2.4二阶张量标准形
二阶张量与四阶张量双点积的结果
二阶张量与四阶张量双点积的结果二阶张量与四阶张量双点积的结果导语：在数学和物理学中，张量是一种用于描述物理量或几何概念的数学工具。
而二阶张量和四阶张量则是最常见的两种形式。
本文将探讨二阶张量与四阶张量之间的双点积运算，以及该运算的结果。
一、什么是二阶张量和四阶张量1. 二阶张量：二阶张量是一种具有两个索引的张量。
它的表达式通常为 Tij，其中i和j是两个索引的取值范围。
二阶张量可以表示为一个二维矩阵，其中每个元素代表了对应位置上的物理量或几何概念的值。
应力张量、应变张量和惯性张量都是二阶张量的实例。
2. 四阶张量：四阶张量是一种具有四个索引的张量。
它的表达式通常为Tijkl，其中i、j、k和l是四个索引的取值范围。
四阶张量可以表示为一个四维矩阵，其中每个元素代表了对应位置上的物理量或几何概念的值。
弹性张量、扭转刚度张量和应力-应变敏感度张量都是四阶张量的实例。
二、二阶张量与四阶张量双点积的定义1. 双点积的定义：双点积是一种张量之间的运算，用于将两个张量相互作用。
对于二阶张量与四阶张量的双点积，其定义如下：Bijkl = Aijmn * Cmnkl其中，Bijkl、Aijmn和Cmnkl分别表示双点积的结果、二阶张量和四阶张量的元素。
2. 双点积的运算规则：二阶张量与四阶张量的双点积运算规则如下：- 对于二阶张量Aijmn的第i和j索引与四阶张量Cmnkl的第m和n 索引，进行求和运算。
- 将运算结果放入双点积的结果张量Bijkl的第i和j索引。
- 对于二阶张量Aijmn的第m和n索引与四阶张量Cmnkl的第k和l 索引，进行求和运算。
- 将运算结果放入双点积的结果张量Bijkl的第k和l索引。
三、二阶张量与四阶张量双点积的结果二阶张量与四阶张量的双点积的结果是一个四阶张量。
它的表达式为Bijkl，其中i、j、k和l是四个索引的取值范围。
该四阶张量的元素代表了二阶张量和四阶张量相互作用后得到的物理量或几何概念的值。
第2章二阶张量
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
=
1 2
δ
ijpqT•jiT•qp
[共有 6 项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标 m, n 和 p, q 可以互换但乘积不
而一般： Ωi• j
≠
−Ω
j •i
、
Ω
• i
j
≠
−Ω
•i j
Ω ⋅ u = −u ⋅ Ω
(2) 不变量：
η1Ω = 0 ；η3Ω = 0 (对角元为零)
5
( ) ( ) ( ) η2Ω
=
0 − Ω1•2
Ω1•2 0
+
0 − Ω•23
Ω•23 0
+
0 − Ω1•3
Ω1•3 0
=
Ω1•2
2+
Ω•23
2+
变，所以要乘 1/2]
T•11 T•12 T•13
η3 = T•21
T•22
T•23
=
1 3!
