高中数学第四章导数及其应用4.5定积分与微积分基本定理4.5.4微积分基本定理课件湘教版选修2-2
解 (1)∵(x3＋x4)′＝3x2＋4x3，
∴ 023x2＋4x3dx＝x3＋x420
＝23＋24－0＝24.
(2)∵ex(1＋ex)＝ex＋e2x，
∴ex＋12e2x′＝ex＋e2x，
∴
ln 2ex(1＋ex)dx＝
ln 2
(ex＋e2x)dx
0
4
点评 要正确理解求导运算与求原函数运算 是互逆运算的原理，进行定积分运算．在计 算定积分时，往往要先对被积函数进行变形、 化简，再进行积分．
1．求下列定积分： (1)2(3x2＋4x3)dx；
0
(2)
ln 2
ex(1＋ex)dx；
0
(3) 2cos22xdx；
(4)2|x2－1|dx. 0
左端和式里的分式
Fxk＋1－Fxk xk＋1－xk
就是图中对应的小直角三角
形的斜边的 斜率 ．分点越密，这斜率越接近于曲线在点
(xk，F(xk))处的 切线 的斜率，也就是F(x)在xk处的 导数
n－1
F′(xk) ．所以这和式越来越接近和式 f(xk)Δxk.
k＝0
而当分点无限加密时，最后的这个和式就成了f(x)在[a，b] 上的 定积分 ．
＋12＝56.
答案 C
4．已知函数f(a)＝asin 0
xd
x，则ffπ2＝________.
解析
∵f(a)＝
asin
0
xd
x＝－cos
x0a＝1－cos
a，
∴fπ2＝1－cos π2＝1，
∴ffπ2＝f(1)＝1－cos 1.
4．5.4 微积分基本定理
【课标要求】
了解导数与定积分的关系，了解微积分基本 定理，并能正确运用基本定理计算简单的定 积分．
自学导引
1．微积分基本定理
如果 f(x)是在[a，b]上有定义的连续函数，F(x)在[a，b]上可 微并且 F′(x)＝f(x)，则bf(t)dt＝ F(b)－F(a) ．
答案 A
3．设f(x)＝x22－，xx，∈x[∈0，[11，]，2]，
则2f(x)d x4
A.4
B.5
5 C.6
D．不存在
解析
02fxdx＝01x2dx＋122－xdx＝13x310 ＋2x－12x221＝13
又1f(x)dx＝1(ax2＋bx＋c)dx
0
0
＝ 13ax3＋12bx2＋cx10＝13a＋12b＋c＝0，
即13a＋b2＋c＝0.
③
联立①②③，得 a＝3，b＝－4，c＝1，
∴f(x)＝3x2－4x＋1.
点评 利用定积分求参数的问题，主要是利 用求定积分的基本方法，列出方程组求解．
0
－12cos 2x－sin xπ0＝－12－－12
＝0.
答案 B
2．函数y＝x (cos t＋t2＋2)d t是
- x
A．奇函数
B．偶函数
( )．
C．非奇非偶函数
D．以上都不对
解析
y＝sin
t＋t33＋2tx－x
＝2sin x＋23x3＋4x为奇函数．
4．利用微积分基本定理求定积分bf(x)dx的关键是找出满足
a
F′(x)＝f(x)的函数F(x)，通常，我们可以运用基本初等函数 的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)． 常用的基本初等函数f(x)和它的一个原函数F(x)如下： (1)若f(x)＝c(c为常数)，则F(x)＝cx； (2)若f(x)＝xn(n≠－1)，则F(x)＝n＋1 1·xn＋1； (3)若f(x)＝1x，则F(x)＝ln x(x>0)；
题型二 定积分综合问题 【例 2】 已知 f(x)是一元二次函数，其图象过点(1,0)，且 f′(1)
＝2，1 f(x)dx＝0，求 f(x)的解析式． 0
解 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(x)的图象过点(1,0)，∴a＋b＋c＝0.
