短时傅里叶变换的有关资料
短时傅里叶反变换原理
短时傅里叶反变换原理1. 前言短时傅里叶反变换（Short-Time Fourier Transform, STFT）是一种在信号处理领域中常用的分析方法，用于将一个信号表示为时频域上的成分。
它将信号分为多个时间段，并对每个时间段进行傅里叶变换，从而得到该时间段内信号的频谱特征。
本文将详细介绍短时傅里叶反变换的基本原理。
2. 傅里叶变换回顾在介绍短时傅里叶反变换之前，我们先来回顾一下傅里叶变换（Fourier Transform, FT）的基本原理。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，它可以把一个连续或离散的信号分解成一系列复指数函数。
对于一个连续时间域上的信号x(t)，其傅里叶变换X(f)定义如下：∞(t)e−j2πft dtX(f)=∫x−∞其中，f表示频率，j表示虚数单位。
傅里叶变换可以将一个信号分解成一系列复指数函数的线性组合，每个复指数函数对应一个频率成分，并给出该频率成分在信号中的振幅和相位信息。
3. 短时傅里叶变换然而，傅里叶变换将整个信号一次性转换到频域，无法提供关于信号在时间上的变化信息。
为了解决这个问题，人们提出了短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform, STFT）方法。
短时傅里叶变换将信号分为多个时间段，并对每个时间段进行傅里叶变换。
这样可以得到信号在不同时间段内的频谱特征，从而反映出信号在时间和频率上的变化过程。
短时傅里叶变换的基本原理如下：1.将原始信号x(t)分为多个长度为T的窗口，每个窗口内的数据可以看作是平稳的。
2.对每个窗口内的数据应用傅里叶变换，得到该窗口内的频谱X(f,t)。
3.将所有窗口内的频谱拼接起来，得到整个信号在时间-频率域上的表示。
4. 窗函数在进行短时傅里叶变换之前，我们需要选择一个合适的窗函数来对信号进行分段。
窗函数通常是一个在有限区间内非零的实值函数，用于限制信号在时间上的有效区域。
常见的窗函数包括矩形窗、汉宁窗、汉明窗等。
STFT短时傅里叶变换.ppt
窗口宽度N、取样周期T和频率分辨率Δf之间存在下列关 Δf＝1/NT 可见：
窗口宽度↑→频率分辨率↑ 时间分辨率↓ 窗口宽度↓→频率分辨率↓ 时间分辨率↑，因而二者是矛
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4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
第一个零点位置为2π/N，显然它与窗口宽度成反比。
矩形窗，虽然频率分辨率很高，但由于第一旁瓣的衰减只 有13.2dB，所以不适合用于频谱成分动态范围很宽的语音 分析中。 海明窗在频率范围中的分辨率较高，而且由于旁瓣的衰减 大于42dB，具有频谱泄漏少的优点，频谱中高频分量弱、 波动小，因而得到较平滑的谱。 汉宁窗是高次旁瓣低，第一旁瓣衰减只有30dB。
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短时傅里叶变换是窗选语音信号的标准傅里叶变换。下 标n区别于标准的傅里叶变换。w(n-m)是窗口函数序 列。不同的窗口函数序列，将得到不同的傅里叶变换的 结果。 短时傅里叶变换有两个自变量：n和ω，所以它既是关 于时间n的离散函数，又是关于角频率ω的连续函数。 与离散傅里叶变换和连续傅里叶变换的关系一样，若令 ω＝2πk/N，则得离散的短时傅里叶变换,它实际上是 在频域的取样。
如果将w(n)的滤波运算除外，短时傅里叶变换实 际上是对信号的幅度调制。
j n e 第一种形式是在输入端进行调制，x(n)乘以 相当于
将x(n)的频谱从ω移到零频处；而w(n)(直角窗或海明 窗等)为窄带低通滤波器。 后一种形式是在输出端进行调制，此时先对信号进行带 通滤波，滤波器的单位函数响应为w(n) e jn ,而调制后 输出的是中心频率为ω
