§2.3-初等解析函数和多值函数(精)
z re
很显然，w与z的模一一对应，但幅角却不然，w的幅角有 三个不同的值与z的幅角对应：
3 3 显然，对于同一个z值，有三个w与之对应，且三个值的幅 角相差2/3。
3r 2n 0 0 , n 0,1, 2
若规定，w只在I区域取值，则z的值域与w的I区域就建立起 了一一对应的关系。而对于其反函数z=w3来说，在区域I， 不同的w值对应于z平面上不同的z值，这样的区域 I(0<Arg(w)< 2/3)，称为z=w3的单叶性区域。同理，区域 II和III也是z=w3的单叶区域，三个单叶区域再加上相邻处的 端边称为根式函数的三个单值分支。
1 iz iz 1 iz iz (3) 三角函数 sin z e e , cos z e e 2i 2
性质： (i) 正弦函数和余弦函数处处解析，且：
d sin z d cos z cos z, sin z dz dz
(ii) 正弦函数为奇函数和余弦函数为偶函数，并遵循三角 公式： sin 2 z cos 2 z 1 cos( z1 z2 ) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 sin( z1 z2 ) sin z1 cos z2 cos z1 sin z2 (iii) 正弦函数和余弦函数以2为周期； (iv) sinz=0，则 z n , n 0, 1, cosz=0，则 z (n 1/ 2) , n 0, 1,
(IV) 对数函数：w Lnz,
z0
i 2 n ln r i 2n w L n z L n re 显然： u( x, y) ln z , v( x, y) 2n
很明显，对数函数是多值函数，一个z对应有无数个w，彼 此的虚部差2的整数倍。
点外解析。 (2) 指数函数
z
an z n 除了 Q( z ) 0 n bn z
n y)
指数函数的性质：
(i)
e 0
(ii) 对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中 的定义一致。 (iii) e 1 e
z z2
w2 3 re
2 i 0 3 3
我们称z=0为w 3 z 的支点。
定义(支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数 w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点 为多值函数的支点。 对于根式函数来说，原点和无穷远点是其两个支点。 (III) 支割线 连接支点z=0和z=的任意一条射线，称为支割线。支割 线将z平面割开，并规定z连续变化时不得跨越支割线，这 就使得割开的z平面上任意闭合曲线都不包括原点，由此 根式函数只在一个单值分支上取值。 注：把一个多值函数划分为单值分支与支割线的选取密切 相关，不同的支割线选取方式使得单值分支的区域定义也 不相同。
(v) 在复数域中，不能判定 cos( z) 1, sin( z) 1 证明：(ii) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 1 iz 1 iz iz iz iz e e e e e e iz 4 4
1 1 2 2 1
1
(II) 支点
如图，在平面上任选一点z(r,)，
则利用第一个单值分支得：
w1 3 re 3 若让z(r,)按逆时针方向沿一闭合 曲线连续变化，若曲线不包括原 点，则连续改变的幅角回到原来 的值，而w的值也回到w1。但如 果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而 是回到w2：
i
0
ln z k ln r i 2k
而这无穷多个单值函数皆是解析函数。 证明： f ( z)
ln z k ln r i 2k
§2.3 初等解析函数和多值函数
1、初等单值函数
(1) 幂函数
w z , n 0,1, 2
n
幂函数在复平面上处处解析，同时可以证明多项式函数：
w a0 a1z
也处处解析。
an z
n
P( z ) a0 a1 z 而有理函数： w Q( z ) b0 b1 z
e
iz2
e iz2
1 i z1 z2 i z1 z2 e e cos( z1 z2 ) 2
2、初等多值函数
(I) 根式函数：w 根式函数的多值性
i0 例如： w e 3 3
n
z,
n 0,1, 2
2 n i 0 3 3
e z1 z2
'
(iv) 指数函数处处解析，且： w (v)
e
z
e z i 2 k e z
z z
(vi) lim e 不存在。 证明：(iv)
w lim
'
e
z z
z 0
z
e lim z 0 z
z
e z ez 1 z
x e e cos y i sin y 1 lim z 0 z ez 1 x 1 iy 1 z e lim z 0 z
若限定- <Arg(z)< 很明显，即- <v(x,y)< ，则z的对数 只有一个取值，我们称之为ln(z)的主值支，记做：ln(z)。 所以： w l n z ln r iarg ( z ) 显然： w Lnz l n z i 2n