①
又 f′(x)＝2ax＋b 且 f′(1)＝2，∴2a＋b＝2. ②
自主探究
1．f(x)的原函数唯一吗？ 提示 不一定．如F(x)＋c，c可以是任意一个 常数，也就是原函数可能有无穷多个．
2．当a＝b时，bf(x)dx的值是多少？
a
提示 0
预习测评
1.π(sin 2x－cos x)dx的值为 0
A．1
B．0
( )．
C．2
D．－2
解析
π(sin 2x－cos x)dx＝
误区警示 未弄清定积分与
曲边梯形的面积间的关系而出错
【例 3】 求曲线 y＝sinx 与直线 x＝－π4，x＝54π，y＝0 所围 成图形的面积(如图)．
错因分析 当对应曲边梯形位于x轴下方时， 定积分的值取负值，此时曲边梯形的面积等
于定积分的相反数，本题求曲线与直线所围 成图形的面积时应先判断曲线在x轴上方还是 下方，否则求出的面积是错误的．
a
2．微积分基本定理的直观理解
画出[a，b]上的函数y＝F(x)的曲线，设f(x)是F(x)的导数，取
分点：a＝x0<x1<x2<…<xn－1<xn＝b. 记xk＋1－xk＝Δxk，显然有
n－1
F(b)－F(a)＝ (F(xk＋1)－F(xk))
k＝0
n－1
＝
k＝0
Fxxk＋k＋11－ －FxkxkΔxk，
2．已知 f(a)＝1(2ax2－a2x)dx，求 f(a)的最大值． 0
解
∵012ax2－a2xdx＝23ax3－12a2x210＝23a－12a2，
∴f(a)＝23a－12a2＝－12a2－43a＋49＋29
＝－12a－232＋29. ∴当 a＝23时，f(a)的最大值为29.
(4)若f(x)＝ex，则F(x)＝ex； (5)若f(x)＝ax，则F(x)＝ln1 a·ax(a>0且a≠1)； (6)若f(x)＝sin x，则F(x)＝－cos x； (7)若f(x)＝cos x，则F(x)＝sin x.
典例剖析
题型一 利用微积分基本定理求定积分 【例1】 求定积分9 x(1＋ x)dx
0
＝ ex＋12e2xl0n 2
＝eln 2＋12e2ln 2－e0－12e0
＝2＋12×4－1－12＝52.
π (3)原式＝ (1＋cos x)dx＝(x＋sin x) ＝2＋1.
(4)原式＝1(1－x2)dx＋2(x2－1)dx
0
1
＝x－13x310＋13x3－x21＝2.
答案 1－cos 1
要点阐释
微积分基本定理的理解
1．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间 的联系，同时它也提供了计算定积分的一 种有效方法．
2．根据定积分的定义求定积分，往往比较困 难，而利用微积分基本定理求定积分比较 方便．
3．设f(x)是定义在区间I上的一个函数，如果 存在函数F(x)，在区间I上的任意一点x处都 有F′(x)＝f(x)，那么F(x)叫做函数f(x)在区间I 上的一个原函数．根据定义，求函数f(x)的 原函数，就是要求一个函数F(x)，使它的导 数F′(x)等于f(x)．由于[F(x)＋c]′＝F′(x)＝f(x)， 所以F(x)＋c也是f(x)的原函数，其中c为常 数．
高中数学第4章导数及其应用4.5定积分与微积分基本定理讲义含解析湘教版选修2_204163118.doc
4．5定积分与微积分基本定理[读教材·填要点]1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：位于曲线y ＝f (x )(a ≤x ≤b )和x 轴之间的图形，叫作函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的“曲边梯形”．(2)曲边梯形面积的计算方法：化整为零、以直代曲，即把一个曲边梯形分成多个小曲边梯形，再用矩形代替小曲边梯形．2．计算变力所做的功的方法 化整为零，以直代曲． 3．定积分的概念设f (x )是在区间[a ，b ]上有定义的函数，在a ，b 之间取若干分点a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n ＝b .记小区间[x k －1，x k ]为Δk ，其长度x k －x k －1记作Δx k ，Δx k 中最大的记作d ，再在每个小区间Δk 上任取一点代表点z k ，作和式：∑k ＝1nf (z k )Δx k . ①如果(不论如何取分点x k 和代表点z k )当d 趋于0时和式①以S 为极限，就说函数f (x )在[a ，b ]上可积，并且说S 是f (x )在[a ，b ]上的定积分，记作S ＝⎠⎛a bf (x )d x .4．微积分基本定理如果f (x )是在[a ，b ]上有定义的连续函数，F (x )在[a ，b ]上可导并且F ′(x )＝f (x )， 则⎠⎛a bf (t )d t ＝F (b )－F (a )．[小问题·大思维]1．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？提示：为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．2．求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点？提示：(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．(2)求解的方法步骤相同．3．由定积分的定义可知，⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数还是一个变量？⎠⎛a bf (x )d x 的值与哪些量有关？提示：由定义可得定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t ＝⎠⎛a bf (u )d u .4．如图所示，如何用阴影面积S 1，S 2，S 3表示定积分⎠⎛a bf (x )d x 的值？提示：⎠⎛a bf (x )d x ＝S 1－S 2＋S 3.计算下列定积分：(1) ⎠⎛－13(4x －x 2)d x; (2)⎠⎛12(x －1)5 d x ；(3)⎠⎛12(t ＋2)d x; (4)⎠⎛121x x ＋d x .[自主解答] (1)取F (x )＝2x 2－x 33，因为F ′(x )＝4x －x 2，所以⎠⎛－13(4x －x 2)d x ＝F (3)－F (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32－333－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－－33＝203. (2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤16x －6′＝(x －1)5， 所以⎠⎛12(x －1)5d x ＝F (2)－F (1)＝16×(2－1)6－16×(1－1)6＝16. (3)取F (x )＝(t ＋2)x ，因为F ′(x )＝t ＋2， 所以⎠⎛12(t ＋2)d x ＝F (2)－F (1)＝2(t ＋2)－(t ＋2)＝t ＋2. (4)f (x )＝1x x ＋1＝1x －1x ＋1，取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝ln xx ＋1，则F ′(x )＝1x －1x ＋1.