
张量第四章
第四章 张量代数§4.1 张量的基本运算一、加法阶数相同、指标的结构和次序相同的诸张量可以加。
张量的代数和，就是将对应的同名分量相加。
1、 张量加法满足交换律和结合律。
2、 张量加法对坐标变换是不变的。
二、乘法对任何阶与结构的张量都可施行乘法。
用第一个张量的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量。
由这些乘积所组成的集合仍是一个张量，即两个张量的乘积。
j i A ⋅与m kl B ⋅ 乘 mkl j i jm kl i B A C ⋅⋅⋅⋅⋅=为一个五阶张量。
1、 张量乘法是不可交换的。
2、 张量乘法对坐标变换是不变的。
3、 乘积张量的阶数等于因子张量阶数之和。
三、连并与缩并连并：当两个张量相乘时，如果一个张量的上标和另一个张量的下标相同，则按哑标求和，结果仍为一个张量。
这种乘积运算称为连并。
缩并：对于同一个张的某个上标和某个下标取为相同的标号，则对哑标求和，其结果仍为张量，称为缩并。
缩并只能对二阶以上的混变张量进行。
四、指标的上升与下降指标的上升和下降通过度量张量与张量的连并来进行。
度量张量的逆变分量可以提升指标。
度量张量的协变分量可以下降指标。
kij ijl klT T g ⋅⋅= i j km likl im T T g g =⋅ 五、对称化和反对称化1、对称化对于任意一个n 阶张量中的某些上标或某些下标中的r 个指标的对称化，就是把这r 个指标按不同次序排列所得到的!r 个同份异构张量求和，并除以!r 的算术平均值的运算。
其结果关于所参与的r 个指标对称，也即所得张量与对称化指标的位置元素，称为关于该r 个指标的对称张量。
一般把参与对称化的指标用（ ）括起来，未参与对称化的指标用一对竖线分开。
)(!21)(ji ij ij T T T +=)(!31)(ilkjm ljki m jikl m jlki m likj m ijkl m l k ij m T T T T T T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++=2、反对称化反对称化就是将参与反对称化的r 个上标或下标，通过指标的交换构成!r 个同份异构张量。
二阶张量与四阶张量双点积的结果
二阶张量与四阶张量双点积的结果二阶张量与四阶张量双点积的结果导语：在数学和物理学中，张量是一种用于描述物理量或几何概念的数学工具。
而二阶张量和四阶张量则是最常见的两种形式。
本文将探讨二阶张量与四阶张量之间的双点积运算，以及该运算的结果。
一、什么是二阶张量和四阶张量1. 二阶张量：二阶张量是一种具有两个索引的张量。
它的表达式通常为 Tij，其中i和j是两个索引的取值范围。
二阶张量可以表示为一个二维矩阵，其中每个元素代表了对应位置上的物理量或几何概念的值。
应力张量、应变张量和惯性张量都是二阶张量的实例。
2. 四阶张量：四阶张量是一种具有四个索引的张量。
它的表达式通常为Tijkl，其中i、j、k和l是四个索引的取值范围。
四阶张量可以表示为一个四维矩阵，其中每个元素代表了对应位置上的物理量或几何概念的值。
弹性张量、扭转刚度张量和应力-应变敏感度张量都是四阶张量的实例。
二、二阶张量与四阶张量双点积的定义1. 双点积的定义：双点积是一种张量之间的运算，用于将两个张量相互作用。
对于二阶张量与四阶张量的双点积，其定义如下：Bijkl = Aijmn * Cmnkl其中，Bijkl、Aijmn和Cmnkl分别表示双点积的结果、二阶张量和四阶张量的元素。
2. 双点积的运算规则：二阶张量与四阶张量的双点积运算规则如下：- 对于二阶张量Aijmn的第i和j索引与四阶张量Cmnkl的第m和n 索引，进行求和运算。
- 将运算结果放入双点积的结果张量Bijkl的第i和j索引。
- 对于二阶张量Aijmn的第m和n索引与四阶张量Cmnkl的第k和l 索引，进行求和运算。
- 将运算结果放入双点积的结果张量Bijkl的第k和l索引。
三、二阶张量与四阶张量双点积的结果二阶张量与四阶张量的双点积的结果是一个四阶张量。
它的表达式为Bijkl，其中i、j、k和l是四个索引的取值范围。
该四阶张量的元素代表了二阶张量和四阶张量相互作用后得到的物理量或几何概念的值。
张量分析(1)
x2
' x2
e2'
e2 e ' 1
' x1
e1 x1
x1
x2
' x2
' x1
x2
' x2 e2'
e 2 e1'
' x1
e1 x1
x1
令：αi' j cos(ei' ,e j )
( i' , j 1,2 )
则： αi' j
