单摆教学中的几个等效问题
等效单摆
E
解：
单摆不摆动时在平衡位置，摆绳拉力
T=mg+Eq
等效重力加速度
T Eq g' g m m
则 T 2
l Eq g m
变形：若把匀强电场变为水平向右呢？
３、模型等效 • 例. 如图所示，光滑圆弧槽半径为R，A为最 低点，C到A距离远小于R，两质点B和C都由 静止开始释放，问哪一个小球先重力加速度等效
(3)模型等效
l T 2 g
①等效摆长
双线摆
摆长(或等效摆长) 重力加速度(或等效重力加速度)
摆球重心到摆动圆弧圆心的距离
o
L
l sin T 2 g
变式： 三根细线交于o处,A、B端固定在同一水平面上，已 知OA和OC均长L，让小球在垂直纸面内微小振动， 求其周期。 θ
L
o
A
B
L
C
由长度依次为L和2L的AC和BC两根细绳悬挂 小球C，如图4所示，每根细绳跟竖直方向的 夹角均为30°，当该小球向纸内外做微小摆 动时，其摆动周期为 。
②等效重力加速度 1、g由单摆所处的空间位置决定，在地球表面 上纬度不同，g不同，距地球表面的高度不同， g不同
2、摆球除受重力和拉力外还受其他力，但其他 力只沿半径方向，而沿振动方向无分力，这种 情况下单摆的周期不变。
②等效重力加速度 例.如图，一小球用长为L的细线系于与水平面成 α角的光滑斜面内，小球呈平衡状态。若使细线 偏离平衡位置，其偏角小于5o，然后将小球由静 止释放，则小球到达最低点所需的时间为多少？
o
α
L T 2 g sin
如图有一带电量为＋q的小球，用长为 L的绝缘 细线悬挂在匀强电场E中，匀强电场方向与重力方向 相同，当小球小角度摆动时，求摆动周期。（小球 半径为r，重力加速度为g）
单摆的等效摆长等效重力加速等效模型问题24页PPT
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
单摆的等效摆长、等效重力加速度、等效模型问题解读
3. 等效重力加速度g’由单摆所处的物理环境决定。 如图所示，单摆甲放在空气中，周期为T甲,单 摆乙带正电，放在匀强磁场中，周期为T乙, 单 摆丙带正电，放在匀强电场中，周期为T丙, 单 摆丁放在静止在水平面上的光滑斜面上，周 期为T丁,那么（ ）
A、T甲> T乙> T丙> T丁 B、T乙> T甲=T丙> T丁 C、T丙> T甲> T丁> T乙 D、T丁>T甲= T乙> T丙
一、单摆的概念
单摆是对现实摆的抽象 是一种理想化的物理模型
足够长
理 摆 足够轻不计质量
想线
单摆
化 的
不可伸长
条 件
足够小球的半
摆 径远小于线长
球
球小而重
（密度大）
2.单摆的运动
受T
力 分
析 mg
指向悬点
mgcosθ
θ
L
(提供向心力)
x mgsinθ 指向平衡位置
(提供回复力) mgsinθ
mgcosθ
3. 两个相同的弹性小球，分别挂在不能伸长 的细线上，两线互相平行．两小球的重心位于 同一水平线上，而且两球相互接触，第一个小 球的线长L1=1m，第二个小球线长 L2=0.25m），把第二个小球拉开一个不大的 角度后释放，它在4秒内和第一个小球共碰几次？
mg
结 (1)θ<50时,单摆是简谐运动. 论 (2)单摆振动的回复力是重力的一个
分力,不是重力和拉力的合力
二. 单摆的周期
T 2 L
g 单摆周期T与它们的关系
振幅A T与A无关
单摆的等时性
周期T
质量m
T与m无关
摆长L
摆长L越长 T越大