所以⎠⎛121x x ＋d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1d x ＝F (2)－F (1)＝ln 43.运用微积分基本定理求定积分时的4个注意点(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．1．计算下列定积分：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ； (2) ⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ； (3) ⎠⎛0π (sin x －cos x )d x ； (4) ⎠⎛02|1－x |d x .解：(1)取F (x )＝x 3－x 2＋x ， 则F ′(x )＝3x 2－2x ＋1.∴⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ＝F (3)－F (－1)＝24.(2)取F (x )＝12x 2－ln x ，则F ′(x )＝x －1x.∴⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ＝F (2)－F (1)＝32－ln 2. (3)取F (x )＝－cos x －sin x ， 则F ′(x )＝sin x －cos x .∴⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝F (π)－F (0)＝2.(4)∵|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，0＜x ＜1，x －1，1＜x ＜2，∴取F 1(x )＝x －12x 2,0＜x ＜1，F 2(x )＝12x 2－x,1＜x ＜2，则F 1′(x )＝1－x ，F 2′(x )＝x －1.∴⎠⎛02|1－x |d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝1.已知函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．[自主解答] 因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)， 取F (x )＝a3x 3＋cx ，则F ′(x )＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝F (1)－F (0)＝a 3＋c ＝ax 20＋c . 解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)． 即x 0＝33.利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限．2．已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 取F 1(x )＝12ax 2＋bx ，∴F 1′(x )＝f (x )．则⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＝12a ＋b ， ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ， 取F 2(x )＝13ax 3＋12bx 2且F 2′(x )＝ax 2＋bx ，则⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝F 2(1)－F 2(0)＝13a ＋12b ，由⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176.解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛－32[(－x ＋2)－(x 2－4)]d x ＝⎠⎛－32(6－x －x 2)d x ，取F (x )＝6x －12x 2－13x 3，则F ′(x )＝6－x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (－3)＝1256.若将本例中“直线y ＝－x ＋2”换为“抛物线y ＝3－34x 2”，如何求解？解：如图所示，设所求图形面积为S ，S ＝⎠⎛－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3－34x 2－()x 2－4d x＝⎠⎛－22⎝ ⎛⎭⎪⎫7－74x 2d x ， 取F (x )＝7x －712x 3，则F ′(x )＝7－74x 2，∴S ＝F (2)－F (－2)＝563.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．3．求曲线y ＝e x ，y ＝e －x及直线x ＝1所围成的图形的面积． 解：由图可知，积分区间为[0,1]，面积S ＝⎠⎛10()e x －e－xd x ，取F (x )＝e x＋e －x， 则F ′(x )＝e x －e －x， ∴S ＝F (1)－F (0)＝e ＋1e－2.变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2，初始位置为x 0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．[自主解答] 当0≤t ≤1时，v (t )≥0， 当1≤t ≤2时，v (t )<0. 所以前2秒钟内所走的路程S ＝⎠⎛01v (t )d t ＋⎠⎛12[－v (t )]d t＝⎠⎛01(1－t 2)d t ＋⎠⎛12(t 2－1)d t取F 1(t )＝t －13t 3，F 2(t )＝13t 3－t ，S ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝2.2秒末所在的位置：x 1＝x 0＋⎠⎛02v (t )d t ＝1＋⎠⎛02(1－t 2)d t ＝13. 即它在前2秒内所走的路程为2,2秒末所在位置为x 1＝13.1．有关路程、位移计算公式路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s 1分别为(1)若v (t )≥0(a ≤t ≤b )，则s ＝⎠⎛a b v (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t .(2)若v (t )≤0(a ≤t ≤b )，则s ＝－⎠⎛a bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t .(3)在区间[a ，c ]上，v (t )≥0，在区间[c ，b ]上，v (t )<0，则s ＝⎠⎛a cv (t )d t －⎠⎛c bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t .2．