2.3初等多值函数
第二章复变函数第三节初等多值函数
6、根式函数
7、对数函数
8、幂函数
.,,,v e r e z iv u w re z u w
i ===+==θθ可得则从令.,,0000u w e r v u u v v v e z =<<-====”变成圆周把线段“变成射线把直线因此，变换ππθ.0000v z v v w e z w
<<<<=θ平面上的角形变成平面上的带形把指数函数（2）指数函数的变换性质：.轴的区域平面上除去原点和负实变成平面上的带形把指数函数z v w e z w
ππ<<-=
,2 .
w z e z 指数函数单叶性区域是: 平面上平行于实轴宽度不超过的带形区域p =.)
()12()12(2轴的区域平面上除去原点和负实变成的带形平面上宽为把指数函数z Z k k v k w e z w
∈+<<-=πππ
因此，对同一个的不同数值的个
数等于不同数值的因子的个数.一般幂函数的定义:
利用对数函数，可以定义幂函数：设α是任何复数，则定义z 的α次幂函数为
当α为正实数，且z = 0 时，还规定Ln (0)z w z e
z αα==≠由于0.z a =ln 2(ln10,arg )
z k i w z e e z αααπππ===-<≤0,z w z α≠=)(2Z k e
i k a ∈⋅π
幂函数的映射性质:(略)
关于幂函数当a 为正实数时的映射性质，有下面的结论：
设是一个实数，并且在z 平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，得到一个区域D*。
考虑D*内的角形，ω
πωω2,0<<a 并取在D*内的一个解析分支ω
<<z A arg 0:)11(==a a z w a z w =ω
当z 描出A 内的一条射线时让从0增加到（不包括0及），那么射线l 扫过角形A ，而相应的射线扫过角形0arg :θ=z l 0
1arg :θa w l =0θωω
1l ω
a w A <<arg 0:1ωω
a （不包括0），w 在w 平面描出一条射线
因此
)11(==a
a z w 1A ωω
a ωω
a 把夹角为的角形双射成一个夹角为的角形，同时，这个函数把A 中以原点为心的圆弧映射成中以原点为心的圆弧。
012012
012
012
结论：0、1、2与无穷都是支点。
可以用正实数轴作为割线，在所得区域上，函数可以分解成单值解析分支。
同时，我们注意到
),2[ 因此也可以用[0，1]与作割线。
012
01
，增加变，所以
不
，增加2/arg )1arg(2arg ππw z z -01，增加变，所以不，增加2/3arg arg 2)1arg(ππw z z -
结论：0、1是支点，无穷远点不是支点。
回到同一个分支。
增加，所以也增加，增加,24/)232(arg 2)1arg(2arg πππππ=⨯+-w z z 01。
2-3 初等函数
令z1=z,z2=-z, 得sin2z+cos2z=1.
y y e y e y e e e y e y 由于 cos iy i2 ishy chy , siniy 2i 2i 2
三角公式中取 z 1=x , z 2=iy , 得
cos x iy cos x cosiy sinx siniy cos xchy i sinxshy sin x iy sinx cosiy cos x siniy sinxchy i cos xshy
§3 初等函数
1.指数函数
(1) 定义
(2)性质 1)
z=x+iy 复变数z的指数函数 e z = e x(cosy + isiny)
当y=0时, e z = e x,即实指数函数; 当x=0时,e i y=cosy+isiny,即欧拉公式.
e z 在整个复平面内有定义且处处
e 0
z
z x 2) 模 e e ,辐角 Arg(e z) = y + 2k
则 e u iv re i
u ln r ln z
eu r
v Argz
对数函数: Lnz ln z iArgz ln z i arg z 2k i .k 0 1,2, 为具有多个分支的多值函数. 当k = 0时,称为主值分支.对数函数Lnz的主值记为lnz, 它是单值函数. ln z ln z i arg z 而 Lnz = lnz + 2 ki (k=0,±1,±2,…) 特别,当z = x > 0时,Lnz的主值lnz=lnx,就是实变数对数函数.
