2017_2018版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数的乘法和除法课件新人教B版选修1_2
3 B. 2
C.2
D.3
解析
答案
2 2 (2)已知复数 z 满足(1＋ 3i)z＝1＋i，则|z|＝________.
解析 (1＋ 3i)z＝1＋i，
1＋i 1＋i1－ 3i 1＋ 3＋1－ 3i z＝ ＝ ＝ ， 4 1＋ 3i 1＋ 3i1－ 3i
1 ∴|z|＝4 2 2 2 1＋ 3 ＋1－ 3 ＝ 4 ＝ 2 .
解答
类型二
复数的除法运算
例2 (1)已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数 z 的点是 1＋i
A.M
B.N
C.P
D.Q
解析 答案
3＋2i 3－2i (2)计算：① － ； 2－3i 2＋3i
解答
1＋i7 1－i7 3－4i2＋2i3 ② ＋ － . 1－i 1＋i 4＋3i
则z＝5＋i.
解析 答案
10 (2)已知复数 z 的共轭复数为 z ，且 z· ( z －3i)＝ ，求 z. 1－3i
解 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi，
10 由 z· ( z －3i)＝ ，得 z z －3zi＝1＋3i， 1－3i
a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，
2 2 a ＋ b ＋3b＝1， 由复数相等的条件，得 －3a＝3，
2 2
解析
答案
类型三
例 3
复数的乘法和除法的综合应用
(1)复数 z 的共轭复数记作 z .已知(1＋2i)( z －3)＝4＋3i，则 z＝
5＋i ______.
解析 ∵(1＋2i)( z －3)＝4＋3i，
4＋3i 4＋3i ∴ z －3＝ ， z ＝3＋ ， 1＋2i 1＋2i
4＋3i1－2i 10－5i z ＝3＋ ＝3＋ 5 ＝5－i， 1＋2i1－2i
z1 a＋bi ac＋bd bc－ad 则 ＝ ＝ ＋ i. z2 c＋di c2＋d2 c2＋d2
答案
梳理
z1 z1÷ z2＝z ，然后分母实数化. 2
题型探究
类型一
复数的乘法运算
－3 例1 (1)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝______.
解析
(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i的复数的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式； ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； ③然后将分子、分母分别进行乘法运算. (2)常用公式
1＋i 1－i 1 ① ＝－i；② ＝i；③ ＝－i. i 1－i 1＋i
跟踪训练 2 的值是 A.1
2＋i (1)i 是虚数单位，若 ＝a＋bi(a，b∈R)，则 log2(a－b) 1＋i
解 由例1(2)知，z1· z2＝(2a＋2)＋(4－a)i，
2a＋2＝0， ∵z1· z2 是纯虚数，∴ 4－a≠0，
得a＝－1，∴z2＝－1＋2i.
解答
反思与感悟
(1)两个复数乘法的一般方法：首先按多项式的乘法展开；再将 i2换成－1； 最后进行复数的加、减运算. (2)常用公式 ①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)； ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； ③(1±i)2＝±2i.
解析
答案
引申探究
1.若本例(1)中复数(1＋2i)(a＋i)表示的点在第二象限，则a的取值范围是 1 (－ ，2) 2 _________.
解析 (1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，
a－2<0， 1 由题意知 解得－ <a<2. 2 2a＋1>0，
解析
答案
2.将本例(2)中z1· z2是实数改为z1· z2是纯虚数，求z2.
可得a－2＝2a＋1，解得a＝－3.
解析
答案
1 3 (2)已知复数 z1＝(2－2i)(1＋i)，复数 z2 的虚部为 2，且 z1· z2 是实数，则
4＋2i z2＝________.
解析
1 3 z1＝( － i)(1＋i)＝2－i. 2 2
设z2＝a＋2i，z1· z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. ∵z1· z2是实数，∴4－a＝0，即a＝4， ∴z2＝4＋2i.
乘法对加法的分配律
z1· z2＋z1· z3 z1· (z2＋z3)＝__________
知识点二
复数的除法法则
思考
1＋ 3 1＋ 33＋ 2 类比根式除法的分母有理化，比如 ＝ ， 3－ 2 3－ 23＋ 2 你能写出复数的除法法则吗？
答案 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
跟踪训练1 (1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)· (1－bi)＝a，
a 2 则 b 的值为________.
解析 因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a， 又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，
a 得 a＝2，b＝1，所以b＝2.
解析
答案
(2)已知复数 z 满足 z (z＋2)＝4＋3i，求 z.
