exp5_2数学实验之二维插值
试验二 插值法(含实验报告格式)
试验二 插值法一、实验目的（1） 学会Lagrange 插值和牛顿插值等基本插值方法； （2） 讨论插值的Runge 现象，掌握分段线性插值方法；（3） 学会Matlab 提供的插值函数的使用方法，会用这些函数解决实际问题。
二、实验要求（1） 按照题目要求完成实验内容； （2） 写出相应的Matlab 程序；（3） 给出实验结果(可以用表格展示实验结果)； （4） 分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。
（5） 写出实验报告。
三、实验步骤1、用编好的Lagrange 插值法程序计算书本P66 的例1、用牛顿插值法计算P77的例1。
2、已知函数在下列各点的值为：试用4次牛顿插值多项式4()P x 对数据进行插值，根据｛(,),0.20.08,0,1,2,,10i i i x y x i i =+=｝，画出图形。
3、在区间[-1,1]上分别取10,2n =用两组等距节点对龙格函数21(),(11)125f x x x =-≤≤+作多项式和线性插值，对不同n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。
3、下列数据点的插值可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图。
（1）用这9个点作8次多项式插值8()L x。
附：试验报告格式样本（正式报告这行可删除）佛山科学技术学院实验报告课程名称数值分析实验项目插值法专业班级姓名学号指导教师黄国顺成绩日期月日一、实验目的1、学会Lagrange 插值、牛顿插值和分段线性插值等基本插值方法；2、讨论插值的Runge现象，掌握分段线性插值方法3、学会Matlab提供的插值函数的使用方法，会用这些函数解决实际问题。
二、实验原理1、拉格朗日插值多项式2、牛顿插值多项式3、分段线性插值三、实验步骤1、用MATLAB编写独立的拉格朗日插值多项式函数2、用MATLAB编写独立的牛顿插值多项式函数3、利用编写好的函数计算本章书本P66 的例1、用牛顿插值法计算P77的例1。
数学实验-二维插值
——（2）二维插值
实验目的
[1] 了解二维插值的基本原理，了解三 种网格节点数据的插值方法的基本思想； [2] 掌握用MATLAB计算二维插值的方法， 并对结果作初步分析； [3] 通过实例学习如何用插值方法解决 实际问题。
2013-7-17
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Gongqu
二维插值主要内容
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用MATLAB作插值计算
网格节点的插值计算；
散点数据的插值计算；
用MATLAB作插值计算小结
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网格节点数据的插值
例：测得平板表面3*5网格点处的温度 分别为： x
82 79 84 81 63 84 80 61 82 82 65 85 84 81 86
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引例1：如何绘制山区地貌图
要在某山区方圆大约27平方公里范围内 修建一条公路，从山脚出发经过一个居民区， 再到达一个矿区。横向纵向分别每隔400米测 量一次，得到一些地点的高程：(平面区域 0<=x<=5600,0<=y<=4800)，首先需作出该山 区的地貌图和等高线图。
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y
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x
引例2：船在该海域会搁浅吗？
在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给 出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200） *（-50，150）里的哪些地方船要避免进入。
实验二 二维插补原理及实现实验
实验二 二维插补原理及实现实验2.1 实验目的掌握逐点比较法、数字积分法等常见直线插补、圆弧插补原理和实现方法；通过利用运动控制器的基本控制指令实现直线插补和圆弧插补，掌握基本数控插补算法的软件实现。
2.2 实验原理直线插补和圆弧插补的计算原理。
数控系统加工的零件轮廓或运动轨迹一般由直线、圆弧组成，对于一些非圆曲线轮廓则用直线或圆弧去逼近。
插补计算就是数控系统根据输入的基本数据，通过计算，将工件的轮廓或运动轨迹描述出来，边计算边根据计算结果向各坐标发出进给指令。
数控系统常用的插补计算方法有：逐点比较法，数字积分法，时间分割法，样条插补法等。
2.2.1 逐点比较法直线插补逐点比较法是使用阶梯折线来逼近被插补直线或圆弧轮廓的方法，一般是按偏差判别、进给控制、偏差计算和终点判别四个节拍来实现一次插补过程。
