第九章 异方差时间序列模型
时间序列模型中的残差分析与诊断检验有哪些方法
时间序列模型中的残差分析与诊断检验有哪些方法时间序列模型是对时间顺序上的数据进行建模和预测的统计方法。
在时间序列分析中，残差分析与诊断检验是非常重要的步骤。
残差分析可以用来评估模型的拟合程度和检验模型的假设，进而进行模型的改进和优化。
本文将介绍时间序列模型中常用的残差分析与诊断检验方法。
1. 直方图与正态概率图直方图是一种可视化展示残差分布的图表。
通过观察直方图的形状，可以初步判断残差是否服从正态分布。
正态概率图则是用来更进一步检验残差的正态性。
在正态概率图中，若残差呈现近似直线分布，则说明残差与正态分布拟合程度较好。
2. ACF与PACF图自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）是评估时间序列数据中残差的相关性的重要工具。
ACF图展示了不同滞后阶数的残差之间的相关性，PACF图则展示了在其他滞后阶数的影响被排除后，特定阶数的残差和当前残差之间的相关性。
通过观察ACF和PACF图，可以发现残差之间的相关结构，进而判断模型是否包含未解释的信息。
3. Ljung-Box检验Ljung-Box检验是一种常用的时间序列残差诊断检验方法。
该方法基于自相关函数，检验残差序列中是否存在显著的自相关或偏自相关。
若Ljung-Box检验的检验统计量显著小于置信区间，则表明残差序列中的相关结构不能被解释为随机，需要进一步改进模型。
4. ARCH检验ARCH（自回归条件异方差）模型是一种针对时间序列中存在异方差性的模型。
在时间序列建模中，如果残差序列存在异方差性，意味着残差的方差随时间的变化而变化。
利用ARCH检验可以检验残差是否存在异方差性，并对模型进行修正。
5. 稳定性检验时间序列模型中，稳定性是一个重要的性质。
残差序列的稳定性可以用来评估模型的有效性。
常见的检验方法有单位根检验（如ADF检验）和KPSS检验。
若残差序列呈现平稳性，则说明模型具有良好的拟合效果。
6. 白噪声检验白噪声是指序列中的观测值之间没有任何相关性的情况。
计量经济学第九章 时间序列结构模型课件
第九章结构型时间序列模型时间序列回归模型分类：1.不含外生变量的非结构型模型，包括单方程模型（如ARMA模型）和多方程模型（如向量自回归模型，V AR）2.传统的结构模型，包括含有外生变量的单方程回归模型（如确定性趋势或季节模型、静态模型、分布滞后模型、自回归分布滞后模型等）和联立方程模型3.协整和误差修正模型等现代时间序列模型第二、三类模型反统称为结构型时间序列模型。
本章将对最基本的几种结构型时间序列模型进行简要介绍。
第一节确定性趋势与季节模型确定性趋势与季节模型将经济变量看作是时间的某种函数，用于描述时间序列观测值的长期趋势特征和周期性变动特征。
其中的自变量是确定性的时间变量t或反映季节的虚拟变量。
由于自变量是非随机变量，自然是严格外生的，所以不涉及诸如非平稳性、高度持久等问题，一般可以如同横截面数据一样，直接使用经典线性模型的回归分析方法。
一、确定性趋势模型（一）种类按照因变量y与时间t的关系不同，常用的确定性趋势模型主要有以下三类：1.线性趋势模型01t t y t u ββ=++ （9.1）当时间序列的逐期增长量（即一阶一次差分1t t t y y y -∆=-）大体相同时，可以考虑拟合直线趋势方程。
2. 曲线趋势模型2012k t k t y t t t u ββββ=+++⋅⋅⋅++ （9.2）若逐期增长量的逐期增长量（二阶一次差分21t t t y y y -∆=∆-∆）大致相同，可拟合二次曲线2012t t y t t u βββ=+++。
类似地，如果事物发展趋势有两个拐点，可以拟合三次曲线230123t t y t t t u ββββ=++++。
其他更高次的曲线趋势比较少用。
3. 指数曲线模型01t u t t y e ββ= （9.3）或01ln()ln (ln )t t y t u ββ=++指数曲线的特点是各期的环比增长速度大体相同（即自然对数的一阶一次差分11/ln ln t t t t y y y y --∆≈-基本为常数），时间序列的逐期观测值大致按一定的百分比递增或衰减。
9第九章 多维时间序列分析
DF检验假设了所检验的模型的随机扰动 项不存在自相关。对有自相关的模型， 需用ADF检验。 ADF检验：将DF检验的右边扩展为包含Yt 的滞后变量，其余同于DF检验。
构造统计量 查表、判断。
单位根检验： 单位根检验：ADF检验的方程式 检验的方程式
∆Yt= β0＋β1t＋δYt-1+αΣ ∆Yt-i + µt 其中i从1到m。 这一模型称为扩充的迪基－富勒检验。 因为ADF检验统计量和DF统计量有同样 的渐进分布，所以可以使用同样的临界 值。
模型形式