, n 0, 1,
如在w平面上用平行于实轴 的直线画出一个宽为2的条 带，例如图中的I，则z与w 为一一对应的关系。I为z=ew 的单叶性区域。 同样，对数函数也存在两个 支点：z=0和z=。两个支点间的任意连线就构成了支割线。 支割线映射为w平面上的单值分支之间的端线：
§2初等解析函数解读
§2 初等解析函数一、教学目标或要求：掌握初等解析函数的定义、性质二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：初等解析函数的定义、性质重点：初等解析函数性质难点：解析函数的性质三、教学手段与方法：讲授、练习思考题、讨论题、作业与练习：12－19§2 初等解析函数1．指数函数定义2.4 设y x z i +=，称)sin i (cos e e y y x z ⋅+=为指数函数，其等式右端中的e 为自然对数的底，即 2.71828e =．指数函数性质（1） 它是实指数函数的自然推广。
（2） 对任意二复数111i y x z +=与222i y x z +=,有2121e e ez z z z +=⋅。
（3） z e 在复平面上为解析函数，且有z z e )(e=' （4） 对任意一复数y x z i +=，有 π2)(Arg ,e e k y z x z +== （k ：整数）（5）z e 只以i π2k (k 为整数)为周期，是以为基本周期的周期函数。
（6）21e e z z =的充分必要条件是i π212k z z =- （k 为整数）（7）z z e lim ∞→不存在．（8）设y x z i +=，若0=y ，则x z e e =；若0=x ，则y y y sin i cos e i ⋅+=。
这便是欧拉公式．（9）若y x z i +=，则zz e e =．2．三角函数与双曲函数由方程可得因此我们可定义复三角函数为定义2.5 设z 为复数，称i 2e e i i zz -- 与2e e i i z z -+ 分别为z 的正弦函数和余弦函数，分别记作i2e e sin i i zz z --= 与 2e e cos i i z z z -+= 正、余弦函数的性质：（1）z sin 与z cos 在复平面解析，且有z z z z sin )(cos ,cos )(sin -='=' 事实上，同理，可证另一个。
第2章：初等解析函数
z = re
iϑ
z = ± re
iϑ / 2
iϑ / 2
w = cos z = cos ± r e
(
iϑ / 2
) = cos(
re
)
26
——只有一个值：单值函数！
(b)
w = z + 1 = ( z + i )( z − i )
2
= r1e i (ϑ1 + 2 n1π ) ⋅ r2 ei (ϑ2 + 2 n2π ) = r1r2 e
第2章
解析函数
2.1 初等函数 2.2 多值函数——根式 2.3 多值函数——对数 2.4 反三角函数和其它
1
2.1 初等函数
幂函数 f ( z ) = z n （1）当 n=1,2,3….
df ( z ) = nz n −1 dz
在整个复平面上有确定的值，且满足C-R条件， 故 zn 是全平面上的解析函数（不包括无限大） （2）当 n=–1, – 2, – 3…, zn 导数表达式亦是nzn1(除 z=0 外)，并且满足C-R 条件，故 zn 亦是全平 面上的解析函数。 z=0是该函数的奇点
注意3：当主值定义为 0 < arg z ≤ 2π ，函数 w = z 在正实轴上不连续
22
上半平面趋近正实轴上
w = z = r e i 0 = r [cos(0) + i sin(0)] = r
下半平面趋近正实轴上
w = z = r e i 2π / 2 = r [cos(π ) − i sin(π )] = − r
-i
z+i
——z=i 和-i 是枝点
•
29
z在包围z=∞的路径绕一周：即包围所有枝点的 路径反绕一周 辐角变化为
2.3初等函数
类似地，连续变动k周回到z1时，
辐角arg z1变为arg z1＋2k (k 1, 2, ).
(4) 当z从z1开始按照逆时针方向 沿着C \{0}内一条围绕z0( 0,) (不围绕原点)的简单闭曲线L3连续 变动一周，回到z1时，arg z1不变.
设F (z)是区域( C )上的一个多值函数， z0 C.若在z0的某个充分小的邻域内，存在 一条包围z0的简单闭曲线L，当动点z沿L旋转 一周，回到起点时，F (z)的函数值发生变化， 则z0称为多值函数F (z)的支点.
连接多值函数F (z)的支点，用来剪开z平面， 借以分出多值函数F (z)的单值分支的割线，称为 多值函数F ( z)的支割线.
1 ln 13 i(arc tan 3 2k ), (k ),
2
2
ln(2 3i) ln | 2 3i | i arg(2 3i)
如果ez1 ez2，那么z1 z2 2k i，反之亦真.
(5) z C, ez 0, ez eRez ,
Argez Im z 2k (k Z );
2. 三角函数
由Euler公式，对x R,
eix cos x i sin x, eix cos x i sin x.