单摆的等效摆长等效重力加速等效模型问题
Aθ
L
B
0
L
C
一摆长为L的单摆,在悬点正下方5L/9处有 一钉子,则这个单摆的周期是:
可知:
L
T
L g
4L 9g
练习. 如图所示，摆长为L的单摆，原来的周期
为T。现在在悬点O的正下方A点固定一颗钉子，
OA=L/3，令单摆由平衡位置向左摆动时以A为
悬点作简谐振动，则这个摆完成一次全振动所
需的时间是
如图有一带电量为＋q的小球，用长为
L的绝缘细线悬挂在匀强电场E中，匀
强电场方向与重力方向相同，当小球
小角度摆动时，求摆动周期。（小球
半径为r，重力加速度为g）
E
解：单摆不摆动时 在平衡位置， 摆绳拉力 T=mg+Eq
等效重力加速度 g' T g Eq mm
则T 2
L g Eq
m
变形：若把匀强电场变为水平向右呢？
0
T 2 L g sin
等效重力加速度
一单摆的悬点处有一带正电q小球，悬挂的 小球也带正电q，摆长为L，小球半径可忽 略，求单摆做小角度摆动时的周期
+
分析：此时小球除去绳子拉力受重力和库仑
力，而库仑力方向不断变化！故不能应用所
述结论解题。应当考虑此时回复力的变化，
看系统的K的变化！
T 2 L
+
一、单摆的概念
单摆是对现实摆的抽象 是一种理想化的物理模型
足够长
理 摆 足够轻不计质量
想线
单摆
化 的
不可伸长
条 件
足够小球的半
摆 径远小于线长
球
球小而重
（密度大）
2.单摆的运动
受T
单摆中的等效
单摆中的等效单摆是一种简谐运动，其运动的周期公式为，关于单摆有如下等效问题：一、等效摆长例1如图1所示，三根细线于O点处打结，两根细线的另一端均固定在同一水平面上相距L 的A、B两点上，使△ABO成直角三角形，∠BAO=30°。
已知OC线长为L，下端C点系着一个小球，下列说法正确的是（）A．让小球在纸面内振动，其周期B．让小球在纸面内振动，其周期C．让小球在垂直纸面方向振动，其周期D．让小球在垂直纸面方向振动，其周期解析：让小球在纸面内摆动，在摆角很小时，单摆以O点为圆心，摆长为L，周期为：。
让摆球在垂直纸面内摆动，摆球以OC的延长线与AB的交点为中心摆动，摆长为；，周期为：。
故正确的选项为A。
点评：关于等效摆长的求解，首先是确定等效悬点，再求出等效悬点到摆球重心的距离。
二、等效重力加速度例2光滑斜面倾角为θ，斜面上有一辆挂有单摆的小车，如图2所示，在小车下滑过程中单摆同时摆动，已知摆长为L，求单摆作简谐运动的周期。
解析：单摆不摆动时，与小车相对静止一起沿斜面向下作加速运动，加速度为，悬线与斜面垂直，如图3所示，此时悬线拉力为：故单摆做简谐运动时的等效重力加速度故作简谐运动的周期为。
点评：关于等效重力加速度的求解，先确定等效平衡位置，再利用在等效平衡位置时，处于相对静止状态时悬线的拉力F求出等效重力加速度。
如单摆处于向上加速（或向下减速）及向下加速（或向上减速）的状态时，等效重力加速度。
三、等效运动例3如图4所示，将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从A、B、C三点同时由静止释放，最后都到达竖直面内圆弧的最低点D。
其中甲是从圆心A出发做自由落体运动；乙沿弦轨道从一端B到达另一端D；丙沿圆弧轨道从C点运动到D，且C点很靠近D点。
