结构动力计算多自由
结构动力学多自由度
▪ 振型方程：
(K i2M)ji 0 (i 1, 2, 3, n)
▪∵
K 2i M 0
▪ ∴ 第i 个振型方程中的n 个方程中只有n-1个是独立的！ ▪ ——无法得到j1i、 j2i、 … 、 jni 的确定值， ▪ 但可以确定各质点振幅之间的相对比值： ▪ —— 振型的幅值是任意的，但形状是惟一的。
一致质量矩阵：
L
pava m13v1 0 fI ( x)v( x)dx
L
0
m( x) 3( x)v3
L
1( x)v1dx
mij 0 EI ( x)i ( x) j ( x)dx
L
cij 0 c( x) i ( x) j ( x)dx
其中，c(x)表示分布的粘滞阻尼特性。
一致节点荷载
L
vˆ 表示体系的形状，不随时间变化。
v 2vˆ sin(t ) 2v 2mvˆ sin(t ) kvˆ sin(t ) 0
k 2m vˆ 0
k 2m vˆ 0
即： k 2m 0
上式的N个根，表述体系可能存在的N个振型的频率。
1
2
3
N
2)
2
)
y32
(t
)
jˆ
32
s
in
(
2
t
2
)
1
jˆ
2i
yi
(t
)
jˆ3i
s
in(i
t
i
)
jˆ ni
1
jˆ 21
jˆ 31
jˆ 32
1
jˆ 22
将N个振型中的每一振型形式，用F表示N个振型所组成的方阵。
11 12 13 1N
结构力学结构的动力计算
§14-1 概述
一、构造动力计算旳特点
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，构造旳内力、位移等计算原理 和计算措施。求出它们旳最大值并作为构造设计旳根据。 （2）研究单自由度及多自由度旳自由振动、逼迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载旳大小和方向不随时间变化（如梁板 自重）。 （2）动荷载：荷载旳大小和方向随时间变化，需要考虑 惯性力（与影响线不同）。
2、自由度：构造运动时，拟定全部质点位置 所需要旳独立几何参变量旳数目（与几何构成自由 度不同）。
3、有关自由度旳几点阐明：
（1）基本未知量数目与自由度数目是一致旳。前者强调独 立位移数目，后者强调独立坐标数目。
（2）与几何构成份析中旳自由度不同。
（3）一般采用“集中质量法”，将连续分布旳质量集中为 几种质点研究。
y
y 0 ω
sinωt
y0cosωt
进一步可拟定式
y c sin(t ) 中旳c和
c
c12 c22
y02
(
y0
)2
tg
1(
c2 c1
)
tg 1 (
y0
y0
)
c
c2
c1
频率定义：
2 2f
T
频率：
k11 1 g gk11
m
m 11
w 11
w
周期： T 2
m 2 k11
■ 动力计算与静力计算旳区别:
•达朗伯原理:动力计算可化为静力平衡问题来处理。 •这是一种形式上旳平衡，是一种动平衡，是在引进 惯性力旳条件下旳平衡。 • 注意两个特点：
（1）力系中涉及惯性力； （2）瞬间旳平衡，荷载、位移、内力等都是时间旳 函数。
newmark法计算多自由度结构响应
newmark法计算多自由度结构响应多自由度结构是指具有多个独立振动模式的结构，在地震、风荷载等外部力作用下，结构会产生复杂的振动响应。
为了分析这种结构的振动响应，工程师通常使用有限元法中的newmark法。
本文将介绍newmark法的基本原理，以及如何使用该方法计算多自由度结构的振动响应。
一、newmark法的基本原理newmark法是一种常用的求解结构动力学问题的数值方法，它通过离散化结构的振动方程，将结构的振动响应分解为一系列的时间步长来进行计算。
newmark法的基本原理是基于结构的动力学方程和位移速度加速度之间的关系，通过数值积分的方法求解结构的位移、速度和加速度随时间的变化。
newmark法的基本框架可以表示为：\[ M\Delta \ddot{u}^{n+1} + C\Delta\dot{u}^{n+1} +Ku^{n+1} = P^n \]其中\(M\)是结构的质量矩阵，\(C\)是结构的阻尼矩阵，\(K\)是结构的刚度矩阵，\(\Delta \ddot{u}^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的加速度增量，\(\Delta\dot{u}^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的速度增量，\(u^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的位移，\(P^n\)是时间步长\(n\)时刻的外部荷载。
通过对上述结构动力学方程进行离散化，并选取合适的数值积分格式，可以得到newmark法的具体计算公式，其中包括了位移、速度和加速度的更新公式。
因此，newmark法可以方便地用于求解多自由度结构的振动响应。
二、使用newmark法计算多自由度结构的振动响应1.模型建立首先，需要对多自由度结构进行建模。
建模过程包括确定结构的几何形状、确定结构的材料性质、确定结构的边界条件等。
一般来说，可以采用有限元法来对多自由度结构进行离散化，将结构划分为多个小单元，并在每个小单元上建立适当的位移场和应变场。
结构力学专题十三(多自由度体系的动力计算)
FP1
m1
l
EI
l
FP 2
m2
l
二、任意荷载作用*
运动方程： M y(t) Ky(t) FP (t) (a)
1、主振型矩阵
1 2 n
2、广义质量、广义刚度
