人教版初三数学上册切线长定理.2切线长定理
人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理教案
在难点解析部分，我发现通证明过程有了更清晰的认识。但仍有学生反映在理解证明思路时感到困难。我考虑在下一节课中，引入更多的辅助手段，如动画演示或实物模型，来帮助学生们更好地理解几何证明的思路。
-证明思路：证明过程中涉及到的几何变换和逻辑推理对学生来说是难点。
-举例：在证明过程中，如何通过构造全等三角形和使用圆的性质来推导切线长定理。
-问题解决：学生在应用切线长定理解决具体问题时，往往难以找到合适的解题切入点。
-举例：在求解切线长或证明线段相等的问题时，学生可能不知道如何利用切线长定理来简化问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对切线长定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间观念：通过切线长定理的学习，使学生能够观察和理解几何图形，发展空间想象力，提高解决几何问题的能力。
2.提升学生的逻辑推理与证明能力：引导学生探索切线长定理的证明过程，训练学生运用逻辑推理、几何论证的方法，培养严谨的数学思维。
3.增强学生的解决问题能力：通过切线长定理在具体题目中的应用，让学生掌握解决问题的方法和策略，提高解题效率，形成良好的数学解题习惯。
人教版九年级数学上册《切线长定理,三角形的内切圆》课件
解得： x= 3cm
半径OA的长为3cm
一、判断
基础练习
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。
二、填空
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，APB50
连结PO，则 APO25 度。
A
OБайду номын сангаас
P
B
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
反思
A
在解决有关圆的切线长
问题时，往往需要我们
。
构建基本图形。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
思考 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I D
数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
（2）图中的直角三角形有 6 个，分别是
等腰三角形有 2 个，分别是
（3）图中全等三角形 3 对，分别是
（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长
为 3 3 cm，两切线的夹角等于 60 度
（5）如果PA=4cm，PD=2cm， A
试求半径OA的长。
x
E
OC D
P
B
PA 2O2AO2P
2
1、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有 一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别 交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周 长是否会因K点的变动而变化？为什么？
初中数学切线长定理(教师版)九年级数学上册同步精品讲义(人教版)
第26课切线长定理目标导航课程标准1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.知识精讲知识点01 切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.知识点02 切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.知识点02 三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即1Pr2S (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).考法01 切线长定理【典例1】如图，等腰三角形中，，．以为直径作⊙O 交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．求证：直线是⊙O 的切线.【答案与解析】如图，连结OD 、，则．∴． ∵ ，∴． ∴是的中点． ∵是的中点， ∴． ∵于F ． ∴．∴是⊙O 的切线． 【总结升华】连半径，证垂直.【即学即练1】已知：如图，在梯形 ABCD 中，AB ∥DC ，∠B=90°，AD=AB+DC ，AD 是⊙O 的直径．求证：BC 和⊙O 相切．ABC 6AC BC ==8AB =BC AB D AC G DF AC ⊥F CB E EFDFGCO B E ACD 90BDC ∠=︒CD AB ⊥AC BC =AD BD =D AB O BC DO AC ∥EF AC ⊥EF DO ⊥EF 能力拓展【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．【典例2】已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】连接OD．∵ OA=OD ，∴∠1=∠2．∵ AD ∥OC ， ∴∠1=∠3，∠2=∠4． 因此 ∠3=∠4．又∵ OB=OD ，OC=OC ，∴ △OBC ≌△ODC ． ∴∠OBC=∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°， ∴ DC 是⊙O 的切线．【总结升华】因为AB 是直径，BC 切⊙O 于B ，所以BC ⊥AB ．要证明DC 是⊙O 的切线，而DC 和⊙O 有公共点D ，所以可连接OD ，只要证明DC ⊥OD ．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC 和△OBC 的内角，所以只要证△ODC ≌△OBC ．这是不难证明的．【即学即练2】已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，设AD=，⑴如图⑴当取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵如图⑵当为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．【答案】（1）设AM 与⊙O 相切于点B ，并连接OB ，则OB ⊥AB ；在△AOB 中，∠A=30°， 则AO=2OB=4， 所以AD=AO-OD ， 即AD=2．