二阶张量与四阶张量双点积的结果
张量第四章
第四章 张量代数§4.1 张量的基本运算一、加法阶数相同、指标的结构和次序相同的诸张量可以加。
张量的代数和，就是将对应的同名分量相加。
1、 张量加法满足交换律和结合律。
2、 张量加法对坐标变换是不变的。
二、乘法对任何阶与结构的张量都可施行乘法。
用第一个张量的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量。
由这些乘积所组成的集合仍是一个张量，即两个张量的乘积。
j i A ⋅与m kl B ⋅ 乘 mkl j i jm kl i B A C ⋅⋅⋅⋅⋅=为一个五阶张量。
1、 张量乘法是不可交换的。
2、 张量乘法对坐标变换是不变的。
3、 乘积张量的阶数等于因子张量阶数之和。
三、连并与缩并连并：当两个张量相乘时，如果一个张量的上标和另一个张量的下标相同，则按哑标求和，结果仍为一个张量。
这种乘积运算称为连并。
缩并：对于同一个张的某个上标和某个下标取为相同的标号，则对哑标求和，其结果仍为张量，称为缩并。
缩并只能对二阶以上的混变张量进行。
四、指标的上升与下降指标的上升和下降通过度量张量与张量的连并来进行。
度量张量的逆变分量可以提升指标。
度量张量的协变分量可以下降指标。
kij ijl klT T g ⋅⋅= i j km likl im T T g g =⋅ 五、对称化和反对称化1、对称化对于任意一个n 阶张量中的某些上标或某些下标中的r 个指标的对称化，就是把这r 个指标按不同次序排列所得到的!r 个同份异构张量求和，并除以!r 的算术平均值的运算。
其结果关于所参与的r 个指标对称，也即所得张量与对称化指标的位置元素，称为关于该r 个指标的对称张量。
一般把参与对称化的指标用（ ）括起来，未参与对称化的指标用一对竖线分开。
)(!21)(ji ij ij T T T +=)(!31)(ilkjm ljki m jikl m jlki m likj m ijkl m l k ij m T T T T T T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++=2、反对称化反对称化就是将参与反对称化的r 个上标或下标，通过指标的交换构成!r 个同份异构张量。
第 2 章 二阶张量
研究定义在一个固定点（张量的元素是实常数， gi 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的
不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量的元素
T = Tij g i g j = Ti• j g i g j = T•ii gi g j = T ij gi g j
k n
(2) T 的不变量由无限多个（不变量的组合仍是不变量），通常关心的有两组：
主不变量（ T 特征多项式的三个系数）
2
η1 = T•11 + T•22 + T•33 = G : T = T•mm = GmnT mn = GmnTmn = Tm•m
( )( ) η2
=
T•11 T•21
T•12 T•22
、 Ni• j
=
N•ji
，
（而一般： N•i j
≠
N
j •i
、
N
• i
j
≠
N •i j
在相同的，混变分量的转置 ≠ 系数矩阵的转置）
N ⋅u=u⋅N
(4) 反对称张量 Ω = −ΩT
性质： Ωij
=
−Ω 、 Ω ij ji
=
−Ω
ji
Ω 、 i •j
=
Ω − Ω 、 •i
•j
j
i
=
−Ω•ij ，
（而一般：
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
晶体光学 lesson5张量
第二章晶体性质的数学描述研究内容张量的概念二阶张量－重点介绍－推导变换关系 二阶张量示性曲面及主轴化高阶张量及其变换三阶张量四阶张量晶体宏观对称性与晶体张量的关系张量的概念标量物理中常见的一些量，如密度、温度等等很多。
特点：无方向可用一个数值完全表示矢量区别于标量的另一类物理量，既有数值又有方向，如机械力就是矢量。
矢量用黑体字母表示，如F 。
在直角坐标系中用矢量在该坐标系上的分量表示矢量。
例如电场强度矢量E 记为：123[,,]T E E E =E 123E E E ++E=i j k二阶张量张量的概念以电场强度和极化强度矢量为例：123P P P =++P i j k 123E E E ++E=i j k对于各向同性晶体中，同方向则,P E0εχ=P E123[,,]T E E E =E 123[,,]T P P P =P¾如果在各向异性晶体中情况就复杂了，电场强度和它引起的极化强度的方向一般不相同¾这时电场强度的每个分量对极化强度每个方向的分量均有影响，且影响的程度不同，这时我们就不能简单的利用前面的公式()11112130111122133()()()P P E P E P E E E E εχχχ=++=++()22122230211222233()()()P P E P E P E E E E εχχχ=++=++()33132330311322333()()()P P E P E P E E E E εχχχ=++=++张量的概念我们把上述公式表示为矩阵的形式1112131120212223233313233P E P E P E χχχεχχχχχχ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 1、P 