2.1二阶张量的矩阵

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第 2 章二阶张量

第 2 章二阶张量
研究定义在一个固定点（张量的元素是实常数， gi 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的
不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量的元素
T = Tij g i g j = Ti• j g i g j = T•ii gi g j = T ij gi g j
k n
(2) T 的不变量由无限多个（不变量的组合仍是不变量），通常关心的有两组：
主不变量（ T 特征多项式的三个系数）
2
η1 = T•11 + T•22 + T•33 = G : T = T•mm = GmnT mn = GmnTmn = Tm•m
( )( ) η2
=
T•11 T•21
T•12 T•22
、 Ni• j
=
N•ji
，
（而一般： N•i j
≠
N
j •i
、
N
• i
j
≠
N •i j
在相同的，混变分量的转置 ≠ 系数矩阵的转置）
N ⋅u=u⋅N
(4) 反对称张量 Ω = −ΩT
性质： Ωij
=
−Ω 、 Ω ij ji
=
−Ω
ji
Ω 、 i •j
=
Ω − Ω 、 •i
•j
j
i
=
−Ω•ij ，
（而一般：
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦

第2章二阶张量

+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
=
1 2
δ
ijpqT•jiT•qp
[共有 6 项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标 m, n 和 p, q 可以互换但乘积不
而一般： Ωi• j
≠
−Ω
j •i
、
Ω
• i
j
≠
−Ω
•i j
Ω ⋅ u = −u ⋅ Ω
(2) 不变量：
η1Ω = 0 ；η3Ω = 0 (对角元为零)
5
( ) ( ) ( ) η2Ω
=
0 − Ω1•2
Ω1•2 0
+
0 − Ω•23
Ω•23 0
+
0 − Ω1•3
Ω1•3 0
=
Ω1•2
2+
Ω•23
2+
变，所以要乘 1/2]
T•11 T•12 T•13
η3 = T•21
T•22
T•23
=
1 3!
εMT
⊗T
⊗TMε
=
1 6
δ limjknT•l iT•mjT•nk
=
1 6
ε
ijk ε lmnT•l iT•mjT•nk
T•31 T•32 T•33
[共有 6 项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零； l, m, n 均顺序和均逆序的排列有 6 种，同样 i, j, k 也有六种，组合共有 36 种，除去重复的只有 6 种，所以要乘 1/6]

张量的矩阵表示

张量的矩阵表示
张量是现代数学和物理学中十分重要的概念之一。

在机器学习和深度学习领域中，张量的概念更是无处不在，成为了数据处理和算法设计的基础。

那么，张量与矩阵有什么联系呢？
矩阵可以被认为是二维数组，并且在线性代数中有很重要的地位，张量则是矩阵的扩展。

矩阵中每个元素有两个下标，而张量中每个元素则有多个下标。

根据下标的个数，张量可以被分为标量、向量、矩阵，以及更高维度的张量。

为了更好地描述张量，我们需要使用张量的矩阵表示。

以二阶张量为例，它可以用一个矩阵来表示。

这个矩阵中每个元素都是一个数字，同时有两个下标。

下标既可以看做行的坐标，也可以看做列的坐标。

对于一个二阶张量T，其矩阵表示为Tij，其中i和j分别表示矩阵的行和列。

矩阵中的每一行和每一列都代表着一个向量，同时张量中每个元素的值则代表着该向量在对应维度上的值。

值得注意的是，一个张量的矩阵表示并不唯一，不同的张量可以对应同一个矩阵。

因此，在处理张量时，需要根据上下文来确定其具体含义。

总的来说，张量与矩阵之间的关系非常紧密，张量的矩阵表示为我们处理张量提供了很大的便利。

理解张量和矩阵之间的关系，可以更好地应用它们在各个领域中的应用。

二阶张量主不变量的推导

二阶张量主不变量的推导二阶张量主不变量是描述二阶张量的一个重要指标，它可以帮助我们了解张量的性质和特征。

在本文中，我们将推导二阶张量主不变量的计算公式，并解释其物理意义。

我们回顾一下二阶张量的定义。

二阶张量是一个具有两个下标的矩阵，可以表示为一个2x2的矩阵。

在三维空间中，二阶张量可以表示为一个对称矩阵，其中的元素表示了不同方向上的物理量的关系。

为了推导二阶张量主不变量的计算公式，我们先考虑二阶张量的特征值和特征向量。

特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们可以帮助我们了解矩阵的性质。

对于一个二阶张量T，我们可以通过解特征值问题来求得其特征值和特征向量。

特征值问题可以表示为以下形式：T·v = λ·v其中，T表示二阶张量，v表示特征向量，λ表示特征值。

我们可以将特征值问题转化为一个线性方程组来求解。

假设特征向量v为非零向量，我们可以得到以下方程组：(T - λ·I)·v = 0其中，I表示单位矩阵。

由于v非零，所以方程组有非零解的条件是矩阵(T - λ·I)的行列式为0。

计算矩阵(T - λ·I)的行列式，我们可以得到一个关于特征值λ的二次方程，形式如下：det(T - λ·I) = 0将行列式展开并进行计算，我们可以得到一个关于特征值λ的二次方程。