cos(e1' , e1 ) cos(e1' , e2 ) cos sin cos( e , e ) cos( e , e ) ' ' sin cos 1 2 2 2
A B ( Aij Bij )ei e j Tijei e j Τ
符合 φ ijklei e j ek el ,为一新张量
另证：
Ai ' j ' i 'i j ' j Aij Bi ' j ' i 'i j ' j Bij
Ai ' j ' Bi ' j ' i 'i j ' j ( Aij Bij )
xi xi , j ij x j aii jk a jk
三．Ricci 符号
定义：
ei j k
1 1 0
ei j k
即：
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
高等流体力学绪论
笛卡尔张量（1）指标表示法和符号约定指标表示法x 、y 、z 分别计作x 1、x 2、x 3，a x 、a y 、a z 分别计作a 1、a 2、a 3，而三个单位矢量e e e rr r rr r 332211e a e a e a k a j a i a a z y x vv v r r r v ++=++=而个单位矢量分别计作,,,321,,i j k 也可表示为，ia i 是自由指标，可取1、2、3。
克罗内克(Kronecker)符号⎧0ji ≠⎩⎨=1ij δji =ijδ符号具有以下重要性质：jiij δδ=a a =δ13312112,δδδδ==a a a a a a a a ====δδδδi j ij 3=ii δij ij j j j j j j ,,,3322113332211=++=δδδδii ikjk ij δδδ=3==ii ij ij δδδj jijkε置换符号⎧⎪⎨=10ijkεi 、j 、k 偶排列，123，231，312i 、j 、k 中有两个以上指标相同时⎪⎩−1i, j, k 奇排列，213，321，132kk k −有以下重要性质：ijk εks jt kt js ist ijk δδδδεε=ktijt ijk δεε2=ktkt kt kj jt kt jj ijt ijk δδδδδδδεε23=−=−=62==kk ijk ijk δεε0=ij ijk δε矢量和张量的运算举例ji ij e e v v ⋅=δkijk i e e e r r r ε=×12312332132133, e e e e e e e e εε×==×=−=r r r r r r r r j j 1231112313211132()1, ()()1e e e e e e e e e e εε⋅×=⋅==⋅×=⋅−=−=r r r r r r r r r r ()kj i ijk e e e v v v ×⋅=ε()ijkjki il jkl l jkl i k j i e e e e e εεδεε===⋅=×⋅r vv v v例题1.展开下列求和式，).1a a a a a a a a ++=.).2(;).1(kj jk i i a a a a 解：332211)(i i 332211).2(a a a a a a a a k k k k k k kj jk ++=333323321331322322221221311321121111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=3rr r r r r r r r 例题3. 证明:)()()(v u w w u v w v u ⋅−⋅=××r r r r r 证明: ml j lmk ijk m l klm j ijk kj ijk w v u w v u w v u w v u εεεεε==×=××)()()(w v u m l j jl im jm il −=δδδδ)()(v u w w u v v u w w u v jj i j j i r r r r r r ⋅−⋅=−=又证：()u v w u e v w e ε××=×r r r r r ()j j klm l m k j klm l m ijk i u v w e εε=rijk lmk j l mu v w εε=上述结果已经和上页第三步相同。
08张量分析4
2 , 2
3
, 3
1 所得的分量值不变。
A11 = A22 = A33 A12 = A23 = A31 A21 = A32 = A13
♣ 二阶张量
根据变换 I（附图 1a）
′ = β11β11 A11 = ( −1) A11 = A11 A11 = A11
2