2 1 ＋ i 1 － i 8 3 － 4i 1 ＋ i 1＋i 2 3 2 3 解 原式＝[(1＋i) ] · ＋[(1－i) ] · － 1－i 1＋i 3－4ii
8· 2i1＋i ＝(2i) · i＋(－2i) · (－i)－ i
3 3
＝8＋8－16－16i＝－16i.
果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可.
答案
梳理
(1)复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积 (a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad . ＋bc)i (2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律
结合律 z2· z1 z1· z2＝_____ z1· (z2· z3) ( z 1· z2)· z3＝________
第三章 §3.2 复数的运算
3.2.2. 复数的乘法和除法
学习目标
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
3.理解共轭复数的概念.
内容索引
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
复数的乘法及其运算律
思考
怎样进行复数的乘法运算？ 答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结
第3讲 数系的扩充与复数的引入
第3讲 数系的扩充与复数的引入一、 基础知识梳理：1．复数的有关概念：(1)复数①定义：形如a ＋b i 的数叫作复数，其中a ，b ∈R，i 叫作 ，a 叫作复数的 ，b 叫作复数的 ．②表示方法：复数通常用字母 表示，即 (a ，b ∈R)．(2)复数集①定义： 组成的集合叫作复数集．②表示：通常用大写字母C 表示．2．复数的分类及包含关系(1)分类：复数(a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧ 实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0(2)集合表示： .3．两个复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i 当且仅当 .4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)Z (a ，b ) 复平面内的点 ；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) OZ →＝(a ，b )平面向量 ．5．复数的模：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，且|z |＝ .二．问题探究探究点一：复数的概念例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.跟踪训练1：符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．探究点二：复数的分类例2：当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．跟踪训练2：实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．探究点三：两复数相等例3：已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .跟踪训练3：已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值．探究点四：复数的几何意义例4：在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．跟踪训练4： 已知复数z 的虚部为3，在复平面内复数z 对应的向量的模为2，求复数z .三.方法小结：1.复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫作复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫作复数的虚部．2.两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．3.按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值四.练一练1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。
第3章 数系的扩充与复数的引入
第3章 数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充和复数的概念 §3.1.1数系的扩充和复数的概念教学重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用教学难点：虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立 学生探究过程：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i ，叫做虚数单位.并由此产生的了复数 讲解新课：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即21i =-(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律成立. 2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ! 3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部用字母C 表示*5. 复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式6. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.7.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .8. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小例1请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－3;虚部分别是3，21，－31，－5;－31i 是纯虚数.例2例3例4（1）.设集合C =｛复数｝，A=｛实数｝，B =｛纯虚数｝，若全集S=C ，则下列结论正确的是( D )A.A ∪B =CB. S C A =BC.A ∩S C B =∅D.B ∪S C B =C（2）.复数(2x 2+5x +2)+(x 2+x －2)i 为虚数，则实数x 满足(D )A.x =－21 B.x =－2或－21C.x ≠－2D.x ≠1且x ≠－2 （3）.已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为( A )A.－1 B .－1或4 C.6 D.6或－1例5（1）满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______.