Lnzn n ln z in arg z 2k i nLnz n ln z in arg z 2nk i
复变函数课件 2.3初等多值函数
幂函数的基本性质：
6、当是无理数或复数时，幂 函数是无穷 多值函数； 事实上，当是无理数时，有
z e e e 当 a bi(b 0)时，有 Lnz [ln|z| i (arg z 2 k )] ( abi )[ln|z| i (arg z 2 k )] z e e e e( ab)[ln|z| (arg z2k )]i[b ln|z| a (arg z2k )] 例如 2 k i iLni i[ln 1i (arg i 2 k )] 2 i e e e (k 0,1,2,)
( arg z , k Z )
这是一个n值函数。
在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得的区 域D内，它有n个不同的解析分支：
幂函数的基本性质:
1 i (arg z 2 k ) n
w n | z |e
( arg z ; k 0,1,..., n 1)
(1i ) Ln2
(1i )[ln 2i (arg 22 k )]
(1i )[ln 22 ki )]
2
2
e e 2 2 2ki 2 e
2Ln2
2[ln 2i (arg 22 k )]
e (k 0,1,2,)
2 ln 22 2ki
7、幂函数在 C \ {Im z 0, Re z 0}上解析，
的整数，q 0）： p p p p Lnz [ln | z | i (arg z 2 k )] ln z 1 i 2 pk q q q q q z e e e 由于p与q为互素，所以不难看到 ，当k取 0， 1， 2， , q 1时，得到q个不同的值，即这 时幂函数是一个 q值的函数；
Lnz
[ln|z| i (arg z 2 k )]
初等多值函数知识点总结
初等多值函数知识点总结1. 多值函数的定义多值函数是指其自变量的不同取值对应了多个因变量的函数。
也就是说，对于同一个自变量的值，可能存在多个因变量的值与之对应。
多值函数的定义如下：设有函数 $f: X\rightarrow Y$，若对于 $x \in X$，通过 $f(x)$ 可以确定 $Y$ 中不止一个元素，即$f(x)$ 对应多个 $y \in Y$，则称 $f(x)$ 为多值函数。
2. 多值函数的表示多值函数的表示方法有很多种，其常见的表示方法包括集合表示、图像表示和数学表达式表示。
a) 集合表示：通过集合的方式来表示多值函数，通常表示为 $f(x) = \{ y_1, y_2, \ldots, y_n \}$，其中 $y_1, y_2, \ldots, y_n$ 是 $f(x)$ 对应的多个因变量的值。
b) 图像表示：通过绘制多值函数的图像来表示，但由于多值函数的复杂性，其图像可能不是一个简单的曲线或者曲面，通常需要使用多种色彩或者虚线来表示不同的取值情况。
c) 数学表达式表示：通过数学表达式或者符号来表示多值函数的关系，这种表示方式通常需要特殊的符号或者标记来表示多个因变量。
3. 多值函数的性质多值函数与单值函数相比，具有一些特殊的性质，主要体现在定义域、值域和解的情况上。
a) 定义域和值域：多值函数的定义域和值域通常比较复杂。
因为多值函数的自变量可以对应多个因变量的值，所以其定义域和值域可能是多个集合的并集或者交集。
b) 解的情况：多值函数的解通常会有多个解或者无解的情况。
因为对于同一个自变量的值，可能对应多个因变量的值，所以在求解多值函数的方程或者不等式时，需要考虑多个解的情况。
4. 多值函数的运算多值函数与单值函数一样，也可以进行加减乘除等基本运算，并且可以进行复合函数、反函数等复杂的运算。
但是由于多值函数的复杂性，其运算可能会涉及到多个因变量的组合，因此需要特别注意多值函数运算时的特殊性。
2.3初等函数
类似地，连续变动k周回到z1时，
辐角arg z1变为arg z1＋2k (k 1, 2, ).
(4) 当z从z1开始按照逆时针方向 沿着C \{0}内一条围绕z0( 0,) (不围绕原点)的简单闭曲线L3连续 变动一周，回到z1时，arg z1不变.
设F (z)是区域( C )上的一个多值函数， z0 C.若在z0的某个充分小的邻域内，存在 一条包围z0的简单闭曲线L，当动点z沿L旋转 一周，回到起点时，F (z)的函数值发生变化， 则z0称为多值函数F (z)的支点.