的每一个分量与电场强度的三个分量存在线性关系2、坐标系确定后为常数3、各向异性介质的电极化特性需用9各数值才能完整描述----我们接下来会详细介绍ij χ张量的概念－二阶张量111213212223313233χχχχχχχχχ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠我们称这个3×3的矩阵为二阶张量张量的概念－二阶张量推广－如果某个物理性质T ，可以表征另外两个物理量p,q 之间的关联，并具有如下关系111213112212223233313233T T T P q P T T T q P q T T T ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 我们称构成二阶张量ij T 张量的概念－二阶张量张量的习惯写法：引入爱因斯坦求和法则－略去求和符号31(1,2,3)i ij j j p T q i ===∑i ij j p T q =i 为自由下标，j 为求和下标，注意顺序1、下标符号任意选定，但要有区别2、自由下标前后呼应，求和下标成对出现张量的概念－二阶张量张量的概念－二阶张量或者表示为矩阵的形式：P Tq=对于我们晶体光学范畴研究的二阶张量均有：ij ji T T =对称张量T T ′=张量的概念－二阶张量我们可以将二阶张量的下标作如下简化：11－1 22－2 33－323 32－4 13 31－5 12 21－6121112131653212223624431323354356T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⇒⇒⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠张量的概念9标量（零阶张量）9矢量（一阶张量）9二阶张量9三阶张量9四阶张量。
张量分析(1)
x2
' x2
e2'
e2 e ' 1
' x1
e1 x1
x1
x2
' x2
' x1
x2
' x2 e2'
e 2 e1'
' x1
e1 x1
x1
令：αi' j cos(ei' ,e j )
( i' , j 1,2 )
则： αi' j
cos(e1' , e1 ) cos(e1' , e2 ) cos sin cos( e , e ) cos( e , e ) ' ' sin cos 1 2 2 2
A B ( Aij Bij )ei e j Tijei e j Τ
符合 φ ijklei e j ek el ,为一新张量
另证：
Ai ' j ' i 'i j ' j Aij Bi ' j ' i 'i j ' j Bij
Ai ' j ' Bi ' j ' i 'i j ' j ( Aij Bij )
xi xi , j ij x j aii jk a jk
三．Ricci 符号
定义：
ei j k
1 1 0
ei j k
即：
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
2.1二阶张量的矩阵
二阶张量的转置， 2.1.2 二阶张量的转置， 对称、 对称、反对称张量及其所对应的矩阵
T = T
T
( ) g g = (T )
T i j ij
T j i
g gj = T
i
( )
j
T i j
gi g = T
j
( ) gg
T ij i
j
= T ji g g = T g g j = T gi g = T gi g j
定义
显然
2.1.4
( ) det (T ) = det (T )
T det (T ) = det τ 3
T
二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算
（1）张量的相等、相加、标量与张量相乘等代数运算均与 张量的相等、相加、 矩阵运算一一对应。 矩阵运算一一对应。 （2）二阶张量的迹 trT ：
trT = Ti i
张量分析 及连续介质力学
第2章
二 阶 张 量
2.1 二阶张量的矩阵
2.1.1 二阶张量的四种分量所对应的矩阵
三维空间中的二阶张量T 三维空间中的二阶张量
T 11 T12 T13 τ 1 = T21 T22 T23 = Tij T31 T32 T33
[ ]
T 1 T 2 T 3 1 1 1 1 2 3 τ 2 = T 2 T 2 T 2 = T i j T 31 T 32 T 33 T 11 T 12 T 13 τ 4 = T 21 T 22 T 23 = T ij T 31 T 32 T 33
[ ] [ ]
T 11 T 12 T 13 2 2 2 τ 3 = T 1 T 2 T 3 = T i j T 31 T 3 2 T 3 3
[ ]
第2章二阶张量
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
=
1 2
δ
ijpqT•jiT•qp
[共有 6 项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标 m, n 和 p, q 可以互换但乘积不
而一般： Ωi• j
≠
−Ω
j •i
、
Ω
• i
j
≠
−Ω
•i j
Ω ⋅ u = −u ⋅ Ω
(2) 不变量：
η1Ω = 0 ；η3Ω = 0 (对角元为零)
5
( ) ( ) ( ) η2Ω
=
0 − Ω1•2
Ω1•2 0
+
0 − Ω•23
Ω•23 0
+
0 − Ω1•3
Ω1•3 0
=
Ω1•2
2+
Ω•23
2+
变，所以要乘 1/2]
T•11 T•12 T•13
η3 = T•21
T•22
T•23
=
1 3!
