高中数学选修2-3第一章 排列组合二项式定理导学案
§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（一）【学习要求】1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题【学法指导】两个计数原理是推导排列数、组合数计算公式的依据，其基本思想贯穿本章始终，理解两个原理的关键是分清分类与分步.【知识要点】两个计数原理1．分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法.2．分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法.【问题探究】探究点一分类加法计数原理问题1用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？问题2问题1中最重要的特征是什么？问题3由问题1你能归纳出一般结论吗？问题4分类加法计数原理中的“各种方法”与“完成这件事”有什么关系？例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？问题5若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学，那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？小结如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有m1＋m2＋m3＋…＋m n种不同的方法．跟踪训练1某校高三共有三个班，其各班人数如下表：（1）从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同的选法？（2）从(1)班、(2)班男生中或从(3)班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？探究点二分步乘法计数原理问题1如图，从丽水经杭州到上海的途径有多少种？问题2用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？问题3由上述问题1,2，你能归纳猜想出一般结论吗？问题4分步乘法计数原理中的“各步方法”与“完成这件事”有什么关系？问题5如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事需要n个步骤，做每一步中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？例2某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选一台检验，有多少种不同的选法？小结利用分步乘法计数原理解决问题时，一定要正确设计“分步”的程序，即完成这件事共分几步，每一步的具体内容是什么，各步的方法、种数是多少，最后用分步乘法计数原理求解．跟踪训练2已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数是多少？探究点三两个计数原理的综合应用问题比较分类加法计数原理和分步乘法计数原理，你能找出它们的区别与联系吗？例3书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？（3）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？小结解两个计数原理的综合应用题时，最容易出现不知道应用哪个原理解题的情况，其思维障碍在于没有区分该问题是“分类”还是“分步”，突破方法在于认真审题，明确“完成一件事”的含义．具体应用时灵活性很大，要在做题过程中不断体会和思考，基本原则是“化繁为简”．跟踪训练3现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？（3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？（4）要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？【当堂检测】1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A ．7B ．12C ．64D ．812．从A 地到B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为 ( ) A ．1＋1＋1＝3 B ．3＋4＋2＝9 C ．3×4×2＝24 D ．以上都不对 3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线 ( ) A ．24种 B ．16种 C ．12种 D ．10种4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a ＋b i ，其中虚数有________个． 5．将3封信投入6个信箱内，不同的投法有________种．【课堂小结】1．本课主要学习了两个重要的计数原理，应用两个原理时，要仔细区分原理的不同，加法原理关键在于分类，不同类之间互相排斥，互相独立；乘法原理关键在于分步，各步之间互相依存，互相联系． 2．通过对这两个原理的学习，要进一步体会分类讨论思想及等价转化思想在解题中的应用．【拓展提高】1．用前六个大写的英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以,,,,,2121B B A A ⋅⋅⋅…的方式给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？2．一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成 个四位数号码.3．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名. （1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?【课后作业】§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（二）【学习要求】巩固分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能应用两个原理解决实际问题．【学法指导】用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要做到“不重不漏”，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性.【双基检测】1．如图所示，在由开关组A 与B 所组成的并联电路中，接通电源，则只闭合一个开关能使电灯发光的方法种数为 ()A ．6B ．5C ．30D ．12．用4种不同的颜色涂入如图所示的矩形A ，B ，C ，D 中，每个矩形只涂入一种，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有 ( ) A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种3．在夏季，一个女孩有红、绿、黄3件上衣，红、绿、黄、白、黑5种裙子，这位女孩夏季某一天去学校上学，有________种不同的穿法．【题型解法】题型一 两个计数原理在排数中的应用 例1 数字不重复的四位偶数共有多少个？小结 排数问题实际就是分步问题，需要用乘法原理解决．此题中，由于数字0的出现，又进行了分类讨论，即在解决相关的排数问题时，要注意两个原理的综合应用． 跟踪训练1 用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个： （1）三位整数？