§2.3-初等解析函数和多值函数(精)

z re
很显然，w与z的模一一对应，但幅角却不然，w的幅角有 三个不同的值与z的幅角对应：
3 3 显然，对于同一个z值，有三个w与之对应，且三个值的幅 角相差2/3。
3r 2n 0 0 , n 0,1, 2
若规定，w只在I区域取值，则z的值域与w的I区域就建立起 了一一对应的关系。而对于其反函数z=w3来说，在区域I， 不同的w值对应于z平面上不同的z值，这样的区域 I(0<Arg(w)< 2/3)，称为z=w3的单叶性区域。同理，区域 II和III也是z=w3的单叶区域，三个单叶区域再加上相邻处的 端边称为根式函数的三个单值分支。
1 iz iz 1 iz iz (3) 三角函数 sin z e e , cos z e e 2i 2
性质： (i) 正弦函数和余弦函数处处解析，且：
d sin z d cos z cos z, sin z dz dz
(ii) 正弦函数为奇函数和余弦函数为偶函数，并遵循三角 公式： sin 2 z cos 2 z 1 cos( z1 z2 ) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 sin( z1 z2 ) sin z1 cos z2 cos z1 sin z2 (iii) 正弦函数和余弦函数以2为周期； (iv) sinz=0，则 z n , n 0, 1, cosz=0，则 z (n 1/ 2) , n 0, 1,
(IV) 对数函数：w Lnz,
z0
i 2 n ln r i 2n w L n z L n re 显然： u( x, y) ln z , v( x, y) 2n
很明显，对数函数是多值函数，一个z对应有无数个w，彼 此的虚部差2的整数倍。
点外解析。 (2) 指数函数
z
an z n 除了 Q( z ) 0 n bn z
n y)
指数函数的性质：
(i)
e 0
(ii) 对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中 的定义一致。 (iii) e 1 e
z z2
w2 3 re
2 i 0 3 3
我们称z=0为w 3 z 的支点。
定义(支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数 w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点 为多值函数的支点。 对于根式函数来说，原点和无穷远点是其两个支点。 (III) 支割线 连接支点z=0和z=的任意一条射线，称为支割线。支割 线将z平面割开，并规定z连续变化时不得跨越支割线，这 就使得割开的z平面上任意闭合曲线都不包括原点，由此 根式函数只在一个单值分支上取值。 注：把一个多值函数划分为单值分支与支割线的选取密切 相关，不同的支割线选取方式使得单值分支的区域定义也 不相同。
(v) 在复数域中，不能判定 cos( z) 1, sin( z) 1 证明：(ii) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 1 iz 1 iz iz iz iz e e e e e e iz 4 4
1 1 2 2 1
1
(II) 支点
如图，在平面上任选一点z(r,)，
则利用第一个单值分支得：
w1 3 re 3 若让z(r,)按逆时针方向沿一闭合 曲线连续变化，若曲线不包括原 点，则连续改变的幅角回到原来 的值，而w的值也回到w1。但如 果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而 是回到w2：
i
0
ln z k ln r i 2k
而这无穷多个单值函数皆是解析函数。 证明： f ( z)
ln z k ln r i 2k
§2.3 初等解析函数和多值函数
1、初等单值函数
(1) 幂函数
w z , n 0,1, 2
n
幂函数在复平面上处处解析，同时可以证明多项式函数：
w a0 a1z
也处处解析。
an z
n
P( z ) a0 a1 z 而有理函数： w Q( z ) b0 b1 z
e
iz2
e iz2
1 i z1 z2 i z1 z2 e e cos( z1 z2 ) 2


2、初等多值函数
(I) 根式函数：w 根式函数的多值性
i0 例如： w e 3 3
n
z,
n 0,1, 2
2 n i 0 3 3
e z1 z2
'
(iv) 指数函数处处解析，且： w (v)
e
z
e z i 2 k e z
z z
(vi) lim e 不存在。 证明：(iv)
w lim
'
e
z z
z 0
z
e lim z 0 z
z
e z ez 1 z
x e e cos y i sin y 1 lim z 0 z ez 1 x 1 iy 1 z e lim z 0 z
若限定- <Arg(z)< 很明显，即- <v(x,y)< ，则z的对数 只有一个取值，我们称之为ln(z)的主值支，记做：ln(z)。 所以： w l n z ln r iarg ( z ) 显然： w Lnz l n z i 2n
, n 0, 1,
如在w平面上用平行于实轴 的直线画出一个宽为2的条 带，例如图中的I，则z与w 为一一对应的关系。I为z=ew 的单叶性区域。 同样，对数函数也存在两个 支点：z=0和z=。两个支点间的任意连线就构成了支割线。 支割线映射为w平面上的单值分支之间的端线：