′ = β11 β 22 A12 = ( −1) ( +1) A12 = − A12 A12 = A12 ′ = β 22 β11 A21 = ( +1)( −1) A12 = − A21 A21 = A21
若对任一自变量（例如 b ）满足
φ = f ( a , αb + βb′ ) = α f ( a , b ) + β f ( a , b′ ) （1.11）
则称为线性函数，容易验证（1.9a）式为双线性函数， （1.9b）式为四重线性函数。 一般情况下，函数的函数值将随自变量的变化而变化，例如
f ( x1 , y1 ) ≠ f ( x2 , y2 )
附 1.1
用特殊坐标变换求各向同性张量分量表达式 特殊坐标变换求各向同性张量分量表达式
根据定义，各向同性张量为在任意直角坐标系下分量值不变的非零张量，如
′ = Aij Aij
′ ℓ = Aijk ℓ Aijk
♣ 一阶张量
一阶张量满足
ai′ = β ij a j = β i1a1 + β i 2 a2 + β i3 a3
(
)
T( ik )
上式虽然未出现（1.2）式的 η ，但实际上包括了 i = j = k = ℓ 的情况，由（1.2）式和（1.3）式得
η = λ + µ +γ
第2章 二阶张量
111
222
333
N为正（非负）张量 ⇔ N > (≥)0 i
（2）N非负，存在唯一的非负对称张量M，使 M 2 = N
（3）任意非对称张量可以 构造非负张量：
1 ）X = T ⋅T T，Y = T T ⋅T为非负张量，若T可逆，则X、Y为正张量
2）X 、Y 为对称张量
3）X 、Y 为不同的张量，但有相同的主分量
定理：[T ⋅ u, T ⋅ v, T ⋅ w] = det T [u, v, w]
正则与退化 det T ≠ 0 的二阶张量－正则二阶张量；否则为退化的二阶张量。
（1）T为正则 ⇔ (i = 1, 2, 3) u(i)性无关，则T ⋅ u(i)也线性无关。
（2）正则T是单射的：u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v （3）正则T是满射的：∀u所作的线性变换T ⋅ u = v，必存在唯一的
≠
−Ω j、Ω • j
•i
i
≠
−Ω •i）Ω ⋅ u j
=
−u ⋅ Ω
（5）行列式的值：
， ， 定义：det T
=
Ti •j
T ij
= g T•j i
=
Ti •j
g = g 2 T ij
g= G ij
( ) ( ) ( ) 、 TT ij
=T ij
T T ij = T ij 、
T 、 = T T i j
l, m, n均顺序和均逆序的排列有6种，i, j, k同样也有六种，组合共有36种，
除去重复的只有6种，所以要乘1 / 6]
[T ⋅ a, b, c] = [a,T ⋅ b, c] = [a, b,T ⋅ c] = η1(T )[a, b, c]
张量初步
§
2.4
克罗内克(Kronecker)符号δij （替换符号）
★ 克罗内克符号δij δij = 1 δij = 0 ★ 对称性：δij = δji ★ 转置不变性：δij = δij ★ 替换性：δij vj = vi (i = j) (i = j)
§
2.4
克罗内克(Kronecker)符号δij （替换符号）
§
2.5
勒维{契维塔(levi{civita)符号εijk （排列符号）
★ 勒维{契维塔符号εijk （三阶反对称张量） εijk = +1 εijk = −1 εijk = 0 ★ 反对称性：εijk = −εjik (ijk = 123, 231, 312) (ijk = 213, 321, 132) (ijk = 112, 233, · · · )
逐
铁 简 单
T
点 （ （
§
2.3
二阶张量
★ 二阶张量：如张力张量、电四极矩、转动惯量、介电张量等； Tij = αil αjm Tlm ★ 二阶张量可以用一个矩阵来表示； ★ 张量的含义：Tij 分量：在j方向分量作用下的i方向的反应效果； ★ 张量的自由度：任何一个张量都可以分解为三个部分： ◆ 迹（标量）Tii 自由度为1 ◆ 无迹对称张量Tij = Tji 且Tii = 0 自由度为5
★ 克罗内克符号δij δij = 1 δij = 0 ★ 对称性：δij = δji (i = j) (i = j)
§
2.4
克罗内克(Kronecker)符号δij （替换符号）
★ 克罗内克符号δij δij = 1 δij = 0 ★ 对称性：δij = δji ★ 转置不变性：δij = δij (i = j) (i = j)
第一章 张量分析基础知识
