空间几何体的外接球与内切球。专题汇编

空间几何体的外接球与内切球。

专题汇编本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的定义、性质、结论和求解方法。

首先，球的定义是空间中到定点的距离等于定长的点的集合，简称球。

在此基础上，定义了外接球和内切球。

外接球是指一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，这个球是这个多面体的外接球；内切球是指一个多面体的各面都与一个球的球面相切，这个球是这个多面体的内切球。

其次，文章介绍了外接球的性质和结论。

其中，外接球的性质包括过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面；球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心。

文章还列举了各种空间几何体的外接球的结论，如长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处等。

最后，文章介绍了内切球的一个重要结论，即若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直。

同时，文章还提到了勾股定理、正定理及余弦定理等求解三角形线段长度的方法。

经过剔除格式错误和删除有问题的段落，本文更加清晰明了地介绍了空间几何体的外接球与内切球的相关知识和方法。

2.内切球与多面体各面的距离相等，外接球与多面体各顶点的距离相等，类比于多边形的内切圆。

3.正多面体的内切球和外接球的球心重合。

4.正棱锥的内切球和外接球的球心都在高线上，但不一定重合。

5.求解内切球半径的基本方法有两种：一是构造三角形利用相似比和勾股定理，二是体积分割法，即等体积法。

6.与台体相关的内容在此略过。

7.八大模型之一是墙角模型，其中三条棱两两垂直，可以直接使用公式(2R)2=a2+b2+c2求出内切球半径R。

8.举例说明：（1）已知同一球面上正四棱柱的高为4，体积为16，则其内切球表面积为24π；（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球表面积为9π；（3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM垂直MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。

9.引理：正三棱锥的对棱互相垂直。

证明如下：连接AB、BC的中点D、E，连接AE、CD，交点为H，则H是底面正三角形ABC的中心，因此SH垂直平面ABC且垂直AB，所以CD垂直AB，即AB垂直平面SCD，同理可证BC垂直SA、AC垂直SB，因此正三棱锥的对棱互相垂直。

10.举例说明：在正三棱锥S-ABC中，若侧棱SA=23，且AM垂直MN，其中M、N分别是棱SC、BC的中点，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。

2）正三棱锥S-ABC的外接球半径为R，根据勾股定理，三角形ABC为等边三角形，边长为2R/√3，因此正三棱锥的表面积为6R²/√3=2R²√3，又因为2R²=36，所以正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为36π。

4）在四面体S-ABC中，SA垂直于平面ABC，且∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，根据勾股定理，BC²=AC²+AB²-2AB·BC·cos120°=7，所以BC=7，四面体S-ABC的外接球直径为2r=40/(3√3)，根据勾股定理，(2R)²=(2r)²+SA²=4/3+4=16/3，所以2R=4/√3，外接球的表面积为4πR²=16π/3.5）设三棱锥的三个侧面分别为ABC、ABD、ACD，AB=1，BC=3，AC=4，根据勾股定理，BD=√(AB²+AD²)=√2，CD=√(AC²-AD²)=√15，AD=√(AC²-AB²)=√15/2，设外接球半径为R，根据勾股定理，2R=BD+CD+AD=2√2+√15/2，所以R=(2√2+√15/2)/√2，外接球的表面积为4πR²=29π。

6）根据题意画出长方体图形，设长宽高分别为a、b、c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，根据勾股定理列出方程组：a²+b²=x²，b²+c²=y²，c²+a²=z²，b+c=1，解得a=√(x²-y²/2)，b=y/2，c=1/2-y/2，代入2R=a+b+c和2R²=a²+b²+c²中求得R，再根据球体表面积公式计算得到外接球的表面积为4πR²=2π(3√2-2)。

例2（1）如下图所示三棱锥ABCD，其中AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为多少？解：由于棱相等，我们可以构造一个长方体如图2-1所示，设其长、宽、高分别为a、b、c，则有$a^2+b^2+c^2=25+36+49=110$，即$a^2+b^2+c^2=55$，又由于外接球半径为$R$，则有$4R^2=a^2+b^2+c^2=55$，所以外接球的表面积为$S=55\pi$。

2）在三棱锥ABCD中，则三棱锥ABCDAB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，求该三棱锥外接球的表面积。

解：如图2-1，我们仍然可以构造一个长方体，设其长、宽、高分别为$a$、$b$、$c$，则有$b^2+c^2=9$，$c^2+a^2=16$，$a^2+b^2=4$，解得$2(a^2+b^2+c^2)=9+4+16=29$，即$a^2+b^2+c^2=\frac{29}{2}$，又由于外接球半径为$R$，则有$4R^2=a^2+b^2+c^2=\frac{29}{2}$，所以外接球的表面积为$S=\frac{29}{2}\pi$。

