广西蒙山县蒙山中学2020-2021学年高二4月网站在线考试数学(理)试题
广西壮族自治区蒙山中学2020学年高二数学下学期第一次月考(无答案)
广西壮族自治区蒙山中学2020学年高二下学期第一次月考（数学）一、选择题（每小题5分，共60分）1、某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为A 、15，5，25B 、15，15，15C 、10，5，30D 、15，10，202、有5名高中毕业生报考大学，有3所大学可供选择，每人只能填一个志愿，不同的报名方案的种数A 、35AB 、35C C 、53D 、35 3、6)2(-x 展开式中第4项是A 、3160xB 、3160x -C 、2240xD 、2240x -4、用1、2、3、4四个数字组成有重复数字的四位数，其个数是A 、265个B 、232个C 、128个D 、24个 5、从装有10个大小相同的球（4个红球、3个白球、3个黑球）的袋中任取2个，则取出两个同色球的概率是A 、154 B 、51 C 、31 D 、52 6、某年级有6个班级，现派3名教师任教，每人教2个班，不同的分配方法有 A 、2426C C B 、332426A C C C 、33222426A A C C D 、242621C C 7、5名学生站成一排，甲不能站两端，乙不能站正中间，则不同的站法有A 、36种B 、54种C 、60种D 、66种8、甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是P 2，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是A 、P 1+P 2B 、P 1·P 2C 、1－P 1·P 2D 、1―（1―P 1）·（1―P 2）9、一个学生通过某种英语测试的概率是0.5，他连续测试两次，那么其中恰有1次获得通过的概率是A 、0.25B 、0.33C 、0.5D 、0.7510、在103)1)(1(x x +-的展开式中，5x 的系数是 A 、－297 B 、－252 C 、297 D 、20711、从数字1，2，3，4，5中任取三个数字，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数大于400的概率是A 、2/5B 、2/3C 、2/7D 、3/412、(文科生做)如图，用5种不同颜色给图中标有1、2、3、4各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻两部分涂不同颜色．则不同的涂色方法共有A 、160种B 、240种C 、260种D 、360种（理科生做）如图,用4种不同的颜色给标有数字的6个区域染色， 要求相邻的区域不能染相同的颜色，则不同的染色方法有 A 、720 B 、240 C 、120 D 、96二、填空题(每小题5分,共20分) 13、 从4本不同的书中挑3本，分别给甲，乙，丙三人每人一本，不同的分法有 14、右图是某班60名同学参加数学毕业会考所得 成绩整理后画出的频率分布直方图，由图可得 该班及格（60分以上）的同学人数为15、（文科生做）有一个简单的随机样本: 10, 12,9, 14, 10 则样本方差2s =___________（理科生做）已知)2,0,10(~B ξ，13+=ξη，则=ηD16、(文科生做)5545352515C C C C C ++++= .（理科生做）已知等比数列{}n a 的首项为a 1，公比为q ,则n n n n n n C a C a C a C a 1231201++⋅⋅⋅+++= .三、解答题(解答题要写出具体演算过程,本大题共70分)17、(10分) 求9)12(x x -中的常数项(用数字作答).18、(12分)已知甲乙两人能独立破译密码的概率分别是11,34.分别求 ①两人都译出密码的概率②恰有一人译出密码的概率③至多一人译出密码的概率19、(12分) 已知015566777)13(a x a x a x a x a x ++⋅⋅⋅+++=-.求 4 32 15 123 4 6（1）7321a a a a +⋅⋅⋅+++（2）7531a a a a +++20、（文科生做）(12分)设有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，从中抽3题.求：（1）其中恰好有一道选择题的概率是多少？（2）其中至少有一道选择题的概率是多少？（理科生做）(12分)设有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题（两人不能抽得同一题）.求：（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？21、(12分)某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为53，且各次射击的结果互不影响. (文科生做1,2问,理科生做1,2,3问)（1）求射手在3次射击中，恰好有两次击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）连续射击5次,设击中目标的次数为ξ，求ξ的分布列及期望．22、（文科生做）(12分) 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？（理科生做）(12分)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0. 4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（Ⅰ）求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）记“函数13)(2+⋅-=x x x f ξ在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率.。
2021-2022学年广西蒙山县高二年级上册学期期末模拟考试(二)数学(理)试题【含答案】
2021-2022学年广西蒙山县高二上学期期末模拟考试（二）数学（理）试题一、单选题1．已知数列满足，，若，则n 等于（ ）{}n a 15a =13n n a a +=+20n a =A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【分析】根据给定条件求出数列通项公式，再将给定项代入即可计算作答.【详解】数列中，因，即，则数列是公差的等差数列，{}n a 13n n a a +=+13n n a a +-={}n a 3d =于是得，由，即，解得，1(1)32n a a n d n =+-=+20n a =3220n +=6n =所以n 等于6.故选：D2．的解集是（ ）260x x -->A ．B ．{|16}x x -<<{|16}x x x -或C ．D ．{|23}x x -<<{|23}x x x -或【答案】D【分析】利用一元二次不等式的解法即可得解【详解】()()260320x x x x -->⇔-+>解得或,因此解集为.2x <-3x >{|23}x x x -或故选：D3．是的（ ）条件21x ＝1x ＝A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【分析】运用充分必要条件的知识即可辨析得到结果.【详解】若，则；而若,则必有，因此是必要不充分条件.21x ＝1x =±1x =21x ＝21x ＝1x ＝故选：B.4．若椭圆上一点A 到焦点的距离为3，则点A 到焦点的距离为（ ）221164y x +=1F 2F A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】B【分析】根据椭圆的定义可求解.【详解】由椭圆的定义知，，212835AF a AF =-=-=故选：B5．空间直角坐标系中，两点A （1，2，3），B （4，2，7）间的距离是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C【分析】利用距离公式直接求解即可【详解】两点A （1，2，3），B （4，2，7）间的距离为，5=故选：C 6．已知是拋物线上一点，是的焦点，，则()00,M x y 2:2(0)C y px p =>F C 06y MF ==（ ）p =A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】C【分析】结合抛物线的定义以及抛物线的标准方程列方程，化简求得的值.p 【详解】由定义，又，0062pMF x y =+==200362y px ==所以，解得.36262p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭6p =故选：C7．在中，，则的形状是（ ）ABC 222sin a b c C ++=ABC A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】D【分析】在中，，由余弦定理知，，两式相加，ABC 222sin a b c C ++=2222cos b a c ab C +-=利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该的形状．ABC【详解】在中，， ABC 222sin a b c C ++=又由余弦定理知，，2222cos b a c ab C +-=两式相加得：，222()2cos )4sin(6a b ab C C ab C π+=+=+（当且仅当时取“” ，又，222sin(1622b a C a b ab ab π+∴+== c b ==)sin(16C π+ （当且仅当时成立），为的内角，sin(16C π∴+=a b =C ABC ∆，，又，62C ππ∴+=3C π=a b =的形状为等边△．ABC ∴ 故选：．D 8．已知命题，，则（ ）:R p x ∀∈2210x +>A ．，B ．，:R p x ⌝∀∈2210x +≤0:R p x ⌝∃∈20210x +≤C ．，D ．，0:R p x ⌝∃∈20210x +<:R p x ⌝∀∈2210x +<【答案】B【分析】根据全称量词的否定原则即可判断.【详解】命题为全称量词命题，则命题的否定为：，.p p 0R x ∃∈20210x +≤故选：B9．已知，设：，：或，则下列命题为真的是（ ）x R ∈p 1x <-q ⌝2x >1x <-A ．若则B ．若则p qq ⌝p C ．若则D ．若则q p ⌝p ⌝q【答案】C【分析】由已知写出和对应的x 范围，再分别判断真假.p ⌝q ⌝【详解】由题设可得：且，:12q x -≤≤:1p x ⌝≥-A ：由不能推出，所以“若则”为假；1x <-12x -≤≤p qB ：取不能推出，所以“若则”为假；3x =1x <-q ⌝pC ：由有，所以“若则”为真；12x -≤≤1x ≥-qp ⌝D ：取不能推出，所以“若则”为假；3x =12x -≤≤q ⌝p 故选：C.10．若直线过点，则的最小值为（ ）()10,0x ya b a b +=>>()3,12a b +A ．27B ．30C ．33D ．36【答案】A【分析】代入已知点得，再由，运用基本不等式计算可得选项.3121a b +=()312a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭【详解】解：因为直线过点，所以，()10,0x y a b a b +=>>()3,123121a b +=所以，当且仅当，时，等号成立．()312312151527b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭9a =18b =故选：A.11．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心()222210,0x y a b a b -=>>230x y -+=率是（ ）AB C ．2D 【答案】D【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为，易知与直线平行，by xa =±b y xa =230x y -+=所以.=2b e a ⇒==故选：D.12．在正方体中，为正方形的中心，为正方形的中心，则直线1111ABCD A B C D -E 11DCC DF ABCD 与平面所成角的余弦值为（ ）EF 1ABD A B CD【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角的空间向量的坐标公式求出直线与平面所成EF 1A BD 角的正弦值，进而根据线面角的范围以及同角的平方关系即可求出结果.