2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试卷

2017—2018学年度第二学期期末考试

高二数学试题（理科）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，复数z 满足i i z +=-1)1(，则=2017

z

（ ） A ．1 B ．1- C ．i - D ． i

2．给出三个命题：①x y cos =是周期函数；②三角函数是周期函数；③

x y cos =是三角函数；则由三段论可以推出的结论是（ ）

A ．x y cos =是周期函数

B ．三角函数是周期函数

C ．x y cos =是三角函数

D ．周期函数是三角函数 3．某射手射击所得环数X 的分布列如下:

已知X 的数学期望

9.8)(=X E ,则y 的值为( ).

A ．0.8

B ．0.6

C ．0.4

D ．0.2

4．直线x y 4=与曲线2

x y =围成的封闭图形的面积为（ ）

A ．32

B ．

3

32

C ．

32

16 D ．216 5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 有有理根，那么a 、b 、

c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( ) A ．假设a 、b 、c 都是偶数 B ．假设a 、b 、c 都不是偶数 C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数 D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数

6．设随机变量ξ服从正态分布)0)((2

>σσμ，N ，若1)1()0(=<+<ξξP P ,则μ的值为（ ）

A ．

2

1

B ．1

C ．2

1-

D ．1-

7．2016年6月9日是我们的传统节日——“端午节”，这天小红的妈妈为小红煮了6个粽子，其中2个腊肉馅4个豆沙馅，小红随机取出两个，事件=A “取到的两个为同一种馅”， 事件=B “取到的两个都是豆沙馅”，则=)|(A B P （ ）

A ．157

B ．151

C ．71

D ．76

8．设函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=．若1-=x 为函数x

e x

f )(的一个极值点，则下列

图象不可能．．．

为)(x f y =的图象是 （ ）

A B C D

9．学校选派5位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这3所大学的自主招生考试，每所大学至少有一人参加,则不同的选派方法共有（ ）

A ．540种

B ．240种

C ．180种

D ．150种 10．给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：

① “若R b a ∈、，则b a b a =?=-0”类比推出“若C b a ∈、，则b a b a =?=-0”

②“若R d c b a ∈、、、，则复数d b c a di c bi a ==?+=+,”类比推出 “若Q d c b a ∈、、、，则d b c a d c b a ==?+=+,22”

③“若R b a ∈、，则b a b a >?>-0”类比推出 “若C b a ∈、，则b a b a >?>-0”

④“若R x ∈，则111||<<-?

B ．①③

C ．②④

D ．③④

11．设)(x f 是R 上的奇函数，且0)1(=-f ，当0>x 时，0)(2)()1('

2<-?+x xf x f x ,

则不等式0)(>x f 的解集为( ) A ．)1,(--∞

B ．)1,0()1,(?--∞

C ．),1(+∞

D ．),1()0,1(+∞?-

12．定义：如果函数)(x f 在],[b a 上存在1x ，2x )(21b x x a <<<满足

a b a f b f x f --=

)()()(1，a

b a f b f x f --=)

()()(2，则称函数)(x f 是],[b a 上的“双中值

函数”。已知函数m x x x f +-=2

331)(是],0[m 上的“双中值函数”，则实数m 的取值

范围是( ) A ．)2

3,0(

B ．)3,1(

C ．)6,53(+

D ．)3,2

1(

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。 13．随机变量)3

1,5(~B ξ，则=)3(ξD

14．已知函数3)3(2cos sin )('+++=x f x x x f π，则=)3

('

π

f .

15．若0122222729,n n

n n n n C C C C +++???+=且n 2n 012n (3)x a a x a x a x +=++++，则

012(1)n n a a a a -+-+-= ．

16．记函数)(x f 的导数为)()

1(x f

，)()1(x f 的导数为)(,),()1()2(x f x f n -???的导数为

)()(x f n )(*N n ∈.

若)(x f 可进行n 次求导，则)(x f 均可近似表示为：

n

n x n f x f x f x f f x f !

)0(!3)0(!2)0(!1)0()0()()(3)3(2)2()1(+???++++≈. 若取4=n ，

根据这个结论，请用x

e x

f =)(近似估计自然对数的底数≈e （用分数表示）

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．(本小题满分12分)已知函数a x x x x f +++-=93)(2

3

. （Ⅰ）求10-=a 时，)(x f 在))2(,2(f 处的切线方程；

（Ⅱ）若)(x f 在区间]2,2[-上的最大值是20，求它在该区间上的最小值。

18．(本小题满分12分)随着经济的发展，我市居民收入逐年增长，下表是我市一建设银行

连续五年的储蓄存款（年底余额）：

为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，2010-=x t ，5-=y z ： （Ⅰ）求z 关于t 的线性回归方程；

（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；

（Ⅲ）用所求回归方程预测到2020年年底，该银行储蓄存款额可达多少？

（附：对于线性回归方程???y

bx a =+，其中1

2

2

1

???,n

i i

i n

i

i x y nx y

b a

y bx x

nx ==-?==--∑∑） 19．（本小题满分12分）为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况，在该市随机抽取了