3）正四面体的各条棱长都为2，则该正四面体外接球的体积为多少？解：由于正四面体的棱长都为2，我们可以将其放入一个正方体中，如图2-2所示。

由于正四面体对棱相等，所以其外接球半径$R$等于正方体的一半，即$R=\frac{3}{2}$。

所以外接球的体积为$V=\frac{4}{3}\piR^3=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{3}{2}\right)^3=\frac{9\pi}{4}$。

4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图所示，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是多少？解：如图2-3所示，我们将正四面体放入正方体中，截面为$\triangle PCO_1$，面积为2.1) 已知一个底面为正六边形的正六棱柱，侧棱垂直于底面，顶点在同一个球面上，底面周长为3，求该球的体积。

解：设正六边形边长为a，正六棱柱高为h，底面外接圆半径为r，则$a=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，正六棱柱底面积$S=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

由正六棱柱的体积公式$V_{\text{棱}}=Sh=\frac{9\sqrt{3}}{4}$，又由底面外接圆半径公式$R=\frac{a}{\sqrt{3}}=1$，则该球的体积为$V_{\text{球}}=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi$。

2) 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，$AB=AC=AA1=2$，$\angle BAC=120^\circ$，求该球的表面积。

解：由于直三棱柱的高线垂直于底面，且顶点在同一球面上，因此直三棱柱的高线过球心。

连接球心O与三棱锥顶点A，得到球半径$R=OA=1+\sqrt{3}$，球面积$S_{\text{球}}=4\pi R^2=16\pi+8\sqrt{3}\pi$。

又因为直三棱柱的底面是正三角形，底面面积为$S_{\text{底}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=3\sqrt{3}$，所以该球的表面积为$S=S_{\text{球}}+2S_{\text{底}}=22\pi+6\sqrt{3}$。

3) 已知三角形EAB所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，$EA=EB=3$，$AD=2$，$\angle AEB=60^\circ$，求多面体DE-ABCD的外接球的表面积。

解：将多面体DE-ABCD展开为平面图，可以发现该多面体是一个四棱锥，底面为矩形ABCD，顶点为点E。

连接E与矩形的对角线交于点O，则EO为四棱锥的高线，且过四棱锥顶点A的平面与过矩形的平面垂直，说明四棱锥顶点A在球心O上。

连接OA，得到球半径$R=OA=\sqrt{1^2+3^2}=2\sqrt{2}$，球面积$S_{\text{球}}=4\pi R^2=32\pi$。

又因为矩形的长和宽分别为$\sqrt{3^2+2^2}=3\sqrt{2}$和$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，所以矩形的面积为$S_{\text{底}}=6\sqrt{2}$，因此该多面体的表面积为$S=S_{\text{球}}+S_{\text{底}}=32\pi+6\sqrt{2}$。

4) 已知直三棱柱ABC-A1B1C1，$AB=4$，$AC=6$，$A=3$，$AA1=4$，求该直三棱柱的外接球的表面积。

解：连接AB1，得到直三角形AB1C，由余弦定理可得$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\angleBAC=28$，因此$BC=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。

连接球心O与三棱锥顶点A，得到球半径$R=OA=\sqrt{3^2+(2\sqrt{7})^2}=2\sqrt{10}$，球面积$S_{\text{球}}=4\pi R^2=80\pi$。

又因为直三棱柱的底面是正三角形，底面面积为$S_{\text{底}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=3\sqrt{3}$，因此该直三棱柱的外接球的表面积为$S=S_{\text{球}}+2S_{\text{底}}=86\pi$。

1.根据图4-1，平面PAC垂直于平面ABC，且AB垂直于BC（即AC为小圆的直径），并且P的投影是三角形ABC的外心，当且仅当三棱锥P-ABC的三个侧棱相等，且三角形P-ABC的底面ABC在圆锥底部，顶点P也是圆锥的顶点。

解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取三角形ABC的外心O1，则P、O、O1三点共线；第二步：先计算小圆O1的半径AO1=r，再计算棱锥的高PO1=h（也是圆锥的高）；第三步：根据勾股定理，OA^2=O1A^2+O1O^2，则R^2=(h-R)^2+r^2，解出R；实际上，三角形ACP的外接圆就是大圆，也可以用正弦定理计算出R。