第三讲+条件异方差模型

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ARCH的检验
下面介绍检验一个模型的残差是否含有ARCH效应的 两种方法：ARCH LM检验和残差平方相关图检验。 1. ARCH LM检验 Engle在1982年提出检验残差序列中是否存在ARCH 效应的拉格朗日乘数检验（Lagrange multiplier test）， 即ARCH LM检验。自回归条件异方差性的这个特殊的设
式中 û t 是残差。这是一个对常数和直到 q 阶的滞后平方残 差所作的回归。这个检验回归有两个统计量： （1）F 统计量是对所有残差平方的滞后的联合显著性所 作的一个省略变量检验； （2）TR2 统计量是Engle’s LM检验统计量，它是观测
值个数 T 乘以回归检验的 R2 ；
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普通回归方程的ARCH检验都是在残差检验下拉列表中
得到了在滞后阶数p = 1时的ARCH LM检验结果：
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从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在着一阶 ARCH效应。因此利用ARCH(1)模型重新估计模型，结果如下： 均值方程：
ˆt cpit 1.088cpit 1 0.13cpit 2 3.098m1rt 1 0.062Rt 2 u
观察该回归方程的残差图，也可以注意到波动的“成群” 现象：波动在一些时期内较小，在其他一些时期内较大， 这说明误差项可能具有条件异方差性。
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2的自相关（AC）和偏自相关（PAC） 因此计算残差平方û t
系数，结果如下：
从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在
着一阶ARCH效应。再进行条件异方差的ARCH LM检验，
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在标准化的GARCH(1,1)模型中：
yt xtγ ut
均值方程
t2 ut21 t21
方差方程
其中：xt 是 (k+1)×1维外生变量向量， 是(k+1)×1维系数 向量。 均值方程是一个带有扰动项的外生变量函数。由于t2 是以前面信息为基础的一期向前预测方差 ，所以它被称作条
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GARCH模型
扰动项 ut 的方差常常依赖于很多时刻之前的变化量，
因此必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。但是如 果我们能够意识到下式不过是 t2 的分布滞后模型，
u 2 2 2 2 ~ ~ ~ ~ t 1 0 1ut 2 2ut 3 put p1
定，是由于人们发现在许多金融时间序列中，残差的大小
与最近的残差值有关。ARCH本身不能使标准的OLS估计 无效，但是，忽略ARCH影响可能导致有效性降低。
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ARCH LM检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检
验原假设：残差中直到q阶都没有ARCH，运行如下回归：
2 2 2 ˆ ˆ ˆ ut 0 1ut 1 qut q t
件方差，方差方程也被称作条件方差方程 。
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条件方差方程是下面三项的函数： 1．常数项（均值）： 2．用均值方程的扰动项平方的滞后来度量从前期得 到的波动性的信息： ut2-1（ARCH项）。 3．上一期的预测方差：
t2-1 （GARCH项）。
GARCH(1,1) 模型中的 (1,1) 是指阶数为 1 的 GARCH 项（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括号中的 第二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个 特例，GARCH(0,1)，即在条件方差方程中不存在滞后预 测方差t2-1的说明。
z = (12.53) (-1.53) (4.72) (-3.85)
方差方程：
ˆ t2 0.186 0.648u ˆt21
z = (5.03) (3.214) R2=0.99 对数似然值 = -151.13 AIC = 1.87 SC = 1.98
方差方程中的ARCH项的系数是统计显著的，并且对数似然值 有所增加，同时AIC和SC值都变小了，这说明ARCH(1)模型能够更 好的拟合数据。
(2.35) (951) R2= 0.997
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可以看出，这个方程的统计量很显著，而且，拟合 的程度也很好。但是需要检验这个方程的误差项是否存 在条件异方差性。
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股票价格指数方程回归残差
观察上图，该回归方程的残差，我们可以注意到波动的“成 群”现象：波动在一些较长的时间内非常小，在其他一些较长的 时间内非常大，这说明残差序列存在高阶ARCH效应。
条件异方差模型
Eviews中条件方差或变量波动性模型通常有如下几个 原因: 首先，我们可能要分析持有某项资产的风险；其次， 预测置信区间可能是时变性的，所以可以通过建立残差方
差模型得到更精确的区间；第三，如果误差的异方差是能
适当控制的，我们就能得到更有效的估计。
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§自回归条件异方差模型
自 回 归 条 件 异 方 差 (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model， ARCH)模型是特别用来建立条件 方差模型并对其进行预测的。 ARCH 模型是 1982年由恩格尔 (Engle, R.) 提出，并由博 勒斯莱文(Bollerslev, T., 1986)发展成为GARCH (Generalized ARCH)——广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用