晶体物理性能南京大学物理系由于近代科学技术的发展，单晶体人工培养技术的成熟，单晶体的各方面物理性能（如力、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作用的物理效应，在各尖端科学技术领域里，都得到了某些应用．特别是石英一类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤波器等在电子技术中，比较早地在工业规模上进行大批生产和广泛应用．激光问世的四十多年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应用中，已成单晶体应用中极为活跃的领域．《晶体物理性能》是我系晶体物理专业的专业课程之一，目的就是希望对晶体特别是光电技术中使用的晶体（包括基质晶体与非线性光学晶体）的有关物理性能及其应用方面的基本知识，有一个了解．对今后从事光电晶体的生长、检测和应用的工作，在分析问题、解决问题方面有所帮助，同时要在今后工作中不断从实践和理论两个方面扩大知识领域，有一个基础．考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个方面作深入全面的介绍，也将侧重于激光晶体有关的一些性能及其应用．鉴于以上考虑，《晶体物理性能》讲义将以离子晶体为主要对象，以光电技术上应用为线索组织内容，共分为八章．着重于从宏观角度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各种交互作用过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应用，包括弹性与弹性波（第二章），晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应（第七章），光学参量过程（第六章），声光效应（第八章）．由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称性有密切关系，通常正确、方便地描述这些物理性能必须使用张量来表示．因此，在第一章，我们介绍了关于张量分析基础知识方面的内容．由于水平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因而内容安排不妥、取舍不当、错误之处一定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正．第一章张量的基础知识§１．１标量、矢量和二阶张量…………………………………………………………………２§１．２坐标变换和变换矩阵……………………………………………………………………§１．３正交变换矩阵的性质……………………………………………………………………§１．４晶体对称操作的变换矩阵……………………………………………………………§１．５二阶张量的变换与张量的定义………………………………………………………§１．６张量的足符互换对称…………………………………………………………………§１．７张量的矩阵表示和矩阵的代数运算…………………………………………………§１．８二阶对称张量的几何表示和二阶张量的主轴………………………………………§１．９二阶对称张量主轴的确定……………………………………………………………§１．10晶体张量与晶体对称性的关系………………………………………………………第二章晶体的弹性与弹性波§２．１弹性性质与原子间力…………………………………………………………………§２．２应变……………………………………………………………………………………§２．３应力……………………………………………………………………………………§２．４推广的虎克定律、弹性系数…………………………………………………………§２．５立方晶体的弹性系数…………………………………………………………………§２．６各向同性材料的弹性系数……………………………………………………………§２．７弹性扰动的传播――弹性波…………………………………………………………§２．８简谐振动和驻波……………………………………………………………………§２．９弹性常数及振动衰减因子的测量方法……………………………………………第三章晶体的介电性质§３．１介质中的宏观电场强度与极化强度………………………………………………§３．２晶体中的有效场……………………………………………………………………§３．３高频电场的介电极化（光的色散与吸收）………………………………………§３．４介电常数的测量……………………………………………………………………§３．