广义异方差模型例题
计量经济学试题计量经济学中的异方差和序列相关性问题
计量经济学试题计量经济学中的异方差和序列相关性问题计量经济学试题：异方差和序列相关性问题一、引言计量经济学是经济学中的一个重要分支，研究经济现象的量化方法和经济理论的验证。
其中两个常见的问题是异方差和序列相关性。
本文将从理论和实践角度分析这两个问题，并探讨其对计量经济学研究的影响。
二、异方差问题异方差是指误差项的方差并非常数，而是与解释变量存在相关关系。
异方差会导致经济模型的估计结果不准确，进而影响对经济关系的理解和政策决策的正确性。
1. 理论分析异方差问题的理论基础是高斯-马尔可夫假设中的第4个假设，即误差项具有同方差性。
然而，在实际应用中，经济现象的非线性和异质性往往导致了异方差的存在。
为了解决异方差问题，常见的方法是利用加权最小二乘法(WLS)、广义最小二乘法(GLS)或进行变量转换。
2. 应用实例以股票收益率的研究为例，如果忽略异方差问题，基于OLS估计的模型将得到不准确的标准误差、t统计量和显著性水平。
通过使用WLS或GLS估计方法，可以根据异方差的特征进行权重调整或多元回归，以获得更可靠的估计结果。
三、序列相关性问题序列相关性是指时间序列数据中的观测值与其之前或之后的观测值存在相关关系。
序列相关性对计量经济学的分析和模型诊断具有重要意义。
1. 理论分析序列相关性问题与高斯-马尔可夫假设的第1个假设有关，即误差项之间是没有相关关系的。
然而，在时间序列数据中，观测值之间存在时间依赖性，因此不能满足独立同分布的假设。
为了解决序列相关性问题，常见的方法包括使用差分、引入滞后变量或利用ARIMA模型进行修正。
2. 应用实例以宏观经济学中的GDP数据为例，如果存在序列相关性问题，则使用普通最小二乘法(OLS)进行估计将导致结果的无效性，例如显著性水平过高或过低，参数估计值的误差较大等。
通过使用差分或引入滞后变量，可以消除序列相关性，从而获得更精确的估计结果。
四、结论异方差和序列相关性是计量经济学中常见的问题，会对经济模型的估计结果产生影响。
异方差练习题
异方差练习题在统计学中，方差是用来衡量一组数据的离散程度的统计量。
如果我们要比较两组数据的方差是否相等，就需要进行异方差检验。
本文将介绍一些异方差检验的练习题，帮助读者巩固对于异方差的理解和应用。
题目一：某研究人员想要比较两种不同药物在治疗头痛方面的效果。
为此，他随机选取了两组患者，第一组患者接受药物A的治疗，第二组患者接受药物B的治疗。
研究人员在治疗结束后，记录了患者的头痛缓解时间（单位：分钟）如下：药物A: 40, 45, 50, 55, 60药物B: 20, 25, 30, 35, 40请用适当的统计方法检验这两组数据的方差是否相等，并给出相应的结论。
解答一：为了比较这两组数据的方差是否相等，我们可以使用F检验。
F检验的零假设是两组数据的方差相等。
首先，我们计算两组数据的方差。
对于药物A组的数据，方差为：方差A = ((40-50)^2 + (45-50)^2 + (50-50)^2 + (55-50)^2 + (60-50)^2) / (n-1) = 62.5对于药物B组的数据，方差为：方差B = ((20-30)^2 + (25-30)^2 + (30-30)^2 + (35-30)^2 + (40-30)^2) / (n-1) = 62.5其中n为每组的样本数，这里为5。
然后，我们计算F统计量：F = 方差A / 方差B = 62.5 / 62.5 = 1接下来，我们需要根据自由度来查找F分布表中的临界值。
在这个例子中，自由度为4和4（n-1），显著性水平选择为α = 0.05。
根据F分布表可以查到，当自由度为4和4，显著性水平为0.05时，临界值为2.866。
由于计算得到的F统计量（1）小于临界值（2.866），因此我们无法拒绝零假设，即两组数据的方差相等。
结论：根据F检验结果，我们无法拒绝两组数据的方差相等的零假设。
题目二：某市场调研公司想要研究某产品在不同年龄段消费者中的满意度是否存在差异。
异方差练习题参考解答
异方差练习题参考解答练习题1.设消费函数为i i i i u X X Y +++=33221βββ式中，i Y 为消费支出；i X 2为个人可支配收入；i X 3为个人的流动资产；i u 为随机误差项，并且222)(,0)(i i i X u Var u E σ==（其中2σ为常数）。
试回答以下问题：(1)选用适当的变换修正异方差，要求写出变换过程；(2)写出修正异方差后的参数估计量的表达式。