（2）无重复数字的三位整数？（3）小于500的无重复数字的三位整数？题型二 两个计数原理的实际应用 例2 （1）给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A ～G 或U ～Z ，后两个要求用数字1～9，最多可以给多少个程序命名？（2）核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分．一个RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每个位置上都有一个称为碱基的化学成分所占据．总共有4种不同的碱基，分别用A 、C 、G 、U 表示(如图所示)．在一个RNA 分子中，各种碱基能以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关．假设有一类RNA 分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA 分子？小结 以上两个问题分别表示两个原理在计算机字节与生物学中的应用，要解决好实际问题，首先要将问题与学习过的两个原理联系，确定用分类还是分步，或是分类和分步综合应用．跟踪训练2 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态，因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成．问：（1）一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码(GB 码)包含了6 763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？【当堂检测】1．某小组有8名男生，6名女生，从中任选男生、女生各一人去参加座谈会，则不同的选法有() A．48种B．24种C．14种D．12种2．已知函数y＝ax2＋bx＋c为二次函数，其中a，b，c∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数为() A．125 B．15 C．100 D．103．(a1＋a2)·(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋c3＋c4)的展开式中有________项．4．由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个：（1）无重复数字的三位数？（2）可以有重复数字的三位数？5．随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容．交通管理部门出台了一种汽车牌照号码组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么按照这种办法共能给多少辆汽车上牌照？【课堂小结】本课时主要讲解了两个基本原理的应用，通过不同类型的题目，要仔细体会两个计数原理的具体用法，尤其是在自然科学、现代科技中处处都离不开两个计数原理的应用，从而深刻体会数学本身的重要性，进一步坚定学好数学的信念.【拓展提高】1．某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？2．在在平面直角坐标系内，斜率在集合B=｛1，3，5，7｝, y轴上的截距在集合C=｛2，4，6，8｝内取值的不同直线共有条.3．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有种．4．自然数2520有多少个约数？5．现要排一份5天的值班表，每天有1人值班，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不准同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的选法？6．用1，2，3三个数字，可组成个无重复数字的自然数.【课后作业】§1.1习题课分类加法计数原理与分步乘法计数原理【学习要求】1．进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．能根据实际问题特征，正确选择原理解决实际问题．【知识要点】两个计数原理在解决计数问题中的用法在利用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析，是分类还是分步．【题型解法】题型一抽取(分配)问题例1高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种小结解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．跟踪训练13个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？题型二涂色问题例2一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．（1）如图1，圆环分成的3等份为a1，a2，a3，有多少种不同的种植方法？（2）如图2，圆环分成的4等份为a1，a2，a3，a4，有多少种不同的种植方法？小结(1)涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的区域可以同色．因此一般以不相邻区域同色，不同色为分类依据，相邻区域可用分步涂色的办法涂色．(2)涂色问题往往涉及分类、分步计数原理的综合应用，因此，要找准分类标准，兼顾条件的情况下分步涂色．跟踪训练2如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．题型三 种植问题例3 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法．小结 按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都完成了这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步．跟踪训练3 将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有________种(以数字作答).【当堂检测】1．某电话局的电话号码为168*****，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有 ( ) A ．20个 B ．25个 C ．32个 D ．48个2．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax ＋By ＝0的系数，则形成不同的直线最多有 ( ) A ．18条 B ．20条 C ．25条 D ．10条3．如图是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻正方形涂不同的颜色．如果颜色可反复使用，那么共有________种涂色方法．4．由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个： （1）无重复数字的三位数？ （2）可以有重复数字的三位数？【课堂小结】1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础．2．应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤．3．一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏． 4．若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些.