2.5几种特殊的二阶张量
第 2 章 二阶张量
研究定义在一个固定点（张量的元素是实常数， gi 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的
不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量的元素
T = Tij g i g j = Ti• j g i g j = T•ii gi g j = T ij gi g j
k n
(2) T 的不变量由无限多个（不变量的组合仍是不变量），通常关心的有两组：
主不变量（ T 特征多项式的三个系数）
2
η1 = T•11 + T•22 + T•33 = G : T = T•mm = GmnT mn = GmnTmn = Tm•m
( )( ) η2
=
T•11 T•21
T•12 T•22
、 Ni• j
=
N•ji
，
（而一般： N•i j
≠
N
j •i
、
N
• i
j
≠
N •i j
在相同的，混变分量的转置 ≠ 系数矩阵的转置）
N ⋅u=u⋅N
(4) 反对称张量 Ω = −ΩT
性质： Ωij
=
−Ω 、 Ω ij ji
=
−Ω
ji
Ω 、 i •j
=
Ω − Ω 、 •i
•j
j
i
=
−Ω•ij ，
（而一般：
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
第2章二阶张量
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
=
1 2
δ
ijpqT•jiT•qp
[共有 6 项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标 m, n 和 p, q 可以互换但乘积不
而一般： Ωi• j
≠
−Ω
j •i
、
Ω
• i
j
≠
−Ω
•i j
Ω ⋅ u = −u ⋅ Ω
(2) 不变量：
η1Ω = 0 ；η3Ω = 0 (对角元为零)
5
( ) ( ) ( ) η2Ω
=
0 − Ω1•2
Ω1•2 0
+
0 − Ω•23
Ω•23 0
+
0 − Ω1•3
Ω1•3 0
=
Ω1•2
2+
Ω•23
2+
变，所以要乘 1/2]
T•11 T•12 T•13
η3 = T•21
T•22
T•23
=
1 3!
εMT
⊗T
⊗TMε
=
1 6
δ limjknT•l iT•mjT•nk
=
1 6
ε
ijk ε lmnT•l iT•mjT•nk
T•31 T•32 T•33
[共有 6 项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零； l, m, n 均顺 序和均逆序的排列有 6 种，同样 i, j, k 也有六种，组合共有 36 种，除去重复的只有 6 种， 所以要乘 1/6]
人教版高中数学选修四教学课件-几类特殊线性变换及其二阶矩阵
������'-������ 1
11
∴ ������'-������ = - 3 , ∴ ������'-������ = - 3 ������' + 3 ������,
������' = 3������'.
������' = 3������'.
13
1
∴
������'
=
10 3
������
+
10 9
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
题型四
投影变换
【例4】 在直角坐标系xOy内,求关于直线y=3x的投影变换对应 的二阶矩阵.
分析:根据投影变换的定义,在关于直线l的投影变换下,点P与它 的像P'应满足PP'⊥l,且点P'在直线l上.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
解:设平面内任一点P(x,y)在关于直线y=3x的投影变换下的对应 点为P'(x',y'),则有PP'与直线y=3x垂直,且点P'在直线PP'上,
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
题型三
伸缩变换
【例
3】在直角坐标系
xOy
内,将每个点的横坐标变为原来的
1 2
,
纵坐标变为原来的 2 倍, 求点������(1,2)在该变换作用下的像������′.
分析:可根据伸缩变换的坐标变换公式或对应的矩阵求解.