x=AD=2.x xx（2）过O 点作OG⊥AM 于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=，∵∠A=30°∴OA=∴x=AD=2考法02 三角形的内切圆【典例3】已知四边形ABCD 中，AB∥CD，⊙O 为内切圆，E 为切点． （Ⅰ）如图1，求∠AOD 的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm ，DO=6cm ，求AD 、OE 的长；（Ⅲ）如图2，若F 是AD 的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO 的长．【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O 为四边形ABCD 的内切圆， ∴AD、AB 、CD 为⊙O 的切线， ∴OD 平分∠ADC，OA 平分∠BAD， 即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC， ∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（Ⅲ）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．考法03 与相切有关的计算与证明【典例4】已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【答案与解析】证明：（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（2）如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．分层提分题组A 基础过关练1．下列说法中，不正确的是( )A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等【答案】C【分析】根据三角形的内心的性质得出A、B、D正确；根据切线的判定定理得出C不正确；即可得出结果．【详解】由三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，故可知A正确；由三角形内心的概念，可知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部，故可知B正确；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故可知C不正确；由三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，可知三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故可知D 正确．故选C．【点睛】本题考查了三角形的内心与性质、切线的判定定理；熟练掌握三角形的内心性质与切线的判定定理是解决问题的关键．2．△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为（）A．12（a＋b＋c）r B．2（a＋b＋c）C．13（a＋b＋c）r D．（a＋b＋c）r【答案】A【分析】首先根据题意画出图，观察发现三角形ABC的内切圆半径，恰好是三角形ABC内三个三角形的高，因而可以通过面积S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC来计算．【详解】如图，可得S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12ABr+12BCr+12ACr=12（AB+BC+AC）r =12（a+b+c）r ，故选A.【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心．解决本题的关键是将求△ABC转化为求S△AOB、S△BOC、S△AOC．3．如图，点P在△O外，PA、PB分别与△O相切于A、B两点，△P=50°，则△AOB等于（）A ．150°B ．130°C ．155°D ．135°【答案】B 【详解】试题分析：根据切线的性质可得：△OAP=△OBP=90°，根据四边形的内角和定理可得：△AOB+△P+△OAP+△OBP=360°，则△AOB=360°－90°－90°－50°=130°． 考点：切线的性质、四边形的内角和4．如图所示，△O 的外切梯形ABCD 中，如果AD△BC ，那么△DOC 的度数为( )A ．70°B ．90°C ．60°D ．45°【答案】B 【分析】由于AD 、DC 、CB 都是△O 的切线，根据切线长定理知：△ADO=△CDO ，△DCO=△BCO ；而AD△BC ，则2△ODC 和2△OCD 互补，由此可求得△DOC 的度数． 【详解】△DA 、CD 、CB 都与△O 相切， △△ADO=△ODC ，△OCD=△OCB ； △AD△BC ，△△ADC+△BCD=180°；△△ODC+△OCD=90°，即△DOC=90°； 故选B ． 【点睛】此题主要考查的是切线长定理及平行线的性质，准确的确定角的关系是解题关键．5．如图，PA 是O ⊙的切线，切点为A ，，则O ⊙的半径为A ．1B.3C.2D.4 【答案】C【解析】解：连接AO ，则△OAP=90°，又因为△APO=30°，所以AO=1/2PO ，设AO=x ，则PO=2X ，根据勾股定理，(2X)² -X² =(23）² 解得x=2，即半径为2，故选C 。
人教版初三数学上册切线长定理.2.2.3切线长定理说课人教版
当堂检测，及时巩固 所学知识，教师引导 思路，学生独立完成
学生审题，思考利用 切线长定理求出∠ CBO 和 ∠ BCO 的 度 数，利用三角形内角 和定理解题。
从新知识出发， 呼应引课问题， 自然运用三角 形的内切圆概 念，性质，加 深学生理解数 学知识。
提升训练 3、已知：两个同心圆 PA、PB 是大圆的两条切线，PC、PD 是小 圆的两条切线，A、B、C、D 为切 点。 求证：AC=BD
A C
O·
（（ （（
D B
四、小结归纳 1．圆的切线长概念和定理； 2．三角形的内切圆及内心的概念
五、作业设计 作业：
理清题意，观察图形， 使初步运用切
结合题中条件思考解 线长定理，根据
题思路，综合运用定 题中关键条件，
理。
考虑所求，灵活
运用定理得出
解题方法，从而
P
解决问题. 通 过实例发现图
教师组织学生进行回 形性质，启发
的学习习惯， 学以致用，做一 点铺垫，初步建 立数学模型。
如图，三角形的三条角平分线交于一点，设交点为 I，那么 I 到 AB、AC、BC 的距离相等，因此以点 I 为圆心，点 I 到 BC 的距离 ID 为半径作圆，则⊙I 与△ABC 的三条边都相切．
教师引导学生将“三 角形的三条角平分线 交于一点，这点与三 边距离相等”和“圆 心与圆上各点距离都 等于半径”结合，理
例 1.