【拓展提高】1．有4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报名种数是2．如图6个扇形区域F E D C B A 、、、、、，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可供选择，有多少种染色方法？3．将一个四棱锥S ABCD 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？§1.2.1排列（一）【学习要求】1．理解并掌握排列的概念．2．理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．【学法指导】排列是分步乘法计数原理的一个重要应用，学习中要理解排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想.【知识要点】1．排列：一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列(arrangement)．2．排列数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号 表示．3．排列数公式：A mn ＝ (n ，m ∈N *，m ≤n )＝ .【问题探究】探究点一 排列(数)的概念问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的安排方法？问题2 从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 问题3 怎样判断一个具体问题是否为排列问题？ 例1 判断下列问题是否是排列问题．（1）从1、2、3、4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ （2）从1、2、3、4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？ （3）会场有50个座位，要求选出3个座位安排3位客人就座，有多少种不同的方法？小结 判断一个问题是否为排列问题的依据是否是有顺序，有顺序且是从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个不同的元素的问题就是排列，否则就不是排列． 跟踪训练1 判断下列问题是否是排列问题：（1）某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？ （2）从2,3,5,7,9中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少不同对数值？（3）从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？探究点二 排列的列举问题问题 对于简单的排列问题，怎样写出从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列？ 例2 写出下列问题的所有排列：（1）从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ （2）写出从4个元素a ，b ，c ，d 中任取3个元素的所有排列．小结 在写出所要求的排列时，可采用“树形”图或“框”图一一列出，一定保证不遗漏．跟踪训练2 写出下列问题的所有排列：（1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？（2）A 、B 、C 、D 四名同学排成一排照相，要求自左向右，A 不排第一，B 不排第四，共有多少种不同的排列方法？探究点三 排列数公式的推导及应用问题1 由例2中两个问题知：A 24＝4×3＝12，A 34＝4×3×2＝24，你能否得出A 2n 的意义和A 2n 的值？ 问题2 由以上规律，你能写出A m n 吗？有什么特征？若m ＝n 呢？例3 （1）计算：2A 58＋7A 48A 88－A 59. （2）求证：A m n ＋1＝m ·A m －1n ＋A m n .小结 利用排列数公式进行运算时，要注意排列数之间的关系，两种形式中，一种形式用于化简，证明等，而另一种形式常用于求解．跟踪训练3 （1）某年全国足球甲级(A 组)联赛共有10个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？（2）解不等式：2996->x X A A【当堂检测】1．下列问题属于排列问题的是 ( ) ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算． A ．①④ B ．①② C ．④ D ．①③④2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )A ．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B ．甲乙丙，乙丙甲C ．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D ．甲乙，甲丙，乙丙 3．设m ∈N *，且m <15，则(15－m )(16－m )…(20－m )等于( )A ．A 615－mB ．A 15－m 20－mC ．A 620－m D ．A 520－m4．8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．【课堂小结】1．排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”．这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准．2．排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用.【拓展提高】1．（1）215A;（2）66A（3）28382AA -;（4）6688A A .2．某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行 场比赛；3．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假设每股道只能停放1列火车）？【课后作业】§1.2.1排列（二）【学习要求】1．进一步加深对排列概念的理解．2．掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题．【双基检测】1．4×5×6×…×(n －1)×n 等于( )A ．A 4nB ．A n －4nC ．n ！－4!D ．A n －3n2．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( ) A ．36 B ．120 C ．720 D ．2403．从集合M ＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a ，b ， ①可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1？②可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1？其中属于排列问题的是________，其结果为________．4．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，若某女生必须担任语文科代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．