以第一象限为例，取直线起点为坐标原点，如右图所示，m为动点，有下面关系：取F m = Y m X e − X m Y e 作为偏差判别式：若 F m=0，表明m 点在OA 直线上；若 F m>0，表明m 点在OA 直线上方的m′处；若 F m<0，表明m 点在OA 直线下方的m″处。
从坐标原点出发，当F m≧0 时，沿＋X 方向走一步，当F m<0，沿＋Y 方向走一步，当两方向所走的步数与终点坐标（X e,Y e）相等时，停止插补。
当F m≧0 时，沿＋X 方向走一步，则X m+1=X m＋1, Y m+1=Y m新的偏差为：F m+1=Y m+1X e- X m+1Y e=Y m X e-(X m＋1)Y e=F m-Y e当F m<0 时，沿＋Y 方向走一步，则X m+1=X m, Y m+1=Y m＋1新的偏差为：F m+1 =Y m+1X e- X m+1Y e=(Y m＋1)X e-X m Y e=F m＋X e其它三个象限的计算方法，可以用相同的原理获得，下表为四个象限插补时，其偏差计算公式和进给脉冲方向，计算时，X e,Y e 均为绝对值。
二维插值算法原理
二维插值算法原理二维插值算法是一种在二维空间中根据已知的数据点来估计未知位置上的数值的算法。
它广泛应用于图像处理、地理信息系统和数值模拟等领域。
其原理是基于数学上的连续性和局部平滑性假设，通过利用已知数据点的信息，对未知位置上的数值进行估计。
二维插值算法的基本思想是根据已知的数据点的数值和位置，构建出一个合适的数学模型。
对于每一个未知位置，通过模型可以预测其数值。
这个模型常常是一个多项式函数或者其它形式的连续函数，以便于能够在整个二维空间中插值。
其中最常见的二维插值算法是双线性插值。
双线性插值法假设每个未知位置上的数值都是由其相邻四个已知点的数值线性插值得到的。
具体而言，假设已知的四个点为A、B、C、D，它们的数值分别为f(A)、f(B)、f(C)、f(D)。
对于未知位置P，可以通过以下公式计算得到其数值f(P)：f(P) = (1 - u)(1 - v) f(A) + u(1 - v) f(B) + (1 - u)v f(C) + uv f(D)其中，u和v是分别表示未知位置在水平和垂直方向上的相对位置的权重。
这种方法实现简单，计算效率高，可以较为准确地插值出未知位置上的数值。
除了双线性插值之外，还有其它一些更复杂的二维插值算法，如三次样条插值、Kriging插值等。
这些算法在不同的应用场景下具有不同的优势。
例如，三次样条插值在处理光滑函数时效果较好，而Kriging插值则适用于处理具有空间相关性的数据。
选择适合的插值算法可以提高插值结果的质量。
在实际应用中，二维插值算法在处理图像、地理数据和模拟结果等方面具有重要意义。
通过插值算法，可以将有限的离散数据转换为连续的函数，从而对未知位置上的数值进行预测和分析。
同时，它也为数据的可视化提供了基础，使得我们能够更直观地理解数据的分布和变化规律。
总之，二维插值算法是一种有指导意义的数学工具，它通过在二维空间中根据有限的已知数据点估计未知位置上的数值。
二维离散点插值方法
二维离散点插值方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊超有意思的“二维离散点插值方法”。
就好比你画了一些孤立的点，就像天上的星星似的，然后你想要把这些点连起来，变成一幅完整的画，这时候二维离散点插值方法就派上用场啦！
比如说你在地图上标记了几个城市的位置，但是你想知道这些城市之间具体的地形情况呀，这时候用这个方法就能给你估算出来呢！它就像一个神奇的魔法棒，能把那些离散的点变得有意义起来。
再想一想，假如你收集了一些实验数据，是一些零散的点，那怎么才能知道整体的趋势呢？二维离散点插值方法就能帮上大忙啦！它能让你看到这些数据背后隐藏的规律，是不是超级厉害的！
我觉得呀，这个方法就像是给我们打开了一扇通往未知世界的门，让我们能更好地理解和探索那些看似杂乱无章的信息。
真的是太有用啦！
观点结论：二维离散点插值方法是一种非常有价值的工具，可以帮助我们处理离散的点信息，揭示背后的趋势和规律，值得我们深入学习和掌握。
1二维插值算法与实现
1二维插值算法与实现二维插值算法是一种在二维坐标系上进行插值的技术。
它可以根据已知数据点的值，在未知数据点上推断出一个逼近该值的估计值。
二维插值算法广泛应用于图像处理、地理信息系统、气象学等领域。
最常用的二维插值算法有线性插值和双线性插值。
线性插值算法在二维坐标系上根据已知数据点之间的线性关系进行推断。
双线性插值算法则利用已知数据点周围的四个最近邻数据点之间的线性关系，并根据权重进行加权平均来估计未知数据点的值。
下面将对线性插值和双线性插值算法的实现进行详细介绍。
1.线性插值算法实现：线性插值算法的思想是根据已知数据点之间的线性关系推断未知数据点的值。
假设有两个已知数据点(x1,y1)和(x2,y2)，目标是在这两个点之间的未知坐标(x,y)上估计一个值。
算法的步骤如下：- 计算坐标点x在已知数据点x1和x2之间的相对位置，即插值比例factor = (x - x1) / (x2 - x1)；- 通过线性关系计算该未知坐标上的估计值，即y = y1 + (y2 - y1) * factor。