2.由表中给出消费Y 与收入X 的数据，试根据所给数据资料完成以下问题： （1）估计回归模型u X Y ++=21ββ中的未知参数1β和2β，并写出样本回归模型的书写格式；（2）试用Goldfeld-Quandt 法和White 法检验模型的异方差性； （3）选用合适的方法修正异方差。
Y X Y X Y X 55 80 152 220 95 140 65 100 144 210 108 145 70 85 175 245 113 150 80 110 180 260 110 160 79 120 135 190 125 165 84 115 140 205 115 180 98 130 178 265 130 185 95 140 191 270 135 190 90 125 137 230 120 200 75 90 189 250 140 205 74 105 55 80 140 210 110 160 70 85 152 220 113 150 75 90 140 225 125 165 65 100 137 230 108 145 74 105 145 240 115 180 80 110 175 245 140 225 84 115 189 250 120 200 79 120 180 260 14524090125178265130185981301912703.表中的数据是美国1988研究与开发（R&D）支出费用（Y）与不同部门产品销售量（X）。
异方差的例子
异方差的例子异方差指的是在统计分析中，不同观测值的方差不相等。
这种情况下，使用传统的线性回归模型可能会导致结果的偏差和误差。
因此，为了得到更准确的结果，需要采取一些方法来处理异方差性。
下面将列举一些常见的异方差的例子，并介绍相应的处理方法。
1. 股票价格波动：股票价格的波动通常呈现出非常明显的异方差性。
在股票市场中，有些股票的价格非常波动，而有些股票的价格相对稳定。
这种情况下，可以使用加权最小二乘法来处理异方差。
2. 学生考试成绩：学生考试成绩的方差通常也会存在异方差性。
一些学生的考试成绩波动较大，而一些学生的考试成绩相对稳定。
在分析学生的考试成绩时，可以考虑使用方差齐性检验来确定是否存在异方差，并选择相应的处理方法。
3. 经济增长率：经济增长率在不同的时间段和地区通常也会呈现出异方差性。
一些地区的经济增长率波动较大，而一些地区的经济增长率相对稳定。
在分析经济增长率时，可以使用异方差稳健标准误来处理异方差。
4. 气温变化：气温在不同的季节和地区通常也会呈现出异方差性。
一些地区的气温波动较大，而一些地区的气温相对稳定。
在分析气温变化时，可以使用加权最小二乘法或者异方差稳健标准误来处理异方差。
5. 金融市场波动：金融市场的波动性也会导致异方差的问题。
一些金融资产的价格波动较大，而一些金融资产的价格相对稳定。
在分析金融市场波动时，可以使用加权最小二乘法或者异方差稳健标准误来处理异方差。
6. 人口增长率：人口增长率在不同的国家和地区也会呈现出异方差性。
一些国家的人口增长率波动较大，而一些国家的人口增长率相对稳定。
在分析人口增长率时，可以使用加权最小二乘法或者异方差稳健标准误来处理异方差。
7. 网络流量：网络流量在不同的时间段和地区也会呈现出异方差性。
一些地区的网络流量波动较大，而一些地区的网络流量相对稳定。
在分析网络流量时，可以使用加权最小二乘法或者异方差稳健标准误来处理异方差。
8. 土地价格：土地价格在不同的地区和时间段也会呈现出异方差性。
第三章 异方差与自相关广义线性模型
第三章 异方差与自相关广义线性模型本章继续讨论线性模型Y =X β+ε, E (ε)=0 （）所不同在于以前的关于误差方差的假定是Var(ε)=σ2I n （）这一章逐次推广讨论。
第一节讨论异方差的存在与检验，尤其是在经济模型资料中的存在与影响，第二节讨论的是n i diag Var i n ,,1,),,,()(2221 ==σσσε已知（）2221222222212121,),,,,,,,,,()(σσσσσσσσε diag Var =未知 （）)ex p(),,,()(2221ασσσεi i n Z diag Var '== ，α未知（）这些都是误差方差为对角阵的模型。
第三节讨论自相关线性模型。
首先讨论的是残差一阶自回归线性模型，它的残差满足i i i υρεε+=-1（） )(,0)(,)(,0)(22j i E E E j i i i ≠===υυσυυ（）此时残差εi 的方差虽不为对角阵，但只含一个参数。