43短时傅立叶变换的取样率时间取样率sin0kakf25以直角窗和海明窗为例其第一个零点位置分别为2n和4n数字角频率与模拟频率f之间的关系为2ft2ffs其中t是信号取样周期fs是取样率因而用模拟频率表示的的带宽为43短时傅立叶变换的取样率时间取样率jew2643短时傅立叶变换的取样率频率取样率2743短时傅立叶变换的取样率总取样率2843短时傅立叶变换的取样率总取样率2944语音信号的短时综合滤波器组求和法3044语音信号的短时综合滤波器组求和法hkn是一个带通滤波器其中心频率为kykn是第k个滤波器hkn的输出
短时傅里叶变换 简介
短时傅立叶变换(STFT)简介一、 傅立叶变换（FT ）的好处信号分析的目的是对某信号进行变换，从该信号抽取有关的信息，或变换后有利于计算，傅立叶变换就是这样一种变换。
FT 的定义：⎰⎰==-f ft j t ft j df ef x t X dte t xf X ππ22)()()()(FT 有下列好处：1、 FT 的优良性质便于计算例如：它可将卷积运算转变为乘法运算)(ˆ)(ˆ)(*)()(^ωωωg fg f d u u g u t f g f ==>-=*⎰∞∞- )(),(t g t f 卷积 )(*t g fFTFT 1-)(ˆ),(ˆωωg f乘法 )(ˆ)(ˆωωg fFT 可将求导运算转变为乘法运算)(ˆ)()(ˆ)(w f iw w f k k =)(t f 求导 )()(t f nFTFT 1-)(ˆωf乘法 )(ˆ)(ωf iw k2、 换一个角度观察信号会有意想不到的结果有些信号在时间域内难观察的现象和规律在频率域内往往能十分清楚地表现出来。
例如：湍流的脉动过程时间曲线，它如同噪声，看不出什么规律，但在频率域上，湍流能谱)(k s 在惯性负区有-5/3方律3/53/2)(-=k k s ε二、 傅立叶变换（FT ）的缺陷FT 的根本假设是假设信号是平稳的。
而现实中，人的语声、变换的晚霞及音乐等是非平稳的。
FT 在整体上将信号分解为不同的频率分量，而缺乏局域性信息，即它并不能告诉我们某种频率分量发生在哪些时间内。
三、 短时傅立叶变换（STFT ）的定义为了克服傅立叶变换（FT ）的缺陷，短时傅立叶变换（STFT ）是研究非平稳信号最广泛使用的方法。
假定我们听一段持续1小时的音乐，在开始时有小提琴，而在结束时有鼓。
如果用傅立叶变换分析这个1小时的音乐，能量频谱将表明对应于小提琴和鼓的频率的峰值。
能量频谱会告诉我们有小提琴和鼓，但不会给我们小提琴和鼓什么时候演奏的任何表示。
短时傅里叶变换过程
短时傅里叶变换过程
短时傅里叶变换（Short-timeFourierTransform,STFT）是一种时频分析方法，可以将信号在时间和频率上进行分析。
其过程可以分为以下几步：
1. 选择一个固定的窗口函数，如汉宁窗、矩形窗等。
2. 将原始信号分成若干个相互重叠的窗口，每个窗口的长度为窗口函数的长度。
3. 对每个窗口内的信号进行傅里叶变换，得到该窗口内的频谱信息。
4. 将每个窗口内的频谱信息拼接起来，得到整个信号在时间和频率上的分布。
STFT在信号处理领域中有着广泛的应用，如语音信号处理、音频信号处理、图像处理等。
它不仅可以提取信号的频谱信息，还可以保留信号在时间上的变化，对信号的分析和处理具有重要的意义。
- 1 -。
短时傅里叶变换的窗函数
短时傅里叶变换的窗函数短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform，STFT）是信号处理中经常使用的一种变换方法，在时频分析、语音处理、音频信号处理等领域得到广泛的应用。
而在STFT中，窗函数则是非常关键的一部分，它能够在一定程度上解决信号时域和频域之间的矛盾问题，使得STFT可以更好地描述信号的局部时频特性。
窗函数的作用可以理解为，它将原始信号中的短时断片（例如一段时间内的采样值）与窗函数相乘，再做傅里叶变换，因此可以得到该断片在频域的频谱分布。
不同的窗函数对应不同的信号分析需求，例如窗函数的长度、主瓣宽度、副瓣能量、频域分辨率等，都会对信号的分析结果产生影响，因此选择合适的窗函数是非常重要的一步。
下面列举几种常用的窗函数：1. 矩形窗函数（Rectangular Window）矩形窗函数是最简单的一种窗函数，它在窗口内的值恒定为1，窗口外的值为0。
矩形窗函数的优点是简单易用，标准化后其主瓣宽度较小，但副瓣能量较大，会对信号的频谱分析结果产生一定的干扰。
2. 汉宁窗函数（Hanning Window）汉宁窗函数是应用最为广泛的一种窗函数之一，它是由一半余弦函数和一半常数0.5组成。