εMT
⊗T
⊗TMε
=
1 6
δ limjknT•l iT•mjT•nk
=
1 6
ε
ijk ε lmnT•l iT•mjT•nk
T•31 T•32 T•33
[共有 6 项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零； l, m, n 均顺 序和均逆序的排列有 6 种，同样 i, j, k 也有六种，组合共有 36 种，除去重复的只有 6 种， 所以要乘 1/6]
08张量分析4
2 , 2
3
, 3
1 所得的分量值不变。
A11 = A22 = A33 A12 = A23 = A31 A21 = A32 = A13
♣ 二阶张量
根据变换 I（附图 1a）
′ = β11β11 A11 = ( −1) A11 = A11 A11 = A11
2
′ = β11 β 22 A12 = ( −1) ( +1) A12 = − A12 A12 = A12 ′ = β 22 β11 A21 = ( +1)( −1) A12 = − A21 A21 = A21
若对任一自变量（例如 b ）满足
φ = f ( a , αb + βb′ ) = α f ( a , b ) + β f ( a , b′ ) （1.11）
则称为线性函数，容易验证（1.9a）式为双线性函数， （1.9b）式为四重线性函数。 一般情况下，函数的函数值将随自变量的变化而变化，例如
f ( x1 , y1 ) ≠ f ( x2 , y2 )
附 1.1
用特殊坐标变换求各向同性张量分量表达式 特殊坐标变换求各向同性张量分量表达式
根据定义，各向同性张量为在任意直角坐标系下分量值不变的非零张量，如
′ = Aij Aij
′ ℓ = Aijk ℓ Aijk
♣ 一阶张量
一阶张量满足
ai′ = β ij a j = β i1a1 + β i 2 a2 + β i3 a3
(
)
T( ik )
上式虽然未出现（1.2）式的 η ，但实际上包括了 i = j = k = ℓ 的情况，由（1.2）式和（1.3）式得
η = λ + µ +γ
第2章 二阶张量
111
222
333
N为正（非负）张量 ⇔ N > (≥)0 i
（2）N非负，存在唯一的非负对称张量M，使 M 2 = N
（3）任意非对称张量可以 构造非负张量：
1 ）X = T ⋅T T，Y = T T ⋅T为非负张量，若T可逆，则X、Y为正张量
2）X 、Y 为对称张量
3）X 、Y 为不同的张量，但有相同的主分量
定理：[T ⋅ u, T ⋅ v, T ⋅ w] = det T [u, v, w]
正则与退化 det T ≠ 0 的二阶张量－正则二阶张量；否则为退化的二阶张量。
（1）T为正则 ⇔ (i = 1, 2, 3) u(i)性无关，则T ⋅ u(i)也线性无关。
（2）正则T是单射的：u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v （3）正则T是满射的：∀u所作的线性变换T ⋅ u = v，必存在唯一的
≠
−Ω j、Ω • j
•i
i
≠
−Ω •i）Ω ⋅ u j
=
−u ⋅ Ω
（5）行列式的值：
， ， 定义：det T
=
Ti •j
T ij
= g T•j i
=
Ti •j
g = g 2 T ij
g= G ij
( ) ( ) ( ) 、 TT ij
=T ij
T T ij = T ij 、
T 、 = T T i j
l, m, n均顺序和均逆序的排列有6种，i, j, k同样也有六种，组合共有36种，
除去重复的只有6种，所以要乘1 / 6]
[T ⋅ a, b, c] = [a,T ⋅ b, c] = [a, b,T ⋅ c] = η1(T )[a, b, c]
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二阶张量与四阶张量双点积的结果
二阶张量与四阶张量双点积的结果
导语：
在数学和物理学中，张量是一种用于描述物理量或几何概念的数学工具。
而二阶张量和四阶张量则是最常见的两种形式。
本文将探讨二阶
张量与四阶张量之间的双点积运算，以及该运算的结果。
一、什么是二阶张量和四阶张量
1. 二阶张量：
二阶张量是一种具有两个索引的张量。
它的表达式通常为 Tij，其中i
和j是两个索引的取值范围。
二阶张量可以表示为一个二维矩阵，其中每个元素代表了对应位置上的物理量或几何概念的值。
应力张量、应
变张量和惯性张量都是二阶张量的实例。