（2）复数z 1=a +｜b ｜i ，z 2=c +｜d ｜i (a 、b 、c 、d ∈R )，则z 1=z 2的充要条件是______. 例6设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m ∈R )，如果z 是纯虚数，求m 的值. 例7若方程x 2+(m +2i )x +(2+mi )=0至少有一个实数根，试求实数m 的值. 例8已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =21+4i .答案：例4（3）由题设知3∈M ，∴m 2－3m －1+(m 2－5m －6)i =3∴⎩⎨⎧=--=--06531322m m m m ，∴⎩⎨⎧-==-==1614m m m m 或或∴m =－1，故选A. 例5.（1）解析：由题意知⎩⎨⎧=+-=--,0169,03222y y x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==3113y x x 或∴点对有(3，31)，(－1，31)共有2个.答案：2（2） 解析：z 1=z 2⇔⎩⎨⎧==⇔||||d b ca a =c 且b 2=d 2.答案：a =c 且b 2=d 2例6.解：由题意知⎩⎨⎧≠-=--,0)3(log ,0)33(log 222m m m ∴⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-=--03131332m m m m ∴⎩⎨⎧<≠=--320432m m m m 且∴⎩⎨⎧≠<-==2314m m m m 且或，∴m =－1.例7 解：方程化为(x 2+mx +2)+(2x +m )i =0.∴⎩⎨⎧=+=++02022m x mx x ，∴x =－2m ，∴,02242=+-mm ∴m 2=8，∴m =±22. 例8. 解：(1)m 须满足⎩⎨⎧≠-=-+.11,0322m m m 解：m =－3.(2)m 须满足m 2+2m －3≠0且m －1≠0，解：m ≠1且m ≠－3.(3)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=-+.032,01)2(2m m m m m 解之得：m =0或m =－2.(4)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.432211)2(2m m m m m 解之得：m ∈∅§3.1.2复数的几何意义学生探究过程：1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =-=( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)讲授新课：复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 例9例10．已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值. [解] |)sin (cos cos sin 1|||21i z z θθθθ-++=⋅.2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(22222θθθθθθθ+=+=-++=故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. 例11．(1)（2008天津理科）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是（ B ） （A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 3(2)(2007全国理科、文科)已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为：( D )(A)1 (B)2 (C) (D)3(3)（2003北京理科）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ B ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (4)（2007年上海卷）若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立：①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 第2课时 复数的乘方与除法学案 苏教版选修2-2
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第2课时复数的乘方与除法1。
进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立。
(重点）2.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算。
（重点、难点）3。
了解i幂的周期性.(易错点）[基础·初探］教材整理复数的乘方与除法阅读教材P115～P117“练习”以上部分，完成下列问题。
1.复数的乘方与i n(n∈N＊)的周期性(1)复数范围内正整数指数幂的运算性质设对任何z∈C及m，n∈N＊，则z m z n＝z m＋n，（z m)n＝z nm，（z1z2)n＝z n1z错误!.（2）虚数单位i n(n∈N＊)的周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1,i4n＋3＝－i.2。
复数的除法把满足（c＋d i)（x＋y i)＝a＋b i(c＋d i≠0)的复数x＋y i（x,y∈R)叫做复数a＋b i除以复数c＋d i的商，且x＋y i＝a＋b ic＋d i＝错误!＋错误!i(c＋d i≠0）.1.判断正误：(1)两复数的商一定是虚数。
( )(2）i2 005＝i.（）（3）复数的加、减、乘、除混合运算法则是先乘除、后加减。
第三章复习小结：数系的扩充与复数的引入
5. 复数 (1+ 1i )2 的值是 ( ) (A) 2i (B) -2i (C) 2
(C) 5+5i (D) 2 (D) -2
(D) 5-5i
6. 如果复数 2- bi 的实部和虚部互为相反数, 那么实数 b 的值为 ( )
何运算.
y Z2
O
Z
Z1 x
Z
6. 复数的乘法
(a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi2 = (ac-bd)+(ad+bc)i.
类似于实数的二项式与二项式相乘. 注意: i2= -1. 复数的乘法也满足: 交换律、结合律、分配律, 乘法公式: (a+bi)2=a2+2a(bi)+(bi)2
=2a-ai+2bi-bi2 =(2a+b)+(-a+2b)i.
得 2a+b=11, 解得 a=3, b=5. -a+2b=7,
则 z=3+5i.
3. 把复数 z 的共轭复数记作 z, i 为虚单位, 若 z=1+i, 则 (1+z)·z 等于 ( A )
(A) 3-i (B) 3+i (C) 1+3i (D) 3 解: z=1+i,
则 z= -2i 时, (z+2)2-8i 是纯虚数.
3. 已知 z1=5+10i,
z2=3-4i,
1 z
=
1 z1
+
1 z2
,
求 z.
