详细版可逆矩阵.ppt
合集下载
§2.3 可逆矩阵
可逆， 所以λ A可逆， 且（ λ A ) − 1 =
λ
1
λ
A −1
AB可逆
性质2.3.3 性质 性质2.3.4 性质
若同阶矩阵A 均可逆,则 也可逆， 若同阶矩阵 ,B 均可逆 则 AB 也可逆，且 ( AB ) −1 = B −1 A−1 .
− 可逆， 也可逆， 若A可逆，则 AT 也可逆，且（ AT）1 = ( A−1 )T .
预 习： §2.4 分块矩阵及其运算 §2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 §2.6 矩阵的秩
*14(1) 例3
1 1 , Λ = 4 例3 P = 0 1 − 5 AP = PΛ , 求 A n。
0 , − 2
3 1 A= 5 − 1 ,
解： A = PΛP −1 ⇒ A 2 = PΛP −1 PΛP −1 = PΛ2 P −1= AE依据Fra bibliotekP10,
P16,
P17
性质1.2.2 (展开定理 行列式等于它的任意一行（列）的各 展开定理) 性质 展开定理 行列式等于它的任意一行（ 元素与其对应的代数余子式乘积之和， 元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + ⋯⋯ + a in Ain
要解决的问题： 要解决的问题： 1.方阵满足什么条件时可逆 方阵满足什么条件时可逆? 方阵满足什么条件时可逆 2.可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时
可逆概念 结束
2.3.2 方阵可逆的充要条件
伴随矩阵
定义2.3.2 设n 阶方阵 A = ( aij ) ,元素 ij在|A|中的代数余子 元素a 元素 中的代数余子 式为 Aij ,(i , j = 1,2 , ……, n) . 则矩阵
λ
1
λ
A −1
AB可逆
性质2.3.3 性质 性质2.3.4 性质
若同阶矩阵A 均可逆,则 也可逆， 若同阶矩阵 ,B 均可逆 则 AB 也可逆，且 ( AB ) −1 = B −1 A−1 .
− 可逆， 也可逆， 若A可逆，则 AT 也可逆，且（ AT）1 = ( A−1 )T .
预 习： §2.4 分块矩阵及其运算 §2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 §2.6 矩阵的秩
*14(1) 例3
1 1 , Λ = 4 例3 P = 0 1 − 5 AP = PΛ , 求 A n。
0 , − 2
3 1 A= 5 − 1 ,
解： A = PΛP −1 ⇒ A 2 = PΛP −1 PΛP −1 = PΛ2 P −1= AE依据Fra bibliotekP10,
P16,
P17
性质1.2.2 (展开定理 行列式等于它的任意一行（列）的各 展开定理) 性质 展开定理 行列式等于它的任意一行（ 元素与其对应的代数余子式乘积之和， 元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + ⋯⋯ + a in Ain
要解决的问题： 要解决的问题： 1.方阵满足什么条件时可逆 方阵满足什么条件时可逆? 方阵满足什么条件时可逆 2.可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时
可逆概念 结束
2.3.2 方阵可逆的充要条件
伴随矩阵
定义2.3.2 设n 阶方阵 A = ( aij ) ,元素 ij在|A|中的代数余子 元素a 元素 中的代数余子 式为 Aij ,(i , j = 1,2 , ……, n) . 则矩阵
线性代数PPT课件：矩阵 第3节 逆 矩 阵
2 A A 2 E O 证明 例5 设方阵 A 满足
A 及 A 2E 都可逆，并求
例6
A
1
及 ( A 2E ) .
1
设
4 2 3 A 1 1 0 , 1 2 3
AB A 2 B,
求 B.
例7 用逆矩阵求解线性方程组的解.
2 x1 x2 x3 4, x1 2 x3 4, 3x x 3x 2. 3 1 2
问题．
2.3.4 矩阵可逆的充要条件
定理2.3.1 如果 n 阶方阵Ａ可逆，则它的
逆矩阵是唯一的．
由定理2.3.1知，如果 A 是可逆矩阵，则有
detA 0， 那么，反过来是否成立呢？为了回
答这个问题，先引入伴随矩阵的定义．
定义 2.3.2 n 阶方阵 A 的行列式 detA 的各
个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下方阵
2.3.5 举例
例2 求二阶矩阵
a b A c d
的逆矩阵.
