加法与复数的计算
复数的运算
回顾总结
1.复数的四则运算； 2.复数运算的乘方形式； 3.共轭复数的相关运算性质； 4.复数运算中的常用结论。
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复数的加减法运算
例：已知复数 z = x + yi ( x , y ∈ R )满足 | z − ( −1 + 3 i ) |= 1, y (1)求 | z | 的范围 （2)求 的范围 x (1 ) z 对应的点表示以 ( − 1, 3 )为圆心， 为半径的圆 为圆心， 1
| z | 表示该圆上一点与原点 的距离
∴ 整理得：( x − 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 2 整理得：
∴ 轨迹是以 (1, − 1)为圆心， 2为半径的圆 为圆心，
复数的减法运算： 复数的减法运算：
如果两个复数 z1 = a + bi ， z 2 = c + di (a , b, c , d ∈ R )
则定义： 则定义： z 1 − z 2 = ( a − c ) + ( b − d ) i
∴ Re( x ) = ± 1
且 xy = | x | ⇒ Im( x ) = ± | x | − (Re( x )) = ± 1
2 2 2
∴ x = 1 + i , y = 1 − i或 x = 1 − i , y = 1 + i 或 x = − 1 + i , y = − 1 − i或 x = − 1 − i , y = − 1 + i
5 − 4 a ∈ [1 , 3 ]
5 − 4a
∴| z − 2 |∈ [1, 3 ]
∵ a ∈ [ − 1,1] ⇒
法二： 法二：几何法
∴| z − 2 |∈ [1, 3 ]
( 2,0 )
法三： 法三：利用 | z 1 | − | z 2 |≤ | z 1 ± z 2 |≤ | z 1 | + | z 2 | ∴|| z | − 2 |≤ | z − 2 |≤ | z | + 2 ∴| z − 2 |∈ [1, 3 ]
复数的有关运算
⑤. z = z
⑥. z = z ⇔ z ∈ R
数或0 数或
( z 2 ≠ 0) ⑦. z + z = 0 ⇔ Z为纯虚 为纯虚
④ . z = ( z)
n
n
四.共轭复数与模的性质及其运算 共轭复数与模的性质及其运算
① . | z1 ⋅ z2 |=| z1 | ⋅ | z2 |
| z−z1 | +| z −z2 | =2a (|z1 -z2 |=2a) (5).双曲线： z − z1 | −| z − z2 | = ±2a 双曲线： 双曲线 | (|z1 - z2 |> 2a)
(6).射线：z−z1 | −| z −z2 | =±2a 射线： 射线 |
(7).圆环 圆环: r <| z − z0 |< R 圆环 复数方程与直角坐标方程的转化
1 3 1 3 二. ω = - + i(或ω＝- - i) 的性质 2 2 2 2 2 ①. 1+ ω + ω = 0
② . ω = 1 (周 T = 3) 期
3
③. ω =
1
ω
=ω
2
④ . ω n + ω n +1 + ω n + 2 = 0
一、复数的四则运算问题
1、已知复数z = 1 + i (1)设ω = z 2 + 3 z − 4，求ω； z 2 + az + b = 1 − i，求实数a，b的值 （2）如果 2 z − z +1
a + b = 1 a = −1 ⇒ ∴ a + 2 = 1 b = 2
4 2、设z + ∈ R，z − 2 |= 2，求z | z 解：设z = x + yi( x、y ∈ R，且z ≠ 0)
解决数学中的复数方程复数的运算与解法
解决数学中的复数方程复数的运算与解法解决数学中的复数方程——复数的运算与解法数学中的复数方程是指包含复数的方程。
复数本质上是由实数和虚数部分组成，表示为a+bi，其中a是实部，bi是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
在解决复数方程的过程中，我们需要了解复数的运算规则和解法。
一、复数的运算规则1. 加法运算：将两个复数的实部和虚部分别相加即可。
例如：(2 + 3i) + (-4 + 5i) = (2 - 4) + (3 + 5)i = -2 + 8i2. 减法运算：将两个复数的实部和虚部分别相减即可。
例如：(2 + 3i) - (-4 + 5i) = (2 + 4) + (3 - 5)i = 6 - 2i3. 乘法运算：根据FOIL法则，将两个复数的实部和虚部进行分别相乘，并结合虚数单位的平方规则，得到最终结果。
例如：(2 + 3i) * (-4 + 5i) = (2 * -4) + (2 * 5i) + (3i * -4) + (3i * 5i)= -8 + 10i - 12i + 15i²= -8 + 10i - 12i - 15= -23 - 2i4. 除法运算：将两个复数分别乘以其共轭复数，再利用共轭复数的性质进行化简。
最后将结果分别除以共轭复数的模的平方。
例如：(2 + 3i) / (-4 + 5i) = (2 + 3i)(-4 - 5i) / (-4 + 5i)(-4 - 5i)= (-8 - 10i - 12i + 15) / (16 + 20i - 20i - 25i²)= (-17 - 22i) / (41)= -17/41 - 22i/41二、复数方程的解法1. 一元一次复数方程的解法：一元一次复数方程的一般形式为az + b = 0，其中a和b为复数，z 为未知数。
解法与实数方程类似，将方程转化为az = -b，并通过除以a 的操作解得z。
例如：3z + 5i = 7 - 2i3z = 7 - 2i - 5iz = (7 - 2i - 5i) / 32. 二次复数方程的解法：二次复数方程的一般形式为az² + bz + c = 0，其中a、b和c为复数，z为未知数。
复数的加法与减法
的取值范围是[0,2].