５离子晶体的静电击穿………………………………………………………………§３．６激光的电击穿（激光的电击穿损伤）……………………………………………第四章铁电与压电物理§４．１铁电体的一般性质…………………………………………………………………§４．２常用铁电体的实验规律……………………………………………………………§４．３铁电体的相变热力学………………………………………………………………§４．４铁电体相变的微观机制……………………………………………………………§４．５晶体的压电效应……………………………………………………………………§４．６压电方程和机电耦合系数…………………………………………………………§４．７压电晶体的应用实例――石英……………………………………………………第五章晶体光学§５．１光学各向异性晶体…………………………………………………………………§５．２各向异性介质中光的传播…………………………………………………………§５．３折射椭球与折射率曲面……………………………………………………………§５．４晶体表面上的折射…………………………………………………………………§５．５晶体偏光干涉及其应用……………………………………………………………第六章倍频与参量频率转换§６．１非线性极化…………………………………………………………………………§６．２非线性极化系数……………………………………………………………………§６．３非线性介质中电磁场耦合方程……………………………………………………§６．４光倍频………………………………………………………………………………§６．５光倍频的相匹配……………………………………………………………………§６．６第II类相匹配………………………………………………………………………§６．７角度匹配和温度匹配扫描实验曲线………………………………………………§６．８内腔倍频……………………………………………………………………………§６．９光参量放大…………………………………………………………………………§６．10参量振荡器…………………………………………………………………………§６．11参量振荡器的调谐方法……………………………………………………………§６．12参量频率上转换……………………………………………………………………§６．13非线性材料的性能要求……………………………………………………………第七章电光效应及其应用§７．１线性电光效应………………………………………………………………………§７．２两种典型材料的电光效应…………………………………………………………§７．３电光滞后……………………………………………………………………………§７．４电光调制原理………………………………………………………………………§７．５实际调制器的几个问题……………………………………………………………§７．６晶体电光开关………………………………………………………………………§７．７电光Q开关…………………………………………………………………………§７．８电光偏转……………………………………………………………………………§７．９电光材料……………………………………………………………………………§７．10晶体均匀性的实验检测……………………………………………………………§７．11晶体的激光损伤……………………………………………………………………§７．12晶体均匀性实验检测………………………………………………………………第八章声光效应及其应用§８．１弹光效应……………………………………………………………………………§８．２声光交互作用产生的衍射现象……………………………………………………§８．３声光交互作用的理论………………………………………………………………§８．４声光效应在一些物理常数测量中的应用…………………………………………§８．５声光调制器…………………………………………………………………………§８．６声光偏转器…………………………………………………………………………§８．７声光调Q……………………………………………………………………………§８．８声光材料……………………………………………………………………………附录A．３２点群投影图…………………………………………………………………………B．各阶张量在不同点群中的矩阵形式……………………………………………………C．主要常数表………………………………………………………………………………D．单轴晶体中光线离散角α的推导………………………………………………………E．双轴晶体中双折射面相差Γ的推导……………………………………………………F．