自回归条件异方差性模型 （Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model, ARCH） 简单形式
σt2 =α0 +α1εt2 1 −
即，εt的方差依赖于前一期误差的平方， 或者说，εt存在着以εt－1的变化信息为条件的 异方差。记成ARCH(1)
随机游走的比喻
一个醉汉的游走。醉汉离开酒吧后在时 刻t移动一个随机的距离ut，如果他无限 地继续游走下去，他将最终漂移到离酒 吧越来越远的地方。 股票的价格也是这样，今天的股价等于 昨天的股价加上一个随机冲击。
随机游走的表达式 Yt=ρYt-1+ µt (1) 等价于： Yt -Yt-1 =ρYt-1 -Yt-1 + µt 等价于： Yt -Yt-1 =(ρ-1)Yt-1 + µt 等价于： ∆Yt=δ Yt-1+ µt (2) “有单位根”＝“ρ=1”＝“δ=0”
1 Yt＝ 1 +(a11Yt−1 +⋯ 1mY −1) +⋯ (a11Yt−p +⋯ 1p Y −p ) +u1t c a1 mt + p1 a m mt 1 1
第九章 异方差时间序列模型1
xt = xt −1 + ut
其中ut为白噪声过程。1995-2000年日元兑美元汇率 时间序列及差分序列见图1和图2。
160
6
JPY (1995-2000)
4 2 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D(JPY) (1995-2000)
140
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-2
100
-4 -6
80 200 400 600 800 1000 1200 1400
var(ut ) = σ = α0 +α u
2 t
2 1 t −1
通常用极大似然估计得到参数γ0, γ1, γ2, ……, γk, α0, α1的有效估计。
第二节 ARCH模型
一、ARCH模型的定义 模型的定义
若一个平稳随机变量xt可以表示为AR(p) 形式，其 随机误差项的方差可用误差项平方的q阶分布滞后模型 描述， （1） xt = β 0 + β1 xt −1 + β 2 xt − 2 + ... + β p xt − p + ut
yt = x 't β + ut ，求u t ，计算 u t2。 ˆ ˆ ② 估计 ③ 估计辅助回归式
ˆ u t2 = α
0
ˆ ˆ ˆ + α 1 u t2− 1 + α 2 u t2− 2 + ... + α q u t2− q + v t
④ 用第3步得到的可决系数R2构成统计量LM = T R2。其 中T表示辅助回归式的样本容量。在原假设成立条件下有
− 2 x t ut − 2 xt ut 0 = 0
γ 在上式为零条件下求到的 γˆ 即是 γ 的极大似然估计量。ˆ 具有一致性。
时间序列计量经济学模型概述
时间序列计量经济学模型概述时间序列计量经济学模型是在经济学研究中广泛使用的一种方法，用于分析经济变量随时间的变化。
该模型基于时间序列数据，即经济变量在一段时间内的观测值。
时间序列计量经济学模型的核心是建立经济变量之间的关系，以解释和预测经济现象的变化。
其中最常用的模型是自回归移动平均模型（ARMA）、自回归条件异方差模型（ARCH）和季节性时间序列模型。
自回归移动平均模型（ARMA）是一个包含自回归项和移动平均项的线性模型。
该模型以过去的观测值和随机项为输入，预测当前观测值。
ARMA模型基于假设，即经济变量的行为受到历史观测值的影响。
自回归条件异方差模型（ARCH）是一种考虑了随时间变化方差的模型。
该模型通过引入一个条件异方差项，模拟经济变量中的波动性。
ARCH模型的应用范围广泛，特别是在金融市场波动性分析中。
季节性时间序列模型用于分析具有明显季节性特征的经济变量，如销售额、就业人数等。
这些模型通常基于季节、趋势和随机成分的组合，以预测未来观测值。
在建立时间序列计量经济学模型时，常常需要进行模型识别、参数估计和模型诊断等步骤。
识别模型的目标是确定适当的模型结构，参数估计则是利用历史数据估计模型的参数值。
模型诊断用于检验模型的拟合程度和误差分布是否符合模型假设。
时间序列计量经济学模型在经济研究中有广泛的应用，例如预测未来经济指标、分析经济周期和波动性、评估政策效果等。
它提供了一种量化的方法，使经济学家可以更好地理解和解释经济变量的演变。
时间序列计量经济学模型是经济学研究中一种重要的统计工具，广泛应用于宏观经济、金融市场和企业经营等领域。
它可以帮助我们理解和解释经济变量随时间的变化规律，进行预测和政策分析。
本文将进一步探讨时间序列计量经济学模型的相关概念和应用。
在构建时间序列计量经济学模型之前，首先需要了解时间序列数据的特点。
时间序列数据是按照时间顺序排列的一系列观测值，通常具有趋势性、季节性、周期性和随机性等特征。