二、复数加减法的几何意义：
1.复数的加法可以按向量的加法法则进行, 即遵循平行四边形法则. 2.两个复数的差z1-z2(即OZ1-OZ2)与连结 两个向量终点并指向被减数的向量对应. 3.两点间的距离公式 (1)设复数z1、z2在复平面内对应的点分别为Z1、Z2, 则Z1、Z2两点间的距离公式为d=|z1-z2|. (2)以复数p的对应点为圆心,r为半径的圆的方程为: |z-p|=r.
故z+3-4i的对应点的轨迹是以3-4i的对应点为圆心, 2为半径的圆.
三、小结：
1.复数加、减法的运算法则是复数集中最基本的运算, 可结合多项式运算记忆法则,运算过程中应善于利用 共轭复数及模的概念与性质,以达到化繁为简的目的. 2.复数的模及其运算的几何意义是复数问题几何化的 保证,必须熟练把握. 3.复数轨迹问题的求法有二: (1)设轨迹上任一点,对应的复数为z=x+yi(x,y∈R),把 问题转化为解析几何中的求轨迹问题. (2)直接建立轨迹上的点Z对应的复数z的方程,据方程 所呈现的几何特征给出轨迹形状.
(3)以复数z1、z2的对应点为端点的线段的垂直平分线 方程为:|z-z1|=|z-z2|.
(4)方程|z-z1|+|z-z2|=2a,当|z1-z2|<2a时表示以z1、z2 的对应点为焦点,2a为长轴长的椭圆; 若|z1-z2|=2a,则以z1、z2的对应点为端点的线段. (5)方程|z-z1|-|z-z2|= 2a,当|z1-z2|>2a时表示以z1、 z2的对应点为焦点,2a为实轴长的双曲线.若|z1-z2| =2a,则表示两条射线. 4.复数模的两个重要性质:
4.根据复数差及模的几何意义可知,两复数差的模即为 其在复平面内对应的两点间距离,所以解析几何中,凡 是用距离定义的曲线,其方程都可用复数的形式来表 示,如圆、椭圆、双曲线、线段及其垂直平分线等.
复数的基本运算规则
复数的基本运算规则复数是由实数和虚数构成的数学概念，它在代数学和物理学等领域中经常应用。
复数使用标准的数学符号表示为 a + bi，其中 a 表示实数部分，b 表示虚数部分，i 表示虚数单位。
在进行复数的基本运算时，我们需要遵循一些规则和公式，以确保计算的准确性和一致性。
本文将介绍复数的加法、减法、乘法和除法的基本运算规则。
一、复数的加法复数的加法遵循以下规则：规则1：实部与实部相加，虚部与虚部相加。
例如，(3 + 2i) + (1 + 4i) = (3 + 1) + (2 + 4)i = 4 + 6i。
二、复数的减法复数的减法遵循以下规则：规则2：减去一个复数等于加上该复数的相反数。
例如，(3 + 2i) - (1 + 4i) = 3 - 1 + 2i - 4i = 2 - 2i。
三、复数的乘法复数的乘法遵循以下规则：规则3：实部与实部相乘，然后虚部与虚部相乘，最后将结果相加。
例如，(3 + 2i) × (1 + 4i) = (3 × 1) + (3 × 4i) + (2i × 1) + (2i × 4i) = 3 + 12i + 2i + 8i²。
需要注意的是，i 的平方等于 -1（即 i² = -1），所以 8i²等于 -8。
将这些结果合并得到最终的答案。
四、复数的除法复数的除法遵循以下规则：规则4：用分子和分母的乘积减去分子与分母的实部乘积，再用分子与分母的虚部乘积作为虚部，最后将结果化简。
例如，(3 + 2i) ÷ (1 + 4i) = [(3 + 2i) × (1 - 4i)] ÷ [(1 + 4i) × (1 - 4i)] = (3 - 12i + 2i - 8i²) ÷ (1 - 16i²)。
将 i 的平方用 -1 替代，然后将结果合并化简得到最终答案。
高二数学复数的加减运算
二.复数的加减法及几何意义
3、共轭复数：
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做 互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭。
Z的共轭复数用Z来表示即Z a bi时, Z a bi
复数的加减运算 及其几何意义
一.回顾复数的几何意义
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（ห้องสมุดไป่ตู้）
一一对应 平面向量 OZ
|z|=|a+bi|
点Z(a,b)到原点的距离
（数）
（形）
一一对应 平面向量 OZ 的模|OZ |.
| z z0 | 复平面上点Z(a,b)到Z0 (a’,b’)的距离
例2:证明:1 | Z || Z |
Z Z
2 Z1 Z2 Z1 Z2
Z1 Z2 Z1 Z2
例3.（1）若Z1 3 i, Z2 4i 1, Z1 Z Z2, 求Z
(2)设f (Z ) Z , Z1 3 4i, Z2 i 2,则求f (Z1 Z2 ).