汉宁窗函数的主瓣宽度略宽于矩形窗函数，但副瓣能量较小，对信号的频谱分析结果影响较小，同时汉宁窗函数的平滑性较好，在信号时域上有较好的截断特性。
3. 汉明窗函数（Hamming Window）汉明窗函数是一种类似于汉宁窗函数的窗函数，它是由一半余弦函数和一半常数0.54-0.46cos(t)组成。
相比于汉宁窗函数，汉明窗函数的主瓣略宽，副瓣更小，同时它还具有较好的频带滚降特性。
4. 布莱克曼窗函数（Blackman Window）布莱克曼窗函数是一种类似于汉宁窗函数的平滑窗函数，它是由三个余弦函数和一个常数0.42-0.5cos(t)+0.08cos(2t)组成。
布莱克曼窗函数的主瓣宽度与汉宁窗函数相近，但副瓣能量更低，对信号的分析结果影响更小。
短时傅里叶变换
短时傅里叶变换简介短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform，STFT）是一种常用的信号分析方法，用于在时域和频域之间进行转换。
它可以将信号分解成不同频率的成分，并同时提供这些频率成分在时间上的变化情况。
STFT是一种时频分析方法，适用于非平稳信号的频谱分析。
在实际应用中，许多信号都是非平稳的，即其频谱随时间变化。
STFT通过将信号分成小的时间窗口，并对每个时间窗口进行傅里叶变换来分析信号的频谱，从而捕获到信号的时频特性。
算法步骤STFT算法包含以下几个主要步骤：1.选择窗口函数：首先需要选择一个窗口函数来将原始信号分成多个窗口。
常用的窗口函数包括汉明窗、矩形窗等。
2.将窗口函数应用到信号：将选定的窗口函数应用到原始信号上，得到多个时间窗口的信号片段。
3.将每个时间窗口信号做傅里叶变换：对每个时间窗口的信号片段进行离散傅里叶变换（Discrete FourierTransform，DFT），得到每个时间窗口的频谱。
4.将频谱拼接起来：将每个时间窗口的频谱按照时间顺序拼接起来，得到完整的时频图。
STFT的应用STFT在许多领域都有广泛的应用，包括音频处理、语音识别、图像处理等。
在音频处理领域，STFT被用于音频特征提取、音频信号压缩、音乐分析等。
通过对音频信号进行STFT，可以提取出音频的频率特征，进而进行音频信号的处理和分析。
在语音识别领域，STFT常用于语音信号的特征提取。
通过对语音信号进行STFT，并提取出关键的频率成分，可以有效地识别和分析语音信号。
在图像处理领域，STFT被用于图像的纹理分析、边缘检测等。
通过对图像进行STFT，可以将图像转换成频域表示，从而更好地理解图像的结构和特征。
STFT与傅里叶变换的区别STFT和傅里叶变换都是频谱分析的方法，但它们有一些区别。
傅里叶变换是一种对整个信号进行变换的方法，它将信号分解成不同频率的正弦和余弦分量。
傅里叶变换对于平稳信号的频谱分析非常适用，但对于非平稳信号则不太适用。
testlab短时傅里叶变换
testlab短时傅里叶变换TestLab是一个用于进行短时傅里叶变换的测试实验室。
短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform，简称STFT）是一种在信号处理领域中常用的分析方法，它可以将信号分解为不同频率的成分，帮助我们了解信号的频谱特性。
在TestLab中进行短时傅里叶变换的过程非常简单。
首先，我们需要准备一个待分析的信号。
这个信号可以是声音、图像或其他类型的数据。
然后，我们将信号输入到TestLab中的STFT算法中进行处理。
算法会将信号分解为多个时间窗口，并对每个时间窗口进行傅里叶变换。
通过对每个时间窗口进行变换，我们可以得到信号在不同时间和频率上的频谱信息。
在进行短时傅里叶变换时，我们需要注意一些参数的选择。
其中一个重要的参数是时间窗口的大小。
时间窗口的大小决定了我们观察信号的时间分辨率，较小的时间窗口可以提供更高的时间分辨率，但会降低频率分辨率。
另一个重要的参数是窗函数的选择。
窗函数可以减小信号在时间窗口边界处的突变，提高变换的准确性。
通过短时傅里叶变换，我们可以得到信号的时频图谱。
时频图谱可以帮助我们观察信号在不同时间和频率上的变化情况。
例如，在音频处理中，我们可以通过时频图谱分析音乐中的不同乐器的频率分布，以及音符的持续时间。
在图像处理中，我们可以通过时频图谱分析图像中的纹理和边缘信息。