时间序列模型讲义(PPT 184页)
ut 1 ut1 2 ut2 p ut p t
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(9.1.11)
26
其中：ut 是无条件误差项，它是回归方程（9.1.10）的
误差项，参数0，1, 2 , , k是回归模型的系数。式
（9.1.11）是误差项ut的 p阶自回归模型，参数 1, 2 ,
,
p是p阶回归模型的系数，
Q-statistics 。EViews将显示残差的自相关和偏自相关函
数以及对应于高阶序列相关的Ljung-Box Q统计量。如果
残差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关
值都接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的P值。
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例9.1:利用相关图检验残差序列的相关性
下面是这些检验程序应用的例子，考虑用普通最小二乘估计 的简单消费函数的结果：
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虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计 标准差所夹成的。如果自相关值在这个区域内， 则在显著水平为5%的情形下与零没有显著区别。
本例1～3阶的自相关系数都超出了虚线，说 明存在3阶序列相关。各阶滞后的Q-统计量的P 值都小于5%，说明在5%的显著性水平下，拒 绝原假设，残差序列存在序列相关。
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此检验拒绝 直至2阶的无序 列相关的假设。 Q-统计和LM检 验都表明：残差 是序列相关的， 因此方程在被用 于假设检验和预 测之前应该重新 定义。
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例9.3: 关于残差序列相关的LM检验(2)
考虑美国的一个投资方程。美国的GNP和国内私人 总 投 资 INV 是 单 位 为 10 亿 美 元 的 名 义 值 ， 价 格 指 数 P 为 GNP的平减指数（1972=100），利息率R为半年期商业票 据利息。回归方程所采用的变量都是实际GNP和实际投 资；它们是通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用 小写字母gnp，inv表示。实际利息率的近似值r则是通过 贴现率R减去价格指数变化率p得到的。样本区间：1963 年～1984年，应用最小二乘法得到的估计方程如下：
时间序列计量经济学模型理论与方法
这里， t是一个白噪声。
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11
容易知道该序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)
为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的 初值为X0，则易知
X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 ……
Xt=X0+1+2+…+t 由于X0为常数，t是一个白噪声，因此Var(Xt)=t2 即Xt的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳序 列。
n
P lim xi2/n Q
▲如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势）， 则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”，基 于大样本的统计推断也就遇到麻烦。
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6
⒊ 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归” 问题
表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却 有很高的相关性（有较高的R2)：
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变
Xt=Xt-1+t
不难验证:1)||>1时，该随机过程生成的时间序列是
发散的，表现为持续上升(>1)或持续下降(<-1)，