【题型解法】题型一 无限制条件的排列问题例1 （1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ （2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？小结 本题两小题的区别在于：第(1)小题是从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第(2)小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．跟踪训练1 （1）某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的 信号？（2）将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？题型二 元素“在”与“不在”问题例2 用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？小结解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法．排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子．跟踪训练2五个学生和一个老师站成一排照相，问老师不排在两端的排法有多少种？题型三元素“相邻”与“不相邻”问题例37人站成一排．（1）甲、乙两人相邻的排法有多少种？（2）甲、乙两人不相邻的排法有多少种？（3）甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？（4）甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？小结处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．跟踪训练3对于本例中的7人，（1）甲、乙两人之间只有1人的排法有多少种？（2）甲、乙、丙排序一定时，有多少种排法？（3）甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？【当堂检测】1．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个 D．60个2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720 B．144 C．576 D．6843．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为()A．42 B．30 C．20 D．124．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允许有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有________种不同的放法．【课堂小结】1．对有特殊限制的排列问题，优先安排特殊元素或特殊位置．2．对从正面分类繁杂的排列问题，可考虑使用间接法．3．对要求某些元素相邻或不相邻的排列问题，可使用“捆绑法”、“插空法”.【拓展提高】1.（1）6男2女排成一排，2女相邻，有多少种不同的站法？（2）6男2女排成一排，2女不能相邻，有多少种不同的站法？（3）4男4女排成一排，同性者相邻，有多少种不同的站法？（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻，有多少种不同的站法？2．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？3．用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数.（1）没有重复数字的四位偶数？（2）比1325大的没有重复数字四位数？4．有4位男学生3位女学生排队拍照，根据下列要求，各有多少种不同的排列结果？（1）4个男学生必须连在一起；（2）其中甲、乙两人之间必须间隔2人.（3）若三女生互不相邻（4）若甲、乙两位同学必须排两端（5）若甲、乙两位同学不得排两端（6）若甲、乙两女生相邻且不与第三女生相邻5．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序.除第一个节目和最后一个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，求共有多少种不同的排法？6．一条铁路原有n个车站，为适应客运需要新增)1(mm个车站，客运车票增加62种，问原有多少个车站，现有多少个？【课后作业】§1.2.2组合(一)【学习要求】1．理解组合及组合数的概念．2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．【学法指导】组合研究的问题与排列是平行的，两者的区别是有无“顺序”．学习中可和排列相比较，领悟概念的本质，组合数公式推导中要研究组合与排列的关系.【知识要点】1．组合：一般地，从n个不同元素中，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)．2．组合数:从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．3．组合数公式：C m n＝A m nA m m＝＝(n，m∈N*，m≤n).【问题探究】探究点一组合的概念问题1从3名同学甲、乙、丙中选2名去参加一项活动，有多少种不同选法？问题2问题1和“从3名同学中选出2名去参加一项活动，其中1名参加上午的活动，1名参加下午的活动”有何区别？问题3排列与组合有什么联系和区别？例1判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．（1）10个人相互各写一封信，共写了多少封信？（2）10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？（3）10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？。
人教版 高中数学选修2-3 教案1.3.1二项式定理(含反思)
人教版高中数学精品资料§1．3．1二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课 课时安排：3课时 内容分析：二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．教学过程：一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ，展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ， ∴4413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++．二、讲解新课：二项式定理：01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈⑴()na b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……， 恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n rr ab -的系数是r n C ，……，有n 都取b 的情况有n n C 种，nb 的系数是nn C ，∴01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()na b +的二项展开式，⑶它有1n +项，各项的系数(0,1,)rn C r n =叫二项式系数，⑷r n rr n C ab -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r rr nT C a b -+=． ⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++三、讲解范例：例1．