线性插值算法的实现过程如下所示：```pythondef linear_interpolation(x1, y1, x2, y2, x):factor = (x - x1) / (x2 - x1)y = y1 + (y2 - y1) * factorreturn y```2.双线性插值算法实现：双线性插值算法是在二维坐标系上进行插值的技术，它利用已知数据点周围的四个最近邻数据点之间的线性关系来估计未知数据点的值。
假设已知数据点分别为(x1,y1,v1)、(x1,y2,v2)、(x2,y1,v3)和(x2,y2,v4)，目标是在未知坐标(x,y)上估计一个值。
算法的步骤如下：- 计算坐标点x和y在已知数据点x1、y1、x2和y2所构成的矩形区域内的相对位置，即插值比例factor_x = (x - x1) / (x2 - x1) 和factor_y = (y - y1) / (y2 - y1)；- 分别在x和y方向上进行线性插值得到两个估计值，即v_a = v1+ (v3 - v1) * factor_x 和 v_b = v2 + (v4 - v2) * factor_x；- 在v_a和v_b之间进行线性插值，得到在未知坐标上的估计值 v = v_a + (v_b - v_a) * factor_y。
二维插值算法原理
二维插值算法是一种用于在二维空间中估计未知数据点的方法。
它基于已知数据点的值和位置来推断未知数据点的值。
以下是常见的二维插值算法原理之一：双线性插值。
双线性插值是一种基于四个最近邻数据点进行估计的方法。
假设我们有一个二维网格，已知在四个顶点上的数据点的值和位置。
要估计某个位置处的未知数据点的值，双线性插值算法按照以下步骤进行：
1.找到目标位置的最近的四个已知数据点，通常称为左上、右上、左下和右下。
2.计算目标位置相对于这四个已知数据点的相对位置权重。
这可以通过计算目标位置到每个已知数据点的水平和垂直距离，然后根据距离来计算相对权重。
3.根据权重对四个已知数据点的值进行加权平均。
这里的加权平均可以使用线性插值进行计算。
4.得到目标位置的估计值作为插值结果。
双线性插值算法基于以下两个假设：
-在目标位置的附近，插值曲面在水平和垂直方向上是一致的，即呈现线性关系。
-已知数据点之间的变化不会很剧烈，即目标位置与附近已知数据点的值之间存在一定的连续性。
双线性插值算法是一种简单而有效的二维插值方法，适用于平滑、连续变化的数据。
但对于非线性、不规则的数据分布，或者存在边界情况的情况下，可能需要使用其他更复杂的插值算法来获得更准确的估计结果。
二维插值原理
二维插值原理二维插值原理介绍二维插值是一种常用于计算机图形学和数值分析领域的技术。
它可以根据已知数据，在一个二维网格上估算出未知位置的数值。
这在许多任务中非常有用，比如图像处理、地理信息系统和工程计算等。
在本文中，我们将深入探讨二维插值的原理和应用。
基本概念在介绍二维插值之前，首先需要理解一些基本概念。
离散数据离散数据是指在有限的数据点上给出的数据。
例如，在一个二维网格上，我们可以通过一组特定的坐标点来表示数据。
这些数据点之间的数值通常是未知的，需要通过二维插值技术来估算。
插值方法插值方法是一种通过已知数据点来估算未知位置的数值的技术。
在二维插值中，我们使用了各种方法，比如最邻近插值、双线性插值和三次样条插值等。
这些方法根据已知数据点的位置和数值来计算未知位置的数值。
最邻近插值最邻近插值是最简单和最基础的插值方法之一。
它的原理非常简单，只需要找到离未知位置最近的已知数据点，并将其数值作为插值结果即可。
步骤使用最邻近插值进行二维插值的步骤如下： 1. 根据已知数据点的位置和数值构建一个二维网格。
2. 对于每个未知位置的数据点，找到离其最近的已知数据点。
3. 将最近的已知数据点的数值作为插值结果。
优缺点最邻近插值的优点是简单和快速，计算成本较低。
然而，它的缺点是结果的平滑度较差，可能导致插值图像存在锯齿状的边缘。
双线性插值双线性插值是一种更精确的二维插值方法，它根据已知数据点之间的线性关系进行估算。
步骤使用双线性插值进行二维插值的步骤如下： 1. 根据已知数据点的位置和数值构建一个二维网格。
2. 对于每个未知位置的数据点，确定其在已知数据点之间的位置关系。
3. 根据位置关系以及已知数据点的数值，计算未知位置的数值。
优缺点双线性插值的优点是结果更平滑且更精确，相较于最邻近插值方法，插值图像的边缘更加光滑。
然而，它的计算成本较高，需要进行更复杂的数学运算。
三次样条插值三次样条插值是一种更复杂和更精确的二维插值方法，它可以通过已知数据点之间的三次多项式进行插值计算。
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某山区的地形图
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引例1：如何绘制山区地貌图
要在某山区方圆大约27平方公里范围内 修建一条公路，从山脚出发经过一个居民区， 再到达一个矿区。横向纵向分别每隔400米测 量一次，得到一些地点的高程：(平面区域 0<=x<=5600,0<=y<=4800)，首先需作出该山 区的地貌图和等高线图。