接着我们介绍自回归条件异方差(ARCH)模型，它的误差假设是i p i p i i υεαεααε++++=--221102（） )(,0)(,)(,0)(22j i E E E j i i i ≠===υυσυυ（）因为模型计算中用到了广义矩估计方法(GMM)，我们在第四节又介绍了GMM 。
第五节讨论的是22,0)(σσε>=M Var 未知，M 已知（）第六节讨论的是22,0)(σσε≥=M Var 未知，M 已知（）所讨论的内容还是各种回归模型、算法及性质。
第一节 异方差的存在与检验一、异方差的存在与影响前面介绍的线性回归模型，都是假定随机误差项εi 独立同分布，有相同的方差 (Homoscedasticity)2)( ,0)(σεε==i i Var E（）但是实际抽样很难保证这一点。
经济对象千差万别，可以按不同标准划分成不同的群体。
这些群体间的差别导致样本方差不一致，于是就有所谓异方差(Heteroscedasticity):2)( ,0)(i i i Var E σεε==（）反映在散点图上，如下图可以明显看出样本方差与点 (X i , Y i )有关，随着样本数值增大而增大。
6 广义最小二乘法(GLS)与异方差
e =α0 +α1 f (X j ) +ε
c. 用WLS法消除。 法消除。 法消除
3、怀特（White）检验 、怀特（ ） a. 建立模型 例如： 例如 2 b. 检验统计量 检验统计量：
2 e =α0 +α1X1 +α2 X2 +α3X12 +α4 X2 +α5 X1X2
m= nR
2
n为样本容量，R2为可决系数，m 即LM统计量 朗格 为样本容量， 为可决系数， 统计量(朗格 为样本容量 统计量 拉日乘子统计量），近似服从自由度为 k (解释变量 拉日乘子统计量），近似服从自由度为 解释变量 ）， 2 的个数) 分布。 的个数 的 χ 分布 c. 判断 判断：在Eviews的模型估计结果输出窗口中， 选 View/ Residual Test/ White Heteroskedasticity
X2
2526.9 875.6 839.8 1088.0 1067.7 647.8 644.3 814.4 876.0 887.0 753.5 963.4 410.3 2526.9 875.6
4446.4 湖 2633.1 湖 1674.8 广 1346.2 广 480.5 海 1303.6 重 547.6 四 596.2 贵 5218.4 云 2607.2 西 3596.6 陕 1006.9 甘 2327.7 青 1203.8 宁 1511.6 新 1014.1
异方差检验
（1）图示法 ）
进一步的统计检验 (2)G-Q检验 检验 将原始数据按X 排成升序，去掉中间的7 将原始数据按 2排成升序，去掉中间的 个数据，得两个容量为12的子样本 的子样本。 个数据，得两个容量为 的子样本。 对两个子样本分别作OLS回归，求各自的 对两个子样本分别作 回归， 回归 2 2 e1 和 残差平方和 e2 ：
异方差性案例分析
异方差性案例分析异方差性是统计学中一种常见的问题，指的是随机变量具有不同的方差或者方差不稳定的情况。
当异方差性存在时，会影响到统计模型的效果和结果的可信度。
本文将通过一个实际案例来分析异方差性的问题，并探讨如何解决这一问题。
假设我们进行了一项研究，调查了一批学生的学业成绩和上网时间的关系。
我们收集了60位学生的数据，其中包括学习时间（以小时为单位）和平均每周上网时间（以小时为单位）。
我们的研究目的是确定学生的学习时间与上网时间是否存在相关性，并且构建一个合适的回归模型来预测学生成绩。
首先，我们绘制了学习时间和上网时间的散点图，以探索两个变量之间的关系。
从散点图中，我们可以看到数据的分布情况和可能的相关性。
接下来，我们使用线性回归模型来分析学习时间和上网时间的关系。
我们假设学习时间是因变量，上网时间是自变量。
模型的形式为：学习时间=β0+β1*上网时间+ε其中，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
我们利用最小二乘法估计出回归系数，进而得到回归模型。
然而，在进行异方差性检验时，我们发现了一个令人担忧的问题：残差的方差并不是恒定的。
简单说，残差并不是随机地围绕着回归线分布，而是变动的。
异方差性的存在会导致参数估计的不准确性，进而使统计结果产生偏差和误导性。
因此，解决异方差性问题是非常重要的。
为了解决这个问题，我们可以尝试使用加权最小二乘法，即引入一个权重系数来重新估计回归系数。
权重系数的选择与残差的方差相关，即越大的权重用于较小方差的观测值，越小的权重用于较大方差的观测值。