εMT
⊗T
⊗TMε
=
1 6
δ limjknT•l iT•mjT•nk
=
1 6
ε
ijk ε lmnT•l iT•mjT•nk
T•31 T•32 T•33
[共有 6 项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零； l, m, n 均顺 序和均逆序的排列有 6 种，同样 i, j, k 也有六种，组合共有 36 种，除去重复的只有 6 种， 所以要乘 1/6]
【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向
设V中标准正交坐标系为 {i1, i2, i3} 。则二阶张量 A和矢量 u可表示为：
A Aij ii i j ; u ui ii A u u ; ( A I ) u o
可分别写成： 或
u A u
;
u ( A I ) o
( Aij ii i j ij ii i j ) (umim ) o ; (umim ) ( Aij ii i j ij ii i j ) o A12 A13 u1 0 A11 A u 0 A A 22 23 2 21 （3.4-3） A32 A33 A31 u 3 0
det(A I ) 0 ( a) det(A* I ) 0 ( b)
∵ ∴ (a)、(b)两式是关于λ的三次相同的代数方程。也就是说 A的右特征值和左特征值相同。由 (a)式或 (b)式得： ∵
[( A I ) a ] [( A I ) b][( A I ) c ] 0 a (b c ) [( A I ) a ] [( A I ) b][( A I ) c ] det( A I )
; ∴
u ai 2
u1 0 u 2 a u 0 3
（a是任意实数）
是方程组（1）的非零解。
A u (i1i3 i2i1 i2i2 i3i1 ) (ai2 ) ai2 1u
因此 u = a i2是 A的λ1 = 1特征值对应的右特征矢量。 左特征矢量： ∵
(detet Q) det(Q I ) det(Q I )
2 det(Q I ) 0 ∴ 因此得出结论： 正交二阶张量 Q，当det Q =1时存在右特征矢量 r。其对应 的特征值λ = 1。且：
2.5几种特殊的二阶张量
Ai j
j
A:A
tr A A
T
满足范数公理的三个条件：非负性、对称性与三角不等式， 可作为二阶张量空间的一种范数。
2.5.6
2.5.6.1
反对称二阶张量
定义
满足 T 的张量称为反对称张量。在任一笛卡儿 坐标系中
i j
0 1 2 1 3
T
n
T
-1
T
-1
T
-1
n 个T -1
2.5.4
正张量、非负张量及其方根、对数
正张量、非负张量都是对称二阶张量。 定义 正张量N >O满足u· u=N:uu>0 对于任意u≠0 N· 非负张量N ≥O满足u· u=N:uu≥0 对于任意u≠0 N· 对称二阶张量必定可在一组正交标准化基中化为对角标准形
u u
易证：
e3
（ 包含了 的全部信息）
1
:
J2
2.5.6.5
反对称二阶张量所对应的线性变换
e1 e 2
e 2 e1
e3 0
e3 u
×u
u+ · u e2
· e u 1
对于空间任一矢量 u u1e1+u2e2+u3e3，
可证：利用任意一个非对称二阶张量T 可构造两个非负张量
X T T
T
O
Y T
T
T O
如果T 是正则的，则X，Y 是正张量：
X T T
T
>O >O
Y T
T
T
一般来说，X，Y 是两个不同的张量。可证：它们具有相同 的主分量，只是主轴方向不同而已。
第2章 二阶张量
111
222
333
N为正（非负）张量 ⇔ N > (≥)0 i
（2）N非负，存在唯一的非负对称张量M，使 M 2 = N
（3）任意非对称张量可以 构造非负张量：
1 ）X = T ⋅T T，Y = T T ⋅T为非负张量，若T可逆，则X、Y为正张量
2）X 、Y 为对称张量
3）X 、Y 为不同的张量，但有相同的主分量
定理：[T ⋅ u, T ⋅ v, T ⋅ w] = det T [u, v, w]
正则与退化 det T ≠ 0 的二阶张量－正则二阶张量；否则为退化的二阶张量。
（1）T为正则 ⇔ (i = 1, 2, 3) u(i)性无关，则T ⋅ u(i)也线性无关。
（2）正则T是单射的：u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v （3）正则T是满射的：∀u所作的线性变换T ⋅ u = v，必存在唯一的
≠
−Ω j、Ω • j
•i
i
≠
−Ω •i）Ω ⋅ u j
=
−u ⋅ Ω
（5）行列式的值：
， ， 定义：det T
=
Ti •j
T ij
= g T•j i
=
Ti •j
g = g 2 T ij
g= G ij
( ) ( ) ( ) 、 TT ij
=T ij
T T ij = T ij 、
T 、 = T T i j
l, m, n均顺序和均逆序的排列有6种，i, j, k同样也有六种，组合共有36种，
除去重复的只有6种，所以要乘1 / 6]
[T ⋅ a, b, c] = [a,T ⋅ b, c] = [a, b,T ⋅ c] = η1(T )[a, b, c]
2.4二阶张量的标准形
T
i j
l1
0
（3）具有3次的初等因子(l－l1)3
l l 1 Σ l 0 0
1
1
l
l1 0
1 l l 1 0
T λ1 g 1 g g 1 λ1 g 2 g g 2 λ1 g 3 g
T
i j
l1 0 0
0
l2
0
0 0 l3
T·3=l3g3 g g3 g2 g1 T·1=l1g1 g T·2=l2g2 g
（2）特征方程具有一个实根与一对共轭复根——l1,l2为