解:设点 M 在该变换作用下的像为 M'(x',y'),
答案:B
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
2.5几种特殊的二阶张量
Ai j
j
A:A
tr A A
T
满足范数公理的三个条件：非负性、对称性与三角不等式， 可作为二阶张量空间的一种范数。
2.5.6
2.5.6.1
反对称二阶张量
定义
满足 T 的张量称为反对称张量。在任一笛卡儿 坐标系中
i j
0 1 2 1 3
T
n
T
-1
T
-1
T
-1
n 个T -1
2.5.4
正张量、非负张量及其方根、对数
正张量、非负张量都是对称二阶张量。 定义 正张量N >O满足u· u=N:uu>0 对于任意u≠0 N· 非负张量N ≥O满足u· u=N:uu≥0 对于任意u≠0 N· 对称二阶张量必定可在一组正交标准化基中化为对角标准形
u u
易证：
e3
（ 包含了 的全部信息）
1
:
J2
2.5.6.5
反对称二阶张量所对应的线性变换
e1 e 2
e 2 e1
e3 0
e3 u
×u
u+ · u e2
· e u 1
对于空间任一矢量 u u1e1+u2e2+u3e3，
可证：利用任意一个非对称二阶张量T 可构造两个非负张量
X T T
T
O
Y T
T
T O
如果T 是正则的，则X，Y 是正张量：
X T T
T
>O >O
Y T
T
T
一般来说，X，Y 是两个不同的张量。可证：它们具有相同 的主分量，只是主轴方向不同而已。
第2章 二阶张量
111
222
333
N为正（非负）张量 ⇔ N > (≥)0 i
（2）N非负，存在唯一的非负对称张量M，使 M 2 = N
（3）任意非对称张量可以 构造非负张量：
1 ）X = T ⋅T T，Y = T T ⋅T为非负张量，若T可逆，则X、Y为正张量
2）X 、Y 为对称张量
3）X 、Y 为不同的张量，但有相同的主分量
定理：[T ⋅ u, T ⋅ v, T ⋅ w] = det T [u, v, w]
正则与退化 det T ≠ 0 的二阶张量－正则二阶张量；否则为退化的二阶张量。
（1）T为正则 ⇔ (i = 1, 2, 3) u(i)性无关，则T ⋅ u(i)也线性无关。
（2）正则T是单射的：u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v （3）正则T是满射的：∀u所作的线性变换T ⋅ u = v，必存在唯一的
≠
−Ω j、Ω • j
•i
i
≠
−Ω •i）Ω ⋅ u j
=
−u ⋅ Ω
（5）行列式的值：
， ， 定义：det T
=
Ti •j
T ij
= g T•j i
=
Ti •j
g = g 2 T ij
g= G ij
( ) ( ) ( ) 、 TT ij
=T ij
T T ij = T ij 、
T 、 = T T i j
l, m, n均顺序和均逆序的排列有6种，i, j, k同样也有六种，组合共有36种，
除去重复的只有6种，所以要乘1 / 6]
[T ⋅ a, b, c] = [a,T ⋅ b, c] = [a, b,T ⋅ c] = η1(T )[a, b, c]
第2章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
( Nij ij )a j 0 det( Nij ij ) 0
利用指标升降关系 a为非0矢量 利用主不变量
N ( ) 3 J1N 2 J 2 J3N 0
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
非对称二阶张量
•
请研究以下领域的同学关注。 1、应变梯度理论，偶应力理论 2、电流场，电磁流变（有旋场）
x
x
椭圆曲线的坐标变换
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax bxy cy d 0
任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
(i)u(i) 0
i 1
l
l l 0 T (i)u(i) (i)(T u(i)) i 1 i 1
正则与退化的二阶张量
•
3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
N S
1 p
S S1e1e1 S2e2e2 S3e3e3
Si N i
1 p
几种特殊的二阶张量
正张量的对数
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
ln N ln N1 e1e1 ln N2 e2e2 ln N3 e3e3
Nij N ji Ni j Nij Nij N ji N ij N ji
N 1 NT 1
( ) , ( ) , ( ) ,
N T 1 N 2 N T 3 N 3 N T 2 N 4
NT 4
N T ( 4 )
反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
二阶张量的行列式
第二章 二阶张量
