初二动态几何教案
人教版八年级信息技术下册《画基本几何图形》教案
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人教版八年级信息技术下册《画基本几何图形》教案一教学设计思想《画基本几何图形》的学习过程是一个包括感知、想象、情感体验、理解等多种功能综合的动态过程。
本课设计意在运用激趣、感悟、创造、表现等教学方法和手段，积极调动学生学习信息技术和数学的积极性和表现欲，让学生在课堂上分析、讨论，操作，多渠道培养学生的自学、思维能力，树立学生在学习中的主体地位，从而体现新课程标准中提出的“重视学生创造性思维的探究过程”这一要求。
教师通过生动有效的教学过程，唤起学生对作品的兴趣和热情，在潜移默化中形成审美态度和构建价值观。
教材分析本课题选自人民教育出版社出版的《(义务教育初级中学教科书)信息技术》—书。
教学内容分析第一单元第二课画基本几何图形，第一课是认识几和画板的启动和退出方法，窗口结构，熟悉认识工具箱等内容，第二课是画点，画线段，射线，直线和画圆，还有改变线型和颜色并保存图形。
学好本课对本章中的所有内容的学习都具有重要的作用。
学习者特征分析几何画板的引用是计算机专业八年级开设的专业课程。
由于学生的基础和学习成绩存在差距，学生的认知能力、思维能力的不同和数学基础差会对教学效果有影响，所以考虑适当的分层教学、小组协作、交流、探究，完成教学过程。
教学目标知识与能力：1. 学会画点，线段，射线，直线和画圆。
2. 能够移动，删除绘图板上的图形。
3.掌握设置线型和颜色的基本方法。
过程与方法：通过灵活引用工具箱的点工具，直尺工具和圆规工具图标，能画出简单的一些几何图形。
情感态度与价值观：1. 激励学生融入自己的思想去创作，感受运用信息技术创造作品的乐趣。
2. 提高学生画和欣赏几何图形的水平，形成和保持对信息技术的求知欲，养成积极主动地学习态度。
教学重点：画出5 种基本的几何图形教学难点：分析图形使用教材：人民教育出版社的课本环境与媒体：机房，投影机课型：新授教学策略设计：本课主要教学方法有“创设情境法”“任务驱动法” “实例演示法”等。
动态几何测量教学案例两则
动态几何测量教学案例两则彭翕成华中师范大学教育信息技术工程研究中心，武汉 430079几何学是数学最古老的分支之一，相传起源于土地测量。
近些年，测量之风在中学教学中相当盛行。
有些老师采用原始工具，主要是三角板、量角器；有些老师则先进一些，采用动态几何软件。
所谓动态几何，是指在计算机屏幕上画出各种各样的动态几何图形，且几何图形在变化过程中保持几何属性不变；通过几何图形的动态变化，使人能更直观地深刻理解图形中的几何规律，从而达到真正理解几何原理的目的。
到目前为止，全世界已经有几十种动态几何软件，我国主要使用超级画板和几何画板，一些图形计算器也具备动态几何功能。
笔者认为测量之风盛行原因有二。
一方面是与这些年高调提倡的教学方式、教学理念接轨，依据是“老师让学生测量，有益于学生的动手能力的培养，有益于学生协作精神的形成”；而另一方面是由于传统测量非常简单，基本上就是不教自会，即使是学习动态几何的测量功能，也不过是几分钟的事情。
学会之后，则是一本万利，从初一的三角形内角和定理、中位线定理到高三的正、余弦定理，都是可以用测量来教学的案例。
正因为如此，很多老师不单自己在教学演示的时候喜欢用测量，有条件的学校还极力鼓励学生动手。
对于测量，近几年批评的意见也不少，而且相当尖锐。
李大潜院士指出：“老是量，就倒退到尼罗河时代去了，当初古希腊学者不是‘量’出来的”。
张奠宙教授说得更加具体，他以正弦定理的教学为例，认为让学生通过测量发现sin a A 、sin b B 、sin c C 之间的关系,是一个败笔，是一个忽略数学实质的设计。
三角板、量角器，我们使用已经上千年了，已经成为学习数学必备的工具，而动态几何软件是这些古老工具的延伸与发展。
照道理来说，这些工具都应该是好的，但为什么老师们使用这些工具，还会被专家指责呢？笔者认为这是一个值得探讨的问题。
首先，我们来看两个案例，看看从中能否给我们启示。
案例一：中位线定理的教学一位老师在讲授中位线定理这一内容时，准备利用超级画板作两次测量：一次是验证三角形中位线定理，另一次是验证顺次连接四边形的中点所围成图形为平行四边形。
动态几何教案1.docx
(1 )当MN 〃AB时，求r的值；(2 )试探究：/为何值时，AMNC为等腰三角形.【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。
但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。
对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ,N是在动，意味着BM,MC以及DN.NC都是变化的。
但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC.BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。
所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。
由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。