除了时频图谱，短时傅里叶变换还可以用于其他信号处理任务。
例如，我们可以通过短时傅里叶变换来检测信号中的周期性成分，或者提取信号中的特征。
在通信系统中，短时傅里叶变换可以用于信号的调制和解调，以及信道估计和均衡。
然而，短时傅里叶变换也有一些局限性。
由于时间窗口的选择，短时傅里叶变换对信号的瞬时特性可能无法很好地反映。
此外，短时傅里叶变换还面临着频谱漏泄和分辨率限制的问题。
为了克服这些问题，研究人员提出了许多改进的方法，如小波变换和多分辨率分析。
TestLab提供了一个方便快捷的平台，用于进行短时傅里叶变换的实验。
短时傅里叶变换和离散傅里叶变换
短时傅里叶变换和离散傅里叶变换1. 简介傅里叶变换是一种重要的数学工具，可以将一个信号在频域和时域之间进行转换。
它被广泛应用于信号处理、图像处理和通信领域。
短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform, STFT）和离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是傅里叶变换的两种常见形式，它们在不同场景下有不同的应用。
2. 短时傅里叶变换（STFT）短时傅里叶变换是一种对信号进行频谱分析的方法，它可以用来分析信号的短时特征。
STFT是将信号分成多个时间窗口，并对每个窗口进行傅里叶变换，从而获得每个时间窗口内信号的频谱信息。
2.1 窗函数在进行STFT之前，需要选择一个合适的窗函数。
常见的窗函数有矩形窗、汉宁窗、汉明窗等。
窗函数的选择会影响到频谱分析的结果，不同的窗函数适用于不同的信号特征。
2.2 短时傅里叶变换的计算方法STFT的计算方法可以通过对信号和窗函数进行卷积来实现。
具体步骤如下：1.选择一个窗函数，并将信号分成多个时间窗口。
2.对每个时间窗口内的信号和窗函数进行卷积。
3.对每个卷积结果进行傅里叶变换，得到每个时间窗口内信号的频谱。
4.将所有时间窗口内的频谱拼接在一起，得到整个信号的频谱。
2.3 STFT的应用STFT在语音信号处理、音频特征提取和语音合成等领域有广泛应用。
通过对语音信号进行短时傅里叶变换，可以提取出信号的频谱特征，用于语音识别和语音合成。
3. 离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换是将信号从时域转换到频域的方法，它将连续信号转换为离散信号。
DFT是傅里叶变换的一种离散形式，可以对离散信号进行频谱分析。
3.1 DFT的计算方法DFT的计算方法可以通过对信号和复指数函数进行内积来实现。
具体步骤如下：1.将信号表示为离散时间序列。
2.对每一个时间点，计算信号与复指数函数的内积。
3.对所有时间点的内积结果进行求和，得到每个频率点的幅度和相位信息。
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短时傅里叶变换短时傅里叶变换（STFT，short-time Fourier transform，或short-term Fourier transform)）是和傅里叶变换相关的一种数学变换，用以确定时变信号其局部区域正弦波的频率与相位。
它的思想是：选择一个时频局部化的窗函数，假定分析窗函数g(t)在一个短时间间隔内是平稳（伪平稳）的，移动窗函数，使f(t)g(t)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。
短时傅里叶变换使用一个固定的窗函数，窗函数一旦确定了以后，其形状就不再发生改变，短时傅里叶变换的分辨率也就确定了。
如果要改变分辨率，则需要重新选择窗函数。
短时傅里叶变换用来分析分段平稳信号或者近似平稳信号犹可，但是对于非平稳信号，当信号变化剧烈时，要求窗函数有较高的时间分辨率；而波形变化比较平缓的时刻，主要是低频信号，则要求窗函数有较高的频率分辨率。
短时傅里叶变换不能兼顾频率与时间分辨率的需求。
短时傅里叶变换窗函数受到W.Heisenberg不确定准则的限制，时频窗的面积不小于2。
这也就从另一个侧面说明了短时傅里叶变换窗函数的时间与频率分辨率不能同时达到最优。
短时距傅里叶变换