【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐D DA x DC y 1DD z 标系，设正方体的棱长为2，则,()()()()()10,0,0,2,2,0,2,0,2,0,1,1,1,1,0D B A E F 则,()()()12,2,0,2,0,2,1,0,1DB DA EF ===-设平面的法向量为，则，令，则平面的一个法向量1A BD (),,n x y z = 1220220DB n x y DA n x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =1A BD 为，设直线与平面所成角为，()1,1,1n =--EF 1A BDα则,sinα又因为线面角的范围是，则0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦cos α=故选：C.二、填空题13．若变量满足约束条件：则的最小值为___________.,x y 3040,10x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩42z x y =+【答案】5【分析】由题画出可行域，结合几何意义即可求解.【详解】如图，阴影部分面积为对应可行域，由得，要使最小，即42z x y =+22zy x =-+z 对应截距最小，此时与可行域交于点，求得，22z y x =-+22zy x =-+A13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭42235z x y =+=+=故的最小值为5.42z x y =+故答案为：514．在中，若面积，则______．ABC 2224b c a S +-=A ∠=【答案】##π445【分析】结合三角形面积公式与余弦定理得，进而得答案.sin cos A A =【详解】解：由三角形的面积公式得，1sin 2S bc A =2224b c a S +-=所以，2221sin 42b c a bc A +-=因为，2222cos b c a bc A +-=所以，即，2cos 1sin 42bc A bc A =sin cos A A =因为，所以()0,A π∈4A π=故答案为：4π15．若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹方程是__________．P 1y =-()0,32P 【答案】212x y=【分析】根据题意，将条件转化为点到直线的距离与它到点的距离相等，结合抛物线P =3y -()0,3的定义即可求解点的轨迹方程．P 【详解】点到直线的距离比它到点的距离小，P 1y =-()0,32点到直线的距离与它到点的距离相等，∴P =3y -()0,3点的轨迹是以为焦点、直线：为准线的抛物线，∴P ()0,3l =3y -因此，设的轨迹方程为，，P 22x py =(0)p >可得，解得，，132p =6p =212p =动点的轨迹方程为．∴P 212x y =故答案为：．212x y =16．在长方体中，，，与所成角的1111ABCD A B C D -1AB =2BC=1AA =1A D 1BD 余弦值为___________．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能1DD 求出异面直线与所成角的余弦值.1A D 1BD 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系，1DD ∵在长方体中，1111ABCD A B CD-11,2,AB BC AA ===，，11(0,0,0)A D D ∴(2,1,0)B 11(2,0,(2,A D BD ∴=-=--设异面直线与所成角为，1A D 1BD θ则，1111cos A D BD A D BD θ⋅===⋅ ∴异面直线与.1AD 1DB .三、解答题17．已知等比数列的前项和为，且，．{}n a n n S 34a =632a =(1)求的通项公式；{}n a (2)若，求．31n S =n 【答案】(1)12n n a -=(2)5n =【分析】（1）根据已知条件求得首项和公比，由此求得的通项公式.{}n a （2）利用列方程，化简求得的值.31n S =n 【详解】（1）设等比数列首项为，公比为，{}n a 1a q ，231156141,232a a q a q a a q ⎧==⇒==⎨==⎩所以.12n n a -=（2）.122131,232,512nn n n S n -==-===-18．已知函数．2()21()f x x x a a =---∈R (1)若，求不等式的解集；1a =()0f x >(2)若不等式的解集为，求a 的取值范围．()0f x >R 【答案】(1)；(,1(1)-∞+∞ (2).(,2)-∞-【分析】（1）代入，然后根据一元二次不等式的解法计算即可.1a =（2）依据题意得到，计算即可.Δ0<【详解】（1）若，则，1a =2()22f x x x =--∴，可化为，解得，()0f x >2220x x -->1x <1x >∴不等式的解集为．()0f x >(,1(1)-∞-++∞ （2）不等式可化为，()0f x >2210x x a --->∵不等式的解集为，()0f x >R ∴，解得，Δ44(1)0a =-⨯--<2a <-∴a 的取值范围是．(,2)-∞-19．△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB ．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）B=（Ⅱ4π1【详解】(1)∵a=bcosC+csinB∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB ①在三角形ABC 中，A=－(B+C)∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ②由①和②得sinBsinC=cosBsinC 而C ∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB又B(0，)，∴B=(2) S △ABCac sin B ，12==由已知及余弦定理得：4＝a 2+c 2﹣2ac cos 2ac ﹣2ac4π≥整理得：ac，当且仅当a ＝c 时，等号成立，≤则△ABC 面积的最大值为（2）1．1122=+20．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，侧棱PD 底面⊥ABCD ，PD =DA =DB ，PB ⊥BC ，E 为PB 中点，F 为PC 上一点，且PC =3PF .(1)求证：PC ⊥DE ；(2)求平面DEF 与平面ABCD 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；.【分析】（1）证明平面，以为原点，所在直线为轴，建立如图所示AD ⊥PDB D ,,DA DB DP ,,x y z 的空间直角坐标系，证明即得证；0PC DE →→⋅=（2）利用向量法求平面与平面的夹角的余弦值.DEF ABCD 【详解】（1）解：因为底面，所以，PD ⊥ABCD PD AD ⊥又，,//,PB BC AD BC AD PB ⊥⊥因为为平面内的两条相交直线，所以平面.,PD PB PBD AD ⊥PDB 以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，D ,,DA DB DP ,,x y z 设，则由已知，可得，1PD =()()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,0D A B C -，所以，()111120,0,1,0,,,,,22333P E F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111,1,1,0,,22PC DE →→⎛⎫=--= ⎪⎝⎭故，所以；()()111011022PC DE →→⋅=-⨯+⨯+-⨯=PC DE ⊥（2）解：因为，设平面的法向量为，111120,,,,,22333DE DF →→⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DEF (),,m x y z →=由得0,0,m DE m DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 110,221120,333y z x y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩令，则，1y =1,1x z =-=-所以为平面的一个法向量，()1,1,1m →=--DEF 又底面，PD ⊥ABCD 所以为平面的一个法向量，()0,0,1DP →=ABCD 所以cos ,m DP →→==所以平面与平面DEF ABCD 21．已知椭圆 的焦点为，且长轴长是焦距的倍．C ())12,F F (1)求椭圆 的标准方程；C (2)若斜率为 1 的直线 与椭圆 相交于 两点，已知点 ，求面积的最大l C ,A B ()1,1P ABP 值．【答案】(1)；2214x y +=(2)1.【分析】(1)根据给定条件求出椭圆半焦距c ，长短半轴长a ，b 即可得解.(2)设出直线的方程，再与椭圆C 的方程联立，求出弦AB 长及点P 到直线的距离，然后求出l l 面积的表达式并求其最大值即得.ABP 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，依题意，半焦距C ()222210x y a b a b +=>>c =，即，22a c =2a =2221b ac =-=所以椭圆的标准方程为.C 2214x y +=（2）依题意，设直线，，:l y x m =+()()1122,,,A x y B x y由消去y 并整理得：，2244y x m x y =+⎧⎨+=⎩2258440x mx m ++-=由，解得()22264204416800m m m ∆=--=-+>m <<则有，，1285m x x +=-212445m x x -=于是得AB ===而点到直线的距离为P l d因此，的面积，ABQ 11122S AB d =⋅==≤当且仅当，即时取“=”，252m ==m 所以面积的最大值为1.ABQ【点睛】结论点睛：直线l ：y =kx +b 上两点间的距离 ；()()1122,,,A x y B x y 2AB x =-直线l ：x =my +t 上两点间的距离 .()()1122,,,A x y B x y 2AB y =-22．已知抛物线上一点到焦点的距离为()220y px p =>1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭1(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线交于两点，且满足(为坐标原点)，证明：直线与轴的交点为l ,A B OA OB ⊥O l x 定点.【答案】(1)；22y x =(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件利用抛物线定义求出p 值即可作答.(2)直线不垂直于y 轴，设出其方程，再与抛物线方程联立，借助向量数量积即可计算作答.l 【详解】（1）依题意，抛物线的准线为：，由抛物线定义得：，解得22y px =2p x =-1122p +=，1p =所以抛物线的方程为：.22y x =（2）显然，直线不垂直于y 轴，设直线的方程为，并设，l l x my t =+()()1122,,,A x y B x y 由消去并整理得，，则，，22y x x my t ⎧=⎨=+⎩x 2220y my t --=122y y t =-222121222y y x x t =⋅=因，则均为非零向量，即，由，解得OA OB ⊥,OA OB 0t ≠2121220OA OB x x y y t t ⋅=+=-= 2t =此时直线方程为：，直线与轴交于点，l 2x my =+l x ()2,0所以直线与轴的交点为定点..l x。
广西壮族自治区蒙山中学2020学年高二数学第二次月考(无答案)