【解析】解(1 )由题意知，当MW运动到/秒时，如图①，过Q作DE// AB交BC于E点，则四边形ABED 是平行四边形・AB // DE , AB// MN .A DE //. (根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题)【思路分析2］第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN 二NC 即 可，于是就漏掉了 MN 二MC,MC 二CN 这两种情况。
在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一 定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。
具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形 问题，于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情况讨论：① 当MN = NC 时，如图②作NF 丄BC 交BC 于F ，则有MC = 2FC 即.（利用等腰三角形底边高 也是底边中线的性质）.“ DF 4 • - sin ZC = -- =—CD 5/. cos ZC=| ,,-.10-2r = 2x —,5 ?5解得心彳・② 当MN = MC 时，如图③，过M 作AW 丄CD 于H ・则 CN = 2CH ,;.r = 2(10-2r)x| .60・t =— … 17 MC _ NC~EC~~CD10-2/ t10-3 ~5（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） 50 •解碍心石③当MC = CN时，贝iJ10-2r = r .10Z_T •综上所述，当心丰、兽或£时，'MNC为等腰三角形.o 17 5【例2】(2010，崇文，一模)在^ABC中，zACB二45。
中考数学动态几何问题课件 (共37张PPT)
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S△BCD= BD· CF= × 4× - x 2 + 3x =-x2+6x,
2 2 2
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则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x=-(x-4)2+16(2<x<6), 因为a=-1<0,所以当x=4时,四边形ABCD的面积S取最大值,最大值为16.
难点突破
6、 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB 相交于点E，DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F. (1)如图①，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长； (2)如图②，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.
∴ ∠BEC+ ∠AEN的值不变
难点突破
难点突破 5、如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的 E点处，折痕的一端G点在边BC上． (1)如图①，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长； (2)如图②，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时． ①求证：EF＝EG；②求AF的长；
由折叠知△A1DE≌△ADE, 所以A1D=AD=1.
由 A1B+A1D≥BD,得 A1B≥BD-A1D= 5-1. 故 A1B 长的最小值是 5-1.
难点突破
2、如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度
运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边 形PABQ面积的最小值为( C )
中考数学专题：动态几何与函数导学案
专题：动态几何与函数一.复习回顾二．新课导入1.如图，点B 是线段AC 上一点，点P 从A 点向C 点运动，已知P 点的速度v p =2,若p 点运动时间为t ，AC =7,B C=3，请回答下列问题：(1)当点P 在线段AB 上运动时，时间t 的取值范围是：；AP=，BP=;(2)当点P 运动到线段BC 上时，时间t 的取值范围是：；AP =，BP =；CP =.2.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC =4，AC =3.点p 从点B 出发，沿折线B-C-A-B 运动，且P 点的速度v p =2，运动时间为t ，(1)当点P 在线段BC 上运动时，t 的取值范围是：；BP =；CP =；(2)当点P 运动到线段CA 上时，t 的取值范围是：；AP =；CP =；(3)当点P 运动到线段BA 上时，t 的取值范围是：；AP =；BP =.yx o y x o三．典例精析例：如图：在Rt △ABC,∠AC B=90°,B C=4，AC =3.点p 从点B 出发，沿折线B-C-A运动，当它到达点A 时停止，设点P 运动的路程为x ，若点Q 是射线CA 上一点，且CQ =x6，连接BQ ，AP ,设CBQ S y ∆=1,ABP S y ∆=2.