一对共轭复根。设
l1 l i
则仍有
1
l 2 l i
2 3
1 2 3
T
i j
l1 0 0
0
l1
0
0 0 l3
T·3=l3g3 g
g3
g2 g1
T·2=l1g2 g
T·1=l1g1 g
（2）特征矩阵具有2次的初等因子l-l12以及l-l3)： l
经过初等变换，可以化为
J 2 l1 Σ l 0 l l1 0 0 J 1 l 3 0 1
主分量为
P1 P2 P3 1 3 J1
则
P
1 3
J 1G
2.4.1.5
实对称二阶张量所对应的线性变换
N·3=N3a3 a
ei ai ai ai ai
2
a3
a2 a1 N·1=N1a1 a N·2=N2a2 a
N
a
第2章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
( Nij ij )a j 0 det( Nij ij ) 0
利用指标升降关系 a为非0矢量 利用主不变量
N ( ) 3 J1N 2 J 2 J3N 0
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
非对称二阶张量
•
请研究以下领域的同学关注。 1、应变梯度理论，偶应力理论 2、电流场，电磁流变（有旋场）
x
x
椭圆曲线的坐标变换
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax bxy cy d 0
任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
(i)u(i) 0
i 1
l
l l 0 T (i)u(i) (i)(T u(i)) i 1 i 1
正则与退化的二阶张量
•
3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
N S
1 p
S S1e1e1 S2e2e2 S3e3e3
Si N i
1 p
几种特殊的二阶张量
正张量的对数
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
ln N ln N1 e1e1 ln N2 e2e2 ln N3 e3e3
Nij N ji Ni j Nij Nij N ji N ij N ji
N 1 NT 1
( ) , ( ) , ( ) ,
N T 1 N 2 N T 3 N 3 N T 2 N 4
NT 4
N T ( 4 )
反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
二阶张量的行列式
第二章 二阶张量
第二章：二阶张量1. ij T ij ji i j j i i j T T T ;=⊗=⊗=⊗T g g T g g g g ij i j ij i j T ; T =⋅⋅=⋅⋅g T g g T g2. T =T.u u.TT ij ij ij ij j i j i i j j i ( = T T u ;T T u )⋅⊗==⊗⋅=u.T u g g g T.u g g u g 3.i .j det()T =T行列式不等于零的二阶张量定义为正则二阶张量 正则二阶张量存在逆张量：1-⋅T T =G 4.主不变量①1)()()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )u (v w)（1.()::i i Tr T ζ====T T G G T)()()i j k ijk S u v w ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )（m m mijk .i mjk .j imk .k ijm S T T T εεε=++由于mik imkmmmiik .i mik.i imk.k iimS T T T εεεεε=-⇓=++=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时i j k m ijk .i .j .k ijk not sum ijk .m ijk S (T T T )T εε=++=②2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （2......122123323113.1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.1112233.1.2.2..3.3.1223311.1.2.2..3.3.111()22ij l mi j i l lm i j i j l j T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T TTTTT T ζδ==-=-+-+-=++注意：ij ijklm lmkδδ=是张量的分量张量T 行列式中各阶主子式之和)[)][()(]()[()]i j k ijk S u v w ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w （ 其中......()m n m n n mijk i j mnk j k imn k i mjn S T T T T T T εεε=++..........