广西壮族自治区蒙山中学2020学年高二第二次月考（数学）第一部分选择题(共 60 分)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线20x y +-=的倾斜角是（ ）A ． 4πB ．3πC ．43πD ．2π 2．若图中的直线123l l l 、、的斜率分别为123k k k 、、，则有：（ ）A ．123k k k << B ．312k k k << C ．321k k k << D ．132k k k <<3．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于（ ）A ．1B ．2-C ．23-D ．13- 4．椭圆2211612x y +=上一点到其焦点1F 的距离为3，则该点到椭圆另一焦点2F 的距离为（ ）A ．13B ．9C ．5D ． 15．已知01,0<<-<b a ，则下列不等式中成立的是（ ）A ．2ab ab a >>B ．a ab ab >>2C ．a ab ab >>2D ．2ab a ab >>6．设R b a ∈,，且4=+b a ，则b a 22+的最小值是（ ）A ．8B ．2C ． 4D ．－8 7．若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10ax y -+=（a 是实数）的距离为1，则a 等于（ ）A ．24B ． 24±C ． 2±D ． 32±8．曲线422=+y x 与曲线22cos 22sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩ （[0,2)θπ∈），关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ） A ．2-=x y B ．0=-y x C ．02=-+y x D ． 02=+-y x9．以正方形ABCD 的相对顶点A 、C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为（ ）A．2 B．13 C．12 D．310．已知关于x 的不等式2056a x x x -≤-+的解集是(]()+∞,3,2Y a , 则a 的取值范围是（ ） A ．()2,∞- B ．[]3,2 C ．()3,2 D ．()+∞,311．如果椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在一点P ，使点P 到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的范围是（ ）A．1] B．1,1) C．1] D．1,1)12．经济学中的“蛛网理论”（如下图），假定某种商品的“需求—价格”函数的图像为直线1l ，“供给—价格”函数的图像为直线2l ，它们的斜率分别为21,k k ，1l 与2l 的交点P 为“供给—需求”平衡点，在供求两种力量的相互作用下，该商品的价格和产销量，沿平行于坐标轴的“蛛网”路径，箭头所指方向发展变化，最终能否达于均衡点P ，与直线1l 、2l 的斜率满足的条件有关，从下列三个图中可知最终能达于均衡点P 的条件为（ ）A ．021=+k kB ．021<+k kC ．021>+k kD ．21k k +可取任意实数第二部分非选择题(共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷的相应位置．（图2）1（图3）（图1）13．倾斜角为23π且在y 轴上截距为2的直线方程是_____ _____． 14．中心在原点，准线方程为4x =±，长轴长为4的椭圆方程是____ __ ．15．过点（1，2）的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝ ． 16．由实数,x y 满足不等式组2132y x y kx k ≤⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩所确定的可行域内，若目标函数z x y =-+仅在点(3,2)取得最小值，则正实数k 的取值范围是 ．三、解答题：( 本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明或演算步骤．)17．解下列不等式：（1）12<-x （2）04232>-+-x x x18．求经过点)2,1(P 且与点)2,1(-A 、)0,3(B 距离相等的直线方程.19．设椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，一个顶点()0,2，离心率为23. （1）求椭圆的方程；（2）若椭圆左焦点为1F ，右焦点2F ，过1F 且斜率为1的直线交椭圆于B ，求2ABF ∆的面积.20．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A 、B ，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用、和预计产生收益来决定具体安排．通过调查，有关数据如下表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？21． 已知椭圆的中心在原点，其中一条准线为429-=y ，离心率e 满足34,,32e 成等比数列． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点B A ,，且线段AB 恰好被直线21-=x 平分？若存在，求出直线l 的倾斜角α的取值范围；若不存在，说明理由．22．已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(22=++y x 内切．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ； （Ⅲ）在10<<a 的条件下，设△POA 的面积为1S （O 是坐标原点，P 是曲线C 上横坐标为a 的点），以)(a d 为边长的正方形的面积为2S ．若正数m 满足21mS S ≤，问m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．。
广西蒙山县第一中学2020学年高二数学下学期第一次月考试题 理
广西蒙山县第一中学2020学年高二数学下学期第一次月考试题 理考试范围选修2-2（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1.已知复数z ＝(1＋i)(－2＋3i)(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－5＋iD ．－5－i2.已知复数z ＝1－2i ，那么1z等于( )A.55＋255i B.55－255i C.15＋25i D.15－25i3.证明命题：“f (x )＝e x ＋1e x 在(0，＋∞)上是增加的”，现给出的证法如下：因为f (x )＝ex＋1e x ，所以f ′(x )＝e x －1e x .因为x >0，所以e x >1,0<1e x <1，所以e x－1ex >0，即f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增加的，使用的证明方法是( )A ．综合法B ．分析法C ．反证法D ．以上都不是4.观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n 个式子是( )A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(2n －1)＝n 2B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(2n －1)＝(2n －1)2C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)25.函数y ＝sin(2x ＋1)的导数为( )A ．cos(2x ＋1)B ． 2cos(2x ＋1)C ．2cos xD ．(2x ＋1)sin(2x＋1)6.函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，则a 等于( )A ．ln 2－1B ．ln 2＋1C ．ln 2D ．2ln 27.已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图1所示，则( )图1A.函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B.函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C.函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D.函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点8.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A.－eB.－1C.1D.e9.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈[1，2]，则()2f x dx ⎰＝( )A.34B.45C.56 D ．不存在10.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.94e 2 B.2e 2 C.e 2 D.e 2211.用反证法证明命题“若022=+b a ,则b a ,全为0，其反设正确的是（ ）A. b a ,中至少有一个为零B b a ,中至少有一个不为零 .C.b a ,中全为零D.b a ,中只有一个为零12.设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13.观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．14.设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．15.由曲线y ＝(x －2)2＋1，横坐标轴及直线x ＝3，x ＝5围成的图形的面积等于________．16.函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则a 的取值范围 ______三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（10分）计算（1）设iiz 21+=,求的共轭复数z （2）求导数x e x f x sin )(=18.（12分）设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．19.（12分）设F (x )＝x(t 2＋2t －8)d t .(1)求F (x )的单调区间； (2)求F (x )在[1,3]上的最值．20.（12分）已知函数f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值； (2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．21.（12分）已知数列8·112·32，8·232·52，…，8·n2n －12·2n ＋12，…，S n 为该数列的前n项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081.观察上述结果，推测出S n (n ∈N *)，并用数学归纳法加以证明．22.（12分）设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)设g (x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．高中数学选修2-2水平测试题一、选择题1.D2.C3.A4.C5.B6.A7.A8.B9.C 10. D 11.B 12.D二、填空题13．13＋23＋33＋43＋53＋63＝21214．5 15．323 16．a ≤0提示：13．第i 个等式左边为1到i ＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(i ＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.14． z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋－42＝5.15．S ＝523[(2)1]x dx -+⎰＝523(45)x x dx -+⎰＝3253(25)3x x x -+＝323. 三、解答题17略18．解：解：z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3(1－i )2＋i ＝3－i 2＋i ＝(3－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝1－i ，将z ＝1－i 代入z 2＋a z ＋b ＝1＋i ，得(1－i )2＋a (1－i )＋b ＝1＋i ，即(a ＋b)－(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.19．解：依题意得F (x )＝∫x 0(t 2＋2t －8)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3＋t 2－8t |x 0＝13x 3＋x 2－8x ，定义域是(0，＋∞)．