(1)求出y 1,y 2与x 的函数关系式，并注明x 的取值范围；(2)补全表格中y 1的值：x23456y 1以表格中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在x 的取值范围内画出y 1的函数图象，根据图象写出该函数的一条性质.(3)在直角坐标系内直接画出y 2的函数图象，观察图象，直接写出当y 1<y 2时，x 的取值范围.四．练一练如图：在矩形ABCD,AB =6，BC =3,动点P 从点C 出发，沿着折线C-B-A 运动，到达A 点停止运动，已知P 点的速度v p =1，P 点运动时间为x ，若点Q 是射线AD 上一点，且AQ=x4，连接CQ ，DP ,AC ,设PCD S y ∆=1,ACQ S y ∆=2.(1)求出y 1,y 2与x 的函数关系式，并注明x 的取值范围；(2)补全表格中y2的值：x23456y 2以表格中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在x 的取值范围内画出y 2的函数图象.(3)在直角坐标系内直接画出y 1的函数图象，观察图象，直接写出当y 1<y 2时，x 的取值范围.课后作业基础巩固作业（必做）如图，在矩形ABCD 中，AB =4,BC =6,点E 为AB 的四等分点（AE>EB ）,点F 为BC 的三等分点（BF<FC ）,点G 为CD 边上的动点，连接BE ，FG ,当点G 从C 运动到D 的过程中，记CG 长为x ,四边形EBFG 的面积为y 1.(1)求y 1与x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围;(2)在图中直接画出y 1的函数图象，并写出一条性质;(3)若xy 62=，请结合图象，直接写出当y 1<y 2时，自变量x 的取值范围.能力发展（选做）如图，矩形ABCD 的周长为20cm ,将对角线AC 绕A 顺时针方向旋转90°得到线段AE ，连接CE ，设边AB=xcm (1≤x ≤6),AEC ∆的面积为ycm 2.(1)求y 与x 的函数解析式；(2)下表列出了部分点，直接写出m 的值为,并画出函数图象；x123456y 4134292625m(3)结合图象，指出x 的变化过程中，y 的最小值为；并写出整个变化过程中，点E 到直线AD 的最小距离为cm .12345640302010。
动态几何(八年级)
动态几何---- 全等与三角形1、 已知⊿AB C 为等腰直角三角形，E 是AC 边上的一点，AE ＝nCE ；D 在射线BD 上，∠ADC ＝135° ⑴如图①当n ＝22时，∠BDC = °;CDAD ＝ ⑵如图② 求证 ：BD ＝CD+2AD ⑶当n ＝ 时 CDAD＝2622、如图⊿AB C 中∠BA C ＝90°, ACAB＝n ,AD 是高，BE 是角平分线，AD 交BE 于G,GF ∥BC 交AC 于F⑴如图①当∠AB C ＝60°时AGCF＝ ；AE:EF:CF ＝ ⑵如图②当n ＝552时，求证 ：AE ＝2EF ⑶如图③,当n ＝ 时DF ∥BE3、如图⊿AB C 为等边三角形，D 、E 分别是AB 、 AC 的中点，M 为BC 边的任一点，CMBM＝n ⊿DMH 为等边三角形，DH 交AC 于F, ⑴如图①当M 与C 重合时，HF DF ＝ CFHE＝ ;CB图①CB图②图①B图②C图③⑵如图②当n ＝2时，求证：① HE ∥AD , ② AF ＝3EF;⑶如图③ HM 交AC 于G,当n ＝ 时，G 为HM 的中点。
4、如图，Rt ⊿ABC 中，∠ABC ＝90°,BC ＝2AB, BD ⊥AC 于D, E 是BC 的中点，AE ⊥EG 于E ，EG 交AC 于G . ⑴找出图中与EG 相等的线段并证明⑵探索DG,CG,DF 之间的数量关系，并证明结论5、如图，在Rt ⊿ABC 中，∠ACB ＝90°,BC ＝CA,P 为AB 的中点， ⑴求证 PA ＝ PC ; ⑵ D 为BC 边上的任意一点（不与B, C 重合），连接AD 交边PC 于点G ,过C 点作CE ⊥AD 于E 点，交AB 于点F , 连接PE,试证明 EF+EG ＝2PE; ⑶如果AD 平分∠BAC,AC ＝2+2, 请直接写出FG ＝6、已知如图，在Rt ⊿ABC 中，∠ACB ＝90°,BC ＝CA,P 是AB 上一动点连接CP 以CP 为直角边作等腰直角三角形CPD,PC=PD, 连接BD ⑴求证：BD ⊥BC⑵连接AD E 为AD 的中点，连接PE ,求证：2PE=BD ⑶若BD=1 AP=2 则BC=C H(M) 图①CM 图② CM 图③EACCAB。
初中动态几何与函数教案
教育教师备课手册教师姓名学生姓名填写时间2012.4.1学科数学年级初三上课时间课时计划2h教学目标教学内容动态几何与函数问题个性化学习问题解决教学重点、难点教学过程动态几何与函数问题二次函数基础知识点回顾一、二次函数的概念1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c=++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．总结：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>向上()h k，X=hx h>时，y随x的增大而增大；x h<时，y随x的增大而减小；x h=时，y有最小值k．0a<向下()h k，X=h x h>时，y随x的增大而减小；x h<时，y随二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．