“两调一除 ”法
求二阶矩阵的逆矩阵可用 “两调一除 ”的方法 , 其方法是 : 先将矩阵 A 中的主对角线上的 元素调换位置 , 再将次对角线上的元素调换其符号 , 最后用 |A| 去除 A 的每一个元素 , 即可得 A 的逆矩
例1
设
3 1 1 1 A 2 1 , B 2 3 ,
验证 B 是否为 A 的逆矩阵．
2.3.3 可逆矩阵的性质
设 A, B, Ai (i = 1, 2, …, m) 为 n 阶可逆方阵，
k 为非零常数，则
A-1, kA, AB, A1A2…Am , AT 也都是可逆矩阵，且 (1) (A-1)-1 = A; (2)
可逆矩阵与逆矩阵PPT精选文档
16
1 0 1
例1.
设
A
2
1
0
,
求A 的伴随矩阵.
解:
3 2 5
10
A11 2
5 5
01
A21 2
2 5
01
A31 1
1 0
20
11
11
A12 3
10 5
A22 3
2 5
A32 2
2 0
21
A13 3
7 2
10
A23 3
2 2
10
A33 2
1 1
17
A*
第三节 n阶方阵的行列式
1、定义：设 A = ( aij )n×n 为 n阶方阵 . 由A 中
所有的元素按它们在 A 中的排列位置构成的
n阶行列式称为方阵A 的行列式, 记作 A 或
det A, 即
a11 a12 L a1n
A
a21 a22 L a2n
MM
M
an1 an2 L ann
1
注： 方阵与行列式的区别
a an n1 1A n a1 n 2 a n 2 A an n2 n A1n a A n 2nA n n A A n nn
A
O
O
A
A
,
A
19
所以 AA* AE, 同理 A*A AE,
故有
AA*A*AAE,
当 A 0 时，我们有
A A 1 A* A 1 A*AE.
从而A可逆, 且 A 1 1 A* . A
方阵与行列式是两个不同的概念，
n 阶方阵是 n2 个数按一定方式排成的
数表. 而 n 阶行列式是按行列式的定义 所确定的一个数．要清楚两者的含义 及记号的区别.
1 0 1
例1.
设
A
2
1
0
,
求A 的伴随矩阵.
解:
3 2 5
10
A11 2
5 5
01
A21 2
2 5
01
A31 1
1 0
20
11
11
A12 3
10 5
A22 3
2 5
A32 2
2 0
21
A13 3
7 2
10
A23 3
2 2
10
A33 2
1 1
17
A*
第三节 n阶方阵的行列式
1、定义：设 A = ( aij )n×n 为 n阶方阵 . 由A 中
所有的元素按它们在 A 中的排列位置构成的
n阶行列式称为方阵A 的行列式, 记作 A 或
det A, 即
a11 a12 L a1n
A
a21 a22 L a2n
MM
M
an1 an2 L ann
1
注： 方阵与行列式的区别
a an n1 1A n a1 n 2 a n 2 A an n2 n A1n a A n 2nA n n A A n nn
A
O
O
A
A
,
A
19
所以 AA* AE, 同理 A*A AE,
故有
AA*A*AAE,
当 A 0 时，我们有
A A 1 A* A 1 A*AE.
从而A可逆, 且 A 1 1 A* . A
方阵与行列式是两个不同的概念，
n 阶方阵是 n2 个数按一定方式排成的
数表. 而 n 阶行列式是按行列式的定义 所确定的一个数．要清楚两者的含义 及记号的区别.