所以
cos x eix eix , sin x eix eix .
sin z
cos z
sin z
二、初等多值函数
1. 辐角函数
辐角函数F(z) Argz是C \{0}上的一个多值函数. 将辐角函数在某些区域内分解为一些单值连续函数， 每一个单值连续函数称为辐角函数在这个区域内 的一个单值连续分支.
考虑沿负实轴(包括原点0)剪开复平面而得到的
初等解析函数和多值函数.ppt
(vi) lim ez不存在。
z
证明：(iv) w' lim ezz ez
ez lim
ez 1
z0 z
z0 z
lim ez ex cos y i sin y 1
z0
z
lim ez 1 x1 iy 1 ez
z 0
z
(3) 三角函数 sin z 1 eiz eiz , cos z 1 eiz eiz
点，则连续Байду номын сангаас变的幅角回到原来
的值，而w的值也回到w1。但如
果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而
是回到w2：
w re 3
i
0 3
2 3
2
我们称z=0为w 3 z 的支点。
定义(支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数 w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点 为多值函数的支点。
bn zn
(2) 指数函数 w ez exeiy ex (cos y i sin y)
指数函数的性质：
(i) ez 0
(ii) 对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中
的定义一致。
(iii) ez1ez2 ez1z2
(iv) 指数函数处处解析，且：w' ez
(v) ezi2k ez
所以：w l n z ln r iarg(z)
显然：w Lnz l n z i2n , n 0, 1,
如在w平面上用平行于实轴 的直线画出一个宽为2的条 带，例如图中的I，则z与w 为一一对应的关系。I为z=ew 的单叶性区域。
同样，对数函数也存在两个 支点：z=0和z=。两个支点间的任意连线就构成了支割线。 支割线映射为w平面上的单值分支之间的端线：
复变函数 2.3初等多值解析函数
w L n z l n r i ( 2 k ) ( k E )
z
L n zln |z|iA rgz
的
由于Argz的多值性导致w=Lnz
主
是一个具有无穷多值的多值函数
辐
规定： ln zln r i ln z ia r g z.
角
为对数函数Lnz的主值
于是： w L n z ln z 2 ki(k E )
角 2kn域 T n n: n n π 映 映 射 射 成 2成 kn负 负 实 实 n轴 轴 的 的 下 上 角 2岸 k岸 域 G nπ :k 2k
y
z
v
w
n
o
n
W=zn x
从原点起沿负实轴剪开的精选w课平件 面
上岸
G0 o
下岸
u
5
映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点 的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
Ln2ln22ki,
因 为arg(-1),
L n ( 1 ) ln 1 ii.
L n ( 1 ) ln 1 2 k i
(2k1)i (k为整 ) 数
注意: 在实对数函数中, 零和负数无对数, 这一点 在复对数函数中不再成立.
精选课件
15
例5 解方 ez 1 程 3 i 0 . 解 因ez为 13 i,
显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z) 就是D 到G的一一变换.
f(z)=z2不是C上的单叶函数. f(z)=z3是C上的单叶函数
精选课件
2
2.3.0幂函数的变换性质及其单叶性区域
设有幂函数: w=zn
令z=rei, w=ei ,则： w=zn ei = rnein= rn, =n
复变函数 2.3初等多值解析函数ppt课件
p ln a i p(arga2k)
ab eq
eq q
e
p q
ln
a
cos
p q
(arga
2kπ)
i
sin
p q
(arga
2kπ)
ab具有 q 个值, 即取 k 0,1,2,,(q 1)时相应的值.
25
特殊情况: 1)当 b n (正整数)时,
an enLna eLnaLnaLna
的
由于Argz的多值性导致w=Lnz
主
是一个具有无穷多值的多值函数
辐
角
规定： ln z ln r i ln z i arg z.
为对数函数Lnz的主值
于是： w Lnz ln z 2k i(k E)
13
对于每一个固定的k, 上式确定一个单值函数, 称为Lnz 的一个分支. 特殊地, 当 z x 0时, Lnz 的主值 ln z ln x, 是实变数对数函数.
从原点起沿负实轴剪开的w平面
上岸
G0 o
下岸
u
5
映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点
的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
角域Tn
:
2k
n
n
2k
n
n
k 0,1,
n1
是幂函数的单叶性区域的一种分法
总之：幂函数w=zn (n>1) 单叶性区域是顶点 在原点，张度不超过2/n的角形区域
n1
w0 n rei0 2 w1 n rei1
22 w2 n rei2
第二章第二节：初等解析函数
cos( z1 z2 ) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 sin( z1 z2 ) sin z1 cos z2 cos z1 sin z2 sin 2 z cos 2 z 1 • 由此得 cos(x+iy)=cosxcosiy-sinxsiniy,
初等复变函数：基本初等复变函数经过加、减、乘、除、 乘方和开方等基本运算，或经历有限次复合运算，所形 成的复变函数称为初等复变函数,简称为复变函数.