求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．[注意] 将力与位移的单位换算为牛顿(N)与米(m)，功的单位才为焦耳(J)．4．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°角的方向做直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功为( )A. 3 JB.233J C.433J D ．2 3 J解析：W ＝⎠⎛12F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －13x 3⎪⎪⎪21＝433(J)．答案：C求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积．[解] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8，－4)．法一：选x 作为积分变量，由图可看出S ＝A 1＋A 2.在A 1部分：由于抛物线的上半支方程为y ＝2x ，下半支方程为y ＝－2x ，所以S A 1＝⎠⎛02[2x －(－2x )]d x ＝22⎠⎛02x 12d x .取F 1(x )＝23x 32，∴S A 1＝22[F 1(2)－F 1(0)]＝163.S A 2＝⎠⎛28[4－x －(－2x )]d x ，取F 2(x )＝4x －12x 2＋223x 32.∴S A 2＝F 2(8)－F 2(2)＝383.∴S ＝163＋383＝18.法二：选y 作积分变量， 将曲线方程写为x ＝y 22及x ＝4－y .S ＝2-4⎰⎣⎢⎡⎦⎥⎤－y －y 22d y .取F (y )＝4y －y 22－y 36，∴S ＝F (2)－F (－4)＝30－12＝18.1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：取F (x )＝x 2＋e x，则F ′(x )＝2x ＋e x，⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝F (1)－F (0)＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e.答案：C2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g解析：取F (x )＝12gt 2，则F ′(x )＝gt ，所以电视塔高为⎠⎛12gt d t ＝F (2)－F (1)＝2g －12g ＝32g . 答案：C3．s 1＝⎠⎛01x d x ，s 2＝⎠⎛01x 2d x 的大小关系是( )A ．s 1＝s 2B ．s 21＝s 2 C ．s 1>s 2D ．s 1<s 2解析：⎠⎛01x d x 表示由直线x ＝0，x ＝1，y ＝x 及x 轴所围成的图形的面积，而⎠⎛01x 2d x 表示的是由曲线y ＝x 2与直线x ＝0，x ＝1及x 轴所围成的图形的面积，因为在x ∈[0,1]内直线y ＝x 在曲线y ＝x 2的上方，所以s 1>s 2.答案：C4.⎠⎛－12x 4d x ＝________.解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5′＝x 4，取F (x )＝15x 5，∴⎠⎛－12x 4d x ＝F (2)－F (－1)＝15[25－(－1)5]＝335. 答案：3355．若⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________. 解析：取F (x )＝x 2＋kx ，则F ′(x )＝2x ＋k ， ∴⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝F (1)－F (0)＝1＋k ＝2，∴k ＝1. 答案：16．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)，故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎜⎛131⎝⎛⎭⎪⎫3－1x d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝4－ln 3.一、选择题1.⎠⎛241x d x 等于( )A ．－2ln 2B ．2ln 2C ．－ln 2D ．ln 2解析：⎠⎛241x d x ＝ln 4－ln 2＝ln 2.答案：D2．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12C. 1D.32解析：曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12即为这段时间内物体所走的路程．答案：B3.如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.353 解析：S ＝⎠⎛－31 (3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2， 则F (1)＝3－13－1＝53， F (－3)＝－9＋9－9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323. 答案：C4．定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝( ) A ．5B ．6C ．7D ．8 解析：|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，－2≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，取F 1(x )＝13x 3－x 2，F 2(x )＝－13x 3＋x 2， 则F 1′(x )＝x 2－2x ，F 2′(x )＝－x 2＋2x .∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20 (x 2－2x )d x ＋⎠⎛02 (－x 2＋2x )d x ＝F 1(0)－F 1(－2)＋F 2(2)－F 2(0)＝8.答案：D二、填空题5．函数y ＝x －x 2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于________．解析：由x －x 2＝0，得x ＝0或x ＝1.因此所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x . 取F (x )＝12x 2－13x 3， 则F ′(x )＝x －x 2，∴面积S ＝F (1)－F (0)＝16. 答案：166．设函数f (x )＝(x －1)x (x ＋1)，则满足∫a0f ′(x )d x ＝0的实数a ＝________.