通过求解这个二次方程，我们可以得到二阶张量的两个特征值。

特征值表示了二阶张量在特征向量方向上的伸缩比例。

通过计算特征值，我们可以得到二阶张量在不同方向上的伸缩程度。

二阶张量主不变量可以由特征值计算得到。

具体而言，二阶张量主不变量的计算公式如下：I1 = λ1 + λ2其中，I1表示二阶张量的主不变量，λ1和λ2表示二阶张量的特征值。

二阶张量主不变量的物理意义是描述了二阶张量在不同方向上的伸缩总和。

通过计算主不变量，我们可以了解二阶张量的整体伸缩情况。

总结起来，二阶张量主不变量是描述二阶张量的一个重要指标，它可以通过计算二阶张量的特征值得到。

第2章张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)

( Nij ij )a j 0 det( Nij ij ) 0
利用指标升降关系 a为非0矢量利用主不变量
N ( ) 3 J1N 2 J 2 J3N 0
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式

非对称二阶张量
•
请研究以下领域的同学关注。 1、应变梯度理论，偶应力理论 2、电流场，电磁流变（有旋场）

x
x
椭圆曲线的坐标变换
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax bxy cy d 0
任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集：
(i)u(i) 0
i 1
l
l l 0 T (i)u(i) (i)(T u(i)) i 1 i 1
正则与退化的二阶张量
•
3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射为另一矢量组，满足：
N S
1 p
S S1e1e1 S2e2e2 S3e3e3
Si N i
1 p
几种特殊的二阶张量

正张量的对数
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
ln N ln N1 e1e1 ln N2 e2e2 ln N3 e3e3
Nij N ji Ni j Nij Nij N ji N ij N ji

N 1 NT 1
( ) , ( ) , ( ) ,
N T 1 N 2 N T 3 N 3 N T 2 N 4
NT 4
N T ( 4 )

反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵

二阶张量的行列式

张量分析提纲及部分习题答案

y
对静止的连续介质，有
ζ n fd 0 ， ζd fd 0 ，
A
ζ f 0。
（21）证明应力是一个张量；记 ij ：表示在给定基 g i 下，在面 g j 上，单位面积受力 F j 在 g i 方向上的分量为
对斜圆锥面上任一点（图中黑点处），不难由相似三角形得到，
z z R cos C i R sin j zk ，进而可得， H H r Rz sin zR cos r R cos C R g i j， gz i sin j k ， H H z H H r
dx g dx I g dx II 1 4 x I 2 dx I 6 x I x II 2 dx II Pdx I Q dx II 11 12 1 1 I 。 2 4 dxII g 21dx I g 22 dx II 6 x I x II dx I 9 x II dx II P2 dx I Q2 dx II
Pi Qi 时，坐标 xI , xII 才可能存在。即向量场 P, Q 无旋时，其在两点间 x II x I Pi Qi 的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中， II I ，故相应的“协 x x
当变坐标”不存在。（正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。）（9）有点类似曲面第一基本型（1.3.12）。（10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。
1.9-1.13：略； 1.14：注意，所谓斜圆锥是指， O 点沿 z 方向在大圆平面上的投影 M 在大圆的直径上。