三、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a -．四、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.五、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 六、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．七、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．八、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.典型例题分析1、（2010盐城）已知：函数y =ax 2+x +1的图象与x 轴只有一个公共点． （1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次．．函数y =ax 2+x +1图象的顶点为B ，与y 轴的交点为A ，P 为图象上的一点，若以线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ，求P 点的坐标；0∆>抛物线与x 轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0∆=抛物线与x 轴只有一个交点二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根0∆<抛物线与x 轴无交点二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.（3）在(2)中，若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ，试探索点M 是否在抛物线y =ax 2+x +1上，若在抛物线上，求出M 点的坐标；若不在，请说明理由．关键词：二次函数与圆答案 ：1）当a = 0时，y = x +1，图象与x 轴只有一个公共点………(1分) 当a ≠0时，△=1- 4a =0，a = 14 ，此时，图象与x 轴只有一个公共点．∴函数的解析式为：y =x +1 或`y =14 x 2+x +1……（3分）（2）设P 为二次函数图象上的一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ．∵y =ax 2+x +1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为： y =14 x 2+x +1，则顶点为B （-2，0），图象与y 轴的交点 坐标为A （0，1）………（4分）A xyOBy∵以PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ∴PB ⊥AB 则∠PBC =∠BAO ∴Rt △PCB ∽Rt △BOA∴AOBC OBPC =，故PC =2BC ，……………………………………………………（5分）设P 点的坐标为(x ，y )，∵∠ABO 是锐角，∠PBA 是直角，∴∠PBO 是钝角，∴x <-2 ∴BC =-2-x ，PC =-4-2x ，即y =-4-2x ， P 点的坐标为(x ，-4-2x )∵点P 在二次函数y =14 x 2+x +1的图象上，∴-4-2x =14 x 2+x +1…………………（6分） 解之得：x 1=-2，x 2=-10∵x <-2 ∴x =-10，∴P 点的坐标为：(-10，16)…………………………………（7分） （3）点M 不在抛物线y =ax 2+x +1 上……………………………………………（8分）由（2）知：C 为圆与x 轴的另一交点，连接CM ，CM 与直线PB 的交点为Q ，过点M 作x 轴的垂线，垂足为D ，取CD 的中点E ，连接QE ，则CM ⊥PB ，且CQ =MQ ∴QE ∥MD ，QE =12MD ，QE ⊥CE∵CM ⊥PB ，QE ⊥CE PC ⊥x 轴 ∴∠QCE =∠EQB =∠CPB ∴tan ∠QCE = tan ∠EQB = tan ∠CPB =12CE =2QE =2×2BE =4BE ，又CB =8，故BE =85 ，QE =165∴Q 点的坐标为(-185 ，165)可求得M 点的坐标为(145 ，325 )…………………………………………………（11分）∵14(145)2+(145)+1 =14425 ≠325∴C 点关于直线PB 的对称点M 不在抛物线y =ax 2+x +1 上……………………（12分） (其它解法，仿此得分)【例5】（2010年四川省眉山）如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上． （1）求抛物线对应的函数关系式；。
八年级数学上册《几何证明中典型例题的解析》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.重点：使学生掌握几何证明的基本方法和技巧，提高解题能力。
难点：如何引导学生运用不同的证明方法，解决复杂、综合的几何证明问题。
2.重点：培养学生严密的逻辑思维能力和几何直观。
难点：帮助学生形成清晰、有条理的证明思路，提高证明过程的严谨性。
3.重点：拓展学生的解题策略，提高其解题方法的灵活性和创新性。