高中数学第四章逆变换与逆矩阵4.4可逆矩阵与线性方程组全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课
10 3
10
5 1
10
1
5 3
10
9/13
这么
2
x y
M 113
5 1
10
1
5 3
10
13
11
即方程解为
x 1
y
1
10/13
堂上练习 利用逆矩阵解二元一次方程组
1150xx49yy1203
1xy
11 12
25xx3 yy
36 4
2xy
8 4
32xx
3y 5y
15 1
可逆矩阵表示变换是一一对应 反射、压伸、切变、旋转等变换都是一一对应
7/13
ax by e cx dy f 利用向量表示二元一次方程组
a c
b d
x y
e f
令
M
a c
b d
,
x
x y
,
α
e f
上式可写成
Mx =
解方程组问题就能够用映射观点了解为: 给定矩阵M和向量,求向量x,使得 Mx =
逆时针旋转90°
x
顺时针旋转90°
x x
从几何上可知 x=M-1
3/13
知道M有逆矩阵M-1=
0 1
10
对于向量
x y
M
x y
α
31
M
1α
M
1 M
M
x y
M
1 M
x y
x y
x y
M
1α
0 1
10 31 13
4/13
抽象概括 定理 给定可逆矩阵M和向量,则存在唯一向 量 x = M-1 , 使 Mx =
线性代数课件逆矩阵重点精讲.ppt
则有 HH
1
A O
B C
X X
11 21
X 12 X 22
E
HH 1 OA
B C
X X
11 21
X 12 X 22
E
即
AX11 CX
B
21
X21
AX12 CX
BX22
22
E O
O E
AX11 BX 21 E AX12 BX22 O
CX 21 O
CX 22 E
X11 A1 AXX1212AB1CBC1 1
2A2 A 2E E E
且 ( A E)(2A E) 2A2 A 2A E
2A2 A 2E E E
故2A+E可逆，且(2A E)1 A E
逆矩阵的运算公式： 1、若A可逆，则 AA1 A1A E 2、若A可逆，则 ( A1 )1 A 3、若A可逆，则 A 可逆，且 ( A)1 ( A1 ) 4、若A可逆，数k 0, 则 kA可逆，且(kA)1 1 A1
因为当 Anm 时， Bmn AB为n阶方阵，AB有可能可逆， 但A-1和 B-1没意义
判断题： 1、若A、B都是可逆矩阵，则A+B也是可
逆矩阵。×
2、若AB是可逆矩阵，则A、B也都是可逆
矩阵。× （因为A、B有可能都不是方阵）
3、若n阶方阵AB是不可逆矩阵，则A、B
中至少有一个是不可逆矩阵。√ 4、若A是可逆矩阵，且AX=AY，则X=Y√
（2）A、B互为逆矩阵。即若 A1 B 则 B1 A
（3）若A可逆，则其逆矩阵是唯一的
( 因为若B、C都是A的逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E
于是 B =BE=B(AC=)(BA)C=EC=C ）
第四次课 矩阵的运算可逆矩阵-推荐精选PPT
可见，A的逆矩阵是唯一的.
2021/6/24
11
复习
矩阵的转置
➢: (AB)TBTAT
方阵取行列式
➢: | kA | k n | A | （ A是n阶方阵） ➢: 设 A, B同为n阶方阵，则有| AB || A || B |。
可逆矩阵
➢: A A 1 A 1 A E
2021/6/24
12
三、方阵可逆的充要条件
1、 Def：设 A aij nn为n阶矩阵，Aij是元素aij的
代数余子式 i, j 1,2, ,n，则称矩阵
A11 A21
A12
A22
A1n
A2n
An1
An
2
Ann
代数余子式 的转置矩阵
为矩阵 A的伴随矩阵，记为 A*（读作 A的伴随）。
adjoint matrix
2021/6/24
2021/6/24
5
4、反对称矩阵 anti-symmetric matrix
Def：方阵 A，如果 AT A，
即a ji aij , i, j 1, 2, , n，称矩阵 A为反对称矩阵。
元素以主对角线为对称轴互为相反数
：j i a i i a i i a i i 0
例2
当 A为方阵时，证明 A AT 为反对称矩阵.
A 0
0
0
A
0
A
E
0
0
A
同理可得： A* A A E ,从而： AA* A* A A E
2021/6/24
15
3、定理1： n阶矩阵 A可逆的充要条件是 A 0。且 A1
1
A* 。
证明
| A|
必要性 设方阵 A可逆，存在同阶方阵B，满足公式 AB BA E ，得 A B 1 0，故 A 0。 法
2021/6/24
11
复习
矩阵的转置
➢: (AB)TBTAT
方阵取行列式
➢: | kA | k n | A | （ A是n阶方阵） ➢: 设 A, B同为n阶方阵，则有| AB || A || B |。
可逆矩阵
➢: A A 1 A 1 A E
2021/6/24
12
三、方阵可逆的充要条件
1、 Def：设 A aij nn为n阶矩阵，Aij是元素aij的
代数余子式 i, j 1,2, ,n，则称矩阵
A11 A21
A12
A22
A1n
A2n
An1
An
2
Ann
代数余子式 的转置矩阵
为矩阵 A的伴随矩阵，记为 A*（读作 A的伴随）。
adjoint matrix
2021/6/24
2021/6/24
5
4、反对称矩阵 anti-symmetric matrix
Def：方阵 A，如果 AT A，
即a ji aij , i, j 1, 2, , n，称矩阵 A为反对称矩阵。
元素以主对角线为对称轴互为相反数
：j i a i i a i i a i i 0
例2
当 A为方阵时，证明 A AT 为反对称矩阵.