(3)已知Z C,且2Z 3Z 1 3i,求复数Z.
；宁波象山出海捕鱼 宁波象山出海捕鱼 ；
不影响其存在和意义。 地址是死的，地点是活的。地址仅仅被用以指示与寻找，地点则用来生活和体验。 安东尼·奥罗姆是美国社会学家，他有个重大发现：现代城市太偏爱“空间”却漠视“地点”。在他看来，地点是个正在消失的概念，但它担负着“定义我们生存状态”的使命。 “地点是人类活动最重
复数的运算
记为 (a bi) (c di)或 a bi . c di
即 a bi x yi ,那么 x ? , y ?
解:原式= a2 (bi)2 = a2 b2 一步到位!
注意 a+bi 与 a-bi 两复数的特点.
定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.
复数 z=a+bi 的共轭复数记作 z, 即 z a bi
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么z z ? z z ?
另外不难证明: z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
注:⑴复数的减法是加法的逆运算； ⑵易知复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何 z1,z2,z3∈C, 有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
22
8
x 7.在复数集C内，你能将 2 y2分解因式吗？
(x+yi)(x-yi)
练习8：下列命题中正确的是 (1)如果Z1 Z2是实数，则 Z1、Z2互为共轭复数 (2)纯虚数Z的共轭复数是 Z。
(3)两个纯虚数的差还是纯 虚数 (2)
(4)两个虚数的差还是虚数 。
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加法与复数的计算
复数是数学中一个重要的概念，它是由实数和虚数构成的数。
而加
法是数学中最基本的运算之一。
本文将探讨加法与复数的计算方法，
并提供一些相关例子加深理解。
一、复数的定义与表示方式
复数由实数部分和虚数部分组成，一般可表示为a+bi的形式，其中
a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，满足i^2=-1。
实数部分和
虚数部分可以是正数、负数、零或分数。
二、复数的加法计算
复数的加法遵循以下规则：实部与实部相加，虚部与虚部相加。
即(a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i。
下面以具体例子进行说明。
例1：计算(2+3i)+(4+5i)。
按照加法规则，先将实部相加：2+4=6；再将虚部相加：3+5=8。
因此，(2+3i)+(4+5i) = 6+8i。
例2：计算(5-2i)+(-3+7i)。
按照加法规则，先将实部相加：5+(-3)=2；再将虚部相加：-2+7=5。
因此，(5-2i)+(-3+7i) = 2+5i。
例3：计算(1/2+3/4i)+(2/3-5/6i)。
按照加法规则，先将实部相加：1/2+2/3=7/6；再将虚部相加：
3/4+(-5/6)=1/12。
因此，(1/2+3/4i)+(2/3-5/6i) = 7/6+1/12i。
通过以上例子，可以看出复数的加法计算与实数的加法计算有相似
之处，只需要将实部与实部相加，虚部与虚部相加。
三、复数的减法计算
复数的减法与加法类似，也遵循实部与实部相减，虚部与虚部相减
的规则。
即(a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i。
例4：计算(4+3i)-(2-5i)。
按照减法规则，先将实部相减：4-2=2；再将虚部相减：3-(-5)=8。
因此，(4+3i)-(2-5i) = 2+8i。
例5：计算(7+2i)-(3+4i)。
按照减法规则，先将实部相减：7-3=4；再将虚部相减：2-4=-2。
因此，(7+2i)-(3+4i) = 4-2i。
四、复数的加法反运算
复数还存在加法的反运算，即加法的逆运算。
对于复数a+bi而言，它的加法逆元为-a-bi。
也就是说，a+bi + (-a-bi) = 0。
例6：计算(4+7i)+(-4-7i)。
按照加法反运算，(4+7i)+(-4-7i) = 0。
通过例6可以看出，任何一个复数与其加法逆元相加，结果总是零。
总结：
本文介绍了复数的定义与表示方式，并详细说明了复数的加法计算、减法计算以及加法的反运算。
复数的加法与实数的加法类似，只需要
对实部和虚部进行相应的计算。
加法与复数的运算在数学中具有重要
的意义，在实际问题中也有广泛的应用。
希望通过本文的介绍，能够
帮助读者更好地理解和掌握加法与复数的计算。