(1)F ′(x )＝x 2＋2x －8，令F ′(x )>0得x >2或x <－4，令F ′(x )<0得－4<x <2， 由于定义域是(0，＋∞)，所以函数的增区间是(2，＋∞)，减区间是(0,2)．(2)令F ′(x )＝0，得x ＝2(x ＝－4舍去)，由于F (1)＝－203，F (2)＝－283，F (3)＝－6，所以F (x )在[1,3]上的最大值是F (3)＝－6，最小值是F (2)＝－283.20．解：(1)因为f (x )＝x 2＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋1x.因为x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )在[1，e]上是增函数， 所以f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2. (2)证明：令F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－23x 3＋ln x ，所以F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x ＝x 2－x 3－x 3＋1x ＝1－x2x 2＋x ＋1x.因为x >1，所以F ′(x )<0，所以F (x )在(1，＋∞)上是减函数， 所以F (x )<F (1)＝12－23＝－16<0.所以f (x )<g (x )．所以当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．21．解：推测S n ＝2n ＋12－12n ＋12(n ∈N *)．用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，S 1＝2＋12－12＋12＝89，等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立，即S k ＝2k ＋12－12k ＋12，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋8k ＋12k ＋122k ＋32＝2k ＋12－12k ＋12＋8k ＋12k ＋122k ＋32＝[2k ＋12－1]2k ＋32＋8k ＋12k ＋122k ＋32＝2k ＋122k ＋32－2k ＋32＋8k ＋12k ＋122k ＋32＝2k ＋122k ＋32－2k ＋122k ＋122k ＋32＝2k ＋32－12k ＋32＝[2k ＋1＋1]2－1[2k ＋1＋1]2.也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n ∈N *，等式均成立． 22．解：(1)因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，故f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由已知f ′(1)＝2a ，因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3. 又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ，因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.因此f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2×(－32)＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －(－52)＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x，从而有g ′(x )＝ (－3x 2＋9x )e －x.令g ′(x )＝0，得－3x 2＋9x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，故g (x )在(－∞，0)上为减函数；当x∈(0,3)时，g′(x)>0，故g(x)在(0,3)上为增函数；当x∈(3，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(3，＋∞)上为减函数．从而函数g(x)在x1＝0处取得极小值g(0)＝－3，在x2＝3处取得极大值g(3)＝15e－3.。
广西梧州市蒙山县蒙山中学高二数学上学期第二次月考试题(无答案)新人教A版
用心 爱心 专心1一． 选择题：(分60512=⨯) 1、直线y=x 的倾斜角是（ ） A.0 B.2π C.4πD.不存在 2、圆4)3()2(22=++-y x 的圆心坐标是（ ）A.(－2,3)B.(-2,-3)C. (2,3)D.(2,-3) 3、直线132=+yx 在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ） A. 213, B. --213, C. --123, D. 2，3 4、直线y=3x+1和直线y=231+-x 的位置关系是（ ） A.重合 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂直 5、点（2，1）到直线3x -4y + 2 = 0的距离是( )A .54B. 45C.254D.425 6、经过点)1,2(-M 作圆522=+y x 的切线，则切线的方程为：（ ） A. 52=+y x B. 052=++y x C. 052=--y x D. 250x y ++= 7、已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线03:=+-y x l ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a =( ） A 2B 22-C 12-D 12+8、如果实数y x ,满足等式22(2)3x y -+=，那么yx的最大值是（ ） A 、21B 、33C 、23D 、39、如果直线12,l l 的斜率分别为二次方程2410x x -+=的两个根，那么1l 与2l 的夹角为（ ）A ．3π B ．4π C ．6π D ．8π10、已知集合(){,|P x y y =，(){,|}Q x y y x m ==-+，若P ∩Q ≠∅，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[- B ．[-2，2] C．[2] D．[-11、已知θ∈R ，则直线013sin =+-y x θ的倾斜角的取值范围是（ ）用心 爱心 专心 2A ．[0°，30°]B ．[150°，180°)C ．[0°，30°]∪[150°，180°)D ．[30°，150°]12、已知40<<k ，直线0822:1=+--k y kx l 和直线0442:222=--+k y k x l 与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小时k 的值为（ ）A. 81B. 21C. 41D.121二．填空题：(分2054=⨯)13、直线y=2x 的斜率为 14、.把圆的参数方程⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x 化成普通方程是______________________15、若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+ 的最小值为 ． 16、.已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部和边界组成。
2020届广西梧州市蒙山县蒙山中学度高三上学期第二次测试理科数学试题(考试卷)
广西省梧州市蒙山县蒙山中学2019-2020学年度高三上学期第二次测试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1. 已知集合2|11A x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{|21}x B x =<，则(∁A R )B = A. [1,0)- B. (1,0)- C. (,0)-∞D. (,1)-∞- 2. 若复数z 满足i 12i z =+，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A. 2iB. iC. 1D. 2 3. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若S 5=2S 4，a 2+a 4=8，则a 5=（ ）A. 6B. 7C. 8D. 104. 在区间[π,π]-上随机取两个实数,a b ，记向量(,4)OA a b =，(4,)OB a b =，则2·4πOA OB ≥的概率为 A. π18- B. π14- C. π12- D. 3π14- 5. 已知直线l 的倾斜角为45o，直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> 的左、右两支分别交于,M N 两点，且12,MF NF 都垂直于x 轴（其中12,F F 分别为双曲线C 的左、右焦点），则该双曲线的离心率为A. 3B. 5C. 51-D. 5+1 6. 在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足4EB EC =，则ED =A. 5463AB AC - B.4536AB AC - C. 5463AB AC + D. 4536AB AC + 7. 某几何体的三视图如图所示，数量单位为cm ，它的体积是（ ）A. 3273B. 39cm 2C. 393D. 3272cm 8. 已知A 是函数()sin 2018cos 201863f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值，若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12||A x x ⋅-的最小值为 A. π2018 B. π1009 C. 2π1009 D. π40369. 定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-及()()f x f x =--，且在[0,1]上有2()f x x =，则1(2019)2f = A. 94B. 14C. 94-D. 14- 10. 抛物线y =2x 2上有一动弦AB ，中点为M ，且弦AB 的长度为3，则点M 的纵坐标的最小值为（ ） A. 118 B. 54 C. 32 D. 111. 已知三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，AB =，BC =，PA PB ==，且二面角P AB C --的大小为150︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ）A. 100πB. 108πC. 110πD. 111π12. 已知数列{}n a 满足()12323213n n a a a na n ++++=-⋅．设4n nn b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和．若n S λ<（常数），*n N ∈，则λ的最小值是（ ） A. 32 B. 94 C. 3112D. 3118二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若x ，y 满足约束条件250350250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则z ＝x 2＋y 2的最大值为________.14. 若02sin c (s )o a x x dx π=-⎰，则6a x ⎛ ⎝的展开式中常数项为______． 15. 已知点()1,2P -及圆()()22344x y -+-=，一光线从点P 出发，经x 轴上一点Q 反射后与圆相切于点T ，则PQ QT +的值为______________．16. 已知32()f x x ax bx =++满足(1)(1)220f x f x ++-+=，则()f x 单调递减区间是____. 三、解答题：共70分17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2222cos cos a c b ab A a B +-=+．（1）求角B ；（2）若27b =，3tan 2C =，求△ABC 的面积． 18. 