解析：⎠⎛0af ′(x )d x ＝f (a )＝0，得a ＝0或1或－1，又由积分性质知a >0，故a ＝1.答案：17．计算⎠⎛02(2x －e x )d x ＝________. 解析：取F (x )＝x 2－e x ，则F ′(x )＝2x －e x，所以⎠⎛02(2x －e x )d x ＝F (2)－F (0)＝5－e 2. 答案：5－e 28．曲线y ＝1x＋2x ＋2e 2x ，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________． 解析：由题意得，所求面积为⎠⎛1e⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x . 取F (x )＝ln x ＋x 2＋e 2x ，则F ′(x )＝1x＋2x ＋2e 2x ， 所以⎠⎛1e⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x ＝F (e)－F (1)＝e 2e . 答案：e 2e三、解答题9．计算下列定积分．(1)⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x d x ； (2)⎠⎛01x 1＋x 2d x . 解：(1)取F (x )＝2x ln 2－2x ， 则F ′(x )＝2x －1x .∴原式＝F (4)－F (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16ln 2－2ln 2－(24－2)＝14ln 2－2. (2)取F (x )＝12ln(1＋x 2)，则F ′(x )＝x 1＋x2. ∴⎠⎛01x 1＋x 2d x ＝F (1)－F (0)＝12ln 2. 10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝2，∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x . y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2,4)．∴y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)． 取F (x )＝x 2－13x 3，则F ′(x )＝2x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (0)＝43.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理1.定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －a nf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个□01常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛a b f (x )dx ＝limn →∞∑n i ＝1b －an f (ξi )．其中f (x )称为□02被积函数，a 称为积分□03下限，b 称为积分□04上限．2.定积分的几何意义3.定积分的性质性质1：⎠⎛a b kf (x )d x ＝□01k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)．性质2：⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝□02⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛abg (x )d x .性质3：⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋□03⎠⎛c b f (x )d x . 4.微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a b f (x )d x＝□01F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F (b )－F (a )记为F (x )|b a ，即⎠⎛ab f (x )dx ＝F (x )|b a ＝□02F (b )－F (a )． 5.定积分与曲边梯形面积的关系设阴影部分的面积为S. (1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；(2)S ＝□01－⎠⎛ab f (x )d x ；(3)S ＝□02⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x ；(4)S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x . 6.函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有： (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎜⎛－aaf (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)设f (x )为奇函数，则⎠⎜⎛－aaf (x )d x ＝0.1.概念辨析(1)在区间[a ，b ]上连续的曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛ab |f (x )|d x .( )(2)若⎠⎛a b f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x轴下方．( )(3)已知质点的速度v ＝mt (m >0)，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是⎠⎛0to mt d t＝mt 202.( )答案 (1)√ (2)× (3)√2.小题热身(1)如图，指数函数的图象过点E (2，9)，则图中阴影部分的面积等于()A.8ln 3 B ．8 C.9ln 3 D ．9答案A答案B(3) ⎠⎛-12|x |d x ＝________.答案 52解析 ⎠⎛-12|x |d x 的几何意义是函数y ＝|x |的图象与x 轴围成的图形(如图阴影所示)的面积，所以⎠⎛-12|x |d x ＝12×1×1＋12×2×2＝52.(4)若⎠⎛0t x 2d x ＝9，则常数t 的值为________．答案 3解析 ⎠⎛0t x 2d x ＝x 33|t 0＝t 33＝9，解得t ＝3.题型 一 定积分的计算答案 C 解析。
高中数学第4章导数及其应用4.5定积分与微积分基本定理4.5.4微积分基本定理课堂讲义配套
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(3)∵ln2x2＋2
x′＝2x＋
1， x
∴
(2x＋ 1x)dx＝ln2x2＋2 x41
＝ln242＋2 4－ln22＋2＝l1n42＋2.