八年级数学上册《几何证明中典型例题的解析》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握几何证明的基本概念、基本原理和基本方法，如对顶角、同位角、内错角、同圆或等圆中等弧、等角的性质。
2.学会运用综合法、分析法、反证法、同一法等证明方法，并能结合实际例题灵活选用。
3.掌握特殊图形的证明方法，如等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、圆等的性质及判定。
（3）引出本节课将要学习的内容：几何证明中典型例题的解析，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知
1.教学内容：讲解本节课的重点几何证明方法，结合典型例题进行分析。
2.教学过程：
（1）教师以等腰三角形的性质为例，讲解综合法、分析法在几何证明中的应用。
（2）通过具体例题，展示如何运用反证法、同一法等证明方法，引导学生学习并掌握。
2.教学策略：
（1）注重培养学生的几何直观，引导学生从直观图形中发现几何性质，提高解题效率。
（2）强调证明过程的逻辑性和严谨性，培养学生细致、周密的思考习惯。
（3）针对不同学生的认知水平，实施个性化教学，关注学生的差异发展。
（4）鼓励学生积极参与课堂讨论，激发学习兴趣，提高课堂氛围。
3.教学评价：
（1）采用多元化的评价方式，如课堂表现、课后作业、小组讨论、阶段测试等，全面评估学生的学习效果。
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动态几何问题 一、动态几何问题涉及的几种情况 动态几何问题就其运动对象而言，有： 1、点动（有单动点型、多动点型）. 2、线动（主要有线平移型、旋转型）。线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生形动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解. 3、形动（就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动） 二、解决动态几何问题的基本思考策略与分析方法： 动态型问题综合了代数、几何中较多的知识点,解答时要特别注意以下七点: 1、把握运动变化的形式及过程； 2、思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出的几何量； 3、动中取静：（最重要的一点） 要善于在“动”中取“静”（让图形和各个几何量都“静”下来），抓住变化中的“不变量”和不变关系为“向导”，求出相关的常量或者以含有变量的代数式表示相关的几何量; 4、找等量关系：利用面积关系、相似三角形的性质、勾股定理、特殊图形等的几何性质及相互关系，找出基本的等量关系式; 5、列方程：将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程或函数模型； (某些几何元素的变化会带来其它几何量的变化，所以在求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解。在解决有关特殊点、特殊值、特殊位置关系问题时常结合图形建立方程模型求解) 6、是否分类讨论： 将变化的几何元素按题目指定的运动路径运动一遍，从动态的角度去分析观察可能出现的情况，看图形的形状是否改变，或图形的有关几何量的计算方法是否改变，以明确是否需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决， 7、确定变化分界点： 若需分类讨论，要以运动到达的特殊点为分界点，画出与之对应情况相吻合的图形，找到情况发生改变的时刻，确定变化的范围分类求解。 例：如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形△RQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线ι上，当C、Q两点重合时开始，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR
重合部分的面积为Scm2. .解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值； （2）当t=5秒时，求S的值； （3）当5秒≤t≤8秒时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.
分析：当等腰△PQR从C、Q两点重合开始，以1cm/秒的速度沿直线ι向左匀速运动时，正方形ABCD与等腰△PQR重合部分图形的形状在改变，因此，我们需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决。运动过程中有四个特殊位置点,它们分别是点B、C、R和等腰△PQR底边的中点E,这四个特殊位置点就是分类讨论问题的“分界点”. 因为正方形ABCD的边长为5cm，等腰三角形△RQR的底边QR=8cm， （1）所以当t≤4秒时，QE逐渐地与与BC完全重合，则S是△QCG的面积， 所以，当t=3秒时，，S是△QCG的面积（如图一的“静态”）； （2）当4秒≤t≤5秒时，即在点E落在线段上到点Q与点B重合，S是四边形QCGP的面积（如图二的“静态”）； （3）当5秒≤t≤8秒时，点Q、R都在线段BC外，点E在BC上，S是一个五边形BCGPH的面积（如图三的“静态”）.