50名市民进行调查，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对楼市限购令赞成的人

将月收入不低于55的人群称为“高收入族"，月收入低于55的人群称为“非高收入族"． （Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，问能否在犯错误的概率不超过0．01的前记参加问卷调查的4人中不赞成楼市限购令的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

附表及公式：)

)()()(()(2

2

d b c a d c b a bc ad n k ++++-=,d c b a n +++=

20．（本小题满分12分）当*N n ∈时，n

n S n 21

1214131211--+???+-+-

=，++++=

2111n n T n 31+n n

21

+???+， （Ⅰ）求2121,,,T T S S ；

（Ⅱ）猜想n S 与n T 的关系，并用数学归纳法证明．

21．（本小题满分12分）已知函数ax x ax x f -++=2)2

1

21ln()(，其中0>a 且a 为常数。 （Ⅰ）若2

1

=

x 是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； （Ⅱ）判断函数)(x f 在区间),2

1

[+∞上的单调性；

（Ⅲ）若对任意的)2,1(∈a ，总存在]12

1

[0，∈x ，使不等式)1()(20a m x f -≥成立，求实数m 的取值范围．

请考生在第22、 23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知⊙O 是ABC ?的外接圆，AD BC AB ,=是BC 边上的高，AE 是⊙O 的直

径．

（Ⅰ）求证：AE AD BC AC ?=?；

（Ⅱ）过点C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点F ，若4,2==CF AF ，求AC 的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴

的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为

??

???

=+=4sin

4co s 1ππt y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB |的值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数(

)f x =（Ⅰ）解不等式()()4f x f ≥； （Ⅱ）若函数m

x f x g +=

)(1

)(的定义域为R ，求实数m 的取值范围．

高二数学（理科）答案

11．提示：构造函数1

)(2

+=

x x g ，由)(x f 为奇函数可得)(x g 为奇函数，又)('x g =2

22')

1()(2)1)((+-+x x xf x x f ，所以0>x 时，0)('

12．提示：m m m f m f -=--2310)0()(，据题意m m m x x -=+-2233

1

31在],0[m 上有两

个不等实根，即m m x x 23

13122

3-=

-在],0[m 上有两个不等实根，2331)(x x x g -=∴与m m y 23

1

2-=在],0[m 上有两个不同的交点，

由)(x g 图像可得)0(231)2(2g m m g <-<，即023

1342

<-<-m m ，解得

653<<+m 。

法2：m m x x x h 23

131)(22

3+--=在],0[m 上与x 轴有两个不同交点，x x x h 2)(2'-=，

)2()(h x h =极小，所以????

??

?><>>0

)(0)2(0)0(2m h h h m ，即可得653<<+m 。 二、填空题： 13．10

14．

2

13- 15．)2(646

或 16．

24

65 16．提示：x

e x

f =)(时，n

x

x n e x e x e e e !

!2!102000

+???+++≈， 4=n 时，令1=x ，则!4!3!2!100000

e e e e e e ++++≈24

65=

三、解答题：

17．解：963)(2

'

++-=x x x f ……………1分

（Ⅰ）10-=a 时，121029232)2(2

3=-?+?+-=f ， ……………2分

992623)2(2

'=+?+?-==f k ， ……………3分

∴)(x f 在))2(,2(f 处的切线方程为)2(912-=-x y ，即069=--y x 。……5分 （Ⅱ）)1)(3(3)32(3963)(2

2

'

+--=---=++-=x x x x x x x f ……6分 又 ]2,2[-∈x ，)(x f ∴在)1,2(--单调递减，在)2,1(-单调递增， ……8分 而a a f +=+-+=-218128)2(，a a f +=+++-=2218128)2(， ……10分 2022)2()(max =+==∴a f x f ，解得2-=a ， ……11分 从而7931)1()(min -=+-+=-=a f x f 。 ……12分

18．解：（Ⅰ）

2.23==z t ，，455

1

=∑=i i i z t ，555

1

2=∑=i i t ， ?

3分 4553 2.2? 1.25559

b

-??==-?，? 2.23 1.2 1.4a z bt =-=-?=-，?5分 4.12.1-=∴t z ?6分 （Ⅱ）2010,5t x z y =-=-，代入4.12.1-=t z 得到： 5 1.2(2010) 1.4y x -=--，即 1.22408.4y x =- ?9分 （Ⅲ） 1.220202408.415.6y ∴=?-=，

∴ 预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元 ?