如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判断正确的是（）A．甲球最先到达D点，乙球最后到达D点B．甲球最先到达D点，丙球最后到达D点C．丙球最先到达D点，乙球最后到达D点D．甲球最先到达D点，无法判断哪个球最后到达D点解析：设圆的半径为R，甲球做自由落体运动，到达D点的时间为；乙沿弦轨道作加速运动，利用等时圆性质可得到达D点的时间为；丙沿圆弧轨道运动，其运动等效为单摆运动，到达D点时间为，它们三者的时间关系为t B＞t C ＞t A，则甲球最先到达D点，乙球最后到达D点，故正确的选项为A。
(完整word版)用等效法研究单摆的周期问题
用等效法研究单摆的周期问题单摆的周期公式为学生所熟知，若将单摆置于不同的环境中再来研究其周期问题，往往令学生感到茫然，若用等效方法研究单摆，可使学生对其认识深刻，化难为易。
一、求等效摆长所谓摆长意味着悬点到球心间的距离，同学们对下图中各摆等效摆长一看便知，迅速可得周期公式，分别为（注：摆球可看作质点）：，若等效摆长不易一眼看出，则应从数学角度计算。
图1 图2 图3例1. 由长度依次为L和2L的AC和BC两根细绳悬挂小球C，如图4所示，每根细绳跟竖直方向的夹角均为30°，当该小球向纸内外做微小摆动时，其摆动周期为___________。
图4简析：本题是一个双线摆问题，解决其周期，首先得确定其等效摆长，连接AB，然后过摆球C作竖直线交直线AB于O点，则OC为该摆的等效摆长，如图5所示，L”，故周期：图5二、求等效重力加速度原始的单摆模型在振动过程中回复力来源于重力的分量，要研究升降机中单摆的周期问题，必须从研究回复力着手，求出其等效重力，再求等效重力加速度g”，则。
例2. 在升降机中挂着一单摆，摆长为L，当升降机以加速度a匀加速上升的过程中，求单摆的振动周期T。
简析：单摆在摆动过程中，受重力和绳的张力F的作用，当升降机匀加速上升时，单摆一方面绕悬点振动，另一方面沿竖直方向作匀加速直线运动。
根据力的作用效果，将F分为三个力，如图6所示，在竖直方向上，F3与G的合力产生向上的加速度a，切线方向的F1使单摆返回“平衡”位置，产生切向加速度，F2沿摆线方向产生做圆周运动所需的向心加速度。
图6因为。
又因为F⊥F1，所以：当很小时，。
故单摆在加速上升的升降机中所受回复力与位移成正比，且方向相反，得。
单摆在升降机中摆动周期为：显然，我们称之为等效重力加速度，同理，若升降机以加速度a 匀加速下降，则：。
可见在升降机中加速上升（或加速下降），可以等效为重力加速度发生变化，只要求出等效重力加速度，则单摆的周期问题迎刃而解，现列举另外几种常见情形：（1）在水平加速运动的车厢内如图7所示，若将单摆悬挂于水平加速向左运动的车厢内，其平衡位置由O 变到了O”，等效重力加速度为，则振动周期为。
论单摆周期公式中“g”值的等效问题
电量为 ｑ，磁感应强度为 Ｂ，求该单摆的周期
着摆绳的方 向，当摆球在平衡位置保 持相对 静止时，摆球受到的外力中除去
解析 摆球在平 衡位置周围往 复运动 时，除了重力和拉力外，还将受到 所有 的始终沿着摆绳方向的力 ，剩余 的各力沿着摆绳方向的合力 Ｆ＝ｍｇ，ｇ ＝
洛伦兹力 的作用 ，而洛伦兹力 的方 向总 是沿着 摆线 的方向，摆球所受到的 ＝ｇ 。
图 ｌ
囝 ２
２．如 图 ３所示 ，求在匀加速上升的升 降机 内单摆 的周期 。 解析 设升降机匀加速上升的加速度 为 。，单摆的摆长为 Ｌ，摆球的质量 为 ｍ。当摆球在平衡位置保持相对静止 时，摆球受到 的力如 图 ３所示即摆线 的拉力 Ｔ和重力。摆球所受到的外力中除去所有 的始终沿着摆线方向的力，