} M * T M 对角阵
K* T K
3、正则坐标
y(t) (t)
(b)
M y(t) Ky(t) FP(t) (a)
４、振型迭加法分析强迫振动
例1：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
k1 k，k2 2k，
m1
m1 m，m2 2m；
P0 sin t
EI1
k1 m2
h
已知：
2
k m
EI1
k2
h
A
P0 k
1 0
1
1
I
F
0P0
P0
P0
P0 k
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例2：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
已知：
i
(t
)
i
(0)
cos
it
i (0) i
sin
it
(i 1, 2)
l
0E.I041
P0 L3 EI
sinP0 stin
m
t
EI
从以上例题的计算中可看出，一般情况下 １l 〉２ 〉l〉ｎ
故在振型迭加法中,一般是前几阶振型起主要作用。
思考：用振型叠加法求例1所示结构的位移幅值。
2
k m
2
1 3
k m
2 5 k 3m
2
k m
P0 sin t
P0 sin t
结构动力学newmark法程序
用matlab编程实现Newmark-β法计算多自由度体系的动力响应姓名：***学号：**************专业：结构工程用matlab 编程实现Newmark -β法 计算多自由度体系的动力响应一、Newmark -β法的基本原理Newmark-β法是一种逐步积分的方法，避免了任何叠加的应用，能很好的适应非线性的反应分析。
Newmark-β法假定：t u u u ut t t t t t ∆ββ∆∆]}{}){1[(}{}{+++-+= (1-1)2]}{}){21[(}{}{}{t u u t uu u t t t t t t ∆γγ∆∆∆+++-++= (1-2) 式中，β和γ是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。
当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变，取为常数)}{}({21t t t u u ∆++ 。
研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。
由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ∆+}{及t u }{，t u}{ ，t u }{ 表示的t t u ∆+}{ ，t t u ∆+}{ 表达式，即有t tt t t t t u u t u u t u}){121(}{1)}{}({1}{2----=++γ∆γ∆γ∆∆ (1-3) t t t t t t t u t uu u t u}{)21(}){1()}{}({}{ ∆γβγβ∆γβ∆∆-+-+-=++ (1-4) 考虑t +∆t 时刻的振动微分方程为：t t t t t t t t R u K u C uM ∆∆∆∆++++=++}{}]{[}]{[}]{[ (1-5) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +∆t 的方程t t t t R u K ∆∆++=}{}]{[ (1-6)式中][][1][][2C t M tK K ∆γβ∆γ++= )}{)12(}){1(}{]([)}){121(}{1}{1]([}{}{2t t t t t t t t u t uu t C u u t u tM R R ∆γβγβ∆γβγ∆γ∆γ∆-+-++-+++=+求解式(2-146)可得t t u ∆+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u∆+}{ 和t t u ∆+}{ 。
第12章 结构的动力计算(3)
l2 7m 12EI
w2
1
l2
1.309
EI 1 261 . 86 s m l3
(3)求主振型ri
第一主振型
ห้องสมุดไป่ตู้
r1
Y11 12 m2 1 Y21 11 m1 l1 1
第二主振型
Y12 12 m2 1 r2 Y22 11 m1 l 2 1
w1
1
l1
, w2
1
l2
(4)求主振型
(11m1 1 )Y1 12 m2Y2 0 1
w
2
21m1Y1 ( 22 m2
1) 第一主振型：将w w1代入
w
2
)Y2 0
Y11 12 m2 r1 Y21 11 m1 l1
2) 第二主振型：将w w2代入
y 0 [ ][M ] y
注意：[]与[K]虽然互为逆阵，但[]中之ij与[K]中之kij元素一般并不互 逆（仅单自由度体系例外）。
(2)运动方程的求解
设特解
1 11 m2 2 12 y1 m1 y y 1 21 m2 2 22 y 2 m1 y y
1 1
C C C
l /4
M 基1
1 1 B
图
C
M 2图
B B
13ll /64 13l /64 /4
解:(1)求柔度系数ij
A
1 A B 2 C
11
M1M 基 1 l /4 EI
23 dx 24EI
M 基2 图
l /4
22
M 2 M 基2 EI
dx
23 24EI
【结构动力学】第10章 多自由度体系2020
0
0
N
其中，ωn— 第n阶自振频率，{φ}n—第 n阶振型。
[Φ]和[Ω]也分别称为振型矩阵和谱矩阵。
