(完整word版)沪科版八年级数学下知识点总结

沪科版八年级数学下知识点总结

二次根式知识点：

知识点一：二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但

必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，

等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围

1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性

（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。知识点四：二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式

也可以反过来应用：若，则，如：，.

知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于

a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点

1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，

而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有

差别的，，而

2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而

知识点七：二次根式的性质和最简二次根式

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y 等；

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等

（3）最终结果分母不含根号。

知识点八：二次根式的乘法和除法

1.积的算数平方根的性质

√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）

2. 乘法法则

√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）

二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

3.除法法则

√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）

二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根。

4.有理化根式。

如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。

1 同类二次根式

一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

2 合并同类二次根式

把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

1确定运算顺序

2灵活运用运算定律

3正确使用乘法公式

4大多数分母有理化要及时

5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化

分母有理化有两种方法

I.分母是单项式

如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b

II.分母是多项式

要利用平方差公式

如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b

如图

注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。

一元二次方程知识点：

1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一

元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、

b、 c；其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.

2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法

虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.

3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的

判别式.请注意以下等价命题：

Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；

Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：

x x a

b x x )2(a 2a

c 4b b x )

1(212122

,1=

-=+-±-=，

； 5. 一元二次方程的解法

（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法）

①2(0)x a a =≥ 解为：x =

②2()(0)x a b b +=≥ 解为：x a +=

③2()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b +=④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+

（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法

如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠?+= 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0

290(3)(3)0x x x -=?+-= 230(3)0x x x x -=?-=

3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=?--=

22694(3)4x x x -+=?-= 2241290(23)0x x x -+=?-= 24120(6)(2)0x x x x --=?-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=?-+=

（3）配方法

①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：

222

0()()022

P P x Px q x q ++=?+

-+= 示例：22233

310()()1022x x x -+=?--+=

②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：

22220 (0)()0 ()()022b b b

ax bx c a a x x c a x a c a a a

++=≠+

+=?-?++=g

22222

4()()2424b b b b ac

a x c x a a a a

-?+=-?+= 示例： 22221

111210(4)10(2)2102222

x x x x x --=?--=?--?-=

（4）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：

222

4()24b b ac

x a a

-+= ①当240b ac ?=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：

1,2x =

② 当240b ac ?=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a

=- ③ 当240b ac ?=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。备注：公式法解方程的步骤：

①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、

②求出24b ac ?=-，并判断方程解的情况。

③代公式：1,22b x a

-=（要注意符号）

※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式 a

x x a

x x 2121=

-=+，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记)

（1）两根互为相反数 ? a

b -= 0且Δ≥0 ? b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数 ? a

c =1且Δ≥0 ? a = c 且Δ≥0；

（3）只有一个零根 ? a

= 0且a

b -≠0 ?

c = 0且b ≠0；（4）有两个零根 ? a

= 0

且a

b -= 0 ?

c = 0

且b=0；

（5）至少有一个零根 ? a

c =0 ? c=0；（6）两根异号 ? a

c ＜0 ? a 、c 异号；

（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值? a c ＜0且a

b -＞0? a 、

c 异号且a 、b 异号；

（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值? a

＜0

且a

b -＜0? a 、c

异号且a 、b 同号；

（9）有两个正根 ? a

c ＞0，a

b -＞0且Δ≥0 ? a 、

c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；

（10）有两个负根 ? a

c ＞0，a

b -＜0且Δ≥0 ? a 、

c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.

6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.

ax 2

+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 或 ax 2

+bx+c=???

? ??

----???? ??-+--

a 2ac 4

b b x a

2ac 4b b x a 22. 7．求一元二次方程的公式：

x 2 -（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数. 8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.

（2）常利用以下相等关系列方程：第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和.

9．分式方程的解法：

0)1(≠），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简

去分母法

.0.2≠分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，

换元法）（

10. 二元二次方程组的解法：

.0)3(0

)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0

)2)(1()3(;

02;1?

?==???==???==???==?

?===------分组为应注意：的方程）（）

（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（

※11．几个常见转化：

；

或；

；；?????<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+

-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1

x (x

x 2)x 1x (x 1

x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212

21221212

122122121222

21221221212212221222121212()2x x x x x x +=+-，

1212

11x x x x x x ++=

， 22121212()()4x x x x x x -=+-，

12||x x -= 2212121212()x x x x x x x x +=+，

221112

121212

22212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==

等

???=--=-=-?=-4x x .22

x x 2x x .12x x )

2(2

2121212

1）两边平方为（和分类为； ??

-==?==.

,)2(34x x 34x x )1()916x x (3

x x )

3(21212221

21因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；

0x ,0x :.

1x x B sin A cos ,1A cos A sin ,90B A B sin x ,

A sin x )4(21222

12221>>=+==+?=∠+∠==注意隐含条件可推出由公式时且如.

0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121>>注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.

,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个

勾股定理知识总结：一．基础知识点： 1：勾股定理

直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2）要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90C ∠=?

，则c

，b

，

a =）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：