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[编辑]与傅里叶转换在概念上的区别 将信号做傅里叶变换后得到的结果，并不能给予关于信号频率随时间改变的任何信息。
以下的例子作为说明：
傅里叶变换后的频谱和短时距傅里叶转换后的结果如下：
傅里叶转换后, 横轴为频率(赫兹)
短时距傅里叶转换,
横轴为时间(
秒
)
，
纵轴
为频率(赫兹)
由上图可发现，傅里叶转换只提供了有哪些频率成份的信息，却没有提供时间信息；而短时傅里叶转换则清楚的提供这两种信息。
这种时频分析的方法有利于频率会随着时间改变的信号(例如:音乐信号、语音信号等)分析。
[编辑]定义
[编辑]数学定义 简单来说，在连续时间的例子，一个函数可以先乘上仅在一段时间不为零的窗函数再进行一维的傅里叶变换。
再将这个窗函数沿着时间轴挪移，所得到一系列的傅里叶变换结果排开则成为二维表象。
数学上，这样的操作可写为：
另外也可用角频率来表示：
其中是窗函数，窗函数种类有很多种，会在稍后再做仔细讨论。
是待变换的信号。
是的傅里叶变换。
随着的改变，窗函数在时间轴上会有位移。
后，信号只留下了窗函数截取的部分做最后的傅里叶转换。
而反短时距傅里叶转换，其数学类似傅里叶转换，但利用须消除窗函数的作用：
[编辑]窗函数
窗函数通常满足下列特性:
1.，即为偶函数。
2.，即窗函数的中央通常是最大值的位置。
3.，即窗函数的值由中央开始向两侧单调递减。
4.，即窗函数的值向两侧递减为零。
常见的窗函数有：方形、三角形、高斯函数等，而短时距傅里叶转换也因窗函数的不同而有不同的名称。
而加伯转换，即为窗函数是高斯函数的短时距傅里叶转换，通常没有特别说明的短时距傅里叶转换，即为加伯转换。
[编辑]方形窗函数的短时距傅里叶转换
[编辑]概念
方形窗函数，B = 50，横轴为时间(秒)
右图即为方形窗函数的一个例子，其数学定义：
可以随要分析的信号，来调整B的大小（即调整方形窗函数的宽度）。
至于B的选择，将会
在下面探讨。
短时傅里叶转换可以简化为
反短时傅里叶转换可简化为
[编辑]特性
其大部分的特性都与傅里叶转换的特性相对应
▪积分特性
▪位移特性(时间轴方向的移动)
▪调制特性(频率轴方向的移动)
▪线性特性
若有一信号，分别为做方形窗函数短时距傅里叶转换的结果，则。
▪能量积分特性
▪特殊信号
1. 当，
2. 当，
[编辑]方形窗函数宽度的选取
方形窗函数短时距傅里叶转换用不同窗函数宽度(B)的比较，横轴为时间(秒)，纵轴为频率(赫兹)
▪由上述特性中的特殊信号来分析，信号只有在的时候有值；若短时距傅里叶转换是理想的话，应该只有在的时候有能量。
但由上
面的特性可发现，能量会出现在中间。
因此，若我们取较小的，则可使结果趋近理想。
▪接着我们来分析，信号因为没有改变，应该为DC。
若短时距傅里叶转换是理想的话，应该只有在的时候有能量。
但由上面的特性可发现，
能量会沿着频率轴呈现sinc函数。
若我们取较大的，可使sinc函数沿着频率轴变窄，使得结果趋近理想。
▪综合以上说明，若我们使用较大的方形窗函数宽度，则时间轴的清晰度会下降；频率轴的清晰度上升。
若使用较小的，则时间轴的清晰度会上升；频率轴的清晰度下降。
我们以下面做为例子说明：
结果如右图所示，B越大则在频率变化处(t = 10, 20)附近的频率越不准确，即可能会有多个频率成分出现。
但同时，其他时间点的能量则较集中；没有如B较小时，频率散开或模糊的
情形。
[编辑]优缺点
▪优点：比起傅里叶转换更能观察出信号瞬时频率的信息。
▪缺点：计算复杂度高
[编辑]频谱(Spectrogram)
Spectrogram即短时傅里叶转换后结果的绝对值平方，两者本质上是相同的，在文献上也常出现spectrogram这个名词。
[编辑]参考书目、资料来源
1.Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, the
Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2011.
2.Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, John R. Buck : Discrete-Time Signal Processing,
Prentice Hall, ISBN 0-13-754920-2。