x y z x y z
129 140 103.5 88 185.5 195 105 7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 4 8 6 8 6 8 8 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5 9 9 8 8 9 4 9
注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简 单的插值是分片线性插值。
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2．分片线性插值
y
(xi, yj+1) (xi+1, yj+1) (xi, yj) (xi+1, yj)
x
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2．分片线性插值
四个插值点（矩形的四个顶点）处的函
xlabel('Width of Plate'), ylabel('Depth of Plate') zlabel('Degrees Celsius'), axis('ij'),grid, pause; zlin=interp2(width,depth,temps,wi,di,… 'cubic'); figure(3); mesh(wi,di,zlin) xlabel('Width of Plate'), ylabel('Depth of Plate') zlabel('Degrees Celsius'), axis('ij'),grid
注意：(x, y)当然应该是在插值节点所形成的矩形区 域内。显然，分片线性插值函数是连续的；
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3．双线性插值
y
(x1 y2) ,
(x2, y2)
(x1, y1) (x2, y1)
x
双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。 插值函数的形式如下： f ( x, y) (ax b)(cy d)
被插值点 的函数值 插值节点 插值函数参数 被插值点
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通常两程序是配合使用的。
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范例1:绘制山区地貌图
要在某山区方圆大约27平方公里 范围内修建一条公路，从山脚出发经过 一个居民区，再到达一个矿区。横向纵 向分别每隔400米测量一次，得到一些 地点的高程（网格节点）：(平面区域 0<=x<=5600,0<=y<=4800)，首先需作 出该山区的地貌图和等高线图。
-9 -4 -9];
plot(x,y,'+');
pause
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150
100
50
0
-50
-100 60
80
100
120
140
160
180
200
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[fnodes,a,rnw,b,c]=e01sef(x,y,z);
nx=100; px=linspace(75,200,nx);
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2．分片线性插值
第二片(上三角形区域)： y j1 y j y (x x i ) y i x i 1 x i 插值函数为： f ( x, y) f1 (f 4 f1 )( y y j ) (f 3 f 4 )( x x i )
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用MATLAB作散点数据的插值计算
方法一： z=griddata(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插值点 的函数值
插值节点
被插值点
注意：x0,y0,z0均为向量，长度相等。
Method可取 ‘nearest’,’linear’,’cubic’,’v4’; ‘linear’是缺省值。
4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0
0
2000
4000
0
2000
4000
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4200 4000 3800 3600 3400
4200 4000 3800 3600 3400
Y
3200 3000 2800 2600 1500 2000 X 2500
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用MATLAB作散点数据的插值计算