因此是非平稳的；
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2)=1时，是一个随机游走过程，也是非平稳的。
第二节中将证明:只有当-1<<1时，该随机过程 才是平稳的。
• 1阶自回归过程AR(1)又是如下k阶自回归AR(K)过 程的特例：
时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内
容，并广泛应用于经济分析与预测当中。
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8
二、时间序列数据的平稳性
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9
时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列
一异方差的检验与修正-时间序列分析
⼀异⽅差的检验与修正-时间序列分析案例三ARIMA模型的建⽴⼀、实验⽬的了解ARIMA模型的特点和建模过程，了解AR , MA和ARIMA 模型三者之间的区别与联系，掌握如何利⽤⾃相关系数和偏⾃相关系数对ARIMA模型进⾏识别，利⽤最⼩⼆乘法等⽅法对ARIMA模型进⾏估计，利⽤信息准则对估计的ARIMA模型进⾏诊断，以及如何利⽤ARIMA 模型进⾏预测。
掌握在实证研究如何运⽤Eviews软件进⾏ARIMA模型的识别、诊断、估计和预测。
⼆、基本概念所谓ARIMA模型，是指将⾮平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将平稳的时间序列建⽴ARMA模型。
ARIMA模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程(MA )、⾃回归过程(AR)、⾃回归移动平均过程(ARMA )以及ARIMA 过程。
在ARIMA模型的识别过程中，我们主要⽤到两个⼯具：⾃相关函数ACF，偏⾃相关函数PACF以及它们各⾃的相关图。
对于⼀个序列X t⽽⾔，它的第j阶⾃相关系数j为它的j阶⾃协⽅差除以⽅差，即j = 0 ，它是关于滞后期j的函数，因此我们也称之为⾃相关函数，通常记ACF( j )。
偏⾃相关函数PACF( j )度量了消除中间滞后项影响后两滞后变量之间的相关关系。
三、实验内容及要求1实验内容：(1)根据时序图的形状，采⽤相应的⽅法把⾮平稳序列平稳化；(2)对经过平稳化后的1950年到2007年中国进出⼝贸易总额数据运⽤经典B-J⽅法论建⽴合适的ARIMA ( p,d,q )模型，并能够利⽤此模型进⾏进出⼝贸易总额的预测。
2、实验要求：(1)深刻理解⾮平稳时间序列的概念和ARIMA模型的建模思想；(2)如何通过观察⾃相关，偏⾃相关系数及其图形，⽲U⽤最⼩⼆乘法，以及信息准则建⽴合适的ARIMA模型；如何利⽤ARIMA模型进⾏预测；(3)熟练掌握相关Eviews操作，读懂模型参数估计结果。
四、实验指导1、模型识别(1 )数据录⼊打开Eviews 软件，选择"File菜单中的“Ne评Workfile '选项，在"Workfile structure type ” 栏选择"Dated -regular frequency ”，在"Date specification ”栏中分另U选择" Annual”(年数据)，分别在起始年输⼊1950,终⽌年输⼊2007,点击ok，见图3-1，这样就建⽴了⼀个⼯作⽂件。
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200
Series : NDZ Sample 2 661 Obs erv ations 660
150
Mean Median Max imum Minimum Std. Dev . Sk ewnes s Kurtos is J arque-Bera Probability -4.37E-17 0.028869 5.536131 -5.381694 1.000758 -0.070855 7.193859 484.2347 0.000000
100
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0 -4 -2 0 2 4 6
显然现期方差与前期的“波动”有关系。描述这类 关系的模型称为自回归条件异方差（ARCH）模型 （Engle 1982年提出）。使用ARCH模型的理由是：（1） 通过预测xt或ut的变化量评估股票的持有或交易对收益所 带来的风险有多大，以及决策的代价有多大；（2）可以 预测xt的置信区间，它是随时间变化的；（3）对条件异 方差进行正确估计后可以使回归参数的估计量更具有有 效性。