ι A B Q C R P D
C B （
ι
A Q R P D G
E (图一) R ι
A B C D
（Q） P
E G
(图二) 即1、运动规律；2、思考初始；3、动中取静；4、找等量关系; 5、列方程；6、是否分类讨论：7、确定分界点。 三、典型例题 （2006重庆）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线
CD把这张纸片剪成11ACD和22BCD两个三角形（如图2所示）.将纸片11ACD沿直线2
DB
（AB）方向平移（点12,,,ADDB始终在同一直线上），当点1D于点B重合时，停止平移.在平移过程中，11CD与2BC交于点E,1AC与222CDBC、分别交于点F、P. (1) 当11ACD平移到如图3所示的位置时，猜想图中的1DE与2DF的数量关系，并证明你的猜想； (2) 设平移距离21DD为x，11ACD与22BCD重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围； （3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原ABC面积的14. 若存在，求x的值；若不存在，请说明理由. C
BDA图1 图3
C2
D2
C1
BD1A图2
P E F
A D 1 B D 2
C 1
C
2
ι A B C D P
Q R E
H G
(图三) 分析：1、把握运动变化的形式及过程： 题目条件：将11ACD沿直线2DB（AB）方向平移（点12,,,ADDB始终在同一直线上），当点1D于点B重合时，停止平移. 所以这是一个图形的平移运动 2、思考初始；找出初始位置时某些几何元素的数量和关系： （1）因为在RtABC中，8,6ACBC，所以由勾股定理，得10.AB （2）因为90ACB，CD是斜边上的中线，所以，DCDADB，即11222CDCDBDAD.
（3）1CA，1290CC. 第1问：“动”中取“静”：让图形和各个几何量都“静”下来。 因为是平移，所以1122CDCD∥，所以12CAFD.1CA 所以2AFDA，所以，22ADDF .同理：11BDDE. 又因为12ADBD，所以21ADBD.所以12DEDF 第2问：（1）是求变量之间的关系，则建立函数模型。 （2）按题目指定的运动路径运动一遍，重叠部分图形的形状不发生改变，则不需要分类讨论解决。 （3）找等量关系式：用面积割补法知道2212221126(5)22525BCDBEDFCPABCySSSSxx （4）“动”中取“静”，求出相关的常量或者以含有自变量的代数式表示相关的几何量。 为便于求其面积，注意选择三角形的底和高。三角形BD1E的底为BD1，需求高。需求直角三角形C2OF的底和高。 我们视自变量为“不变量”，以21DDx为“向导”去求出三角形的底和高。 （A）、22BCD的面积等于ABC面积的一半，等于12. （B）、又因为21DDx，所以11225DEBDDFADx，所以21CFCEx， 由1122CDCD∥得221BCDBED∽， 又ABC的AB边上的高，为245.设1BED的1BD边上的高为h， 所以52455hx.
所以24(5)25xh.121112(5)225BEDSBDhx （C）、又因为1290CC，所以290FPC. 在直角三角形PFC2中，C2F=X， 又因为2CB，43sin,cos55BB. 所以234,55PCxPFx ，22216225FCPSPCPFx 而2212221126(5)22525BCDBEDFCPABCySSSSxx 所以21824(05)255yxxx 第3问：是求特殊值问题，则建立方程模型求解； 存在. 当14ABCyS时，即218246255xx 整理，得2320250.xx解得，125,53xx. 即当53x或5x时，重叠部分的面积等于原ABC面积的14.
[解析] （1）
12DEDF.因为1122CDCD∥，所以12CAFD
.
又因为90ACB，CD是斜边上的中线， 所以，DCDADB，即112221CDCDBDAD 所以，1CA，所以2AFDA 所以，22ADDF.同理：11BDDE. 又因为12ADBD，所以21ADBD.所以12DEDF （2）因为在RtABC中，8,6ACBC，所以由勾股定理，得10.AB 即1211225ADBDCDCD 又因为21DDx，所以11225DEBDDFADx.所以21CFCEx 在22BCD中，2C到2BD的距离就是ABC的AB边上的高，为245. 设1BED的1BD边上的高为h，由探究，得221BCDBED∽，所以52455hx.
所以24(5)25xh.121112(5)225BEDSBDhx 又因为1290CC，所以290FPC. 又因为2CB，43sin,cos55BB. 所以234,55PCxPFx ，22216225FCPSPCPFx 而2212221126(5)22525BCDBEDFCPABCySSSSxx 所以21824(05)255yxxx (3) 存在. 当14ABCyS时，即218246255xx 整理，得2320250.xx解得，125,53xx. 即当53x或5x时，重叠部分的面积等于原ABC面积的14.
（2006山东青岛）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点
A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O是△EFG斜边上的中点． 如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）． （1）当x为何值时，OP∥AC ? （2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围． （3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． （参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456 或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）