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规律方法 求较复杂函数的定积分的方法：
(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算 法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数 不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具 体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函 数、正、余弦函数、指数、对数函数与常数 的和与差． (chángshù)
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2．在下面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形 阴影(yīnyǐng)部分的面积分别怎样表示？
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答 根据定积分与曲边梯形的面积的关系知：
图(1)中S＝bf(x)dx， a
图(2)中S＝－bf(x)dx， a
图(3)中S＝bf(x)dx－0f(x)dx.
＝0＋13＋sinπ2－π2－(sin 0－0) ＝43－π2.
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(2)∵|x2－4|＝x42－－x42
x≥2或x≤－2， －2<x<2，
又∵13x3－4x′＝x2－4，4x－13x3′＝4－x2， ∴ |x2－4|dx＝ (4－x2)dx＋ (x2－4)dx
1 2cos
2x，所以
(sin x－sin 2x)dx
＝－cos
x＋12cos
2xπ30
＝－12－14－－1＋12＝－14.
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导数的几何意义定积分与微积分基本定理
导数的几何意义定积分与微积分基本定理导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在其中一点的变化率。
在几何上，导数可以理解为函数图像上一点处的切线斜率。
考虑函数y=f(x)，如果在其中一点x=a处导数存在，则导数f'(a)表示该点处函数的变化率。
具体而言，对于非常小的增量Δx，函数在x=a处的导数f'(a)表示了函数在x=a处的切线的斜率，即切线与x轴正方向的夹角。
换句话说，导数可以理解为函数在其中一点的瞬时变化率。
例如，对于一条直线函数y=ax+b，其导数恒等于a，表示了该直线斜率的恒定性。
导数的几何意义不仅仅局限于切线的斜率，它还可以用来描述函数的凸凹性质。
当函数在其中一点的导数为正时，说明函数图像在该点处上升；当导数为负时，说明函数图像在该点处下降。
通过导数，我们可以了解到函数的变化趋势以及临界点的存在与性质。
定积分与微积分基本定理：定积分是微积分中的另一个重要概念，它表示了函数在一个区间上的累积变化量。
几何上，定积分可以理解为函数图像下方面积的计算。
考虑函数y=f(x)，如果在区间[a,b]上存在一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，则称函数F(x)为函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。
根据微积分基本定理，函数f(x)在区间[a,b]上的定积分可以表示为：∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)简单来说，定积分就是原函数在区间上的差值。
通过定积分，我们可以计算函数在其中一区间上的变化量，并得到一个具体的数值结果。
几何上，定积分表示了函数图像在区间[a,b]上的下方面积。
当函数f(x)表示为正值时，定积分计算的是图像在区间上的面积；当函数f(x)表示为负值时，定积分计算的是图像下方的面积。
通过定积分，我们可以计算复杂函数图像的面积，并应用于曲线的长度、体积以及其他几何问题的求解。
综上所述，导数和定积分是微积分学中两个核心概念。
导数描述了函数在其中一点的变化率，可以理解为函数图像在该点的切线斜率；定积分表示了函数在一个区间上的累积变化量，可以理解为函数图像在该区间上的下方面积。
定积分、微积分基本定理-高中数学知识点讲解
定积分、微积分基本定理1．定积分、微积分基本定理【定积分】定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积．即由所围成图（f X）[a，b] y＝0，x＝a，x＝b，y＝（f X）形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．定积分的求法：求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．【微积分基本定理】在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．其中，微积分的核心（基本）定理是푏푎F（x）＝（f x）（f x）푓(푥)푑푥= 퐹(푏)―퐹(푎)，其中，而必须在区间（a，b）内连续．2例 1：定积分|3 ―2푥|푑푥=1解：1 | 3﹣2x | dx2=321(3 ―2푥)푑푥+232(2푥―3)푑푥3＝（﹣2）1 +（x2﹣3x）|233x x |221/ 2=12通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有；第二，每一段对应的被积分函数的表dx达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．例 2：用定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥．―3解：根据定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，―3故3―39 ―푥2푑푥=12 × 휋× 32 =9휋．2这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．【考查】定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．2/ 2。
[高二数学]定积分和微积分的基本定理
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π2 ＝ 8 ＋1. 1 1 (3)因为(－ x)′＝x2， 1 1 2 1 1 所以 x2dx＝[－x]1 ＝－(2－1)＝2.