()0m n m n n m iik i i mnk i k imn k i min m n i i mnk m n i i nmk iik S T T T T T T T T T T S εεεεε=++===-=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时 (122123323113).1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.12()()i j j i j k k j k i i k ijk i j i j j k j k k i k i ijk not sumijkijkijkS T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T εεζε=-+-+-=-+-+-=③()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w...()[()()]()()()i j k l m nl m n ijkl m n lmn T T T u v w det u v w det εε⋅⋅⋅⨯⋅===⋅⨯T u T v T w T T u v w ④()()det()()T T -⋅⨯⋅=⨯T v T w T v w()[()()]det()()[()()]det()()T⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w u T T v T w T u v w由于上式对任意矢量u 都成立[()()]det()()()()det()()T T-⋅⋅⨯⋅=⨯⋅⨯⋅=⨯T T v T w T v w T v T w T T v w⑤主不变量与矩之间的关系*1*2..*3...()()()ii i kk i i j kj k i Tr T Tr T T Tr T T T ζζζ===⋅==⋅⋅=T T T T T T2212112212ij k li j j i kl .i .j .i .j .i .j *T T (T T T T )[()]ζδζζ==-=-3.....................*3***13121611()()661(()23)6ijk l m nlmn i j ki j k j k i k i j j i k i k j k j i i j k i j k i j k i j k i j k i j k e e T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ζζζζζ==++-++=+- 二阶张量标准形 1. 特征值、特征向量 λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 01111232221233331230.........T T T T T T T T T λλλ--=-特征方程 321230λζλζλζ-+-= 特征根是不变量2. 实对称二阶张量标准形 1. 特征根是实根*************; ; ()0 () λλλλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒=⋅-=⇒=N v N v v v N v v v v N v v v v v N v v 0v v2. 特征向量互相正交1112222112112212121212 ; ; ()00λλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒⋅=N v v N v v v N v v v v N v v v v v v v 3. 不存在约当链如果λ是n 重根，但不存在相应的特征向量12,v v ,使1122 ; λλ⋅=⋅=T v v T v v则一定存在约当链11221λλ⋅=⋅=+T v v T v v v然而对对称张量112212112121211110λλλλ⋅=⋅=+⇓⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+⋅⇓⋅=N v v N v v v v N v v v v N v v v v v v v这是不可能的。
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T·g3=l3g3 g3
T·g2=l1g2 g2
g1
T·g1=l1g1
（2）特征矩阵具有2次的初等因子l-l12以及l-l3)： l
经过初等变换，可以化为
Σ
l
J
2
l1
0
0
J1 l3
l
0 0
l1
1
l l1
0
0
0
l l3
式中Jn(li)称为对应于特征根li的n阶约当块。T 可以化为约
j
l01
0
l2
0
0
0 0 l3
T·g3=l3g3 g3
T·g2=l2g2 g2
g1
T·g1=l1g1
（2）特征方程具有一个实根与一对共轭复根——l1,l2为
一对共轭复根。设
l1 l i l2 l i
则仍有
T λ1 g1 g1 λ2 g2 g2 λ3 g3 g3
T
i •
j
l01
设
g1 g1
g3 g3
g2
i 2
gi
在 g1 , g2 , g3为基矢量的坐标系内
T
λ1 g1 g1
T
1 •2
g1
λ1
g2
T
3 •2
g3
g2 λ3 g3 g3
T
i •
j
l01
T 1 •2 l1
0
0
0
T 3 •2
l3
T g2
22T
1 •2
g1
l1
g2
T2 3 2 •2
l 0
T
i •
j
l
0
0 0 l3
T·g'3=l3g'3
T·g'2 g'3
g'1
lg'2
T·g'1
g'2
g'2
g'1 l1g'1
2.4.2.2 特征方程有重根的情况
由于实系数方程的复根必须成对出现，所以对于T
的特征方程有重根的情况，无论有二重根或三重根，它
们都应是实根。此时，T 一般可化为约当（Jordan）标
N·a1=N1a1
N
N1 a1 2
a1 a1
N2 a2 2
a2a2
N3 a3 2
a3 a3