13
5 DOF with uniform mass and stiffness
5 DOF Base Isolated 14
15
5 DOF with uniform mass and stiffness
k22 2m22 k2N 2m2n 0
k N1 2mN1 k N 2 2mN 2 k NN 2mNN
10
对于N个自由度的稳定结构体系，频率方程是关于ω2的 N次方程，
a N ( 2 ) N a N 1 ( 2 ) N 1 a1 2 a 0 0
由此可以解得N个正实根（ω12<ω22<ω32…<ωN2）。 ωn(n=1, 2, …, N)即为体系的自振频率。其中量值最小的 频率ω1叫基本频率(相应的周期T1=2π/ω1叫基本周期)。 从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频 率即按自振频率做自由振动。按某一自振频率振动时，结 构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。
上述齐次方程组有非零解条件为：系数行列式为零
A [I ] 0
N×N矩阵[A]一般将有N个特征值，对应N个特征向量
6
§10-2 多自由度体系的自由振动
多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：
M u K u 0
其中：[M]、[K]为N×N阶的质量和刚度矩阵 {u}和{ü}是N阶位移和加速度向量 {0}是N阶零向量
11
把相应的自振频率ωn代入运动方程的特征方程得到振型
K n 2 M n 0
{φ}n={φ1n, φ2n , …, φNn }T—体系的第n阶振型 。 ➢ 由于特征方程的齐次性(线性方程组是线性相关的)，振型向量 是不定的，只有人为给定向量中的某一值，例如令φ1n=1，才能确 定其余的值。 ➢ 实际求解时就是令振型向量中的某一分量取定值后才能求解。 虽然令不同的分量等于不同的量，得到的振型在量值上会不一样， 但其比例关系是不变的。
结构动力学-多自由度系统振动
k 2k
y1 y2
0 0
m
M
0
0
k
m, K k
k
2k
解：①由频率方程求固有频率
K 2M 0 k m2
k 0
k 2k m2
展开上式得：(k m2 )(2k m2 ) k 2 0
2 1, 2
3k m
9k 2m2 4k 2m2 2m2
1 0.62
k, m
2 1.62
M20 0
M 21
y2 0
M1y1
M11
列力平衡方程为：M11 M1y1 0 M11 M1 M 21 0, M 31 0
同样的分析可以求得：M12 0, M 22 M 2 , M 23 0; M13 0, M 23 0, M 33 M 3;
所以，得到质量矩阵为： M1 0 0
k2
k3
P
p1 (t) p2 (t)
二、柔度矩阵法 用柔度矩阵法或者刚度矩阵建立方程本质上也是基于力的 动平衡来建立方程，关键在于求柔度系数或刚度系数。
例题 3-2 梁的跨长为 l ,梁上有两个集中质量 M1 和 M 2 ，分别受 到集中力 p1 (t) 和 p2 (t) 的作用。不计梁自身的质量和阻尼，建立 系统的垂向振动方程.
上面的方程为惯性解耦，刚度耦合方程。
kij 的物理意义：j 坐标发生单位位移，其余坐标位移全部为
零时, i 坐标引起的恢复力。
mij 的物理意义：仅在 j 坐标发生单位加速度时,在第 i 坐标所产生 的惯性力.
用柔度矩阵法建立的一般方程：
Y (P MY)
两边同乘以 1
1Y 1(P MY)
例题:针对下图给出的系统，建立振动微分方程。
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y1 y2
(t (t
) )
Ay11(t) Ay21(t)
By12 (t) By22 (t)
四个积分常数A、B、α1和α2 ，可由运动的初始条件
yi (0) yi0 、yi (0) yi0（ i 1, 2 ）确定。
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
8. 5. 2 频率和振型
一个特解对应一种振动形式。按每一特解形式作自由 振动的特点是：
1）体系上所有质量的振动频率相同。
2）在振动的任一时刻，各质量位移的比值保持不变， 即振动形状保持不变，将此振动形式称作主振型，简称为 振型（mode shape）。
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
运动方程的通解
1 2
11
k12
k22 m112
21
k11 m112
k21
1 2 22
k11
k12
m122
k22
m122
k21
y11(t) y21(t)
11 sin 21 sin
(1t 1) (1t 1)
y12 (t) y22 (t)
12 22
sin sin
(2t 2 ) (2t 2 )
k12
0
k21
k22 2m2
K 2M 0
( 2 )2 ( k11 k22 ) 2 k11k22 k12k21 0
m1 m2
m1m2
( 2 )1, 2
1 2
( k11 m1
k22 m2
)
1 ( k11 k22 )2 k11k22 k12k21
4 m1 m2
m1m2
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
利用对称性
第二主振型 (反对称)
正对称
反对称
对称两自由度体系的自由振动可通过求解两个单自由度 问题来解决.