如图甲，设正方形ABCD 的边长为3，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且满足2AE EB =，2CF FD =．如图乙，将直角梯形AEFD 沿EF 折到11A EFD 的位置，使得点1A 在平面BEFC 上的射影G 恰好在BC 上．（1）证明：1A E 平面1CD F ；（2）求平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的余弦值．19. 某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程R 的行业标准，予以地方财政补贴．其补贴标准如下表：2017年底随机调查该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R ，得到频率分布直方图如上图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴均值；（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来．该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台； 交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润=日收入-日维护费用）．20. 已知圆22:(1)36C x y ++=与定点(1,0)M ，动圆I 过M 点且与圆C 相切．（1）求动圆圆心I 的轨迹E 的方程；（2）若过定点(0,2)N 的直线l 交轨迹E 于不同的两点A 、B ，求弦长||AB 的最大值．21. 已知函数ln 2()x f x x+=． （1）求函数()f x 在[1,)+∞上的值域；（2）若x ∀∈[1,)+∞，ln (ln 4)24x x ax +≤+恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系中，将曲线1C 向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为ρ4cos α=．（1）求曲线2C 参数方程；（2）已知点M 在第一象限，四边形MNPQ 是曲线2C 的内接矩形，求内接矩形MNPQ 周长的最大值，并求周长最大时点M 的坐标．23. 已知()|2||2|f x x a x a =-++，()23g x x =+．（1）当1a =时，求不等式()4f x <解集；（2）若0<<3a ，且当[,1)2a x ∈-时，()()f x g x <恒成立，求a 的取值范围．。
广西蒙山县第一中学2019-2020学年高二上学期第二次月考理科数学试题Word版含答案
广西蒙山县第一中学2019-2020学年高二上学期第二次月考理科数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y x 212-=的焦点坐标是（ ）A ．（0，）B ．（0，）C ．（0，）D ．（0，）2．在△ABC 中，∠A=60°，a=，b=，则∠B=（ ）A ． B=45°或135°B ．B=135°C ．B=45°D ．以上答案都不对3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1﹣a 5﹣a 10﹣a 15+a 19=2，则S 19的值为（ ）A ．38B ．﹣19C ．﹣38D ．194.设x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x+y 最小值是（ ）A ．4B ．3C ．6D ．25.设平面α内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（﹣1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（） A ．（﹣1，﹣2，5） B ．（﹣1，1，﹣1）B ．C ．（1， 1，1）D ．（1，﹣1，﹣1）6.设a ∈R ，则a ＞1是＜1的（ ）A ．必要但不充分条件B ．充分但不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若，则下列结论不正确的是（ ）A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ．D ．8．等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2﹣11x+9=0的两个根，则a 6=（ ）A ．3B ．C ．±D ．以上皆非9．椭圆的焦距是2，则m 的值是（ ） A ．9 B ．12或4 C ．9或7 D ．2010．已知向量=（1，0，﹣1）与平面α垂直，且α经过点A （2，3，1），则点P （4，3，2）到α的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．11．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若x ＞2，则x ＞1．”的逆否命题是假命题B ．命题“若α＞β，则sin α＞sin β．”是假命题C ．命题“∀x ∈R ，x 2﹣1＞0”的否定是“∃x 0∈R ，”D ．命题“若p ，则a ＜x ＜3a ”的否命题是“若p ，则a ≤b ”12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A=，a=2，且△ABC 的面积为，则△ABC 周长为（ ）A ．4B ．6C ．2D ．2+2 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．不等式132-1≥+x x 的解集为 ． 14．已知双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x ，则它的离心率为 ． 15．已知x+2y=8，则2x +4y 的最小值是 ．16．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱长AB=a ，连结AC ，AD 1，D 1C ，B 1D 1，B 1C 和B 1A ，则B 1D 1与ACD 1所成角的余弦值为 ．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）轴上焦点在x ,53,10==e a（2）)0,3(3P 倍，椭圆经过长轴长是短轴长的18．求双曲线的标准方程（1）与双曲线﹣=1有公共焦点，且过点（3，2）的双曲线； （2）以椭圆3x 2+13y 2=39的焦点为焦点，以直线y=±为渐近线的双曲线．19.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且bsinA=acosB（1）求角B 的大小（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a 、c 的值及△ABC 的面积．20.已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0），焦点F 到准线l 的距离为2．（1）求P 的值；（2）过点F 作斜率为1的直线l ′交抛物线于点A 、B ，求|AB|．21．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=AA 1，∠BAA 1=60°．（Ⅰ）证明：AB ⊥A 1C ；（Ⅱ）若AB=CB=2，A 1C=，求二面角B ﹣AC ﹣A 1的余弦值．22．数列{a n }的前n 项和为S n 且S n =n 2+1．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．广西蒙山县第一中学2019-2020学年高二上学期第二次月考理科数学试题参考答案1-5：BCCBB 6-10:BDCCC 11-12:BB13.（﹣3，﹣] 14.45 15.32 16.33 17（1）16410022=+y x （2）19x 22=+y 或198122=+x y 18求下列双曲线的标准方程．（1）与双曲线﹣=1有公共焦点，且过点（3，2）的双曲线； （2）以椭圆3x 2+13y 2=39的焦点为焦点，以直线y=±为渐近线的双曲线．【解答】解：（1）∵双曲线﹣=1的焦点为（±2，0）， ∴设所求双曲线方程为：=1（20﹣a 2＞0） 又点（3，2）在双曲线上， ∴﹣=1，解得a 2=12或30（舍去）， ∴所求双曲线方程为=1．（2）椭圆3x 2+13y 2=39可化为+=1， 其焦点坐标为（±，0），∴所求双曲线的焦点为（±，0）， 设双曲线方程为：﹣=1（a ＞0，b ＞0）∵双曲线的渐近线为y=±x ， ∴=，∴==，∴a 2=8，b 2=2， 即所求的双曲线方程为：=1．19．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bsinA=acosB （1）求角B的大小（2）若b=3，sinC=2sinA，求a、c的值及△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由及正弦定理得：．∵sinA≠0，∴，而B∈（0，π），故．…（6分）（2）由sinC=2sinA及，得c=2a，①．又b=3，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得9=a2+c2﹣ac，②由①②得，∴△ABC的面积．…（12分）20.已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点F到准线l的距离为2．（1）求P的值；（2）过点F作斜率为1的直线l′交抛物线于点A、B，求|AB|．【解答】解：（1）∵抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点F到准线l的距离为2，∴p=2．（2）由（1）知抛物线C：y2=4x，焦点坐标F（1，0），所以l′：y=x﹣1，联立，得x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8．21．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点O，连CO，OA1，A1B，∵AB=AA1，∠BAA1=60°，∴△A1AB为正三角形，∴A1O⊥AB，∵CA=CB，∴CO⊥AB，∵CO∩A1O=O，∴AB⊥平面COA1，∵A1C⊂平面COA1，∴AB⊥A1C．（Ⅱ）解：∵AB=CB=2，AB=AA1，CA=CB，∠BAA1=60°，∴CO=A1O==，∵A1C=，∴=，∴OC⊥A1O，∵OC∩AB=O，∴A1O⊥平面ABC，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，O（0，0，0），A（1，0，0），，C（0，0，），设平面AA1C的法向量为，则，，∴，∴=（，1，1），平面向量ACB的法向量=（0，1，0），cos＜＞==．∴二面角B﹣AC=A1的余弦值为．22、（2017秋•昭通期末）数列{a n}的前n项和为S n且S n=n2+1．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）∵S n=n2+1．∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+1﹣[（n﹣1）2+1]=2n﹣1．n=1时，a1=S1=2．∴a n=．（II）n=1时，T1=2．n≥2时，b n===，∴数列{b n}的前n项和T n=2++……+=2+．n=1时，上式也成立．∴T n=2+．。
广西蒙山县蒙山中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学(理)试题