政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明
预测误差的方差中有某种相关性。 为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差
(ARCH)模型。ARCH的主要思想是时刻 t 的ut 的方差(= t2 )
2 。 依赖于时刻(t 1)的扰动项平方的大小，即依赖于 û t -1
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ARCH模型
k -变量回归模型：
2 t 2 1 t 1
2 2 t 2
u
2 p t p
这时方差方程中的(p+1)个参数0, 1, 2, , p也要和回归模 型中的参数0, 1, 2, , k一样，利用极大似然估计法进行估 计。
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如果扰动项方差中没有自相关，就会有 H0 ：var( u 这时
进行的，需要注意的是，只有使用最小二乘法、二阶段最
小二乘法和非线性最小二乘法估计的方程才有此项检验。
普通方程的ARCH检验列表
Breusch-Pagan-Godfrey Harvey Glejser ARCH White Custom Test Wizard…
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残差平方相关图
2 的自相关系 显示直到所定义的滞后阶数的残差平方 û t
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由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过
程 ——随机游动（ Random Walk ）模型描述，所以本例进
行估计的基本形式为：
ln( spt ) ln( spt 1 ) ut
首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结 果如下：
ˆ t ) 0.0178 0.9976 ln( spt 1 ) ln( sp
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再对这个方程进行条件异方差的ARCH LM检验，得到 了残差序列在滞后阶数p=1时的统计结果：
此时的相伴概率为0.69，接受原假设，认为该残差序列 不存在ARCH效应，说明利用ARCH(1)模型消除了模型残差 序列的条件异方差性。残差平方相关图的检验结果为：
自相关系数和偏自相关系数近似为0。这个结果也说明了残 差序列不再存在ARCH效应。
明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会
大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的 方差取决于后续扰动项的大小。
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从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序 列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随 时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相 对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又 是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、
2 t 2 1 t 1 2 2 t 2 2 p t p
0 u u
我们就能够用一个或两个 t2 的滞后值代替许多 ut2 的滞后值， 这 就 是 广 义 自 回 归 条 件 异 方 差 模 型 (generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model，简记为 GARCH模型)。在GARCH模型中，要考虑两个不同的设定： 一个是条件均值，另一个是条件方差。
2 ) 0 t
1 2 p 0
恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟
从而得到扰动项方差的同方差性情形。 假设：
ˆ0 ˆ1u ˆ 2u ˆ pu ˆt2 ˆt21 ˆt22 ˆt2 p u
其中，û t 表示从原始回归模型估计得到的OLS残差。
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高阶GARCH(p, q)模型
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2 可以计算方程残差平方û t 的自相关（AC）和偏自相关 （PAC）系数，结果说明残差序列存在ARCH效应。
因此，对上式进行条件异方差的ARCH LM检验，得到了 在滞后阶数p = 3时的ARCH LM检验结果如下。此处的P值为0， 拒绝原假设，说明其残差序列存在ARCH效应。
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中国CPI模型的ARCH检验 因变量为中国的消费价格指数（上年同月=100）减去100，记为 cpit；解释变量选择货币政策变量：狭义货币供应量M1的增长率， 记为m1rt；3年期贷款利率，记为Rt，样本期间是1994年1月～ 2007年12月。由于是月度数据，利用X-12季节调整方法对 cpit 和 m1滞后阶数的 Ljung-Box 统计
量。残差平方相关图可以用来检查残差自回归条件异方差性 （ARCH）。如果残差中不存在 ARCH，在各阶滞后自相关 和偏自相关系数应为 0，且 Q 统计量应不显著。可适用于 LS ， TSLS ， 非 线 性 LS 方 程 。 在 上 图 中 选 择 Residuals Tests/ Correlogram Squared Residuals项，它是对方程进行残差平 方相关图的检验。单击该命令，会弹出一个输入计算自相关 和偏自相关系数的滞后阶数设定的对话框，默认的设定为36，