连接多值函数F (z)的支点，用来剪开z平面， 借以分出多值函数F (z)的单值分支的割线，称为 多值函数F ( z)的支割线.
1 ln 13 i(arc tan 3 2k ), (k ),
2
2
ln(2 3i) ln | 2 3i | i arg(2 3i)
如果ez1 ez2，那么z1 z2 2k i，反之亦真.
(5) z C, ez 0, ez eRez ,
Argez Im z 2k (k Z );
2. 三角函数
由Euler公式，对x R,
eix cos x i sin x, eix cos x i sin x.
所以
cos x eix eix , sin x eix eix .
sin z
cos z
sin z
二、初等多值函数
1. 辐角函数
辐角函数F(z) Argz是C \{0}上的一个多值函数. 将辐角函数在某些区域内分解为一些单值连续函数， 每一个单值连续函数称为辐角函数在这个区域内 的一个单值连续分支.
考虑沿负实轴(包括原点0)剪开复平面而得到的
初等解析函数和多值函数.ppt
(vi) lim ez不存在。
z
证明：(iv) w' lim ezz ez
ez lim
ez 1
z0 z
z0 z
lim ez ex cos y i sin y 1
z0
z
lim ez 1 x1 iy 1 ez
z 0
z
(3) 三角函数 sin z 1 eiz eiz , cos z 1 eiz eiz
点，则连续Байду номын сангаас变的幅角回到原来
的值，而w的值也回到w1。但如
果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而
是回到w2：
w re 3
i
0 3
2 3
2
我们称z=0为w 3 z 的支点。
定义(支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数 w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点 为多值函数的支点。
bn zn
(2) 指数函数 w ez exeiy ex (cos y i sin y)
指数函数的性质：
(i) ez 0
(ii) 对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中
的定义一致。
(iii) ez1ez2 ez1z2
(iv) 指数函数处处解析，且：w' ez
(v) ezi2k ez
所以：w l n z ln r iarg(z)
显然：w Lnz l n z i2n , n 0, 1,
如在w平面上用平行于实轴 的直线画出一个宽为2的条 带，例如图中的I，则z与w 为一一对应的关系。I为z=ew 的单叶性区域。
同样，对数函数也存在两个 支点：z=0和z=。两个支点间的任意连线就构成了支割线。 支割线映射为w平面上的单值分支之间的端线：
第3节 初等多值函数
w Lnz ln | z | i arg z 2ki ln z 2ki,
1.定义2.8 规定根式函数w
n
z为幂函数z wn的
反函数(n是大于1的整数)
对每一个不为0或的z, 在w平面上函数w n z有n个值 注
w z e
1 n
arg z 2 k i n
1 n
, k 0,1, n 1
arg z i n
2. 函数w f 0 ( z ) z e
euiv rei
u 所以有： ln r, v 2k (k 0,1,2,)
容易看到，u是单值的，而由于幅角函数的 多值性知道，v 是多值的；因为 是z的幅角，
从而v 2k Argz,
故w Lnz ln|z| iArgz, z 0
2.对数函数的主值 相应与辐角函数的主值，我们定义对数函 数Lnz的主值lnz为：
{w |
z=w
n
n
arg w } {z | arg z } n n
z wn
v0i
z=wn
v0
{w | w u iv, v } {z | arg z }
z ew
二 根式函数
2 k 即凡不包含满足条件1 2 的角形区域,都 n n 是z w 的单叶性区域.
n
z wn的单叶性区域为
2 {w | arg w , 0 }, n {w | 2k
或
即顶点在原点, 张度不超过 z wn的单叶区域
arg w 2k }; n n 2
d 1 dz z 事实上,指数函数z ew在区域{ v arg z } 内
复变函数-2.3 初等函数共26页
25/25
休息一下 ……
数
2
eiwz z21, iw L(zn z2 1),
w A cz r o i c L s( z n z 2 1 ) .
同理可得 A sr z i n c iL (iz n 1 z 2 );
Artcazni Ln iz. 2 iz
§2.3 初等函数
事实上，在无穷远点有
当 y0,x 时，ez ;
当 y0,x 时，ez 0.
(3) ez 0. 因为 e x 0 ,co y is siy n 0 .