思考题: 实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些
异同?
思考题答案
两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公 式也有相同的形式. 最大的区别是, 实变三角函数中, 正余弦函数都是 有界函数, 但在复变三角函数中,
sin(z) 60 60 40 40 20 0 0 -20 -40 -60 5 5 0 -5 0 -5 -60 -20 20
-40
由于ez是以2i为周期的周期函数, 因此cos z和sin z以2 为周期, 即 cos(z+2)=cos z, sin(z+2 )=sin z. 也容易推出cos z是偶函数: cos(-z)=cos z 而sin z是奇函数: sin(-z)=-sin z 由指数函数的导数公式可以求得 (cos z)‘=-sin z, (sin z)’=cos z 易知 eiz=cos z+isin z 普遍正确, 即对于复数, 欧拉公式仍然成立.
sin z cos z tg z , ctg z , cos z sin z 1 1 sec z , csc z . cos z sin z
tan(z) 5 4 30 20 10 0 0 -10 -1 -20 -2 -30 5 5 0 -5 -4 0 -5 -5 -3 3 2 1
复变函数-2.3 初等函数共26页
25/25
休息一下 ……
数
2
eiwz z21, iw L(zn z2 1),
w A cz r o i c L s( z n z 2 1 ) .
同理可得 A sr z i n c iL (iz n 1 z 2 );
Artcazni Ln iz. 2 iz
§2.3 初等函数
事实上，在无穷远点有
当 y0,x 时，ez ;
当 y0,x 时，ez 0.
(3) ez 0. 因为 e x 0 ,co y is siy n 0 .
§2.3 初等函数
5/25
第 一、指数函数
二 章
性质
解
事实上，
析 函
e z 1 e z 2 e x 1 (y c 1 i s o y 1 ) i e x s 2 n (y c 2 i s o y 2 ) is n
解 析
|w| ex,
Aw r y g 2 k π ,
由 z 的实部得到 w 的模； 由 z 的虚部得到 w 的辐角。
函 数
(k0 ,1 ,2 , )
y
(z)
v
(w)
y4π
y2π y
z xx
wez
zLnw
w
ex
y
u
§2.3 初等函数
7/25
第 二、对数函数
二 章
对数函数定义为指数函数的反函数。
析
函
主值 ln (1)πi.
数
可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。
12/25
§2.3 初等函数
第 ▲例 求对数 Ln2 以及它的主值。 二 章 解 L 2 l n |2 n | ia2 r 2 k π g iln 22kπi;
2.3初等多值函数
arg z arg z0 L Argz
z 0 点并指定初值arg z0 的前提下,终值 arg z 唯一,即辐角函数可单值化，
必须使辐角改变量仅与起点和终点有关而与曲线的形状无关.
L1 Argz L2 Argz L L Argz 0 (即原点在闭曲线 L1 L2 的外部). 1 2
1 i L Argz n
,
k
| z |e
n
e
i L Argz n
（4 ） z G : arg z , k Z .
,
或
wk
z
n
k
n | z|e
i
arg z 2 k n
z G : arg z , k Z .
（6）
,
（5 ）
定理2 在上述区域内各单值分值函数 ( n z ) k 解析, 且 d n 1 ( n z )k k 0,1,, n 1 . z k dz n z
2.2 由已知的某单值解析分支的初值求终值
2.2 由已知的某单值解析分支的初值求终值
wk
或
z
n
k
（4） n | z |e i arg w0 e , z G : arg z , k Z .
w n z n | z |e
i
Argz n
, z 0, .
(2)
2.1分出根式函数 w n z 的单值解析分支
(1) w n z 在某区域 D 内可单值化的充要条件及单值化方法 定理1 多值函数F z 可单值化的充要条件是对任意简单闭曲线L, 有
L n z 0.