第二章：二阶张量1. ij T ij ji i j j i i j T T T ;=⊗=⊗=⊗T g g T g g g g ij i j ij i j T ; T =⋅⋅=⋅⋅g T g g T g2. T =T.u u.TT ij ij ij ij j i j i i j j i ( = T T u ;T T u )⋅⊗==⊗⋅=u.T u g g g T.u g g u g 3.i .j det()T =T行列式不等于零的二阶张量定义为正则二阶张量 正则二阶张量存在逆张量：1-⋅T T =G 4.主不变量①1)()()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )u (v w)（1.()::i i Tr T ζ====T T G G T)()()i j k ijk S u v w ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )（m m mijk .i mjk .j imk .k ijm S T T T εεε=++由于mik imkmmmiik .i mik.i imk.k iimS T T T εεεεε=-⇓=++=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时i j k m ijk .i .j .k ijk not sum ijk .m ijk S (T T T )T εε=++=②2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （2......122123323113.1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.1112233.1.2.2..3.3.1223311.1.2.2..3.3.111()22ij l mi j i l lm i j i j l j T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T TTTTT T ζδ==-=-+-+-=++注意：ij ijklm lmkδδ=是张量的分量张量T 行列式中各阶主子式之和)[)][()(]()[()]i j k ijk S u v w ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w （ 其中......()m n m n n mijk i j mnk j k imn k i mjn S T T T T T T εεε=++..........()0m n m n n m iik i i mnk i k imn k i min m n i i mnk m n i i nmk iik S T T T T T T T T T T S εεεεε=++===-=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时 (122123323113).1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.12()()i j j i j k k j k i i k ijk i j i j j k j k k i k i ijk not sumijkijkijkS T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T εεζε=-+-+-=-+-+-=③()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w...()[()()]()()()i j k l m nl m n ijkl m n lmn T T T u v w det u v w det εε⋅⋅⋅⨯⋅===⋅⨯T u T v T w T T u v w ④()()det()()T T -⋅⨯⋅=⨯T v T w T v w()[()()]det()()[()()]det()()T⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w u T T v T w T u v w由于上式对任意矢量u 都成立[()()]det()()()()det()()T T-⋅⋅⨯⋅=⨯⋅⨯⋅=⨯T T v T w T v w T v T w T T v w⑤主不变量与矩之间的关系*1*2..*3...()()()ii i kk i i j kj k i Tr T Tr T T Tr T T T ζζζ===⋅==⋅⋅=T T T T T T2212112212ij k li j j i kl .i .j .i .j .i .j *T T (T T T T )[()]ζδζζ==-=-3.....................*3***13121611()()661(()23)6ijk l m nlmn i j ki j k j k i k i j j i k i k j k j i i j k i j k i j k i j k i j k i j k e e T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ζζζζζ==++-++=+- 二阶张量标准形 1. 