§2.3 初等函数
5/25
第 一、指数函数
二 章
性质
解
事实上，
析 函
e z 1 e z 2 e x 1 (y c 1 i s o y 1 ) i e x s 2 n (y c 2 i s o y 2 ) is n
解 析
|w| ex,
Aw r y g 2 k π ,
由 z 的实部得到 w 的模； 由 z 的虚部得到 w 的辐角。
函 数
(k0 ,1 ,2 , )
y
(z)
v
(w)
y4π
y2π y
z xx
wez
zLnw
w
ex
y
u
§2.3 初等函数
7/25
第 二、对数函数
二 章
对数函数定义为指数函数的反函数。
析
函
主值 ln (1)πi.
数
可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。
12/25
§2.3 初等函数
第 ▲例 求对数 Ln2 以及它的主值。 二 章 解 L 2 l n |2 n | ia2 r 2 k π g iln 22kπi;
2.3初等多值函数
arg z arg z0 L Argz
z 0 点并指定初值arg z0 的前提下,终值 arg z 唯一,即辐角函数可单值化，
必须使辐角改变量仅与起点和终点有关而与曲线的形状无关.
L1 Argz L2 Argz L L Argz 0 (即原点在闭曲线 L1 L2 的外部). 1 2
1 i L Argz n
,
k
| z |e
n
e
i L Argz n
（4 ） z G : arg z , k Z .
,
或
wk
z
n
k
n | z|e
i
arg z 2 k n
z G : arg z , k Z .
（6）
,
（5 ）
定理2 在上述区域内各单值分值函数 ( n z ) k 解析, 且 d n 1 ( n z )k k 0,1,, n 1 . z k dz n z
2.2 由已知的某单值解析分支的初值求终值
2.2 由已知的某单值解析分支的初值求终值
wk
或
z
n
k
（4） n | z |e i arg w0 e , z G : arg z , k Z .
w n z n | z |e
i
Argz n
, z 0, .
(2)
2.1分出根式函数 w n z 的单值解析分支
(1) w n z 在某区域 D 内可单值化的充要条件及单值化方法 定理1 多值函数F z 可单值化的充要条件是对任意简单闭曲线L, 有
L n z 0.
L F z 0
初等解析函数和多值函数的解析分支
初等解析函数和多值函数的解析分⽀定义2.4.1 \ (多值函数的连续分⽀) Ω区域, F(z)为Ω上的多值函数, 若f(z)在Ω上连续, 且对于任意的z∈Ω, f(z)∈F(z), 则称f(z)为F(z)在区域Ω上的连续分⽀.定义2.4.2 \ (多值函数的解析分⽀) Ω区域, F(z)为Ω上的多值函数, 若f(z)在Ω上解析, 且对于任意的z∈Ω, f(z)∈F(z), 则称f(z)为F(z)在区域Ω上的解析分⽀.例2.4.3 指数函数的性质(1) ∀z=x+iy∈C,e z=e x(cos y+i sin y).(2) z=x∈R, e z与通常实指数函数的定义⼀致.(3) |e z|=e x>0.(4) e z在z平⾯上解析, 且(e z)′=e z.(5) e z1+z2=e z1e z2.(6) e z以2iπ为基本周期.定义2.4.4 规定对数函数是指数函数的反函数, 即若z≠0,∞,满⾜z=e w的复数w称为z的对数值, z的⼀切对数值的集合称为z的对数, 记作Lnz.具体地, Lnz={ln|z|+i arg z+i2kπ,k∈Z}.若把ln|z|+i arg z称为主值, 记作ln z, 则Lnz={ln z+i2kπ,k∈Z}.注:若把z看作⾮零复数, Lnz的定义域为C−{0}.Ln(z1z2)=Lnz1+Lnz2,Ln(z1z2)=Lnz1−Lnz2.定理2.4.5 \ (解析函数的对数解析分⽀) Ω单连通区域, f(z)在Ω中解析且处处⾮零, 则Lnf(z)在Ω上有解析分⽀g(z), 满⾜e g(z)=f(z),且Lnf(z)在Ω上的所有解析分⽀⼀定是g(z)+2ikπ,k∈Z,即Lnf(z)={g(z)+i2kπ,k∈Z}.