方法二： 修正Shephard法插值。已有程序 e01sef 和e01sff ，其调用格式为：
[fnodes, minnq, rnw,rnq, ifail]=e01sef(x, y, z)
插值函数参数 插值节点
[pf(i, j), ifail]=e01sff(x, y, z, rnw, fnodes, px(j), py(i))
figure(2),meshz(px,py,pf), rotate3d,pause
figure(3),surf(px,py,pf),
rotate3d,pause figure(4),contour(px,py,pf,[-5 -5]); grid,pause [i1,j1]=find(pf<-5); 图2到4: 利用网格 节点的x,y坐标向量 px，py及其对应的z 坐标矩阵pf,作出网 格线图和填充曲面图， 水深5英尺处海底曲 面的等高线
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范例1:绘制山区地貌图
分别用最近邻点插值、线性插 值和三次插值加密数据点，并分别 作出这三组数据点的网格图。
注意观察双线性插值方法和双三 次插值方法的插值效果的差异。
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4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0
或
再用
计算插值，即
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二维插值方法
网格节点插值法： 最邻近插值； 分片线性插值; 双线性插值； 双三次插值。 散点数据插值法：
修正Shephard法
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1．最邻近插值
y (x1, y2) (x2, y2) x
(x1, y1) (x2, y1)
y
试作出平板表面的温度分布曲面 z=f(x,y)的图形。
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网格节点数据的插值
二维插值:已有程序
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
插值 被插值点 被插值点 节点 插值方法 的函数值 Method可取： ‘nearest’ 最邻近插值；‘linear’ 双线性插值； ‘cubic’ 双三次插值；缺省时, 双线性插值。 注意：x0,y0为向量，但z0是矩阵，其 列数等于x0的长度，行数等于y0的长度。
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用MATLAB作插值计算
网格节点的插值计算；
散点数据的插值计算；
用MATLAB作插值计算小结
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网格节点数据的插值
例：测得平板表面3*5网格点处的温度 分别为： x
82 79 84 81 63 84 80 61 82 82 65 85 84 81 86
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x
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引例2：船在该海域会搁浅吗？
在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给 出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200） *（-50，150）里的哪些地方船要避免进入。
x y z x y z 129 140 103.5 88 185.5 195 7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 4 8 6 8 6 8 157.5 -6.5 9 107.5 -81 9 105 85.5 8
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范例2：船在该海域会搁浅吗？
假设：海底平滑
1.作出测量点的分布图； 2.求出矩形区域（75，200）*（-50，150）的 细分网格节点之横、纵坐标向量； 3.利用MATLAB中的散点插值函数求网格节点 的水深； 4.作出海底曲面图形和等高线图；
5.作出水深小于5的海域范围。
数值： f (xi, yj)=f1， f (xi+1, yj)=f2，
f (xi+1, yj+1)=f3，
第一片(下三角形区域)：
f (xi, yj+1)=f4
插值函数为： f ( x, y) f1 (f 2 f1 )( x x i ) (f 3 f 2 )( y y j )
已知 mn个节点 (xi, xj, zij) ( i=1, 2, …,m; j=1, 2, …, n )