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
8. 5. 3 振型的正交性及其应用
两个自由度体系有两个振型向量 i i 1,2 ，存在着对
质量矩阵和刚度矩阵的正交性（orthogonality）：对应不 同自振频率的振型向量对质量矩阵和刚度矩阵都是正交的。
第一主振型 1
1.2809 第二主振型
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
例题 8-16 图8-33(a)所示简支梁在三分点处有两个相 等的集中质量，不计梁本身的自重，梁的抗弯刚度为常数。 试用柔度法求其自振频率和振型。
解：不计轴向变形， 本例有两个自由度，设1、 2两处质量的竖向位移分别
1 2
第一频率或基本频率
第二频率
基本振型或第一振型
第二振型
体系的频率和振型是体系的固有属性（natural property），
与外界因素无关。
振型向量
φ1
11
21
，
φ2
12
Байду номын сангаас
22
1 1
φi
k22
k21
i2m2
ci
k11
i2m1
k12
ci
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
T j
Mφi
0
T j
Kφi
0
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
关于振型正交性的物理解释
T j
Mi
0
i
2
T j
Mi
0
Yi i sin (it i ) (i 1,2)
FIi MYi
FIi i2Mi sin (it i ) (i 1, 2)
T j
FIi
,
2
1
(11 12 )m
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
例题 8-15 试求图8-32(a)所示两层刚架的自振频率和振 型。，已知横梁为刚性，各立柱的抗弯刚度，立柱的质量忽 略不计，横梁的质量m1= m2=5000 kg，每层的高度5 m。
解：两个自由度体系，设m1的位移为y1，m2的位移为y2
柔度形式的方程
(11m1
1
2
)1
12m22
0
21m11
( 22m2
1
2
)2
0
11m1
1
2
21m1
12 m2
0
22m2
1
2
1
2
1,2
11m1
22m2
2
1 4
(11m1
22m2
)2
(11 22
12 21)m1m2
1/
1 1
φi
11m1 i 12m2
ci
21m1
22m2
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
振型方程（equation of mode shape）或幅值方程
（ k11 m1 2 k211 (k22
)1 k122 m2 2 )2
0 0
K 2Mφ 0
频率方程（equation of frequency）或称为特征方程
k11 2m1
(60 12
17
)
EI ml 3
1
(60 12
EI 17) ml3
10.050 8 (1/ s)
2
EI (60 12 17) 32.418 8 (1/ s)
ml3
1
1
k22
k21
12m2
c1
1
0.7808
c1
1
2
k22
k21
22m2
c2
1
1.2809
c2
1 0.7808
T i
M
j
0
i≠ j
T i
K
j0
i≠ j
证明： K 2 M φ 0
Kφi i2Mφi Kφj j2 Mφj
T j
Kφi
T
ji
2
Mφi
iT Kφj iT j2 Mφj
T j
Kφi
Tj j2 Mφi
T
ji
2
Mφi
Tj j2 Mφi
0
i2
2 j
T j
Mφi
0
i2 j2
为y1和y2。
11
22
43 243EI
12
21
73 486EI
1
(11
12 )m
15 486
m3 EI
2
( 22
21)m
1 486
m3 EI
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
1
1/ 1 5.69
EI m3
1
1 1c1
2
1/ 2 22
EI m3
2
1 1c2
第一主振型 (正对称)
k11
4
12EI l3
48EI l3
k12
k21
4
12EI l3
48EI l3
k22
6
12 l
EI
3
72EI l3
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
12
60EI ml 3
12
17EI ml 3
(60 12
EI 17 ) ml3
2 2
60EI ml 3
12
17EI ml 3
i
ci
(i 1, 2)
8. 5 两自第由15度章体结系构的的振动力动计分算析
特例： 刚度形式
k11 k22 , m1 m2 m
1
k11 k12 m
, 2
k11 k12 m
柔度形式
11 22 , m1 m2 m
1 (11 12 )m
2 (11 12 )m
1
1
(11 12 )m