A 0
0
0
A
0
A
E
0
0
A
同理可得： A* A A E ,从而： AA* A* A A E
2021/6/24
15
3、定理1： n阶矩阵 A可逆的充要条件是 A 0。且 A1
1
A* 。
证明
| A|
必要性 设方阵 A可逆，存在同阶方阵B，满足公式 AB BA E ，得 A B 1 0，故 A 0。 法
2-5逆矩阵PPT课件
可改写为 XA + X(2E) = B, 即 X(A+2E) = B ,
其中 A 2E 3 2, 该矩阵可逆，其逆
1 1
1 2
( A 2E )1 1 1 51
2 3
5 1
5 3
.
5 5
2
故
X
B(
A
2E
)1
1
2
3 1 2
1
5 1
5
2
5 3
5
1 0 0
1 1 . 2
推论2 若A, B都是方阵，且满足AB = E (或 BA=E )，则A可逆，且A-1 = B .
证 由AB = E 得 |A||B| = 1, 于是|A|≠0，A可逆； 则A-1存在，又 B = EB = (A-1 A)B = A-1E = A-1.
推论2说明，在验证B是否为A的逆矩阵时，只 需验证一个等式AB = E 或BA=E 即可, 但注意A, B 须是方阵的前提下才能如此验证.
0 0 4 2
求
例3 A-1,
设A
B-1 .
1 0 0
3 0 0
0 1 2
0 11
,
B
0 3 1
0 1 0
5 0 0
2
0 0
解 把A, B分块化为分块对角阵：
1
A
1 0 0
2 3 0 0
0 0 1 2
0 0 11
A11 0
0 A22 ,
而
A1 11
|
1 A11
|
A* 11
1 5
二、可逆矩阵的判定及其求法
1、伴随矩阵法
定义4 设A (aij )为n阶矩阵，Aij为行列式 | A |
§1.5可逆矩阵
1 2 1 1 2 1
0 1 3 0 1 3
A21 A22 A23
求A 1
2.公式法：
A
1
1 * A A
1 1 0 0 1 1 2, 0 1 3
5 3 1 1 * 1 1 A A 3 3 1 . A 2 1 1ห้องสมุดไป่ตู้1
作业：P40 18, 19（1），21，22
三、简单的矩阵方程
其中，A，B，C已知 当A，B可逆时，它们有唯一解 ：
(1) AX B ( 2) XA B ( 3) AXB C
X BA X A CB
X A1 B
1
1
1
例 3 若 A BA C , 求 B ,
1.定义法：
AB I .
A
1
2.公式法：
1 * A . A
AA A A AI 三.
课堂习题
2 1 1. 4 3
1
1
2 0 0 2. 0 3 0 0 0 1
A
1
1 * A . A
3.初等变换法：
2.1节学习
例 1 若方阵 A 可逆，试证 A*也可逆，并求(A*)-1.
A0 解 A* A A I 又 A可逆，
1 两边同除 A，得A A I A
*
1 得 A 可逆，( A ) A. A
*
* 1
1.定义法：
AB I .
例 2 设方阵 A 满足方程 A2 A 2 I 0, 证明
注 1 逆矩阵是一种对称的相互关系；
注 2 逆矩阵是唯一的；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
b2
AX B.
ann
xn
bn
a1n
a2n
,
ann
x1
X
x2
,
xn
b1
B
b2
.
bn
高等代数
问题的提出：
n n 的线性方程组 AX B 是否可以象一元一次代
数方程 ax b 一样求解?
对方阵A是否存在矩阵A1, 使 A1A I 即:
若是，则AX B有唯一解X A1B
一、可逆矩阵的概念 二、可逆矩阵的判定、求法 三、逆矩阵的运算规律 四、矩阵方程
高等代数
回忆
a11x1 a12 x2 ...a1n xn b1,
.a..2.1.x.1......a..2.2.
x2 ...a ............
2n
....
xn ...
b2 .....
,
an1x1 an2 x2 ...ann xn bn ,
由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵
都是可逆的，且：
E 1 i, j
Ei, j
Ei
(k ) 1
Ei
(
1 k
)
Ei, j (k)1 Ei, j (k)
高等代数
定理2.4.4 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可以 经过初等变换化为单位矩阵 定理2.4.5 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可 写成初等矩阵的乘积
又 | A | 0,
A* A* A AI
| A| | A|
所以,A可逆,且
A1 1 A* | A|
注:1)此定理适用于低阶(2或3阶)矩阵的求逆.
2)此定理在理论推导中非常有用.
3)阶数较高的矩阵求逆,我们要寻求新的方法.
高等代数
伴随矩阵
a11
定义
设
Aij
是矩阵
A
a21
a12
a22
4
0
4 .