2.4.1.6 主分量是当坐标变换时N 的混合分量对交元素之驻值 条件极值问题
max .or min.
st.
N N i
i j i
•i
i i • j
i i i i
1
引入拉格朗日乘子l ,求无条件极值问题
张量分析 及连续介质力学
2.4 二阶张量的标准形
例：已知一点的应力（应变）状态， 求主应力（或主应变）。
求二阶张量的标准形问题：相当于在矩阵代数学中，通 过初等变换将一个矩阵化为标准形与求特征值的问题。
2.4.1 实对称二阶张量的标准形
总可以化为对角型标准形且主方向互相正交。 2.4.1.1 基本概念
T
T
1 •1
g1
g1
T
1 •2
g1
g2
T
2 •1
g2
g1
T
2 •2
g2
g
2
T
3 •1
g3
g1
T
3 •2
g3
g2
T
3 •3
g3
g3
即
T
i •
j
T T
1 •1
2 •1
T
1 •2
T
2 •2
0
0
T
3 •1
T
3 •2
T
3 •3
进一步，依据特征方程根的性质，选择g1，g2，将T 化为某种 形式的标准形（不一定是对角标准形）。
0
l2
0
0
0 0 l3
式中，与l1,l2 对应的特征矢量g1，g2涉及复数。为了将T
表示成某种实数形式的标准形（不一定是对角标准形）， 可令
g1 g1 g2
g2 ig1 g2
g3 g3
在 g1, g2, g3构成的坐标系中，T 可以化为实数形式的标 准形
T lg1 g2 g3 g1 lg2 g2 l3 g3 g3
j i
0
i i
或
j i
有非零解得条件是
l
det
l
i j
N•i
j
0
解得l 的三个根，便可求出对应的
i i
或及ij相应的坐标
xi的方向，即
N i •i
取驻值的方向。由此可得
N i • j
l
i j
N i j i i j • j
2.4.2 非对称二阶张量的标准形
不一定能化为对角型标准形且主方向不正交。
2.4.1.2 对称二阶张量的特征方程
设 a，l 分别为 N 的主方向和主分量，则
N a la
或 即 N 的特征方程
N•i ja j lai
l
i j
N•i j
aj
0
l
det
l
i j
N•i
j
0
N 的特征多项式
l
l3
J1N
l2
J
N 2
l
J
N 3
特征方程的解：特征根
齐次方程组的非零解矢量：特征矢量
准形，这由T 的特征矩阵
l
l
i j
T
i •
j
的初等因子决定。当矩阵 l的初等因子都是简单的
（即一次的）式时， l经过初等变换可以化为对交标
准形；当矩阵 l的初等因子不全是简单的（即有高于
一次的初等因子）时， l化为几个约当块按对角排
列构成的标准形。
无论哪一种情况，当特征方程有重根时，特征方向 都不唯一。
）
2.4.1.4 实对称二阶张量主方向的正交性
（1）若l1＞l2＞l3,则a1，a2，a3 唯一且互相正交。
（2）若l1=l2≠l3,则a3及任意的a1，a2 a3 为主方向。在
a3的平面内，任取互相垂直的a1，a2 为其中的二个主方向。
3 2
l3
l1
g3
1
T2 3 2 •2
3 2
l3
l1
0
l3 l1 0
2 初等因子全简单
3 2
T2 3 2 •2
l1 l3
T 2 1 2 •2
0,
T1 •2
0,
22为任意
3 初等因子非全简单
T2 1 2 •2
1,
T 1 •2
0,
2 2
1 T 1
•2
1为
2
任
意
，
所
以
g2不
2.4.2.1 特征方程无重根的情况
（1）特征方程具有3个不等的实根——l1,l2亦为实根。
3个不等的实根分别对应3个线性无关的特征矢量g1， g2，g3，它们可构成一组基矢量（反证法）。在此坐标 系中，T 可化为对角标准形
T λ1 g1 g1 λ2 g2 g2 λ3 g3 g3
T
i •
T
i •
j
l01
1
l1
0
1
0 0 l1
l l1 1
0
Σ
l
0
l l1
0
0
0 l l1
T λ1 g1 g1 g1 λ1 g2 g2 λ1 g3 g3
T
i •
j
l01
1
l1
0
0
0 0 l1
（3）具有3次的初等因子(l－l1)3
l l1 1
0
Σ
l
0
l l1
1
0
0 l l1
T λ1 g1 g1 g1 λ1 g2 g2 g2 λ1 g3 g3
定义 对于一个实对称二阶张量
N N•i j gi g j
（gi 是初始坐标系的基矢量），必定存在一组正交标准化基 e1，e2，e3，在这组基中，N 化为对角标准形
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
其对应的矩阵是对角形的，即
N1 0 0
N
0
N2
0
0 0 N3
称 N1，N2，N3 为张量 N 的主分量，正交标准化基e1，e2，e3 的方向为张量 N 的主轴方向（或主方向），对应的笛卡儿坐标 系称为张量 N 的主坐标系。
唯
一
。
2. 特征方程具有三重根（l1l2l3） （1）具有3个全为1次的初等因子（l－l1）
l l1 0
0
Σ
l
0
l l1
0
0
0 l l1
T λ1 g1 g1 λ1 g2 g2 λ1 g3 g3
T
i •
j
l01
0
l1
0
0
0 0 l1
（2）具有初等因子(l－l1)2， (l－l1)
（3）若l1=l2=l3,则在空间任一组正交标准化基中N 都化为 对角标准形，称这种张量为球形张量，记作P。球形张量的
主分量为
1 P1 P2 P3 3 J1
则
P
1 3
J1G
2.4.1.5 实对称二阶张量所对应的线性变换
N·a3=N3a3
ei
ai ai
ai ai2
a3 a2
a1
N·a2=N2a2
1. 特征方程具有二重实根（l1l2≠l3） （1）特征矩阵的初等因子全为简单的，即 l经过初等
变换，可以化为
l l1 0