广西蒙山县蒙山中学【最新】高二下学期第一次月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设i 为虚数单位，则复数（1+i ）2=A ．0B ．2C ．2iD ．2+2i 2．复数52i-的共轭复数是( ) A ．i 2+B ．i 2-C ．2i --D ．2i - 3．甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有（ ） A ．6种 B ．12种 C ．30种 D ．36种 4．设函数f(x)＝3232ax x ++，若f′(－1)＝4，则a 的值为( )A ．193B ．163C ．133D ．1035．函数y ＝x 3＋x 的递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞)D ．(1，＋∞)6．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=7．定积分10(2)xx e dx -⎰的值为（ ）A ．2e -B ．-eC ．eD ．2+e 8．若函数f (x )=x 2+bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数f'(x )的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 9．已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是（ ）A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝4n －3C ．a n ＝n 2D ．a n ＝3n －1 10．若f(x)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是( ) A ．[-1，+∞] B ．（-1，+∞） C ．（-∞，-1] D ．（-∞，-1） 11．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点， 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是（ ）A ．1BC ．2D ．12．若不等式2xln x≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)二、填空题13．函数3y ax bx =+在1x =处有极值2-，则+a b 等于_____．14．已知集合M ＝{1，－2，3}，N ＝{－4，5，6，7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点共有_____个． 15．曲线2y x 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.16．已知函数32()21f x x x ax =+-+在区间上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是____________三、解答题17．已知复数z 满足(12)43i z i +=+．（1）求复数z ；（2）若复数(z ＋ai )2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．18．已知函数2()ln f x ax b x =+在1x =处有极值12. （1）求a ，b 的值；（2）判断函数()y f x =的单调性并求出单调区间.19．某小组6个人排队照相留念．（1）若分成一排照相，有多少种不同的排法？（2）若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？（3）若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？（4）若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？20．已知||1,||1x y ，用分析法证明：|||1|x y xy ++． 21．已知函数21()ln 2f x x m x =-. （1）若函数()f x 在1(,)2+∞上单调递增的，求实数m 的取值范围； （2）当2m =时，求函数()f x 在[]1,e 上的最大值和最小值.22．已知函数()2ln f x x m x =-，()2h x x x a =-+． （1）当0a =时，()()f x h x ≥在（1，+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围；（2）当2m =时，若函数()()()k x f x h x =-在区间（1，3）上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．参考答案1．C【解析】试题分析：22(1i)12i i 2i +=++=，故选C.【考点】复数的运算【名师点睛】本题考查复数的运算．复数的概念及运算是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．2．D【解析】 55(2)22(2)(2)i i i i i +==+--+,2i +的共轭复数为2i -，选D. 3．B【分析】利用分步乘法计数原理求解即可.【详解】甲先选共有4种选法，然后乙从剩余的3门中选一门共有3种选法则甲、乙所选的课程不相同的选法共有4312⨯=种故选：B【点睛】本题主要考查了分步乘法计数原理的应用，属于基础题.4．D【分析】由题，求导，将x=-1代入可得答案.【详解】函数()f x 的导函数2()36f x ax x '=+，因为f′(－1)＝4，即364a -=， 解得103a =故选D 【点睛】本题考查了函数的求导，属于基础题.5．C【解析】y ′＝3x 2＋1>0对于任何实数都恒成立．6．A【解析】与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A 7．A【解析】 定积分1201(2)()(1)(01)20x x x e dx x e e e -=-=---=-⎰.故选A.8．A【分析】求出()f x '，根据二次函数顶点在第四象限，确定参数的正负，即可判断导函数图像.【详解】因为f (x )=x 2+bx+c ，故可得()2f x x b '=+， 又因为其顶点在第四象限，故可得02b ->，解得0b <. 故可得()f x '是单调增函数，且经过第一、三、四象限.故选：A.9．C【分析】依次计算得到a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想表达式得到答案.【详解】a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2故选：C【点睛】本题考查了合情推理，意在考查学生的推断能力.10．C【解析】 由题意可知()02b f x x x +'=-<+，在(1,)x ∈-+∞上恒成立，即(2)b x x <+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-，所以1b ≤-，故Ｃ为正确答案．11．B【分析】由题意可知，过点P 的切线与直线2y x =-平行，由此可求出点P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可【详解】 解：令121y x x '=-=，则1x =，即(1,1)P ，所以d == 故选：B ．【点睛】此题考查导数的几何意义的应用，考查点到直线的距离公式，属于基础题.12．B【分析】 分析：由已知条件推导出32ln ,0a x x x x ≤++>，令32ln ,0y x x x x=++>，利用导数形式求出1x =时，y 取得最小值4，由此能求出实数的取值范围.【详解】详解：由题意22ln 3x x x ax ≥-+-对()0,x ∈+∞上恒成立， 所以32ln ,0a x x x x≤++>在()0,x ∈+∞上恒成立， 设32ln ,0y x x x x =++>，则22223231x x y x x x +-=+-=， 由0y '=，得123,1x x =-=，当()0,1∈x 时，0y '<，当()1,∈+∞x 时，0y '>，所以1x =时，min 1034y =++=，所以4a ≤，即实数a 的取值范围是(],4-∞.点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．13．2-【分析】求导，利用极值的定义列出方程组，求解即可.【详解】23y ax b '=+函数3y ax bx =+在1x =处有极值2-，则有32112310a b a b ⎧⨯+⨯=-⎪⎨⨯+=⎪⎩ 解得1,3a b ==-则132a b +=-=-故答案为：2-【点睛】本题主要考查了由极值求参数的值，属于中档题.14．17【分析】由分类加法计数原理结合列举法，即可得出答案.【详解】若集合M 中的元素为横坐标，集合N 中的元素为纵坐标在第一象限的点分别为(1,5),(1,6),(1,7),(3,5),(3,6),(3,7)在第二象限的点分别为(2,5),(2,6),(2,7)---若集合N 中的元素为横坐标，集合M 中的元素为纵坐标在第一象限的点分别为(5,1),(5,3),(6,1),(6,3),(7,1),(7,3)在第二象限的点分别为(4,1),(4,3)--则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点共有17个故答案为：17【点睛】本题主要考查了分类加法计数原理的应用，属于中档题.15．43【解析】由2 2y x y x⎧=⎨=⎩，解得0 0x y =⎧⎨=⎩或2 4x y =⎧⎨=⎩，∴曲线2y x =及直线2y x =的交点为()0,0O 和()2,4A 因此，曲线2y x =及直线2y x =所围成的封闭图形的面积是()222320014233S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故答案为43. 点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．16．17a -≤<【详解】由题意，2()34f x x x a '=+-，则(1)(1)0f f ''-<，解得-1＜a ＜7，经检验当a=-1时，2()3410f x x x '=++=的两个根分别为121,13x x ，所以符合题目要求，7a =时，2()3410f x x x '=++=,在区间无实根，所以17a -≤<．17．（1）2z i =+（2）(1,1)-【分析】 （1）先由复数的四则运算得出z ，再由共轭复数的定义得出z ；（2）由2z i =+化简2()z ai +，根据该复数所在象限，列出不等式组，即可得出a 的取值范围．【详解】（1）43(43)(12)105212(12)(12)5i i i i z i i i i ++--====-++- 2z i ∴=+（2）()222()2(1)4(1)4(1)z ai a i a a i =+=++-+++ 由题意可得24(1)04(1)0a a ⎧-+>⎨+>⎩，解得11a -<< 则实数a 的取值范围为(1,1)-【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，共轭复数的定义，由复数所在象限求参数范围，属于中档题.18．（1）112a b ==-，（2）单调减区间是()01，，单调增区间是()1+∞，. 【分析】（1）根据函数解析式先求得导函数，根据极值及极值点即可得关于a ，b 的方程组，即可求得a ，b 的值.（2）将a ，b 的代入解析式并求得定义域，求得极值点，根据极值点左右两侧导函数的符号即可判断函数的单调性.【详解】（1）函数2()ln f x ax b x =+， ()2b f x ax x'=+. 又()f x 在1x =处有极值12， ∴1(1)2(1)0f f ⎧=⎪⎨⎪=⎩'，即120a ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩， 解得112a b ==-，. （2）由（1）可知21()ln 2f x x x =-，其定义域是()0+∞，， 且1(1)(1)()x x f x x x x+-'=-=. 令()0f x '=，解得1x =，1x =-（舍），由()0f x '<，得01x <<；由()0f x '>，得1x >.所以函数()y f x =的单调减区间是()01，，单调增区间是()1+∞，. 【点睛】本题考查了利用导函数的极值点与极值求参数，利用导函数判断函数的单调性，属于基础题. 19．（1）720（2）240（3）360（4）144【分析】（1）6人的全排列，即可得出答案；（2）由“捆绑法”结合分步乘法计数原理求解即可；（3）由甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，即可得出答案；（4）先排女生，采用插空法得出男生的排法，结合分步乘法计数原理，即可得出答案.【详解】（1）6人排成一排照相，即为6人的全排列，即有66720A =种不同的排法.（2）采用“捆绑法”，即甲、乙两人看成一个人，这样有55A 种不同的排法，然后甲、乙两人之间再排队，有22A 种排法，由分步乘法计数原理得出有52521202240A A ⋅=⨯=种排法. （3）甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，所以有6613602A =种排法. （4）先排女生，有33A 种排法，再把3个男生插入这3个女生形成的空档中（包括两端），这样男生有34A 种排法，由分步乘法计数原理可知有3343246144A A ⋅=⨯=种排法. 【点睛】本题主要考查了分步乘法计数原理，排列的应用，涉及了插空法，捆绑法的应用，属于中档题.20．见解析【分析】由分析法的步骤以及不等式的性质证明即可.