展开41(1)x+．解一： 411233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x+=++++23446411x x x x =++++．解二：4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x=++++．例2．展开6．解：6631(21)x x =-61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+32236012164192240160x x x x x x =-+-+-+． 例3．求12()x a +的展开式中的倒数第4项解：12()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220T C x a C x a x a -+===．例4．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==， （2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．点评：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同例5．（1）求9(3x+的展开式常数项； （2）求9(3x +的展开式的中间两项 解：∵399292199()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅， ∴（1）当390,62r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9(3x +的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，489912593423T C xx--=⋅=，15951092693T C x --=⋅=例6．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-，∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =．例7．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅，显然，上式中只有第四项中含x 的项，∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C（法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．例8．已知()()nm x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含2x 项的系数最小值分析：展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得3642=+n m ，从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解：()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x + ∴11(24)36m n C C +=，即218m n +=，()()1214mnx x +++展开式中含2x 的项的系数为t =222224mn C C +222288m m n n =-+-， ∵218m n +=， ∴182m n =-，∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+23715316()44n n =-+，∴当378n =时，t 取最小值，但*n N ∈， ∴ 5n =时，t 即2x 项的系数最小，最小值为272，此时5,8n m ==．例9．已知n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 解：由题意：1221121()22n n C C ⋅=+⋅，即0892=+-n n ，∴8(1n n ==舍去）∴818(rrrr T C-+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r rr r C x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项，则04316=-r，即0316=-r ， ∵r Z ∈，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若1+r T 是有理项，当且仅当4316r-为整数， ∴08,r r Z ≤≤∈，∴ 0,4,8r =，即 展开式中有三项有理项，分别是：41x T =，x T 8355=，292561-=x T例10．求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-，展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计， ∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=，一般地当a 较小时(1)1na na +≈+四、课堂练习：1.求()623a b +的展开式的第3项. 2.求()632b a +的展开式的第3项. 3.写出n 33)x21x (-的展开式的第r+1项.4.求()732x x+的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理展开：（1）5(a +；（2）5(2. 6.化简：（1）55)x 1()x 1(-++；（2）4212142121)x3x 2()x3x 2(----+7．()5lg xx x +展开式中的第3项为610，求x ．8．求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项答案：1. 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+== 2. 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+==3.2311(2rn rr n r rr r n n T C C x --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭4.展开式的第4项的二项式系数3735C =，第4项的系数3372280C =5. （1）552(510105a a a a a b =++； （2）52315(402328x x x x =+-. 6. （1）552(1(122010x x +=++；（2）1111442222432(23)(23)192x x x x x x--+--=+7. ()5lg xx x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010xx C xx ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,1000x x ⇒==8. nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n nn C -五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业： P36 习题1.3A 组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）八、教学反思：(a+b) ｎ=这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中rnC （r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