例 2.
归纳
切线长定理
教 学 反思
强反思，使学 生对知识的掌 握系统化 巩固深化提高
说教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、概念引入 这节课我们继续来研究切线. 1.角平分线的性质是什么？
24.2.2+第3课时++切线长定理+课件+2023-2024学年人教版数学九年级上册
∴AD＝BD， ∴△ABD 是等腰直角三角形，
∴ID＝AD＝
2 2
AB＝5
2
.
13．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB 是⊙O 的直
径，CO 平分∠BCD.
(1)求证：直线 CD 与⊙O 相切； (1)证明：过点 O 作 OE⊥CD 于点 E， ∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴r＝3，∴BE＝BC－EC＝8－6＝2.)
知识点 2 三角形的内切圆 5．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为 D，E，F，若∠DFE＝50°， 则∠C 的度数为__8_0_°.
6．如图，△ABC 的周长为 24，其内切圆⊙O 分别切三边于 D，E，F 三点， AF＝3，FC＝4，则 BE 的长为__5__.
10．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，AB＝AC＝10，BC＝12.则⊙O 的半径 为_3___.
11．如图，AB，AC 是⊙O 的两条切线，B，C 为切点，∠A＝50°，P 是⊙O 上异于 B，C 的一个动点，则∠BPC＝ 65°或 115° .
12．(教材第 124 页第 13 题改)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，I 为△ABC 的内心，CI 的延长线交⊙O 于点 D，连接 AD. (1)求证：DA＝DI； 解：(1)连接 AI，∵AB 为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵I 为△ABC 的内心，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD，BC 是⊙O 的切线，
由(1)得 CD 是⊙O 的切线， ∴ED＝AD＝1，EC＝BC＝2， ∴CD＝ED＋EC＝3， ∴DF＝ CD2－CF2 ＝ 32－12 ＝2 2 ， ∴AB＝DF＝2 2 ， ∴⊙O 的半径为 2 .
∴∠BAI＝∠CAI，∠ACD＝∠BCD＝∠BAD＝45°， ∵∠DAI＝∠BAD＋∠BAI，∠DIA＝∠ACD＋∠CAI， ∴∠DAI＝∠DIA，∴DA＝DI；
人教版九年级数学上册第24章第2节《切线长定理》优质课件
(1)PA=P；
连接AB以后，
(2)OA⊥PA,OB⊥PB；
还能得到哪些
(3)OP平分∠AOB和∠APB；
信息？
(4)OP垂直平分AB.
2.如图，⊙O内切于△ABC,交点分别为D、E、 A
F，你能得到哪些信息？
E
(1)AB⊥OD,BC⊥OF, AC⊥OE.
D .O
(2)AO、BO、CO分别平分∠A 、∠B和∠C.
C
BF
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
教学反思
本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续. 从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的 内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念， 经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识 和基本技能，并能解决简单的问题.
解：设△ABC的内心为O，连接OA、OB、 O则CS.△1122AABABCB=·rSB△12CBAOCAB·r+CS12r△ABC12Ol·rCr.+S△AOC
拓展延伸
7.如图，AB、BC、CD分 别与⊙O相切于E、F、G 三点，且AB∥CD，BO＝ 6cm，CO＝8cm，求BC的 长.
解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，
A
CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC,可得
E
F.