A13 A23
|
A*
1 4
4
5
3 0 1
1 4
3 4
1
3
5
3 4 0 1
1
4
1 .
3
4 4 4
高等代数
逆矩阵的性质
定理2.4.2 若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 证明 若B、C都是A的逆矩阵，则
AB BA I, AC CA I.
高等代数
求逆矩阵方法一：伴随矩阵法
定理
方阵A可逆的充要条件是 | A | 0 ,且可逆矩阵A的逆矩阵为
A1 1 A* A
A* 称为 A 的伴随矩阵.
证明: " ": 若A可逆,有 AA1 A1A E
两边取行列式,得 | A|| A1 || A1A| E 1
从而 | A| 0
高等代数
" ": AA* A* A | A | I.
A1 1 A* A
1 2
4 3
2
1
2
3
2
1
1
2
(2) B 0.故B不可逆
高等代数
1 2 3
例2
求矩阵A的逆矩阵，其中
A
2
1
2
.
1 3 3
123
解 | A | 2 1 2 4 0, A可逆.
133
A11
(1)11
1 3
2 3
3,
A12
(1)12
2 1
2 3
4,
A13
(1)13
于是 B BI B(AC) (BA)C IC C. 性质2 若A可逆，则 A1 可逆，且 ( A1 )1 A.
事实上，这由等式 AA1 A1A I ，可以直接推出.
高等代数
矩阵求逆运算规律 性质1 若A可逆，则 A1 可逆，且 ( A1 )1 A.
高等代数
性质2 两个n阶可逆矩阵A、B的乘积AB可逆且
高等代数
A21 A11
性质3 可逆矩阵A的转置矩阵可逆，且
( A' )1 ( A1)'
证 A(A1) (AA1) I I ,
(A1)A (A1A) I I,
(A)1 (A1).
性质4
(kA)1 1 A1 ; k
性质5
|A1| 1 ; |A|
高等代数
可逆矩阵与初等矩阵的关系
an1 an2
中元素 aij 的代数余子式，矩阵
a1n a2n ann
A11
A*
A12
A21 A22
An1 An2
A1n A2n Ann
高等代数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
解:
(1)
A
1 3
2 4
;
1 2 3 (2)B 4 5 6
3 3 3
(1) A 2 0. 故A可逆，
高等代数
可逆矩阵
一.可逆矩阵的定义： １.定义： 设A是数域P上n阶矩阵,若存在n阶矩阵B,使
AB BA E
那么称A为可逆矩阵,而B叫做A逆矩阵,记为A-1
可逆矩阵也叫做非奇异矩阵或非退化矩阵 注：⑴可逆矩A 阵一定是方阵，并且它的逆矩阵是与它同阶
Pn nB
的方阵。 ⑵可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的。
( AB)1 B1 A1.
证明 由于
( AB)(B1A1) A(BB1) A1 ( AI ) A1 AA1 I ,
(B1A1)(AB) B1(A1A)B B1(IB) B1B I , 故AB可逆，且 ( AB)1 B1 A1.
一般地， ( A1 A2
As )1
A A 1 1 s s1
高等代数
例如
1 0 1 0 A 1 1 , B 1 1 ,
1 0 1 0 1 0 AB 1 1 1 1 0 1 I,
BA
1 1
0 1 1 1
0 1
1 0
0 1
I
.
矩阵A,B互为可逆矩阵
高等代数
矩阵可逆的条件
现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆 的？ 如果 A 可逆，怎样求 A-1 ？ 为此先引入伴随 矩阵的概念.
高等代数
求逆矩阵方法二：初等变换法
当 A 0时，由 A P1P2 Pl，有
Pl
1
Pl
1 1
P11
A
I,
及
Pl1
Pl
1 1
P11
I
A1 ,
Pl1
P 1 l 1
P11
A
I
Pl1
P 1 l 1
P11
A
Pl1
P 1 l 1
P11
I
I A1
a11x11 a12 x12
a21
x21
a22 x22
an1xn1
an2 xn2
a1n x1n b1
a2n
x2n
b2
ann
xnn
bn
高等代数
a11 a12
a21
a22
an1
an2
a11 a12
A
a21
a22
an1 an2
a1n x1 b1
a2n
x2
2 1
1 5,
3
A21
(1)21
2 3
3 3
3,
A22
(1)22
1 1
3 0,
3
A23
(1)23
1 1
2 1,
3
A31
(1)31
2 1
3 2
1
, A32
(1)32
1 2
3 2
4, A33
(1)33
1 2
2 3.
1
高等代数
A11 A21 A31 3 3 1
A* A12
A 22
A32