人教版选修2-3第一章《 二项式定理及其简单应用》(新)导学案
二项式定理及其简单应用（一） 学案学习目标：1..能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与展开式的特定项和特定项系数有关的问题．一.知识梳理1．二项式定理(a ＋b )n ＝_______________________________________(n ∈N *)称为二项式定理，其中C k n (k ∈{0,1，…，n })叫做______________，1k T +＝__________________(其中0≤k ≤n ，k∈N ，n ∈N *)称为二项展开式的通项公式．2．二项式系数的性质(1)二项式系数的最大值：当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值，即____最大；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，即__________＝__________最大；（2）由(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C k n x k ＋…＋C n n x n ，令x ＝___，得C 0n ＋C 1n ＋…＋C k n ＋…＋C n n ＝2n ，即_____________的和为2n. 令x ＝___，得C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝_______,即____________与______________相等。
二．疑难辨析，判断正误(1)C k n a n －k b k 是二项展开式的第k 项；( ) (2) (b ＋a )n 展开式的通项公式是1k T +=C k n a n －k b k ；( ) (3)通项公式中含有a ，b ，n ，k ，T k ＋1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求第五个元素．在有关二项式定理的问题中，常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题．这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程(或方程组)，这里必须注意n 是正整数，k 是非负整数，且k ≤n .( )(4)二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C n n 这n ＋1个组合数；( )(5)在(1－x )9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．( )三．合作探究探究一 有关展开式中的特定项问题1.求二项展开式的特定项。
人教版 选修2-3 第一章 二项式定理 同步教案
7
A．15
B．10
C．8
() D．5
6．(x＋2)10(x2－1)的展开式中 x10 的系数为______．
7．(1＋2x)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则 a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7 等于( )
A．32
B．－32
C．－33
D．－31
8．(1－ x)6(1＋ x)4 的展开式中 x 的系数是
6．求证：对于
n
N
， 1
1 n
n
1
1 n1 n 1
7. 在 (x2 3x 2)5 的展开式中 x 的系数为（ ）．
A．160 B．240 C．360 D．800
8．已知
a x
x 2
9
的展开式中
x3
的系数为
9 4
，常数
a
的值为___________．
6
9．(1)求证：1 3Cn1 32 Cn2 33 Cn3 (1)n 3n (2)n (2)若 (2x 3)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 ，求 (a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 的值．
x
【方法技巧】本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式 相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．
【题型三、利用通项公式求 xn 项系数】 【例 3】求 (1 x x2 )6 展开式中 x5 的系数．
【方法技巧】 (1 x x2 )6 不是二项式，我们可以通过1 x x 2 (1 x) x 2 或1 (x x2 ) 把它看成二项式展
人教版选修2-3第一章《 二项式定理及其简单应用》(新)导学案-word文档
二项式定理及其简单应用（一） 学案学习目标：1..能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与展开式的特定项和特定项系数有关的问题．一.知识梳理1．二项式定理(a ＋b )n ＝_______________________________________(n ∈N *)称为二项式定理，其中C k n (k ∈{0,1，…，n })叫做______________，1k T +＝__________________(其中0≤k ≤n ，k∈N ，n ∈N *)称为二项展开式的通项公式．2．二项式系数的性质(1)二项式系数的最大值：当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值，即____最大；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，即__________＝__________最大；（2）由(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C k n x k ＋…＋C n n x n ，令x ＝___，得C 0n ＋C 1n ＋…＋C k n ＋…＋C n n ＝2n ，即_____________的和为2n. 令x ＝___，得C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝_______,即____________与______________相等。
二．疑难辨析，判断正误(1)C k n a n －k b k 是二项展开式的第k 项；( ) (2) (b ＋a )n 展开式的通项公式是1k T +=C k n a n －k b k ；( ) (3)通项公式中含有a ，b ，n ，k ，T k ＋1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求第五个元素．在有关二项式定理的问题中，常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题．这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程(或方程组)，这里必须注意n 是正整数，k 是非负整数，且k ≤n .( )(4)二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C n n 这n ＋1个组合数；( )(5)在(1－x )9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．( )三．合作探究探究一 有关展开式中的特定项问题1.求二项展开式的特定项。