2 1
高考总复习 数学
第四章
导数及应用（选修· 文/理）
(2010· 山东，7)由曲线 y＝x2，y＝x3 围成的封闭图形面 积为( 1 A. 12 1 C.3 ) 1 B. 4 7 D.12
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第四章
导数及应用（选修· 文/理）
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导数及应用（选修· 文/理）
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第四章
导数及应用（选修· 文/理）
4．微积分基本定理(牛顿——莱布尼兹公式) 如果 f(x)是区间[a、b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)
b b 那么 f(x)dx＝F(x)|a ＝F(b)－F(a)．
2
＝ln 22－ln 2＝2ln 2－ln 2＝ln 2.
[答案] D
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第四章
导数及应用（选修· 文/理）
2．用力把弹簧从平衡位置拉长10cm，此时用的力是200N，
变力F做的功W为(
A．5J
)
B．10J
C．20J
D．40J
[解析] 设F(x)＝kx，则200＝k·0.1
∴k＝2000，∴W＝∫20.12000xdx＝1000x2|00.1＝10(J)．
1
1 2 e 1 e e ＝2x |1 ＋lnx|1 － x|1 1 2 1 1 ＝2(e －1)＋(lne－ln1)－(e －1) 1 2 1 3 ＝2e － e＋2.
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高中数学第四章导数及其应用45定积分与微积分基本定理453定积分的概念课件湘教选修22
绝不能等同看待．由于被积函数 f(x)在闭区间 [a，b]上可正可
负，也就是它的图象可以在 x 轴上方，也可以在 x 轴下方，
还可以在
x
轴的上下两侧，所以
? ?
bf(x)dx
表示由
x
轴、函数
f(x)
?a
的曲线及直线 x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和；
而|f(x)|是非负的，所以
? ?
b|f(
b－a ＋n
?1＋2＋?＋
?
n????
＝b－n a????na＋b－n a·n?n＋ 2 1????? ＝(b－a )·a ＋?b－a2?2n?2n2＋n?
＝(b－a)·a＋?b－2 a?2·???1＋1n???.
当 n 趋于无穷大时，Sn 趋于12(b2－a2)．
由上可知
? ? ?
bxdx
a
的值为
12(b2
－a
2)．
点评 用定义计算定积分问题，只要按照化整为零，插入等 分点；以直代曲，估计误差；积零成整，精益求精这三个步 骤完成即可．
1．利用定积分定义计算?? 1x3dx. ? ?0 解 (1)化整为零，插入等分点． 将区间[0,1]n 等分，则每一个小区间长为 Δx＝1n. (2)以直代曲，估计误差． 在小区间上取点 Zi＝ni (i＝1,2，?， n)， ∴Ii＝???ni ???3·1n(i＝1,2，?， n)．
．
②当
f(x)是表示力关于位移
x的函数时，
? ?