剩余的各力沿着摆线方向的合力 Ｆ＝ｍｇ＋ｍａ，因此 ｇ ＝ ＝ｇ＋ａ，所 以单摆 的周 Ｉ１１
固 ３
圉 ４
圉
期Ｔ 、／ Ｖ古 。
综上所述 ，正确的解析：
３．如图 ４所示 ，单摆处在方 向垂直纸面 向里的磁场 中，已知摆球的带
摆球受到摆绳的拉力 Ｔ、重力 Ｇ和电场 力 Ｆ 。其中电场力 Ｆ 始终沿
笔 者 曾经 遇 到 这 样一 个 题 目： 如图 ５所 示为一单摆 ，摆绳长为 Ｌ，摆球的质 量为 ｍ，摆球带有正 电荷的
１．如 图 １所示，长 为 Ｌ的绝缘细线下端系～ 带电量为 ｑ、质量为 ｍ的 电量为 ｑ，在单摆 的悬 点处放有 一带电量为 Ｑ的正 电荷 ，试求这一单摆的周
小球 ，整 个 装 置 处 于场 强 为 Ｅ方 向竖 直 向下 的匀 强 电 场 中 ， 在 摆角 小 于 ５。 期 。
ｇｌ ＝—ｍｇ＋Ｅｑ＝ｇ＋堕 ，摆动的周期是 Ｔ＝２Ⅱ
应用应用等效法思维处理单摆周期问题
应用等效法思维处理单摆周期问题陕西省宁强县第一中学 雍兴惠在摆角很小时，单摆的振动可以看作是简单谐振动，其振动周期与摆球质量及振幅无关，周期公式为T=2L 是悬点到球心的距离（即摆长）；G 是单摆所在地点的重力加速度，即单摆静止在平衡位置时绳的拉力的平衡力（重力）产生的加速度。
在此理想单摆模型的基础上应用“等效思维”的方法可以求解各种单摆的类单摆问题的周期。
一、非竖直平面内的单摆例如1.如图1所示，一小球用长为L 的不可伸长细线系于与不平面成α角的光滑斜面内，在最大偏角θ很小的情况下，此单摆的振动是简谐振动。
当摆球静止在平衡位置时，细线拉力F T 的平衡力F=mgsina ，通过与竖直平面单摆的类比知其等效重力加速度g= F m =gsina ，故其振动周期T=2 二、非惯性参考系中的单摆周期公式T=2做小幅振动的情况，如果单摆处于做匀变速运动的非惯性参考系中，仍可类比竖直平面内的单摆，通过求解平衡位置（相对参考系静止的位置）时细线拉力的平衡力而得到等效重力加速度。
1. 参考系具有竖直方向的加速度时例2.在一升降机中有一摆长为L 的单摆，当升降机以加速度a 竖直向上匀加速运动时，如图2所示,平衡位置仍在悬点正下方,根据牛顿第二定律易知摆球静止在平衡位置时，摆线拉力F T 的平衡力F=mg+ma ，等效重力加速度g ＇=F m=g+a ，故其振动周期T =2同理知，当升降机以加速度a 减速上升时单摆振动周期T=22. 参考系具有水平方向加速度时例3.如图3所示，在沿水平路面向左匀加速行驶的车厢内有一单摆，当它做小幅振动时，平衡位置（相对车厢静止的位置）不在悬点正下方，根据受力分析知摆球静止在平衡位置时，摆线拉力F2的平衡力F 产生的等效重力加速度g ，=F M ，故此单摆的振动周期T=2 三、复合场中的单摆当摆球带上电荷q 而处于稳定的匀强电场中时，仍可采用等效思维的方法，把重力与电场（或磁场力）的合力等效为一个新的重力G ，，从而求出等效重力。
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单摆教学中的几个等效问题
魏自成
在物理问题中， 一个过程或一个状态的确定，往往由多个因素所决定，在这些因素中，有些或某一个因素是等效的，他们可以互相代替，而对过程中发展规律和状态的确定及最后结果无影响，这种研究问题的方法就是等效法。