第二章二阶张量

第二章：二阶张量1. ij T ij ji i j j i i j T T T ;=⊗=⊗=⊗T g g T g g g g ij i j ij i j T ; T =⋅⋅=⋅⋅g T g g T g2. T =T.u u.TT ij ij ij ij j i j i i j j i ( = T T u ;T T u )⋅⊗==⊗⋅=u.T u g g g T.u g g u g 3.i .j det()T =T行列式不等于零的二阶张量定义为正则二阶张量正则二阶张量存在逆张量：1-⋅T T =G 4.主不变量①1)()()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )u (v w)（1.()::i i Tr T ζ====T T G G T)()()i j k ijk S u v w ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )（m m mijk .i mjk .j imk .k ijm S T T T εεε=++由于mik imkmmmiik .i mik.i imk.k iimS T T T εεεεε=-⇓=++=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时i j k m ijk .i .j .k ijk not sum ijk .m ijk S (T T T )T εε=++=②2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （2......122123323113.1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.1112233.1.2.2..3.3.1223311.1.2.2..3.3.111()22ij l mi j i l lm i j i j l j T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T TTTTT T ζδ==-=-+-+-=++注意：ij ijklm lmkδδ=是张量的分量张量T 行列式中各阶主子式之和)[)][()(]()[()]i j k ijk S u v w ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w （其中......()m n m n n mijk i j mnk j k imn k i mjn S T T T T T T εεε=++..........()0m n m n n m iik i i mnk i k imn k i min m n i i mnk m n i i nmk iik S T T T T T T T T T T S εεεεε=++===-=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时 (122123323113).1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.12()()i j j i j k k j k i i k ijk i j i j j k j k k i k i ijk not sumijkijkijkS T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T εεζε=-+-+-=-+-+-=③()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w...()[()()]()()()i j k l m nl m n ijkl m n lmn T T T u v w det u v w det εε⋅⋅⋅⨯⋅===⋅⨯T u T v T w T T u v w ④()()det()()T T -⋅⨯⋅=⨯T v T w T v w()[()()]det()()[()()]det()()T⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w u T T v T w T u v w由于上式对任意矢量u 都成立[()()]det()()()()det()()T T-⋅⋅⨯⋅=⨯⋅⨯⋅=⨯T T v T w T v w T v T w T T v w⑤主不变量与矩之间的关系*1*2..*3...()()()ii i kk i i j kj k i Tr T Tr T T Tr T T T ζζζ===⋅==⋅⋅=T T T T T T2212112212ij k li j j i kl .i .j .i .j .i .j *T T (T T T T )[()]ζδζζ==-=-3.....................*3***13121611()()661(()23)6ijk l m nlmn i j ki j k j k i k i j j i k i k j k j i i j k i j k i j k i j k i j k i j k e e T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ζζζζζ==++-++=+- 二阶张量标准形 1. 特征值、特征向量 λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 01111232221233331230.........T T T T T T T T T λλλ--=-特征方程 321230λζλζλζ-+-= 特征根是不变量2. 实对称二阶张量标准形 1. 特征根是实根*************; ; ()0 () λλλλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒=⋅-=⇒=N v N v v v N v v v v N v v v v v N v v 0v v2. 特征向量互相正交1112222112112212121212 ; ; ()00λλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒⋅=N v v N v v v N v v v v N v v v v v v v 3. 不存在约当链如果λ是n 重根，但不存在相应的特征向量12,v v ,使1122 ; λλ⋅=⋅=T v v T v v则一定存在约当链11221λλ⋅=⋅=+T v v T v v v然而对对称张量112212112121211110λλλλ⋅=⋅=+⇓⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+⋅⇓⋅=N v v N v v v v N v v v v N v v v v v v v这是不可能的。

二阶张量的定义

二阶张量的定义二阶张量是线性代数中的一个重要概念。

在数学和物理学领域中，二阶张量被广泛应用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。

本文将介绍二阶张量的定义和一些基本性质，以及其在实际应用中的意义。

我们来定义二阶张量。

在线性代数中，一个二阶张量可以被视为一个二维矩阵，它具有两个索引，通常用小写字母的下标表示。

一个二阶张量可以用以下形式表示：T_ij其中，i和j是张量的两个索引，可以取1、2、3等整数值。

这个二阶张量有四个分量，分别是T_11、T_12、T_21、T_22。

这些分量可以对应于矩阵的四个元素。

二阶张量的分量具有特定的变换规律。

当坐标系发生变换时，二阶张量的分量也会相应地发生变化。

具体而言，对于一个二阶张量T_ij，在坐标系变换下，其分量会按照以下规则进行变换：T_ij' = R_i^k * R_j^l * T_kl其中，T_ij'是变换后的二阶张量的分量，R_i^k和R_j^l是坐标系变换矩阵。