为了确定权重系数，我们可以进行一些统计方法的变换，例如对残差进行平方根、对数转换等。
我们还可以使用一些专门用于解决异方差性的模型，如加权最小二乘法（WLS）、广义最小二乘法（GLS）等。
在我们的案例中，我们尝试了通过对残差进行平方根转换来解决异方差性问题。
具体来说，我们计算了残差的平方根，并重新估计了回归系数。
经过尝试和比较，我们发现使用平方根转换的模型的残差方差相对于未加权的模型有了显著的改善。
ccc-garch广义自回归条件异方差模型
ccc-garch广义自回归条件异方差模型GARCH（广义自回归条件异方差）模型是一种用于时间序列分析中处理异方差性的模型。
它是ARCH（自回归条件异方差）模型的扩展，通过引入额外的参数，能够更准确地捕捉时间序列数据中的波动性、异方差性和相关性的变化。
GARCH模型的基本形式可以表示为：\[\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{p}\alpha_i \varepsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^{q}\beta_j \sigma_{t-j}^2\]其中，\(\varepsilon_t\) 是时间序列数据在时间点 \(t\) 的残差，\(\sigma_t^2\) 是时间点 \(t\) 的方差，\(\omega\)、\(\alpha_i\) 和\(\beta_j\) 是模型的参数，\(p\) 和 \(q\) 分别代表了模型的自回归部分和移动平均部分的阶数。
GARCH模型的核心思想是使用历史残差的平方项作为预测当前期方差的主要指标，同时考虑了之前期方差的影响。
因此，GARCH模型能够根据历史数据的波动性和相关性，进行对未来方差的预测，从而实现风险管理和投资决策。
在应用GARCH模型时，一般需要经历以下步骤：1. 数据预处理：对原始数据进行平稳性检验，如ADF检验、单位根检验等。
如果数据不满足平稳性条件，需要进行差分处理，将其转化为平稳序列。
2. 模型拟合：选取适当的GARCH模型阶数 \(p\) 和 \(q\)，通过拟合数据估计GARCH模型的参数。
可以使用最大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation）或其他拟合方法。
3. 模型诊断：对拟合后的模型进行统计检验，检查模型残差的自相关性是否存在显著性、残差是否符合正态分布等。
可以应用Ljung-Box检验、正态性检验等。
4. 模型选择：根据诊断结果和实际应用需求，选择最优GARCH模型。
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广义异方差模型例题：例：1969年1月至1994年9月澳大利亚储备银行2年期有价证券月度利率数据如表所示（行数据）4.99 55.03 5.03 5.25 5.26 5.3 5.45 5.49 5.52 5.75.68 5.65 5.86.5 6.45 6.48 6.45 6.35 6.4 6.43 6.436.44 6.45 6.48 6.4 6.35 6.4 6.3 6.32 6.35 6.13 5.75.58 5.18 5.18 5.17 5.15 5.21 5.23 5.05 4.65 4.65 4.64.67 4.69 4.68 4.62 4.63 4.95.44 5.566.04 6.06 6.068.07 8.07 8.1 8.05 8.06 8.07 8.06 8.11 8.6 10.8 1111 11 9.48 9.18 8.62 8.3 8.47 8.44 8.44 8.46 8.498.54 8.54 8.5 8.44 8.49 8.4 8.46 8.5 8.5 8.47 8.478.47 8.48 8.48 8.54 8.56 8.39 8.89 9.91 9.89 9.91 9.919.9 9.88 9.86 9.86 9.74 9.42 9.27 9.26 8.99 8.83 8.838.83 8.82 8.83 8.83 8.79 8.79 8.69 8.66 8.67 8.72 8.779 9.61 9.7 9.94 9.94 9.94 9.95 9.94 9.96 9.97 10.8310.75 11.2 11.4 11.54 11.5 11.34 11.5 11.5 11.58 12.42 12.8513.1 13.12 13.1 13.15 13.1 13.2 14.2 14.75 14.6 14.6 