2. 四阶张量：
四阶张量是一种具有四个索引的张量。
它的表达式通常为Tijkl，其中i、j、k和l是四个索引的取值范围。
四阶张量可以表示为一个四维矩阵，其中每个元素代表了对应位置上的物理量或几何概念的值。
弹性张量、扭转刚度张量和应力-应变敏感度张量都是四阶张量的实例。
二、二阶张量与四阶张量双点积的定义
1. 双点积的定义：
双点积是一种张量之间的运算，用于将两个张量相互作用。
对于二阶张量与四阶张量的双点积，其定义如下：
Bijkl = Aijmn * Cmnkl
其中，Bijkl、Aijmn和Cmnkl分别表示双点积的结果、二阶张量和四阶张量的元素。
2. 双点积的运算规则：
二阶张量与四阶张量的双点积运算规则如下：
- 对于二阶张量Aijmn的第i和j索引与四阶张量Cmnkl的第m和n 索引，进行求和运算。
- 将运算结果放入双点积的结果张量Bijkl的第i和j索引。
- 对于二阶张量Aijmn的第m和n索引与四阶张量Cmnkl的第k和l 索引，进行求和运算。
- 将运算结果放入双点积的结果张量Bijkl的第k和l索引。
三、二阶张量与四阶张量双点积的结果
二阶张量与四阶张量的双点积的结果是一个四阶张量。
它的表达式为Bijkl，其中i、j、k和l是四个索引的取值范围。
该四阶张量的元素代表了二阶张量和四阶张量相互作用后得到的物理量或几何概念的值。
对于双点积的结果，具体计算方式为：
Bijkl = Aijmn * Cmnkl
其中，Aijmn和Cmnkl为已知的二阶张量和四阶张量，Bijkl为双点积的结果。
四、个人观点和理解
双点积运算可以将二阶张量和四阶张量之间的信息相互汇合，得到一个更全面、更细致的结果。
通过双点积，我们可以了解二阶张量和四阶张量在相互作用过程中产生的变化和相互影响。
双点积的结果是一个四阶张量，它可以提供更多维度的信息和更高级别的模型表示。
在实际应用中，我们可以利用双点积的结果来解析物理问题、优化工程设计和预测实验结果。
双点积运算是数学和物理学领域中非常有用的工具，可以帮助我们更好地理解和描述现实世界中的复杂问题。
总结：
本文介绍了二阶张量与四阶张量双点积的概念、定义和运算规则。
双点积运算可以将二阶张量和四阶张量的信息相互作用，得到一个更全面、更细致的结果。
双点积的结果是一个四阶张量，它可以提供更高
级别的模型表示和更多维度的信息。
通过双点积运算，我们可以更好
地理解和描述现实世界中的复杂问题，并在实际应用中进行分析、优
化和预测。
双点积是一种有价值的数学工具，对于推进科学研究和工
程领域的发展具有重要意义。
（文章结束）在数学和物理学领域中，二阶张量与四阶张量双点积的
结果是一个非常有价值的工具，它可以提供更多维度的信息和更高级
别的模型表示。
通过双点积运算，我们可以将二阶张量和四阶张量的
信息相互作用，得到一个更全面、更细致的结果。
让我们回顾一下二阶张量和四阶张量的概念。
在数学中，二阶张量是
一个具有两个索引的多维矩阵，它可以用来表示各种物理量的分量，
比如力、速度和应力等。
而四阶张量是一个具有四个索引的多维数组，它用于描述更复杂的物理过程和相互作用现象。
当我们进行二阶张量与四阶张量的双点积运算时，实际上是将二阶张
量的每一个分量与四阶张量的相应分量进行乘积，并将结果进行求和。
这样，我们可以得到一个新的四阶张量，它融合了二阶张量和四阶张
量的信息，提供了更全面的数据分析和建模能力。
通过双点积运算，我们可以了解二阶张量和四阶张量在相互作用过程
中产生的变化和相互影响。
这使得我们能够更好地解析物理问题、优
化工程设计和预测实验结果。
在材料科学领域，通过双点积运算可以
分析材料的应力和应变之间的关系，从而优化材料的性能和强度。
双点积的结果是一个四阶张量，其各个分量代表着不同的物理量或相
互作用信息。
这使得我们可以更精确地描述和模拟真实世界中的复杂
现象。
在实际应用中，我们可以利用双点积的结果进行数据分析和建模，从而更准确地预测实验结果或优化工程设计。
在航空航天工程中，通过双点积运算可以模拟飞机翼的变形和应力分布，从而改进飞行性
能和安全性。
二阶张量与四阶张量双点积的结果是一个非常有用的工具，它可以提
供更多维度的信息和更高级别的模型表示。
通过双点积运算，我们可
以更好地理解和描述现实世界中的复杂问题，并在实际应用中进行数
据分析、优化和预测。
双点积是一种有价值的数学工具，它对于推进
科学研究和工程领域的发展具有重要意义。
在进行数据分析和模型建
立时，我们应当充分利用二阶张量与四阶张量双点积的结果，以更好
地解决复杂问题。