尤其是一些问题，从正面分析求解时，演算冗长，计算复杂或超出中学数学知识范畴。
若用等效替代法，则能独辟路径，化繁为简，收到事半功倍的效果，本文以单摆为例，阐明存在的几个等效问题。
一、l 为等效摆长
例1、如图1、三根等长的绳L 1、L2、L 3匀的小球m ，球的直径为d ，L 1、L2、与天花板的夹角α＜30若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则振动周期T 1=
；若摆球在垂直于纸面的平面内小角度摆动，则振动的周
期T 2=
！
解析： 摆球在纸面内做简谐运动，O 1为L 1+d/2，周期T 1=
摆球做垂直于纸面的简谐振运动，摆动圆弧的圆心在O 点，所以等效摆长为L 1+L 2sin α+d/2,周期T 2=
例2、如图2、一双线摆两摆线长都是L 与水平天花板 夹角为α了，当摆球在垂直纸面内做简谐运动时，此摆周期T= 解析： 此悬点等效在O 点，摆长为l ,=α.从而T=
二、g 理解为等效加速度
例如单摆置于加速度为a 且匀加速上升的升降机中，处于超重状态，加速度g ’=
g
d L 2/21+π
g
d L L 2
/221++πg L /sin 2απA
B
M
L αo 图一
!
图二
(g+a),此时回复力切向分力视重为m(g+a),不论摆处于什么情况下，在其平衡位置 “产生”加速度可等 效为单摆的“重力”加速度，
例3、如图3 ，在倾角为α的光滑斜面上，有一摆长为l 的单摆，球的质量为m ，
当单摆运动时，求其周期。
解析： 小球在振动时，静止在o 点，所以其平衡位置是o 点，等效重力是（mg ）’=
Mgsina,等效加速度g ’=gsina,则单摆周期T=2π
例4 如图4 所示，光滑斜面倾角为θ了，斜面上有一挂有单摆的小车，在小车下滑过程中，单摆同时振动，已知摆长为l ，求单摆的振动周期。
解析： 小球若不摆动，随小车一起加速下滑，其平衡位置如图所示，悬线拉力
即视重T=mgscos θ,单摆做简谐运动时，等效重力加速度g ’= =gcos θ则小球周期
T=2π
三、模型的等效
￥
很多振子的振动，虽然不是单摆的真实振动，但有一些振动可以等效成单摆振动，振动规律与单摆振动规律是相同的。
例5 如图5 ，一个半径为R 的光滑圆形槽，O 点是弧形槽中最低点，半径R BOA
的弧长，一个球由静止从A 点开始释放，小球就在弧形槽内来回运动，求质点A 第一次到达O 点经历的时间。
解析：质点从A 点开始释放后，振子将左右来回振动，
由于AOB ＜R ，这样，满足单摆的条件θ＜5° 图五
支持力N 等效成绳的拉力T ，O ‘
点等效成单摆的悬点，半径R 等月效成单摆的摆长L 从而等效成单摆振动，则振动周期T=2π
a
g l sin /m
T
cos /g l o 'o
α
g
R /O P A
R B
O '
^
图三
图四
这样从A 点到O 点经历1/4周期，所以t=T/4= 2π =
作为一名教学工作者，在课堂教学中，要引导学生拓宽和深化知识，适时教出一些拓宽知识的专题和一些物理方法，逐步培养提高学生们的应变能力和思维发散的能力，这是素质教育赋予我们每一位物理教师一个责无旁贷的历史使命，虽然老师辛苦了一点，但学生们将受益匪浅，逐步提高学生应变能力，为物理教学由“应试教育”转变为“素质教育”做出贡献。
41g R 2 g
R。