12分 19．（Ⅰ）由题意得列联表如下：

则

635.6272.610

401832)311729(50))()()(()(2

22

<=????-??=++++-=d a c a d c b a bc ad n K ，……5分

∴不能在犯错误概率不超过01.0的前提下认为非高收入族赞成楼市限购令。

……6分

（Ⅱ）由题意得随机变量ξ的所有取值为3,12,0

7528)0(210252824=??==C C C C P ξ，225104

)1(2

10

251812242814=???+?==C C C C C C C P ξ， 457)2(210251812142224=???+?==C C C C C C C P ξ，2252

)3(210

252

214=??==C C C C P ξ，……10分 随机变量的分布列为

∴22534522251750?+?+?+?=ξE 5

=. ……12分 20．解：（Ⅰ） 111122S =-=， 21117

123412

S =-+-=；

111112T ==+， 2117

212212

T =+=++； ……4分

（Ⅱ）猜想：*()n n S T n N =∈ 即：

11111111

1

1.234

212123

2n n n n n n

-+-++

-=++++

-+++（*N n ∈） …5分 下面用数学归纳法证明

① 1=n 时，已证11T S = ……6分

② 假设k n =时，k k T S =（1≥k ，*N k ∈），即：

111

111111

1.234

2121232k k k k k k

-+-++

-=++++-+++ ……7分 则1+=k n 时，111212(1)k k S S k k +=+-++11

212(1)

k T k k =+-

++ ……8分 111111

1232212(1)

k k k k k k =+++++-

+++++ ……9分11111232112(1)k k k k k ??

=++++- ?+++++?? ……10分 11

111

(1)1(1)2

2212(1)

k k k k k =

++

+

++

++++++……11分 1k T +=

由①，②可知，对任意*

N n ∈，n n T S =都成立. ……12分

21．解：1

)

22

(221)(2'+--=-++=ax a a x ax a x ax a x f ………………………1分 （Ⅰ）由已知，得0)21('=f 且

2202a a

-≠，2,022==--∴a a a ……………2分 （Ⅱ）当02a <≤时，02)1)(2(21222≤+-=--a a a a a ，a a 22

212-≥∴， 0)('≥∴x f ， ∴)(x f 在),2

1

[+∞上为增函数. ……………4分

当2>a 时，21222a a -<，)(x f 在),22(

2+∞-a a 上单增，在)22

,21(2a

a -上单减。6分 （Ⅲ）由（Ⅱ）(1,2)a ∈时，)(x f 在),21[+∞上单增，

a a f x f -++==∴1)21

ln()1()(max ，

∴原问题等价于：对? (1,2)a ∈，

2

11ln()1(1)022a a m a ++-+->恒成立.…8分

令2

11()ln()1(1)(12)22g a a a m a a =++-+-<<，

/

1()12[2(12)]11a g a ma ma m a a

=-+=--++ ………………9分 ① 当0=m 时，

01)('

<+-

=a a a g ； ②当0

∴当0≤m 时，不可能使0)(>a g 恒成立， ……………………10分

③ 当0>m 时， /

21()[(1)]12ma g a a a m

=

--+， 若1112m ->，

)(a g 在区间})121,2min{,1(-m 上单减， 有0)1()(=a g 恒成立矛盾，

若

1121

≤-m ，0)('>a g ，)(a g ∴在区间)2,1(单调递增， 恒有0)1()(=>g a g ， 1

111,240m m m ?-≤?

∴∴≥??>?， ∴m 的取值范围是1

[,)4

+∞ 。 ……………………12分 22． (Ⅰ)证明：连接BE ,由题意知ABE ?为直角三角形.

ABE ACB AEB ADC ABE ?∴∠=∠=∠=∠,90 与ADC ?相似，

则AC

AE

AD AB =, 即AE AD AC AB ?=?, 又BC AB = ,AE AD BC AC ?=?∴， ………5分 (Ⅱ)FC 是圆O 的切线，BF AF FC ?=∴2,

又6,84,2=-==∴==AF BF AB BF CF AF ,

FBC ACF ∠=∠ , 又AFC CFB ∠=∠, AFC ?∴与CFB ?相似，

∴

BC AC AC AF =, 3=?=∴CF

BC

AF AC . ………10分 23．解： (Ⅰ)由θθρcos 4sin 2=，得θρθρcos 4)sin (2=， ………2分

所以曲线C 的直角坐标系方程为x y 42=。 ………4分

（Ⅱ）由题意直线方程为1-=x y ，将直线方程代入曲线x y 42=，

得0162

=+-x x ， ………6分 设B A ,两点的坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，则

=-+-=212212)()(||y y x x AB ||212x x -212214)(2x x x x -+=，……

…8分

又621=+x x ，121=x x ， ………9分

8322||=?=∴AB ，即||AB 的值为8. ………10分

24．解：（Ⅰ）|4||3|)(++-=x x x f ??

?

??--+=1271

2x x 4343-≤<<-≥x x x ， ………3分

而9)4(=f ，∴3≥x 时，912≥+x ，解得4≥x ，

4-≤x 时，912≥--x ，解得5-≤x ， ………5分 )4()(f x f ≥∴的解集为),4[]5,(+∞?--∞。 ………6分

（Ⅱ） 函数m

x f x g +=)(1

)(的定义域为R ，0)(≠+∴m x f 恒成立，

即0)(=+m x f 在R 上无解，又7)(≥x f ，

7->∴m 。 ………10分