14.4514.5 14.8 15.85 16.2 16.5 16.4 16.4 16.35 16.1 13.7 13.514 12.3 12 14.35 14.6 12.5 12.75 13.7 13.45 13.55 12.612 11 11.6 12.05 12.35 12.7 12.45 12.55 12.2 12.1 11.1511.85 12.1 12.5 12.9 12.5 13.2 13.65 13.65 13.5 13.45 13.3514.45 14.3 15.05 15.55 15.65 14.65 14.15 13.3 12.65 12.7 12.814.5 15.1 15.15 14.3 14.25 14.05 14.7 15.05 14.05 13.8 13.2513 12.85 12.6 11.8 13 12.35 11.45 11.35 11.55 10.85 10.912.3 11.7 12.05 12.3 12.9 13.05 13.3 13.85 14.65 15.05 15.1514.85 15.7 15.4 15.1 14.8 15.8 15.8 15 14.4 13.8 14.314.15 14.45 14.1 14.05 13.75 13.3 13 12.55 12.25 11.85 11.511.1 11.15 10.7 10.25 10.55 10.25 10.3 9.6 8.4 8.2 7.258.35 8.25 8.3 7.4 7.15 6.35 5.65 7.4 7.2 7.05 7.16.85 6.5 6.25 5.95 5.65 5.85 5.45 5.3 5.2 5.55 5.155.4 5.35 5.1 5.86.35 6.5 6.95 8.057.85 7.758.6（1）考察该序列的方差齐性。
（2）选择适当的模型拟合该序列的发展解答：（1）1、时序图：时序图显示序列存在曲线趋势，我们对原序列进行差分得到残差序列的图。
差分后的残差图整均值平稳，但伴随大小不等的随机波动。
我们对残差序列进行自回归，再考察自回归残差序列的方差齐性。
2、用AUTOREG过程建立序列｛Xt｝关于一阶滞后项lagx的回归模型，并检验残差序列的自相关性和异方差性。
检验显示Dh统计量为1.8550,Dh统计量的P值为0.0318小于0.05,结果显示残差序列具有显著的自相关性。
显示回归模型常数截距项不显著（0.0736>0.05）。
显示残差序列具有显著的异方差性。
3、arch的定阶proc autoreg data=hh;model x=lagx /lagdep=lagx archtest;model x=lagx/nlag=4backstep garch=(p=1,q=1); output out=res cev=v;run;参数检验显示除AR5参数不显著外，其它参数显著。
综合考虑残差序列自相关性和异方差性检验结果，尝试拟合无回归常数项的广义异方差模型，nlag=4，garch=(p=1,q=1)。
4、异方差模型：拟合效果很理想。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+==+=+=---15123173.62700.01272.09997.0t t t t t t t t t t t h E h e h u u x x εεε（其中e^t~n(0,0.26999)）附程序：data hh;input x@@;difx=dif(x);lagx=lag(x);year=intnx("month","01jan1969"d ,_n_-1);format year monyy7.;cards ;4.99 55.03 5.03 5.25 5.26 5.3 5.45 5.49 5.52 5.75.68 5.65 5.86.5 6.45 6.48 6.45 6.35 6.4 6.43 6.436.44 6.45 6.48 6.4 6.35 6.4 6.3 6.32 6.35 6.13 5.75.58 5.18 5.18 5.17 5.15 5.21 5.23 5.05 4.65 4.65 4.64.67 4.69 4.68 4.62 4.63 4.95.44 5.566.04 6.06 6.068.07 8.07 8.1 8.05 8.06 8.07 8.06 8.11 8.6 10.8 1111 11 9.48 9.18 8.62 8.3 8.47 8.44 8.44 8.46 8.498.54 8.54 8.5 8.44 8.49 