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
图3 收益绝对值序列 (1995-2000)
图4 D(JPY)的平方 (1995-2000)
这种序列的特征是（1）过程的方差不仅随时间变化， 而且有时变化得很激烈。（2）按时间观察，表现出“波 动集群”（volatility clustering）特征，即方差在一定时段 中比较小，而在另一时段中比较大。（3）从取值的分布 看表现的则是“高峰厚尾”（leptokurtosis and fat-tail）特 征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余 区域的概率比正态分布小。图5给出高峰厚尾分布示意图。 图6给出一个高峰厚尾分布实例。
1 1L 2 L ... p圆之外。xt 的条件期望是
E ( xt xt 1 ,..., xt p ) 0 1 xt 1 2 xt 2 ... p xt p
xt 的无条件期望（T 时）是 0 E ( xt ) 1 1 p 对于 (2) 式，由于ut2 的非负性，对i应有如下约束， 0 0,i 0, i 1,2,...,q
(2)
由于yt的均值近似等于式（1）的估计值，所以式 （1）也称为均值方程。
假设在时刻 ( t 1 ) 所有信息已知的条件下，扰动 项ut的条件分布是：
ut ~ N 0 , ( 0 1ut21 ) (3)
也就是，ut遵循以0为均值，(0+1u2t-1 )为方差的正 态分布。 由于(3)中ut的方差依赖于前期的平方扰动项，我们 称它为ARCH(1)过程：
var( ut ) 0 u
2 t
2 1 t 1
通常用极大似然估计得到参数0, 1, 2, , k, 0, 1的有效估计。
第二节 ARCH模型
一、ARCH模型的定义
若一个平稳随机变量xt可以表示为AR(p) 形式，其 随机误差项的方差可用误差项平方的q阶分布滞后模型 描述， （1） xt 0 1 xt 1 2 xt 2 ... p xt p ut
xt xt 1 ut
其中ut为白噪声过程。1995-2000年日元兑美元汇率 时间序列及差分序列见图1和图2。
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JPY (1995-2000)
4 D(JPY) (1995-2000) 2 0
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-4 -6
80 200 400 600 800 1000 1200 1400
t2 E (ut2 ) 0 1ut21 2ut22 ... q ut2q
（2）
则称ut 服从q阶的ARCH过程，记作utARCH (q)。 其中(1) 式称作均值方程，(2) 式称作ARCH方程。
(1) 和 (2) 式还应满足如下条件。对于 (1) 式，为保证 平稳性，特征方程
2 t
当全部i = 0, i = 1, 2, …, q时，条件方差 0 。因为方 2 差是非负的，所以要求0 > 0。为保证 t 是一个平稳过程， (2) 式的特征方程
第九章
异方差时间序列模型
Contents
第一节 第二节 第三节 第四节
问题的提出 ARCH模型 GARCH模型 其他GARCH模型
第一节 问题的提出
在自回归移动平均模型中，我们主要讨论平稳时间 序列的建模问题，由于针对平稳序列，实际上假定任一 时点的随机误差项的期望值是相同的，一般为0，同时假 定任一随机误差项平方的期望值就是随机误差的方差， 即同方差。 ������ 但是在金融市场上，金融资产报酬序列具有这样 的特性，大的报酬紧连着大的报酬，小的报酬紧连着小 的报酬，称为波动集群性(Mandelbrot,1963、 Fama,1965)。波动集群性表明股票报酬波动是时变的， 表明是异方差。 ������ 异方差虽然不会影响回归系数的最小二乘估计的 无偏性，但是将影响到回归系数估计的标准差和置信区 间。例如，汇率，股票价格常常用随机游走过程描述，
为了说得更具体，让我们回到k -变量回归模型：
yt 0 1 x1 t k xk t ut
(1)
如果ut的均值为零，对yt取基于(t-1)时刻的信息的 期望，即Et-1(yt)，有如下的关系：
E t 1 ( yt ) 0 1 x1t 2 x2t k xkt
-8 200 400 600 800 1000 1200 1400
图1 日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000)
图2日元兑美元汇率差分序列(收益)D(JPY)
8 Volatility of returns
60 50
6
40
DJPY^2
4
30 20
2
10
0 200 400 600 800 1000 1200 1400