从⽽Lnf(z)在Ω上有⽆穷多个解析分⽀, 且任意两个解析分⽀相差2π的整数倍.注：(1)定理2.4.5 表明, 若Lnf(z)在单连通区域Ω上的任意两个解析分⽀在z0∈Ω上的值相等, 则这两个解析分⽀恒相等.(2) 为⽅便, Lnf(z)在Ω上的解析分⽀g(z)有时简记为ln f(z), 若强调是特定的⼀⽀, 要给定z0∈Ω, 确定出ln f(z)在z0的值.例2.4.6 (对数函数的解析分⽀) \ Ω单连通区域, z0∉Ω,则Ln(z−z0)在Ω上有解析分⽀lnΩ(z−z0), 满⾜e lnΩ(z−z0)=z−z0, 且Ln(z−z0)在Ω上所有的解析分⽀⼀定是lnΩ(z−z0)+2kπi,k∈Z.证明：令f(z)=z−z0, 则f(z)在Ω上解析, 处处不为零, 由定理2.4.5, 成⽴.例2.4.7 (多值辐⾓函数的连续分⽀) Ω单连通区域, z0∉Ω, 则Arg(z−z0)在Ω内有连续分⽀argΩ(z−z0), 在Ω上, 对x,y有各阶偏导数, 且Arg(z−z0)={argΩ(z−z0)+2kπ,k∈z}.从⽽Arg(z−z0)在Ω中有⽆穷多连续分⽀, 任意两个相差2π的整数倍.注：arg(z−z0)不解析.注：设Γ:z=γ(t),t∈[a,b]是⼀条分段光滑的有向曲线(简称路径), 若0∉Γ, 即γ(t)在[a,b]上不取零值, 则存在ρ(t)=|γ(t)|,θ(t),t∈[a,b],分段光滑实函数, 使得γ(t)=ρ(t)e iθ(t).定理2.4.8 (解析函数的n⽅根的解析分⽀) 设n≥2, Ω单连通区域, f(z)在Ω内解析, 处处不为零, 则(f(z))1/n在区域D内有解析分⽀g(z), 且(f(z))1/n的所有解析分⽀是g(z)e2kπi/n,k=0,1,...,n−1的形式.定理2.4.9 (连续函数为n⽅根的解析分⽀的判定定理) n≥2是整数, Ω区域, f(z)在Ω中解析且处处不为零, g(z)为(f(z))1/n的连续分⽀,z∈Ω, 则g(z)为(f(z))1/n在Ω上的解析分⽀.例2.4.10 证明多值函数(z2(1−z)3)1/5在z-平⾯上割去线段[0,1]的区域D上可以分出5个解析分⽀. 求出在(0,1)的上沿取正值的那个单值解析分⽀g0(z)在点z=−1处的值g0(−1)以及g′0(−1),g0″.Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js。
复变函数2.3第三节 初等多值函数
(ln 22k )i(ln 22k )
2e2k (cosln 2 i sin ln 2) (k 0,1,2, ,)
2 e e e 2
2Ln2
2[ln 2i(arg 22k )]
2ln 22 2ki
2 2 e2 2ki (k 0,1,2, )
2
2
01
2
arg(i 2) arctan1 ,
2
所以
w(i)
4
i ( arctan1 )
10e 2 4
2
4
i arctan1
10e 2 3 .
例2：
例2、验证函数
w 4 z(1 z)3 ,
在区域D=C-[0,1]内可以分解成解析分支；求出 这个分支函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支 在z=-1处的值及函数在（0，1）下沿的值。
无穷阶支点:
（2）a不是有理数时，容易验证原点和无穷远点
是 w z a 的无穷阶支点。
当a不是整数时，由于原点和无穷远点是w z a
的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连
续曲线作为 内，可以把
wK1割线z a，分得解一成个解区析域分D支1。。在
D1
幂函数的映射性质:
关于幂函数当a为正实数时的映射性质，有下面
的角形，同时，这个函数把A中以原点为心的
圆弧映射成中 A1 以原点为心的圆弧。
a
幂函数的映射性质:
类似地，我们有，当n(>1)是正整数时，
wn z
的n个分支
i 1 2 k
w n z(n 1 e n ) (k 0,1,2,...,n 1)
分别把区域D*双射成w平面的n个角形