8.4 8.46 8.5 8.5 8.47 8.478.47 8.48 8.48 8.54 8.56 8.39 8.89 9.91 9.89 9.91 9.919.9 9.88 9.86 9.86 9.74 9.42 9.27 9.26 8.99 8.83 8.838.83 8.82 8.83 8.83 8.79 8.79 8.69 8.66 8.67 8.72 8.779 9.61 9.7 9.94 9.94 9.94 9.95 9.94 9.96 9.97 10.8310.75 11.2 11.4 11.54 11.5 11.34 11.5 11.5 11.58 12.42 12.8513.1 13.12 13.1 13.15 13.1 13.2 14.2 14.75 14.6 14.6 14.4514.5 14.8 15.85 16.2 16.5 16.4 16.4 16.35 16.1 13.7 13.514 12.3 12 14.35 14.6 12.5 12.75 13.7 13.45 13.55 12.612 11 11.6 12.05 12.35 12.7 12.45 12.55 12.2 12.1 11.15 11.85 12.1 12.5 12.9 12.5 13.2 13.65 13.65 13.5 13.45 13.35 14.45 14.3 15.05 15.55 15.65 14.65 14.15 13.3 12.65 12.7 12.8 14.5 15.1 15.15 14.3 14.25 14.05 14.7 15.05 14.05 13.8 13.25 13 12.85 12.6 11.8 13 12.35 11.45 11.35 11.55 10.85 10.9 12.3 11.7 12.05 12.3 12.9 13.05 13.3 13.85 14.65 15.05 15.15 14.85 15.7 15.4 15.1 14.8 15.8 15.8 15 14.4 13.8 14.314.15 14.45 14.1 14.05 13.75 13.3 13 12.55 12.25 11.85 11.5 11.1 11.15 10.7 10.25 10.55 10.25 10.3 9.6 8.4 8.2 7.258.35 8.25 8.3 7.4 7.15 6.35 5.65 7.4 7.2 7.05 7.16.85 6.5 6.25 5.95 5.65 5.85 5.45 5.3 5.2 5.55 5.155.4 5.35 5.1 5.86.35 6.5 6.95 8.057.85 7.758.6;run;proc gplot data=hh;plot (x difx)*year;symbol i=line;run;proc autoreg data=hh;model x=lagx /lagdep=lagx archtest;model x=lagx /nlag=4backstep garch=(p=1,q=1) noint; output out=out p=p pm=pm r=r rm=rm ucl=ucl lcl=lcl cev=cev; run;data out;set out;uclr=1.96*sqrt(0.26747);lclr=-1.96*sqrt(0.26747);cuclr=1.96*sqrt(cev);clclr=-1.96*sqrt(cev);cuclp=p+1.96*sqrt(cev);clclp=p-1.96*sqrt(cev);run;proc gplot data=out;plot x*year=1 p*year=2 cuclp*year=3 clclp*year=3 lcl*year=4 ucl*year=4/overlay; symbol1c=black i=none v=star;symbol2c=red i=line v=none;symbol3c=blue i=lnie;symbol4c=green i=join v=star;run;proc gplot data=out;plot r*year=1 uclr*year=2 lclr*year=2 clclr*year=3 cuclr*year=3 /overlay; symbol1c=black i=none v=star;symbol2c=red i=line v=none;symbol3c=blue i=lnie;run;proc arima data=out;identify var=r nlag=24;run;。