贝塞尔函数的基本性质…………………………………………………………………第一章 张量分析基础知识以前学的课程中，有关力学、热学、电学、光学等的性质都是以各向同性介质来表述的或以一维问题来说明问题，这对于突出某些物理现象的微观的物理原因方面是必要的，但晶体物理性能是讲晶体中的力学、电学、光学、声学、磁学、热学等物理性能，而晶体的各向异性却是一种很普遍的特性，特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效应……等等物理现象则完全因为晶体具有各向异性性质才能表现出来．因此，晶体结构对称性和这些性质之间的关系成为问题的主要方面。
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二阶张量与四阶张量双点积的结果
张量的概念
在数学和物理学中，张量是一种多线性映射，它可以用来描述向量、矩阵和更高维度的数组之间的关系。
在机器学习和深度学习中，张量也被广泛应用于数据表示和运算。
张量可以被看作是多维数组，其中每个元素都有一个位置索引。
根据元素所处的位置索引，我们可以将张量划分为不同的阶（或称为维度）。
常见的有零阶张量（标量）、一阶张量（向量）、二阶张量（矩阵）以及更高阶的张量。
二阶张量与四阶张量
二阶张量是最常见且容易理解的一种形式。
它由两个坐标轴组成，通常用一个矩阵表示。
例如，在图像处理中，我们经常使用二阶张量来表示图像数据。
每个像素点都有两个坐标轴上的位置信息（行和列），并且可以对应一个数值。
四阶张量则更加复杂一些。
它由四个坐标轴组成，并且需要使用一个四维数组来表示。
在深度学习中，四阶张量被广泛用于表示卷积神经网络（CNN）中的权重和输入数据。
例如，在图像分类任务中，我们可以使用四阶张量来表示一批图像数据，其中每个图像由高度、宽度和通道数三个维度组成。
双点积的定义
双点积（Dot Product）是张量运算中的一种常见操作。
它用于计算两个张量之间对应位置元素的乘积，并将所有乘积相加得到一个标量结果。
对于二阶张量来说，双点积可以简单地理解为矩阵乘法。
给定两个相同维度的矩阵A和B，它们的双点积可以表示为：
C = A · B
其中C是一个标量结果，表示A和B之间的双点积。
对于四阶张量来说，双点积更加复杂。
给定两个形状相同的四阶张量T1和T2，它们之间的双点积可以表示为：
C = T1 · T2
其中C仍然是一个标量结果。
在计算过程中，需要将T1和T2中对应位置上的元素进行乘法运算，并将所有乘积相加。
二阶张量与四阶张量双点积的结果
当计算二阶张量与四阶张量的双点积时，需要满足一定的维度匹配规则。
具体来说，二阶张量的列数必须与四阶张量的最后两个维度相等。
假设我们有一个形状为(M, N)的二阶张量A和一个形状为(M, N, P, Q)的四阶张量B，它们之间的双点积可以表示为：
C = A · B
其中C是一个形状为(P, Q)的二阶张量。
在计算过程中，需要对二阶张量A进行广播（Broadcasting），使其与四阶张量B具有相同的形状。
具体来说，广播是一种自动扩展数组维度以匹配其他数组维度的机制。
在双点积计算中，会自动将二阶张量A扩展为一个形状与四阶张量B相同的三维张量，并在最后一个维度上进行元素乘法和求和操作。
双点积应用举例
以下是一个简单示例，展示了如何计算二阶张量与四阶张量双点积的结果：
import numpy as np
# 生成随机数据
A = np.random.rand(3, 2)
B = np.random.rand(3, 2, 4, 5)
# 计算双点积
C = np.dot(A, B)
print(C.shape) # 输出结果的形状
print(C) # 输出结果的值
在这个示例中，我们使用了NumPy库来进行张量运算。
首先，我们生成了一个形状为(3, 2)的二阶张量A和一个形状为(3, 2, 4, 5)的四阶张量B。
然后，通过调用np.dot()函数计算它们的双点积，并将结果保存在C中。
最后，我们打印出C的形状和值。
由于A与B满足维度匹配规则，所以C的形状为(4, 5)，即最后两个维度的大小。
C中每个元素的值是A与B对应位置元素乘积之和。
总结
本文介绍了二阶张量与四阶张量双点积的概念、定义以及计算方法。
通过双点积运算，我们可以将不同维度的张量进行相互关联和转换，并得到一个标量结果或者具有新形状的张量。
在实际应用中，双点积常常用于神经网络模型中的权重更新、特征提取等操作。
通过合理地使用双点积运算，我们可以更好地理解和利用高维数据，并为机器学习和深度学习任务提供有效的数学工具。