解:
则
B组
1. 把复数 z 的共轭复数记作 z, 已知 (1+2i) z
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数的乘法和除法课堂探究 新人教B版选修1-2
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堂探究新人教B版选修1—2探究一复数的乘、除运算两个复数的积和商仍为复数，运算过程中乘法运算可类比多项式的乘法运算规则；对于除法运算要格外注意,复数的除法与实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分化简，得出结论，但复数的除法因为分母为复数一般不能直接约分化简．【典型例题1】（1）（2014课标全国卷Ⅱ高考）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1＝2＋i，则z1z2＝( )A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i解析：由题意知：z2＝－2＋i。
又z1＝2＋i，所以z1z2＝(2＋i）(－2＋i)＝i2－4＝－5.故选A。
答案：A（2）(2014新课标全国卷Ⅰ高考）错误!＝( ）A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i解析：错误!＝错误!＝错误!＝－1－i.故选D.答案：D点评对于复数的运算，除应用四则运算法则之外,对于一些简单的算式要知道其结果,这样起点就高，计算过程就可以简化，达到快速、简捷、出错少的效果．比如下列结论，要记住：①错误!＝－i；②错误!＝i;③错误!＝－i;④a＋b i＝i(b－a i)；⑤错误!3＝1;⑥错误!3＝－1。
探究二共轭复数性质的应用1．共轭复数常用的性质有：①错误!＝z.②z·错误!＝|z｜2＝｜错误!｜2。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数
3.2.2 复数代数形式的乘除运算一、选择题1．设复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，若z 1＋i＝2－i 成立，则点P (a ，b )在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A【解析】∵z1＋i ＝2－i ，∴z ＝(2－i)(1＋i)＝3＋i ，∴a ＝3，b ＝1，∴点P (a ，b )在第一象限． 2．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i 【答案】B【解析】 本题考查复数的乘法，复数的几何意义．∵z 1＝2＋i ，z 1与z 2关于虚轴对称，∴z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝－1－4＝－5，故选B.3．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．1－3i 【答案】A【解析】 由定义得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ＝z (1＋i)＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i 1＋i ＝3－i. 故应选A. 4．已知i 为虚数单位，z 为复数，下面叙述正确的是( )A ．z －z －为纯虚数B ．任何数的偶数次幂均为非负数C ．i ＋1的共轭复数为i －1D ．2＋3i 的虚部为3【答案】D【解析】当z 为实数时A 错；由i 2＝－1知B 错；由共轭复数的定义知1＋i 的共轭复数为1－i ，C 错， 故选D.5．在复平面内，复数－2＋3i 3－4i(i 是虚数单位)所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】－2＋3i 3－4i ＝－2＋3i 3＋4i 5＝－18＋i 5＝－185＋15i ，∴复数－2＋3i 3－4i 对应的点位于第二象限． 6．设z ＝12＋32i(i 是数单位)，则z ＋2z 2＋3z 3＋4z 4＋5z 5＋6z 6＝( ) A ．6z B ．6z2 C ．6z － D ．－6z【答案】C【解析】 z 2＝－12＋32i ，z 3＝－1，z 4＝－12－32i ，z 5＝12－32i ，z 6＝1，∴原式＝(12＋32i)＋(－1＋3i)＋(－3)＋(－2－23i)＋(52－532i)＋6＝3－33i ＝6(12－32i)＝6z －. 二、填空题7．已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z |＝________.【答案】10【解析】 ∵z ＝8＋6i ，∴|z |＝82＋62＝10.8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，那么z ＝________.【答案】2＋i【解析】(1＋2i)·z ＝4＋3i ， z ＝4＋3i 1＋2i ＝4＋3i 1－2i 5＝2－i ，∴z ＝2＋i. 9．设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i为纯虚数，则实数a 的值为________． 【答案】2【解析】 ∵1＋a i 2－i ＝1＋a i 2＋i 2－i 2＋i ＝2－a ＋2a ＋1i 5为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ＝0，2a ＋1≠0，∴a ＝2.10．设x 、y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝__________________. 【答案】4【解析】x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i可化为， x 1＋i 2＋y 1＋2i 5＝51＋3i 10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋25y i ＝12＋32i ， 由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 5＝12，x 2＋25y ＝32. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝5，∴x ＋y ＝4.。
2017年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算习题课件2新人教A版选修1_2
)
1－ 3i 1－ 3i 解 析 ： ∵ x － x ＝ x(x － 1) ＝ ＝ － 1 2 2
2
1－ 3i －1－ 3i 1 1 · ＝－ (1－ 3i)(1＋ 3i)＝－1，∴ 2 ＝－1，故 2 2 4 x －x 选 B.
答案：B
3＋i 6．已知复数 z＝ z 等于 2， z 是 z 的共轭复数，则 z· 1－ 3i ( ) 1 A. 4 C ．1 1 B. 2 D．2
3＋i 3＋i 解析：方法 1：z＝ 2＝ 1－ 3i 1－3－2 3i 3＋i ＝ －21＋ 3i 3＋i1－ 3i ＝ －2×4 3 1 ＝－ 4 ＋4i， 3 1 ∴ z ＝－ － i. 4 4
∴z· z ＝ －
3 1 3 1 ＋ i － － i 4 4 4 4
解析：(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(3＋4i－6i＋8)(－2＋i)＝(11 －2i)(－2＋i)＝－22＋11i＋4i＋2＝－20＋15i.
