第2章二阶张量

+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
=
1 2
δ
ijpqT•jiT•qp
[共有 6 项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标 m, n 和 p, q 可以互换但乘积不
而一般： Ωi• j
≠
−Ω
j •i
、
Ω
• i
j
≠
−Ω
•i j
Ω ⋅ u = −u ⋅ Ω
(2) 不变量：
η1Ω = 0 ；η3Ω = 0 (对角元为零)
5
( ) ( ) ( ) η2Ω
=
0 − Ω1•2
Ω1•2 0
+
0 − Ω•23
Ω•23 0
+
0 − Ω1•3
Ω1•3 0
=
Ω1•2
2+
Ω•23
2+
变，所以要乘 1/2]
T•11 T•12 T•13
η3 = T•21
T•22
T•23
=
1 3!
εMT
⊗T
⊗TMε
=
1 6
δ limjknT•l iT•mjT•nk
=
1 6
ε
ijk ε lmnT•l iT•mjT•nk
T•31 T•32 T•33
[共有 6 项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零； l, m, n 均顺 序和均逆序的排列有 6 种，同样 i, j, k 也有六种，组合共有 36 种，除去重复的只有 6 种， 所以要乘 1/6]
( ) ⇒ 因为 N 对称，所以 a ⋅ N ⋅ a − a ⋅ N ⋅ a = λ − λ a ⋅ a = 0
⇒ λ − λ = 0 ⇒ λ 为实数。
主方向正交
1) 无重根 λ1 > λ2 > λ3 时： N ⋅ a1 = λ 1a1 → a2 ⋅ N ⋅ a1 = λ1 a2 ⋅ a1 ； N ⋅ a2 = λ 2a2 → a1 ⋅ N ⋅ a2 = λ2 a1 ⋅ a2
(4) [T ⋅ a,b,c] = [a,T ⋅ b,c] = [a,b,T ⋅ c] =η1 [a,b,c] [T ⋅ a,T ⋅ b,c] = [a,T ⋅ b,T ⋅ c] = [a,T ⋅ b,T ⋅ c] =η2 [a,b,c]
[T ⋅ a,T ⋅ b,T ⋅ c] =η3 [a,b,c]
i j
βj 1′
δβi1′
=
0
⇒
β N 1′ i i •j
−
λδ
i j
β 1′ i
=
0;
β Nj i 1′ • j
−
λδ
i j
βj 1′
=
0
( ) ( ) ⇒
N•i j
−
λδ
i j
β 1′ i
= 0;
N
i •
j
−
λδ
i j
βj 1′
=0
( ) ( ) ⇒ 同理1′ 推广到 i′ :
N•i j
−
λδ
i j
β i′ i
=0;
N
i •
j
−
λδ
i j
βj i′
=0
⇒
使转换系数
βii′和Fra bibliotekβj i′
有非零解的条件:
N
i •
j
−
λδ
i j
=0
⇒ 求极值的计算等同于求特征值的计算。
2． 实反对称二阶张量 Ω
(1)
定义： Ωij
= −Ω ji 、 Ωij
=
−Ω
ji
、
Ω
i •
j
=
−Ω
•i j
、
Ωi•
j
=
−Ω
j •i
，
i =1
i =1
i =1
定理：[T ⋅ u, T ⋅ v, T ⋅ w] = detT [u, v, w]
[ det T 为两个平行六面体的体积比，三维空间中 3 个矢量是否线性相关取决与它们的混合积
是否为零] 正则与退化
det T ≠ 0 的二阶张量－正则二阶张量；否则为退化的二阶张量
(1) T 为正则 ⇔ u(i) (i=1,2,3) 性无关，则T ⋅ u(i) 也线性无关。
= 1。( i′
不求和)
以
β β N = N 1′
1′ j i
•1′
i 1′ • j
为例：
( ) ⇒
J
=
β β N 1′ j i i 1′ • j
−λ
β βi 1′ 1′ i
−1
→
max
( ) ( ) ⇒ δJ
=
β N 1′ i i •j
−
λδ
βi 1′
ji
δβ1′j
+
β Nj i 1′ • j
−
λδ
张量分量的数值随坐标改变而变化，但其某些组合却是不随坐标变化的标量---不变量。
(1) T 通过与自身 T 、 G 、 ε 进行缩并，得到的标量就是不变量:
G
:T
=
G ⋅⋅T
=
δ
jiT
j i
=
T
i i
T
⋅ ⋅T
=
T
ijT
j i
=
tr(T
⋅T )
εMT
⊗T
⊗T
Mε
=
εε ijk
T lmn
ilT
mj T
、 Ni• j
=
N•ji
，
（而一般： N•i j
≠
N
j •i
、
N
• i
j
≠
N •i j
在相同的，混变分量的转置 ≠ 系数矩阵的转置）
N ⋅u=u⋅N
(4) 反对称张量 Ω = −ΩT
性质： Ωij
=
−Ω 、 Ω ij ji
=
−Ω
ji
Ω 、 i •j
=
Ω − Ω 、 •i
•j
j
i
=
−Ω•ij ，
（而一般：
(3) 坐标、主分量的求法：
( ) N ⋅a = λ a ⇒
N
i •
j
− λδ
i j
ai = 0 ⇒ a j （主坐标系下，主方向矢量 a 经变换后方向不变）
非零解
Ni •j
−
λδ
i j
=
λ3
−
λ
η2 N 1
+ λη2N
−
ηN 3
=0
三个根均是实根:
设有复根： λ
=
λ1
+ iλ2 ，由
N
i •
j
a
j
N
i •
jα
j
−
iN
i •
j
β
j
=
λ1α i − λ2β i
− i λ1β i + λ2α i
=
λ1 − iλ2
α i − iβ i
⇒ N ⋅ a = λ a ⇒ λ = λ1 − iλ2 也是复根.
⇒ N ⋅a =λ a → a ⋅ N ⋅a = λ a ⋅a； N ⋅a = λ a → a⋅N ⋅a = λ a ⋅a
空间任意一组迪卡尔坐标系均是主坐标系。
4
(4) 对应的线性变换
N 将 N 主方向上的矢量 ai 映射为平行自身方向的矢量，且放大 Ni 倍： N ⋅ ai = Niai
(5) Ni 是对角元的极值：
求对角元的极值：
N i′ •i′
=
β β N i′ j i i i′ • j
且满足：
β βi i′ i′ i
2.4 二阶张量的标准形
1． 实对称张量 N
(1)
定义： Nij
=
N ji 、 N ij
=
N
ji
、
N
i •
j
=
N
•i j
、
Ni•
j
=
N•ji
，而一般：
N
i •
j
≠
N•ji 、 Ni• j
=
N
•i j
N ⋅u=u⋅N
3
(2) 对任一实对称 2 阶张量，总能找到一组正交标准化基： ei
N = N1e1e1 + N2e2e2 + N3e3e3 ， Ni 为主分量， ei 为主方向。
•i j
gi
g
j
=T
ji gi g j
协、逆变分量指标交换，混变分量互相交换
= Tij g j gi
= Ti• j g j gi
=
Ti •i
g
j
gi
= T ij g j gi
也可以分量不动，并矢交换
(3) 对称张量 N = N T
性质： Nij
=
N ji 、 N ij
=
N
ji 、 N•i j
=
N
•i j
=
(λ1
+ iλ2 )ai
⇒
ai
必为复数： ai
=αi
+ iβ i
( ) ( ) ⇒
N
i •
j
α
j
+ iβ
j
= (λ1 + iλ2 ) α i + iβ i