特征值、特征向量 λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 01111232221233331230.........T T T T T T T T T λλλ--=-特征方程 321230λζλζλζ-+-= 特征根是不变量2. 实对称二阶张量标准形 1. 特征根是实根*************; ; ()0 () λλλλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒=⋅-=⇒=N v N v v v N v v v v N v v v v v N v v 0v v2. 特征向量互相正交1112222112112212121212 ; ; ()00λλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒⋅=N v v N v v v N v v v v N v v v v v v v 3. 不存在约当链如果λ是n 重根，但不存在相应的特征向量12,v v ,使1122 ; λλ⋅=⋅=T v v T v v则一定存在约当链11221λλ⋅=⋅=+T v v T v v v然而对对称张量112212112121211110λλλλ⋅=⋅=+⇓⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+⋅⇓⋅=N v v N v v v v N v v v v N v v v v v v v这是不可能的。
二阶总应变张量
二阶总应变张量二阶总应变张量是描述物体形变情况的重要工具。
它是一个3x3的矩阵，其中每个元素代表了物体的微小形变情况。
形变可以分为线性变形和切变两种情况，分别对应着总应变张量中的正交分量和非正交分量。
在力学领域，总应变张量的性质与物体的刚性和弹性有关。
当物体在受力作用下发生形变时，总应变张量的各个分量将表示物体在不同方向上的形变程度，进而影响物体的力学性质。
总应变张量通常可以表示为：ε = [ε11 ε12 ε13][ε21 ε22 ε23][ε31 ε32 ε33]其中ε11、ε22和ε33表示物体在x、y和z方向上的线性变形，也即长度的变化比例。
ε12、ε13、ε21、ε23、ε31和ε32表示物体在不同方向上的切变，也即角度的变化。
对于线弹性材料，总应变张量的各个分量与应力张量之间满足线性关系，可以表示为：σ = Eε其中σ为应力张量，E为弹性模量，ε为总应变张量。
这个关系称为胡克定律。
总应变张量的各个分量还可以通过位移向量来表示。
假设位移向量为u，则总应变张量的分量可以表示为：εij = (1/2) * (∂ui/∂xj + ∂uj/∂xi)其中i和j表示坐标轴方向。
这个公式表示了总应变张量的分量是位移的一阶偏导数的和的一半。
这意味着总应变张量可以通过位移场的变化来计算。
总应变张量在实际应用中有很多重要的应用。
例如在工程实践中，通过测量和分析总应变张量，可以评估结构物的稳定性和安全性。
对于复杂结构物如桥梁、建筑物和机械装置，总应变张量的分布情况可以指示可能的破坏和变形情况，从而指导结构设计和维护。
此外，在材料科学中，总应变张量也广泛应用于材料的力学性质研究和材料工程中。
通过测量和分析总应变张量，可以评估材料的刚性和韧性，了解材料在受力下的形变行为，为材料的设计和应用提供重要参考。
总之，总应变张量是描述物体形变情况的重要工具。
它能够定量描述物体在不同方向上的线性变形和切变情况，为研究材料的力学性质和工程应用提供了重要的参考依据。
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2.5.7.4
正交张量的标准形
det Q det Q det Q 1
2
J
Q 3
1 det Q 1
Q 为正常正交张量 Q 为反常正交张量
R R
~1 g
~ g2
~ det Q g g3 1
g2
g3
R 使 gi 只产生整体的刚性转动，右手系的 gi 仍变为右手系； －R 使 gi 不仅有刚性转动，还进行了一次镜面反射。
N N 1e1e1 N 2 e 2 e 2 N 3 e 3 e 3
N 为正张量的必要且充分条件是 N 为非负张量的必要且充分条件是
Ni > 0 Ni≥0
对于非负张量N ≥O，存在唯一的非负张量M ≥O，使
M
2
N
1 2
定义M 为N 的方根，记作
M N
可证：M与N具有相同的主方向。
sin cos 0
0 0 1
在垂直于e3的平面内任意一对正交标准化基，都可作为对 应的特征矢量。在这组正交标准化基中
R cos e 1 e 1 e 2 e 2 sin e 2 e 1 e 1 e 2 e 3 e 3
正交张量对其特征矢量所做的线性变换为
Q 设Q 的特征方程的特征根分别为 1 , Q , Q ，其中必 2 3 有一个模等于1的实根。于是可设
Q
Q 3
1 1
Q R Q R
3 所对应的特征方向上的单位矢量e3，称为正交张量
的轴。
由 J 3 1 2 3 1
Q Q Q Q
得
1 2 1