【详解】证明：要证|||1|x y xy ++即证22()(1)x y xy ++≤即证22221x y x y +≤+即证()()22110x y --因为||1,||1x y ，所以2210,10x y -≤-所以()()22110x y--≤，不等式得证【点睛】 本题主要考查了分析法的应用，涉及了不等式的性质，属于中档题.21．(1) 14m ≤ (2) 2max 4()2e f x -= 【解析】试题分析：（1）若函数f （x ）在（12，+∞）上是增函数，⇔f′（x ）≥0在（12，+∞）上恒成立．利用二次函数的单调性即可得出；（2）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．试题解析：（1）若函数()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，则()0f x '≥在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，而()m f x x x '=-，即2m x ≤在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即14m ≤. （2）当2m =时，()222x f x x x x='-=-.令()0f x '=，得x =当x ⎡∈⎣时，()0f x '<，当)x e ∈时，()0f x '>，故x =()f x 在[]1,e 上唯一的极小值点，故()min 1ln2f x f ==-. 又()112f =，()221412222e f e e -=-=>，故()2max 42e f x -=. 点睛：点睛：函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论（1）若在(),a b 内()0(0)f x >'<，则()f x 在(),a b 上单调递增（减）．（2）()f x 在(),a b 上单调递增（减）⇔ ()'0f x ≥（0≤）在(),a b 上恒成立，且在(),a b 的任意子区间内都不恒等于0．（不要掉了等号．）（3）若函数()f x 在区间(),a b 内存在单调递增（减）区间，则()0(0)f x >'<在(),a b 上有解．（不要加上等号．）22．(1)(],e -∞;(2)(]22ln 2,32ln3--【详解】(1)由0a =，()()f x g x ≥可得ln m x x -≥- 1 ()1,x ∈+∞，即ln x m x ≤，记()ln x x xφ=， 则()()f x g x ≥在()1,+∞上恒成立等价于()min m x φ≤.求得()ln 1'ln 2x x xφ-= 当()1,x e ∈时,()'0x φ<;当(),x e ∈+∞时,()'0x φ>.故()x φ在x e =处取得极小值，也是最小值，即()()min x e e φφ==，故m e ≤.所以，实数m 的取值范围为(],e -∞(2)函数()()()h x f x g x =-在[]1,3上恰有两个不同的零点等价于方程2ln x x a -=,在[]1,3上恰有两个相异实根．令()2ln k x x x =-，则()2'1k x x =-. 当[)1,2x ∈时，()'0k x <；当(]2,3x ∈时，()'0k x >，∴()k x 在[)1,2上是单调递减函数，在(]2,3上是单调递增函数．故()()min 222ln 2k x k ==-，又()11k =，()332ln3k =-，∵()()13k k >，∴只需()()23k a k <≤，故a 的取值范围是(]22ln 2,32ln3--．。
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广西蒙山县蒙山中学【最新】高二4月网站在线考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数z 满足12z i =-，i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ）A ．2i -B ．2C ．2-D ．2i2．10(1)x -展开式中3x 项的系数为A ．720-B ．720C ．120D ．120- 3．证明：2111111(1)22342n n n n +<++++++，当2n =时，中间式子等于（ ） A ．1 B ．112+ C ．11123++ D ．1111234+++ 4．函数()22ln f x x x =-的单调减区间是（ ）A ．(]0,1B ．[)1,+∞C ．(](],10,1-∞-⋃D ．[)(]1,00,1-⋃ 5．已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为A ．1B ．2C ．-1D ．-26．3名同学分别从英语、日语中各选修一门外语课程，不同的选修方法共有（ ） A ．3种 B ．6种 C ．8种 D ．9种 7．有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线:已知直线b ⊄平面α,直线a ⊂平面α,直线//b 平面α,则直线//b 直线a ”的结论显然是错误的,这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误 8．已知112,1()2n n n a a a n N a *+==∈+，猜想n a 的表达式（ ） A ．422n n a =+ B ．21n a n =+ C ．11n a n =+ D ．221n a n =+. 9．知识竞赛中给一个代表队的4人出了2道必答题和4道选答题，要求4人各答一题，共答4题，此代表队可选择的答题方案的种类为（ ）10．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种11．若虚数(2)(,)x yi x y R -+∈y x 的最大值是（ ）A B ．3C ．12D 12．定义在R 上的函数f (x )的导函数为()'f x ，若对任意实数，x 有()()f x f x '>，且()2018f x +为奇函数，则不等式()20180x f x e +<的解集是（ ）A ．()0-∞，B ．(0+)∞，C ．1()e -∞，D ．1()e +∞，二、填空题13．复数132i z i-+=-，则z = ___________ . 14．设[](]2,0,1()2,1,2x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，则20()d f x x ⎰=________．15．已知423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则()()2202413a a a a a ++-+=_______.16．已知函数32()31f x x ax ax =-++在区间(,)-∞+∞内既有极大值，又有极小值, 则实数a 的取值范围是___________.三、解答题17．已知函数21()12f x x =-+，x ∈R . （1）求函数图像过点(1,1)的切线的方程；（2）求函数()f x 的图像与直线1y =-所围成的封闭图形的面积.18．2名女生和4名男生外出参加比赛活动．（1）他们排成一列照相时，若2名女生必须在一起，有多少种排列方法？（2）他们排成一列照相时，若2名女生不相邻，有多少种排列方法？（3）从这6名学生中挑选3人担任裁判，至少要有1名女生，则有多少种选法？ 19．已知a>0,b>0,且a+b>2,求证1b 1a :, 2.a b++中至少有一个小于20．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1，1)上单调递增，求a 的取值范围．21．已知(n x +的展开式中的第二项和第三项的系数相等．()1求n 的值；()2求展开式中所有二项式系数的和；()3求展开式中所有的有理项．22．已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >． (1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；(2)若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．C【分析】根据虚部的定义求解即可.【详解】因为12z i =-，所以z 的虚部为2-故选：C【点睛】本题主要考查了求复数的虚部，属于基础题.2．D【详解】因为()()110101r rr r r r T C x C x +=-=-，令3r =，可得3x 项的系数为310120C -=-. 考查二项式定理展开式中特定项问题，解决此类问题主要是依据二项展开式的通项 3．D【解析】试题分析：2n =时中间式子的最后一项为14，中间式子为1111234+++ 考点：数学归纳法4．A【分析】依题意，可求得()f x '，由()0f x '<即可求得函数2()2f x x lnx =-的单调减区间．【详解】解：2()2(0)f x x lnx x =->，22(1)(1)()2x x f x x x x +-∴'=-=，令()0f x '<由图得：01x <<，∴函数2()2f x x lnx =-的单调减区间是(0,1)，故选：A ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查解不等式的能力，属于基础题．5．B【解析】设切点00(,)P x y ，则，又001|1x x y x a===+' 00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=，故答案选B ．6．C【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.【详解】第一名同学从英语、日语中各选修一门外语课程，共有2种方法第二名同学从英语、日语中各选修一门外语课程，共有2种方法第三名同学从英语、日语中各选修一门外语课程，共有2种方法则不同的选修方法共有2228⨯⨯=故选：C【点睛】本题主要考查了分步乘法计数原理的应用，属于中档题.7．A【分析】分析该演绎推理的三段论，即可得到错误的原因，得到答案．【详解】该演绎推理的大前提是：若直线平行与平面，则该直线平行平面内所有直线，小前提是：已知直线//b 平面α，直线a ⊂平面α，结论是：直线//b 平面α；该结论是错误的，因为大前提是错误的，正确叙述是“若直线平行于平面，过该直线作平面与已知平面相交，则交线与该直线平行”，故选A ．【点睛】本题主要考查了演绎推理的三段论退，同时考查了空间中直线与平面平行的判定与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．B【分析】根据递推公式写出数列的前4项，由前4项的规律，猜想得出n a的表达式.【详解】121 11a==+222 123a==+34421 3226132 23a====+++412 11422a==++由此可猜想出21nan=+()n*∈N故选：B【点睛】本题主要考查了根据数列递推公式写出数列的项以及归纳推理的应用，属于中档题.9．C【分析】先选出2道选答题，再加上2道必答题，最后把这4道题分给4个人，根据分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，先从4道选答题中选出2道试题，共有24C种选法，再加上2道必答题，共计4道题，把这4道题分给代表队中的4个人，共有44A中不同的分法，由分步计数原理可得，此代表队可选择的答题方案的种类为2444C A.故选：C.【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中合理应用先选后排的方法是解答的关键，着重考查了等价转化思想的应用，属于中档试题.10．B【解析】5名志愿者先排成一排，有55A 种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有5524A ⋅⋅=960种不同的排法，选B ．11．D【分析】由复数为虚数得到0y ≠(,)x y 在圆上，再利用斜率求y x的最大值.【详解】因为(2)(,)x yi x y R -+∈是虚数，所以0y ≠，又因为|(2)|x yi -+=所以22(2)3x y -+=. 因为y x是复数x yi +对应点与原点连线的斜率，所以max ()tan y AOB x=∠=所以y x . 故选：D【点睛】本题考查复数的模、复数的几何意义、斜率的求解，考查数形结合思想、转化与化归思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.12．B【分析】 设()()xf xg x e =，根据导数可得()g x 在R 上单调递减，又()2018f x +为奇函数，定义域为R ，可得(0)2018f =-，则(0)2018g =-，依题意，()20180x f x e +<可变形为()2018x f x e<-，即()(0)g x g <，再根据()g x 的单调性即可求出结果. 