答案：D
2．(1＋i)20－(1－i)20 的值是( A．－1 024 C ．0 B．1 024 D．512
)
解析：(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－ 2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.
解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i， 1－i 1－i2 1－2i－1 ∴z1－2＝ ＝ ＝ ＝－i， 2 1＋i 1＋i1－i ∴z1＝2－i. 设 z2＝a＋2i，(a∈R)， 则 z1 · z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. 又∵z1· z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.
1＋i2＋31－i a 2 11．复数 z＝ ，若 z ＋ ＜0，求纯虚数 a. z 2＋i a a 2 2 解：由 z ＋ z ＜0 可知 z ＋ z 是实数且为负数．
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2-3.2.2复数代数形式的乘除运算课件新人教A版选修1-2
但 z1≠z2≠0.
_
_
(3)对．设 z＝a＋bi，z＝a－bi(b≠0，a∈R)，则 z－z
＝2bi 为纯虚数．(4)对．复数代数形式的运算要先乘除、
后加减． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
3．若
z＝1＋i 2i，则复数
_ z
等于(
)
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
_ 的常规思路为设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z＝a－bi，代入所
给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解.
1．复数代数形式的乘除运算 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式， 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配 律． (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除 法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭 复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
第三章 数系的扩充与复数的引入
[知识提炼·梳理]
1．复数的乘法 (1)设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1·z2 ＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．
解析：(1)错．两个复数互为共轭复数是它们的模相
等的充分条件．(2)错．如 z1＝1，z2＝i，满足 z21＋z22＝0，
1＋2i （1＋2i）（－i） 解析：z＝ i ＝ i·（－i） ＝2－i，
所以 z 的共轭复数为 2＋i.
答案：D
类型 1 复数的乘法运算(自主研析)
[典例 1] (1)已知 x，y∈R，i 为虚数单位，且 xi－y
＝－1＋i，则(1＋i)x＋y 的值为( )
A．2
B．－2i
C．－4
2018年高中数学第三章数系的扩充与复数3.2.2复数的乘法5新人教B版PPT课件
【2017北京，理2】若复数 1 ia i
在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
（A）（–∞，1） （C）（1，+∞）
（B）（–∞，–1） （D）（–1，+∞）
【答案】B
【解析】
-
17
小结
一、复数的乘法 二、复数的运算律 三、复数的指数幂运算 四、 i 的指数变化规律
-
18-Βιβλιοθήκη 12例5.计算: (1)(1+i)2; (2)(1-i)2; (3)(1+i)2000 解: (1) (1+i)2=12+2·1·i+i2=1+2i-1=2i
(2) (1-i)2=12-2·1·i+i2=1-2i-1=-2i (3) (1+i)2000=[(1+i)2]1000=(2i)1000 =21000·i1000=21000·1=21000
其中i是虚数单位，则z的模是 . 【答案】 10
-
15
【2017山东，理2】已知,i是虚数单位， 若 z a 3i, z z 4，则a=
（A）1或-（B） 7或- 7 （C）- 3（D） 3 【答案】A
【解析】： z a 3i, z， z 4 得
a2 3 4 ，所以 a 1
-
16
zmzn=zm+n (zm)n=zmn
(z1z2)n=z1nz2n
-
9
四. i 的指数变化规律：
i1 i , i2
1 , i3
i , i4 1
i5 i , i6
1 , i7
i , i8 1
你能发现规律吗？有怎样的规律？
i 4n =1 ,
i 4n+1 = i ,
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学过程一、推进新课1.复数的加法探究新知我们规定，复数的加法法则如下：设bi a z +=1,di c z +=2是任意两个复数，那么()()()()i d b c a di c bi a +++=+++提出问题问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗?问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法？活动设计:学生独立思考，口答。
活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。
2．一致。
3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。
设计意图：加深对复数加法法则的理解,且与实数类比，了解规定的合理性。
提出问题:实数加法有交换律、结合律，复数满足吗?并试着证明。
活动设计：学生先独立思考，然后小组交流.活动成果：满足,对任意的,,,321C z z z ∈有交换律:1221z z z z +=+结合律：()()321321z z z z z z ++=++证明:设bi a z +=1，di c z +=2,()()i d b c a z z +++=+21x O y()b a Z ,1 ()d c Z ,2 Z ()()i b d a c z z +++=+12显然，1221z z z z +=+同理可得，()()321321z z z z z z ++=++设计意图:引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力。