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂演练
基础巩固
1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，
CA，AB分别相切于点D，E，F，且 AB=11cm，BC=14cCm，CA=13cm，则
人教版九年级数学课件-切线长定理
即 1AC•BC1AC•r1BC•r1AB•r ，所以 r 1 AC BC AB ，代入數據
2
222
2
得r=1cm.
方法小結：直角三角形的外接圓半徑等於斜邊長的一半，
內接圓半徑
r abc 2
.
（2）若移動點O的位置，使⊙O保持與
A
△ABC的邊AC、BC都相切，求⊙O的半徑r
的取值範圍.
D
24.2 直線和圓的位置關係
第3課時 切線長定理
學習目標
1.掌握切線長定理，初步學會運用切線長定理進行計算 與證明.（重點）
2.瞭解有關三角形的內切圓和三角形的內心的概念. 3.學會利用方程思想解決幾何問題，體驗數形結合思想. （難點）
問題1 上節課我們學習了過圓上一點作已知圓的切線（如
左圖所示），如果點C是圓外一點，又怎麼作該圓的切線
⑵ ∠DOE= 70°. P
DA
C
O
E B
例2 △ABC的內切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切於點D、
E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE
的長. A
想一想：圖中你能找出哪些相等的線段？
理由是什麼？
F
解:設AF=xcm，則AE=xcm.
E O
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
2
總結歸納
設Rt△ABC的直角邊為a、b，斜邊為c，則Rt△ABC
的內切圓的半徑 r＝ a＋b－c 2
ab
或r＝ a＋b＋c
當堂練習
1.如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點分別是A、B，如
果AP=4, ∠APB= 40 ° ,則∠APO=20 ° ,PB=4 .
人教版九年级上数学课件切线长定理PPT
2020年人教版九年级上数学课件 24.2.2 第3课时切线长定理
拓展结论 A
PA、PB是⊙O的两条切线，A、
B为切点，直线OP交⊙O于点D、 E O C D
P
E，交AB于C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
B
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP.
（2）写出图中与∠OAC相等的角；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. （3）写出图中所有的全等三角形；
B
2020年人教版九年级上数学课件 24.2.2 第3课时切线长定理
A
D
F
I
┐ E
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
⊙O是△ABC的内切圆， 点O是△ABC的内心， △ABC是⊙O的外切三角形.
C
2020年人教版九年级上数学课件 24.2.2 第3课时切线长定理
填一填：
名称
外心：三 角形外接 圆的圆心
2020年人教版九年级上数学课件 24.2.2 第3课时切线长定理
例1 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B是切点，在弧 AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、
E.已知PA=7，∠P=40°.则 ⑴ △PDE的周长是 14 ；
⑵ ∠DOE= 70°. P
DA
C
O
E B
2020年人教版九年级上数学课件 24.2.2 第3课时切线长定理
2020年人教版九年级上数学课件 24.2.2 第3课时切线长定理
三角形的内切圆及内心
一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用
料，使截出的圆与三角形各边都相切呢？
A
A
B
C
B
C
2020年人教版九年级上数学课件 24.2.2 第3课时切线长定理
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24.2 切线长定理
［活动3］应用新知 加深理解
例1如图：过O O 直径AB 端点分别作
AE 、BF 切O O 于 A 、B, EF 切O 0于 G 求证：OEL OF
师生共同归纳基本图形 和定理拓展作用
教师关注：
(1) 学生能否敢于发表自 己的见解
(2) 学生能否证明结论并 且准确叙述进一步明确 定理的作
用
(3) 学生是否有反思自己 思维过程或他人解决问 题思路的
习惯
问题与情境
师生行为
设计意图
教师提出问题
学生思考并解决问题，回 答思路
教师选取几名学生证明 过程投影并订正
学生解决问题的过程 中应用定理加深对定 理作用的体会并树立 解决问题的信心，订 正几名学生证明过程 能反馈学生掌握知识 情况及对其他学生的 示范。
2.已知：PA PB 分别切O 0于A 、B , CD 切O O 于 E,PO=13,AO=5,贝U
△ PCD 周长为 ____________
通过归纳基本图形和 定理的拓展作用做到 对定理的进一步理解 和更好的应用。