bf(x)dx表示的是
?a
运动物体从x＝a到x＝b时所做的功
．
自主探究
用定义求定积分的一般方法是什么？
提示 ①化整为零，插入等分点． n 等分区间 [a，b]； ②以直代曲，估计误差．
导数及其应用定积分与微积分基本定理课件理ppt
求函数的导数有多种方法，例如，利用求导公式求导；利用求导法则求导；利用复合函数求导法则求复合函数 的导数；利用微分学基本定理求高阶导数等。
02
定积分
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是函数在区间[a,b]上的积分，表示 为∫abf(x)dx，其中f(x)是待积函数，a和b 是积分的下限和上限。
定积分的性质
定积分具有一些基本性质，如线性性质、 可加性、可减性、可正可负性等。这些性 质在解决定积分问题时非常重要。
定积分的几何与物理应用
定积分的几何应用
定积分可以用于计算曲线下面积、旋转体体积等问题。例如，计算圆、椭圆 等图形的面积，或求圆柱、圆锥等旋转体的体积。
定积分的物理应用
定积分在物理中有广泛的应用，如计算变力沿直线所做的功、计算液体对平 面所施加的力等。
最优问题求解
导数可以用于求解最优问题，例如在投资组合理论中，通过求解收益率关于资产配置的导数，可以找到最优的资产配置比 例。
动态最优化
导数可以用于建立动态最优化模型，例如在宏观经济学中，通过求解一阶导数和二阶导数，可以研究经济的稳定性和增长 问题。
定积分在物理学中的应用案例
面积和体积计算
定积分可以用于计算曲线下包围的面积和曲线的长度，以及计算立体的体积。例如，在计 算旋转体的体积时，可以将旋转体表面展开成一系列的小圆环，然后利用定积分计算每个 小圆环的面积并求和得到总体积。
微积分基本定理可以用于求解一些方 程，例如在求解一些涉及到多个变量 的方程时，可以通过微积分基本定理 将方程转化为一个易于求解的方程并 求解。
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物理应用
导数可以描述物理量随时间的变化率，例如速度是位移对时间的导数。导数 在物理中有广泛的应用，例如牛顿第二定律、欧姆定律等。
高中数学第4章导数及其应用4.5定积分与微积分基本定理4.5.1曲边梯形的面积
，
n＋2 n
]，…，[
n＋i－1 n
，
n＋i n
]，…，
[n＋nn－1，2]，每个小区间的长度为Δx＝n＋n i－n＋ni－1＝1n，
过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯
形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
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(2)以直代曲，估计误差．
内容(nèiróng)总结
4.5 定积分与微积分基本定理。了解曲边梯形的面积，了解变力所做的功，并会解决简 单的问题．。求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢。答 不能
No 直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”，否则误差太大．为了减小近似代替的误差，需要先
分割再分别对每个小曲(xiǎo qǔ)边梯形“以直代曲”．。例1 求由直线x＝1，x＝2和y＝0及曲 线y＝x3围成的曲边梯形的面积．。再见
取各小区间的左端点ξi，用以点ξi的纵坐标(ξi)3为一边，以小区
间长Δx＝
1 n
为其邻边的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形面
积，可以近似地表示为：
ΔSi≈(ξi)3·Δx＝(n＋ni－1)3·1n(i＝1,2,3，…，n)．
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(3)积零成整，精益求精．因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的
例1 求由直线x＝1，x＝2和y＝0及曲线y＝ x3围成的曲边梯形的面积．
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解 (1)化整为零，插入等分点．
把求面积的曲边梯形ABCD分割成n
个小曲边梯形，用分点n＋n 1，n＋n 2，
…n＋nn－1把区间[1,2]等分成n个小区
2020学年高中数学第4章导数及其应用4.5定积分与微积分基本定理课件湘教版选修2_2
π 2
cos xdx.
微积分基本定理的综合应用 (1)若k(2x－3x2)dx＝0(k>0)，则 k 等于________．
0
(2)已知 x∈(0，1]，f(x)＝1(1－2x＋2t)dt，则 f(x)的值域是_____． 0
【解析】 (1)k(2x－3x2)dx＝(x2－x3)|k0＝k2－k3＝0， 0
1.由函数 y＝－x 的图象，直线 x＝1，x＝0，
y＝0 所围成的图形的面积可表示为( )
A．1(－x)dx 0
C．0 xdx －1
B．1|－x|dx 0
D．－1 xdx 0
解析：选 B.由定积分的几何意义可知所求图形的面积为 S ＝1|－x|dx.
0
2．利用定积分的几何意义证明－π2 π2cos
a
的 ___下__限_____ 和 __上__限___ ． f(x) 叫 作 ___被__积__函__数___ ， [a ， b] 叫 作 ___积__分__区__间_____．
3．定积分的几何意义 在区间[a，b]上有定义的函数 f(x)，且恒有 f(x)≥0，那么定积分 表示由直线 x＝a，x＝b(a≠b)和曲线 y＝f(x)所围成的 ______曲__边__梯__形__的__面__积__________． 4．定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，在 x 轴下方的面积为 S 下，则 (1)当曲边梯形在 x 轴上方时，如图①，则bf(x)dx＝___S_上___．
答案：0.01
利用定积分的几何意义求定积分
利用定积分的几何意义，求：
(1)3 9－x2dx；(2)3(2x＋1)dx.
－3
0
【解】 (1)在平面上，y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点