高中数学 1.3.1《二项式定理》导学案 新人教A版选修2-3
高中数学选修2-3 1.3.1《二项式定理》导学案姓名: 班级: 组别: 组名: 【学习目标】1.能记住二项式定理，并说出二项式定理中的公式特征2.会应用二项式定理解决简单问题【重点难点】重点：二项式定理中的公式特征难点：二项式定理的应用【学法指导】阅读教材、探究规律、分析例题、达标训练【知识链接】1．分类计数原理和分步计数原理2．排列、组合公式【学习过程】阅读教材第29页至第30页例1上面的内容，回答下列问题知识点一：探究（a+b）n的展开式问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？（a+b）4=问题4：（a+b）n的展开式又是什么呢？（1）将（a+b）n展开有多少项？（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？（3）二项式定理：()=+nba________________________________________________________________________阅读教材第30页例1至第31页的内容，回答下列问题知识点二：公式的运用【典例精析】例1.求6)12(x x -的展开式.分析：为了方便，可以先化简后展开.例2.①已知二项式10323⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，求展开式的第4项的二项式系数及第4项的系数； ②求n x x )2(2-的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1 （1）求n 的值； （2）求展开式中含23x 的项.小结：（1）某项的二项式系数及某项的系数的区别（2）求展开式中指定项的方法例3.已知在nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-333的展开式中，第6项为常数项, （1）求含2x 的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项.小结：求展开式中有理项的方法【基础达标】A1．在()103-x 的展开式中，6x 的系数为 （） A ．610C 27- B ．410C 27 C ．610C 9- D ．410C 9A2．已知（na a )132+的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n 是 （）A ．10B ．11C ．12D ．13B3．92)21(x x -展开式中9x 的系数是 .B4.1231⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中常数项为 .C5. ()()10311x x +-的展开式中，含5x 项的系数是 .D6. 若()100a x +的展开式中98x 的系数是9900，求实数a 的值.【课堂小结】我收获的知识有：我积累的方法有：【当堂检测】A1.求（2a +3b ）6的展开式的第3项.B2.写出n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3321的展开式的第r+1项.B3.（x-1）10的展开式的第6项的系数是（ ）.A.610CB.610C - C.510C D.510C - 【学习反思】本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是 我对导学案的建议是。
人教A版高中数学选修2-3第一章《二项式定理》教学设计
教法：启发式教学
教具学具：多媒体、学案
课型：新授课
学情分析：这一节课面对的是高二年级的学生，这一学段的学生已经初步具备了多项式运算、计数原理、组合等相关知识储备，能够在教师的引导下理解并掌握本节课的内容，但在动手操作和合作学习等方面，有待进一步加强。
（1）为什么每一项都是 的形式？
（2）为什么含 的项的系数是 ？
=_____________________
(1)展开式中有_____项
(2)各项的次数都等于二项式的指数___
(3)字母 指数的变化规律
_____________________________
(4. 的展开式的第六项的系数是________，第六项的二项式系数是________，常数项是________.
3.在 的展开式中 的系数为________.
教师及时关注学生的完成情况
表扬完成速度快正确率高的同学
投影参考答案后，学生在小组内完成互批互改
当堂检测既能使学生巩固本节课所学的基础知识，又能使教师及时了解学生的掌握情况
教师提出问题
(1)你能快速说出 的结果吗？
(2) 呢？
呢？
教师由此引出课题，板书题目
引导学生详细写出用多项式乘法法则得到 展开式的过程
提醒学生：
（1）借助两个计数原理分析展开式中的项数
（2）联系组合知识，以取b为例
鼓励学生积极踊跃发言，针对学生 的思路做出分析和讲解
教师借助多媒体动画演示全过程后，引导学生完成填一填的内容
课后作业
必做题：《同步练习册》 离散型随机变量的均值 对点练
拓展作业：查阅相关资料，了解杨辉三角
北师大版高中数学选修2-3：第一章第5节《二项式定理》教案
教材内容:选修2-3第一章第五节《二项式定理》教学目标1.知识与技能：（1）通过利用计数原理证明二项式定理；（2）理解并掌握二项式定理及二项式展开式，并能简单应用.（3）能区分二项式系数与二项式展开式项的系数。
2.过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、类比、概括的能力，以及化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，并形成从特殊到一般的归纳，然后证明，最后再应用的思想意识。
3. 情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识、创新精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨。
二、教学重点、难点重点：理解用计数原理分析(a+b)2、(a+b)3、(a+b)4的展开式的形成过程，并依此方法得到二项展开式。
推导出二项式定理，二项展开式的通项公式，区别二项式系数及项的系数。
难点：①二项展开式中会有哪几种类型的项？②展开式中各项的系数如何确定？一、情境设置提供一段父女对话视频，将《二项式定理》的实际应用之整除问题抛，并希望在这堂课中揭晓答案。
引起学生注意，在接下课程中要学习的内容与应用。
二、 复习引导计数原理：分类计数与分步计数（a+b ）2的计算结果，分类计数原理：第一类，都取a ，1种；第二类，取不同，2种；第三类，都取b ，1种；共4种。
分步计数原理:第一步，第一次取数有两种方法；第二步，第二次取数有两种方法，所以一共22=4种.三、 类比推理（a+b ）3展开并整理后有多少项？展开过程如何？分步记数原理：222=8分类记数原理：第一类，三次都不取b ，种；第二类，任一次取b,其他两次取a,种；第三类，任两次取b,其他一次取a,种；第四类，全都取b ，种，即共种.4项。
谁能最快写出（a+b ）4展开整理后的多项式，并说出各项系数和？四、突破新知（a+b ）n 展开并整理后，有哪些项？怎么得到？=+n b a )(n n n r r n r n n n n n b C b a C b a C a C +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++--110思考：二项式展开式中二项式系数、各项次数规律、项数规律、通项(r =0,1,2,…,n )公式。
高中数学选修2-3导学案,正规模版1.3
练1. 展开式中 的系数（05湖南）.