这个变换规律保证了二阶张量在不同坐标系下的表示是相容的。

二阶张量具有一些重要的性质。

首先，二阶张量可以进行加法和数乘运算，即两个二阶张量可以相加，一个二阶张量可以与一个标量相乘。

其次，二阶张量还可以进行张量积运算，即两个二阶张量可以进行分量乘积并相加的运算。

这些运算使得二阶张量具有了更强大的描述能力。

在实际应用中，二阶张量有着广泛的应用。

在物质力学中，二阶张量可以描述物质的应力和应变。

通过应力张量和应变张量的组合，可以得到物质的弹性模量和刚度矩阵等重要性质。

此外，在电磁学中，电磁场的张量表示也是一个二阶张量，可以用来描述电磁场的分布和传播。

二阶张量还在图像处理、机器学习等领域中有着重要的应用，例如图像的卷积运算和神经网络的权重矩阵等。

总结起来，二阶张量是线性代数中的一个重要概念，用于描述具有两个索引的二维矩阵。

二阶张量具有特定的变换规律和运算性质，可以用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。

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二阶张量的转置， 2.1.2 二阶张量的转置，对称、对称、反对称张量及其所对应的矩阵
T = T
T
( ) g g = (T )
T i j ij
T j i
g gj = T
i
( )
j
T i j
gi g = T
j
( ) gg
T ij i
j
= T ji g g = T g g j = T gi g = T gi g j
定义
显然
2.1.4
( ) det (T ) = det (T )
T det (T ) = det τ 3
T
二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算
（1）张量的相等、相加、标量与张量相乘等代数运算均与张量的相等、相加、矩阵运算一一对应。矩阵运算一一对应。（2）二阶张量的迹 trT ：
trT = Ti i
张量分析及连续介质力学
第2章
二阶张量
2.1 二阶张量的矩阵
2.1.1 二阶张量的四种分量所对应的矩阵
三维空间中的二阶张量T 三维空间中的二阶张量
T 11 T12 T13 τ 1 = T21 T22 T23 = Tij T31 T32 T33
[ ]
T 1 T 2 T 3 1 1 1 1 2 3 τ 2 = T 2 T 2 T 2 = T i j T 31 T 32 T 33 T 11 T 12 T 13 τ 4 = T 21 T 22 T 23 = T ij T 31 T 32 T 33
[ ] [ ]
T 11 T 12 T 13 2 2 2 τ 3 = T 1 T 2 T 3 = T i j T 31 T 3 2 T 3 3
[ ]
τ 1 = τ 2 g = gτ 3 = gτ 4 g
式中 g11 g = g 21 g 31 g12 g 22 g 32 g13 g 23 = g ij g 33
u = u (当为反对称 )
双线性函数二次型
f x i , y j = Tij x i y j = x T y = T : xy f x i , y j = N ij x i x j = x N x
(
)
(
)
（4）二阶张量与二阶张量的点积：二阶张量与二阶张量的点积：
C = A B ≠ B A
C =A B , C
i j i k k j
j i
= A B , Cij = Aik B , C ij = Aik Bk j
k j
k i
j k
C C C τ 3 = τ 3Aτ 3B , τ 2 = τ 2Aτ 2B , τ 1C = τ 1Aτ 3B , τ 4 = τ 4Aτ 2B
（5）二阶张量的有些运算没有相应的矩阵运算，例如并乘二阶张量的有些运算没有相应的矩阵运算，运算。运算。
ij = ji , i j = ji , i j = i , j
τ 1 = τ 1
T
= τ1
τ 3 = (τ 2
T
),
( ),
T
τ 2 = (τ 3
τ 4 = τ 4
T
), = (τ ) ,
T
T
4
2.1.3
二阶张量的行列式
det (τ 1 ) = gdet (τ 2 ) = gdet (τ 3 ) = g 2 det (τ 4 )
T
N ij = N ji , N i j = N ji , N i j = N i , j
N ij = N ji
τ
N 1
N 3
=τ
NT 1Βιβλιοθήκη =ττ=τ( ),
N T 2
( ),
N T 1
τ
=τ
N 2
=τ
τ
N 4
NT 4
( ), = (τ ) ,
N T 3
N T 4
反对称二阶张量
= T
ij = ji
线性变换（（3）二阶张量与矢量的点积——线性变换（映射）：二阶张量与矢量的点积线性变换映射）：
w = T u = u T
T
w =T u
i i j
j
T (αu + βv ) = αT u + βT v
t = u T = T T u
T u ≠ u T
t =u T
i j
i j
N u = u N (当N为对称 )
[ ]
定义
[T ] = [T i j ] = τ 3
仅在笛卡尔坐标系中，仅在笛卡尔坐标系中，这四个矩阵才相同二阶张量与矩阵的区别（1）二阶张量仅对应方阵；）二阶张量仅对应方阵；（2）转置（或对称、反对称）张量与转置（或对称、反）转置（对称、反对称）张量与转置（对称、转置对称）矩阵不能一一对应；对称）矩阵不能一一对应；（3）二阶张量的某些运算与矩阵运算不完全互相对应。）二阶张量的某些运算与矩阵运算不完全互相对应。
i j j i i ji
i j
= Tij g j g i = T i j g j gi = Ti j g j g i = T ij g j gi
τ
T 1
T
τ
T 3
T
( ), = (τ ) ,
=τ
T T 1
τ
TT 2
TT 4
=τ
T T 2
τ
( ), = (τ )
T T 3
T T 4
对称二阶张量
N=N