u u 1 e 2 u 2 e 1
u
u G u u u
2 2
2
2 e u 2 2 1 3 u 1 2 u
当1时， 代表了小
~ e 1 R e 1 cos e 1 sin e 2 ~ e 2 R e 2 sin e 1 cos e 2
~ e3 R e3 e3
~ e3 e3
e3
~ e2
e2
~ e1
u
e2
e1 －2.5 几种特殊的二阶张量
2.5.1 零二阶张量O
0 0 0 0 0 0 0 O 0 0
O u 0
2.5.2
度量张量G
i j i j j i ij
G g ij g g j g i g δ i g g j g g i g j
在一般的斜坐标系中， Q T Q ，正交张量的矩阵 不是正交矩阵。只有在笛卡儿坐标系中，才有
T
Q T
Q ,
1
Q T Q Q Q T
i j
2.5.7.2
正交变换的“保内积”性质
定理 任意矢量u，v 用同一个正交张量进行映射 后，其内积不变，即 ~ ~ Q u Q v u v u v
i
k
i Q g k ~k Qk g i g
Qg
k
k k i ~ Qi g g
k k Q ~k g ~ g k g g
如果采用正交标准化基 ei ，则 ~ ~ ~ Q e1 e 1 e 2 e 2 e 3 e 3
i ~ i k i ~ cos e i , e j e e j e Q j e k Q j
M M 1e1e1 M 2 e 2 e 2 M 3 e 3 e 3
且其主分量为
Mi
Ni
若N ≥O，p为非负整数，则存在唯一的S=N 1/p≥O
S N1
1/ p
e1e1 N 2
1/ p
e2e2 N 3
1/ p
e3e3
正张量N >O 的对数lnN:
ln N ln N 1 e 1 e 1 ln N 2 e 2 e 2 ln N 3 e 3 e 3
u u
易证：
e3
（ 包含了 的全部信息）
1
:
J2
2.5.6.5
反对称二阶张量所对应的线性变换
e1 e 2
e 2 e1
e3 0
e3 u
×u
u+ · u e2
· e u 1
对于空间任一矢量 u u1e1+u2e2+u3e3，
1 G 0 0 0 1 0 0 0 1
G u u G T T G T
2.5.3
二阶张量的幂
二阶张量的正整数次幂
T
n
2.5.3.1
T T T
n 个T
T
m
T
n
T
mn
2.5.3.2
二阶张量的零次幂
T
0
G
2.5.3.3
二阶张量的负正整数次幂
T
n
T
-1
T
-1
T
-1
n 个T -1
2.5.4
正张量、非负张量及其方根、对数
正张量、非负张量都是对称二阶张量。 定义 正张量N >O满足u· u=N:uu>0 对于任意u≠0 N· 非负张量N ≥O满足u· u=N:uu≥0 对于任意u≠0 N· 对称二阶张量必定可在一组正交标准化基中化为对角标准形
1 2
0
2 3
2 3 0
1 3
u u
Τ
u
2.5.6.2
反对称二阶张量的主不变量
J1 0
J3 0
2 1 2
J2
2.5.6.2
2 2 3
2 1 3
2
反对称二阶张量的标准形
在垂直于e3的平面内，任选e1 e2 。在e1，e2，e3 内， 可 化为实数形式的标准形：
0 0 0 0 0 0 0
e1e 2 e 2 e1
2.5.6.4
反对称二阶张量的反偶矢量
矢量 与 之间满足
定义
2
则称 为反对称二阶张量 的反偶矢量。而称－与 互为 反偶。
几何意义：正交变换只能将空间一组基矢量进行刚性旋转 （可能加镜面反射），不能改变它们的长度与夹角。
逆定理 若一个二阶张量对于任意两个矢量u，v 进行 线性变换后，仍保持此二矢量的内积不变，则此二阶张量 必定是正交张量Q。
2.5.7.3
正交张量的并矢表达式
Q Qk g i g
i k
Qi g g k
转动， 是小转动矢量。
2.5.7
正交张量
定义
2.5.7.1
一个正则二阶张量，其逆与其转置张量相等，则称该 正则二阶张量为正交张量，用Q 表示。即
Q
1
Q
T
T
Q Q
Q Q G
T
Q Q Q Q Q Q Q G
T 1 1
T
T
可证：利用任意一个非对称二阶张量T 可构造两个非负张量
X T T
T
O
Y T
T
T O
如果T 是正则的，则X，Y 是正张量：
X T T
T
>O >O
Y T
T
T
一般来说，X，Y 是两个不同的张量。可证：它们具有相同 的主分量，只是主轴方向不同而已。
2.5.5
二阶张量的值
A A
i
Ai j
j
A:A
tr A A
T
满足范数公理的三个条件：非负性、对称性与三角不等式， 可作为二阶张量空间的一种范数。
2.5.6
2.5.6.1
反对称二阶张量
定义
满足 T 的张量称为反对称张量。在任一笛卡儿 坐标系中
i j
0 1 2 1 3
Q Q
一般可设
e
Q 1 Q 2
i
cos i sin cos i sin
e
i
复数形式的标准形
e i R 0 0
0 e
i
0
0 0 1
实数形式的标准形
cos R sin 0
的特征方程
特征方程的根
J2 0
3
3 0,
1 i,
2 i
的轴或零向e3满足
e3 3 e3 0
设与l，对应的特征矢量（复数基）为g1，g2
在g1，g2，e3中， 可化为对角型标准形
i 0 0 0 i 0 0 0 0