练2.如果 ，则
＝.
【当堂检测】
1. 展开式中各项系数的和是；
2.今天是星期三，再过 是星期.
3. 展开式的 系数是；
4.已知 展开式中 系数是56，则实数 的值为；
5.求 的展开式中 的系数.
1.求 展开式中的 的系数.
2.用二项式定理证明 能被8整除.
⑵二项式系数的三个性质：
对称性是指
增减性：当r满足时， 是增函数；
最值：当n是偶数时，展开式中间项是第项，它的二项式系数有最值为；当n是奇数时，展开式中间项是第项，它的二项式系数有最值为；
复习2：求 的展开式中 的系数及它的二项式系数，并求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
【教学过程】
（一）导入
3.掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
【学法指导】
（预习教材P32~P35，找出疑惑之处）
复习1：写出二项式定理的公式：
⑴公式中 叫做，二项展开式的通项公式是，用符号表示，通项为展开式的第项.
⑵在 展开式中，共有项，各项次数都为， 的次数规律是， 的次数规律是，各项系数分别是.
1.求 展开式中第8项；
2.求 的展开式中的常数项.
3.求 展开式的前4项；
4.（04年全国卷） 展开式中 的系数是.
【反思】
1.注意二项式定理中二项展开式的特征.
2.区别二项式系数，项的系数，掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项的方法.
《杨辉三角与二项式系数的性质》导学案
【学习目标】
1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
（二）深入学习
例1用二项式定理展开下列各式：
高中数学 第一章二项式定理教案3 新人教A版选修2-3
高中数学选修2-3：第一章《二项式定理》教案3例6．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x -的展开式中3x 的系数及二项式系数 解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280．（2）∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-， ∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =． 例7．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅， 显然，上式中只有第四项中含x 的项，∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C（法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=． 例8．已知()()nm x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含2x 项的系数最小值分析：展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得3642=+n m ，从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解：()()1214m n x x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x +∴11(24)36m n C C +=，即218m n +=，()()1214m nx x +++展开式中含2x 的项的系数为 t =222224mn C C +222288m m n n =-+-， ∵218m n +=， ∴182m n =-，∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+ 23715316()44n n =-+，∴当378n =时，t 取最小值，但*n N ∈， ∴ 5n =时，t 即2x 项的系数最小，最小值为272，此时5,8n m ==．。
2015-2016学年高二人教A版数学选修2-3导学案：1.3二项式定理
（
a+b
）
4
=
2、 二项式定理的证明过程 3、（ a+b） n= 4、（ a+b） n 的二项展开式中共有 ______项，其中各项的系数
叫做二项展开式的 通项 ，用 Tk+1 表示，即通项为展开式的第
______叫做 二项式系数 ，式中的 ____________ k+1 项： _____________________
课前预习学案 一、预习目标
借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性，增减性与最大值。
二、预习内容 1、二项式定理： ________________________________________________ ； 二项式系数： ______________________________________________ ；
3 项；
3. 写出 3 x
n
1 的展开式的第 r+1 项； 23 x
4. （x-1 ） 10 的展开式的第 6 项的系数是（
）
（ A）
C
6 10
(B)
C
6 10
(C)
C5 10
(D)
C
5 10
答案： 1.（ p+q）7 =p7+7p6q+21 p5q2+35 p4q3+35 p3q4+21 p2q5+7pq6 +q7.
例 1 求 (2 x
1 ) 6的展开式 x
（分析：为了方便，可以先化简后展开。 ）
例 2 ① (1 2 x) 7 的展开式的第 4 项的 系数 及第 4 项的 二项式系数 。 ②求 ( x 1 ) 9 的展开式中含 x3 的系数。 x