L F z 0
第二章_解析函数
基本要求：1 掌握函数在一点处（区域）可导，一点处解析（区域）的概念及相互之间的联系；2掌握函数在一点处可导的充分必要条件；3 掌握函数 解析性的判定方法，掌握解析函数与调和函数之间的关系。
第二章 解析函数解析函数是本课程讨论的中心，是复变函数研究的主要对象，它在理论和实际问题中有着广泛的应用。
本章先引入复变函数的导数的概念，然后讨论解析函数，介绍函数解析的一个充分必要条件，它是用函数的实部和虚部所具有的微分性质来表达的。
最后介绍一些常用的初等函数，并讨论它们的解析性。
§1 解析函数的概念1.1 复变函数的导数定义1.1区域D ， 0Z 为D 中一点，点0Z +z 不出D 的范围。
如果极限0+0z 0(z -(lim zf z f z ）） 存在，则称f(Z)在0Z 处可导，这个极限值称为(z)f )在0Z 处的导数，记作()00 z=z |'=d f dz z ω= 0+0z 0(z -(lim z f z f z →））， （2.1）也就是说，对于任给的ε>0,相应地有δ（ε）>0,使得当0<|Δz|<δ时，有| 0+0(z -(zf z f z ））—()0'f z | < ε. 如果()f z 在区域D 内处处可导，则称()f z 在D 内可导. 也称()df z = ()0z 'f z 或()0z 'd f z 为()f z 在0z 处的微分.例1.1 求()2=f z z 的导数.解 因为0+0z 0(z -(lim z f z f z →））=+22z 0(z -z lim zf z →）=z 0 lim (2z+z)=2z → 所以'(z)=2z f .例 1.2 问(z)f =x+2yi 是否可导？ 解 +z 0(z -(lim zf z f z →））=z 0(+- (y+y i--2yi lim zf x x f x →）） = z 0+2yilim +yi x x →若z+Δz 沿平行于x 轴的方向趋向于z ，则Δy=0，z 0+2yi lim +2yi x x →=z 0lim x x →=1.若z+Δz 沿平行于y 轴的方向趋向于z ，则Δx=0，z 0+2yi lim +yix x →= z 02lim yi yi →=2. 故(z)f = +2x yi 的导数不存在.由例1.2可见，函数(z)f = +2x yi 在复平面内处处连续但处处不可导，然而，反过来容易证明在0z 可导的函数必定在0z 连续.事实上，由(z)f 在0z 可导的定义，对于任给的ε>0,有δ>0，当0<|Δz|<δ时，有 |0+0(z -(z f z f z ））—()0'f z | < ε.令()z ρ=0+0(z -(z f z f z ））—()0'f z ， 则0+0(z )-(z )z f f =0+z z '(z )()z f ρ.(2.2)而z z 0lim =0ρ→（）， 所以+z 0z 0lim =(z )f f →0（z ）.即(z)f 在0z 连续.由导数的定义和极限运算法则，不难得出如下的求导公式与法则：（1） （C ）’=0，其中C 为复常数.（2） (nz )’=n n-1z ,其中n 为正常数. （3） [(z)g(z)]'='(z)g'(z).f f ±±（4） [(z)g(z)]'='(z)g(z)+(z)g'(z)f f f .（5） 2(z)1[]'=['(z)g(z)-(z)g'(z)],g(z)0.(z)g (z)f f fg ≠ （6） {[(z)]}'='()g'(z)f g f ω，其中ω=(z)g .（7） '(z)f =1'ϕω（）,其中=(z)f ω与z=ϕω（）是两个互为反函数的单值函数，且'ϕω（）≠0.1.2 解析函数的概念定义1.2 如果(z)f 在0z 及 0z 的邻域内处处可导，则称(z)f 在0z 处解析；如果(z)f 在区域D 每一点解析，则称(z)f 在D 内解析，或说(z)f 是D 内的解析函数.如果(z)f 在0z 不解析，则称0z 为(z)f 的奇点.若函数在一点解析，则一定在该点可导，但过来不一定成立.函数在一点解析和在一点可导是两个不等价的概念.但是函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.例1.2 研究函数(z)f =2z ，g(z)=+2x yi ， 2h(z)=|z |的解析性.解 例1.1知(z)f =2z 在复平面内处处解析，由例1.2知g(z)=+2x yi 处处不解析.下面研究2h(z)=|z |的解析性. .由于0+0h(z -h(z z z ））=0+220|z|-||zz z =00000+z z +z -z z =z +z+z zz z z （）（）， （i ） 若0z =0，当z →0时，上式的极限是零.（ii ） 若0z 0≠，当0+z z 沿平行于x 轴方向趋于0z 时，y =0， 0z 00z -lim =lim =lim =1z +z x x yi x x yi x →→→. 当0+z z 沿平行于y 轴方向趋于0z 时，x =0， 0z 00z --lim =lim =lim =-1z +z x x yi yi x yi yi→→→. 从而0+000z -()z =z +z+z zz z z h （）h ， 当z →0时，极限不存在.由（i ），（ii ）可知，2h(z)=|z |仅在z=0处可导，而在其他点都不可导，从而它在复平面内处处不解析。