【详解】 设()()x f x g x e =，则()()()xf x f xg x e ''-=， 对任意实数x ，有()()f x f x '>，所以，()0g x '<， 所以()g x 在R 上单调递减.因为()2018f x +为奇函数，且()f x 的定义域为R ，所以(0)2018=0f +，所以(0)2018f =-，所以(0)2018g =-.因为0x e >，所以求不等式()20180x f x e +<的解集， 即求()2018x f x e<-的解集，即求()(0)g x g <的解集， 因为()g x 在R 上单调递减，所以()(0)g x g <的解集为0x >，所以不等式()20180xf x e +<的解集为(0+)∞，. 故选：B【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及根据函数单调性求解不等式问题，当导数和原函数进行四则运算时往往需要构造新函数进行解答，属中档题.13【分析】算出1z i =-+，然后即可求出z .【详解】 因为()()()()132131222i i i z i i i i -++-+===-+--+所以z ==【点睛】本题考查的是复数的计算及其模的计算，较简单.14．56. 【分析】首先根据函数()f x 是分段函数，所以将定积分转化为两段，利用微积分定理求得结果.【详解】∵[](]2,0,1()2,1,2x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩， ∴()2122001()d d 2d f x x x x x x =+-=⎰⎰⎰312201115| (2)|326x x x +-=， 故答案是：56. 【点睛】 该题考查的是有关定积分的求解问题，涉及到的知识点有利用微积分定理求定积分的值，在解题的过程中，注意对分段函数应该分段来处理，属于简单题目.15．16【分析】分别令1x =和1x =-，代入二项式展开式，由此求得所求表达式的值.【详解】令1x =得(4012342a a a a a =++++①，令1x =-得(4012342a a a a a -=-+-+②，故()()2202413a a a a a ++-+=()()0123401234a a a a a a a a a a ++++⋅-+-+((4422=+⋅-()4424216=-==.【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查赋值法，考查平方差公式，考查运算求解能力，属于中档题.16．90a a ><或 【解析】由题意知2()3230f x x ax a =-+='在R 上有两个不同实数根，因而2(2)4330,90a a a a ∆=--⨯⨯>∴><或17．(1) 切线方程为1y =或23y x =-+(2) 163【分析】（1）设切点为2001,12P x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线斜率()00k f x x ==-'，即可求得曲线在P 点处的切线方程，把点()1,1代入解出0x 即可；（2）联立函数()f x 与直线1y =-的方程，从而可得函数()f x 的图象与直线1y =-所围成的封闭图形的面积：()222112222f x dx x dx ⎛⎫⎡⎤+=-+ ⎪⎣⎦--⎝⎭，利用微积分基本定理即可得出． 【详解】（1）设切点为2001,12P x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线斜率()00k f x x ==-'，所以曲线在P 点处的切线方程为()()2000112y x x x x ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭，把点()1,1代入，得()00012002x x x -=⇒=或02x =，所以切线方程为1y =或23y x =-+.（2）由2121211x y x y y ⎧=-=-+⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⎩或21x y =⎧⎨=-⎩ 所以所求的面积为()2322211161222220263f x dx x dx x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=-+=-+= ⎪ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程以及微积分定理，属于中档题. 应用导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：①设切点，求导并且表示在切点处的斜率；②根据点斜式写出切线方程；③将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；④将切点代入切线方程，得到具体的表达式.18．（1）240（2）480（3）16 【分析】（1）采用 “捆绑法”结合分步乘法计数原理求解即可； （2）采用 “插空法”结合分步乘法计数原理求解即可；（3）先得出6人中选3人的选法，得出4名男生中选3人的选法，再相减，即可得出答案. 【详解】（1）采用 “捆绑法”，将2名女生看成一人，这样有55A 种排法，然后两个女生再排队，有22A 种排法，由分步乘法计数原理可知有2525240A A ⨯=种排法.（2）采用 “插空法”，先排男生，有44A 种排法，再将2名女生插入到4名男生形成的空档（包括两端），这样女生有25A 种排法，由分步乘法计数原理可知有4245480A A ⨯=种排法.（3）6人中选3人共有36C 种选法，4名男生中选3人共有34C 种选法所以从这6名学生中挑选3人担任裁判，至少要有1名女生，则有336416C C -=种选法 【点睛】本题主要考查了排列和组合应用，分步乘法计数原理的应用，属于中档题. 19．见解析 【解析】分析：用反证法证明，先假设结论不成立：假1b 1a ,a b ++设都不小于2,1b a +则≥21a,b+≥2.再利用条件和假设的结论推矛盾：两式相加整理可得a b 2+≤，与条件矛盾 详解：假1b 1a,a b++设都不小于2, 1b a +则≥21a ,b+≥2.∵a>0,b>0, ∴1+b≥2a,1+a≥2b.两式相加,可得1+1+a+b≥2(a+b), 即2≥a+b,这与已知a+b>2矛盾.故假设不成立,1b 1a,a b++即中至少有一个小于2. 点睛：反证法的基本步骤：先假设结论不成立（结论的反面成立），再利用条件和假设的结论推矛盾．20．（1）见解析（2）[32，+∞） 【分析】（1）求出a=2的函数f （x ）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间； （2）求出f （x ）的导数，由题意可得f′（x ）≥0在（﹣1，1）上恒成立，即为a ﹣x 2+（a ﹣2）x≥0，即有x 2﹣（a ﹣2）x ﹣a≤0，再由二次函数的图象和性质，得到不等式组，即可解得a 的范围． 【详解】（1）a=2时，f （x ）=（﹣x 2+2x ）•e x 的导数为 f′（x ）=e x （2﹣x 2），由f′（x ）＞0＜x由f′（x ）＜0，解得x x ．即有函数f （x ）的单调减区间为（﹣∞），，+∞），．（2）函数f （x ）=（﹣x 2+ax ）•e x 的导数为 f′（x ）=e x [a ﹣x 2+（a ﹣2）x]，由函数f （x ）在（﹣1，1）上单调递增， 则有f′（x ）≥0在（﹣1，1）上恒成立，即为a ﹣x 2+（a ﹣2）x≥0，即有x 2﹣（a ﹣2）x ﹣a≤0， 则有1+（a ﹣2）﹣a≤0且1﹣（a ﹣2）﹣a≤0， 解得a≥32． 则有a 的取值范围为[32，+∞）． 【点睛】本题考查函数的单调性的判断和运用，同时考查导数的运用：求单调区间和判断单调性，属于中档题和易错题．21．（1）5；（2）32；（3）见解析 【分析】（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，列出方程求出n 的值； （2）利用展开式中所有二项式系数的和为2n ，即可求出结果； （3）根据二项式展开式的通项公式，求出展开式中所有的有理项 【详解】二项式nx ⎛+ ⎝展开式的通项公式为32112r rrn r n r r r n n T C x C x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭ （r=0，1，2，…，n ）；（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得2121122n n C C ⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝⎭，即()111242n n n -=⋅解得n=5； （2）展开式中所有二项式系数的和为0123455555555232C C C C C C +++++==（3）二项式展开式的通项公式为355215512r rr r r r r T C x C x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭（r=0，1，2，…，5）；当r=0，2，4时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为0551512T C x x ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭22532351522T C x x -⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭44565515216T C x x -⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭． 【点睛】注意区别，展开式的“二项式系数”与“二项展开式的系数”，如本题中二项展开式的系数为：12rr n C ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，而二项式系数为r n C ；二项展开式（a+b ）n 的第（r+1）项，其通项公式为1rn r r r n T C a b -+=⋅⋅（ r ∈{0,1,2,3，…，n}）．22．(1)a =(2)1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：本题主要考查利用导数求函数的极值、单调区间、最值等基础知识及分类讨论思想，也考查了学生分析问题解决问题的能力及计算能力.第一问先对函数进行求导，再把极值点代入导函数求得实数a 的值；第二问对任意的x 1，x 2∈[1，e]都有f(x 1)≥g(x 2)成立等价于对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f(x)min ≥g(x)max ，利用导数分别判断函数f (x)、g(x)的单调性并求其在定义域范围内的最值，判断单调性时可对实数a 进行分类讨论，则可求得实数a 的取值范围．试题解析：(1)∵h(x)＝2x ＋2a x ＋ln x ，其定义域为(0，＋∞)，∴h′(x)＝2－22a x＋1x ，∵x ＝1是函数h(x)的极值点，∴h′(1)＝0，即3－a 2＝0.∵a ＞0，∴a经检验当a x ＝1是函数h(x)的极值点，∴a .(2)对任意的x 1，x 2∈[1，e]都有f(x 1)≥g(x 2)成立等价于对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f(x)min ≥g(x)max .当x ∈[1，e]时，g′(x)＝1＋1x＞0. ∴函数g(x)＝x ＋ln x 在[1，e]上是增函数，∴g(x)max ＝g(e)＝e ＋1.∵f′(x)＝1－22a x＝，且x ∈[1，e]，a ＞0.①当0＜a ＜1且x ∈[1，e]时，f′(x)＝＞0，∴函数f(x)＝x ＋2a x在[1，e]上是增函数，∴f(x)min ＝f(1)＝1＋a 2.由1＋a 2≥e ＋1，得0＜a ＜1，∴a 不合题意． ②当1≤a≤e 时，若1≤x≤a，则f′(x)＝＜0，若a＜x≤e，则f′(x)＝＞0.∴函数f(x)＝x＋2ax在[1，a)上是减函数，在(a，e]上是增函数．∴f(x)min＝f(a)＝2a.由2a≥e＋1，得a≥12e+. 又1≤a≤e，∴12e+≤a≤e.③当a＞e且x∈[1，e]时f′(x)＝＜0，函数f(x)＝x＋2ax在[1，e]上是减函数．∴f(x)min＝f(e)＝e＋2ae.由e＋2ae≥e＋1，得a＞e，∴a＞e.综上所述，a的取值范围为[12e+，＋∞)．考点：1.利用导数求函数的极值、单调区间、最值；2.分类讨论思想.。