2020届四川省眉山市高三第三次诊断性考试数学(文)试题解析

由 ，所以有 ，
化简得 ，所以离心率 ．
故选：B.
点评：
本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．
11．函数 与 的图象上存在关于直线 对称的点，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
答案：C
由题可知，曲线 与 有公共点，即方程 有解，可得 有解，令 ，则 ，对 分类讨论，得出 时， 取得极大值 ，也即为最大值，进而得出结论.
本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.
6．已知实数 、 满足约束条件 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
答案：C
作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点 时， 取得最大值.
解：
解：作出约束条件表示的可行域是以 为顶点的三角形及其内部，如下图表示：
由 得 ，
即 ，
于是 ，
则 ，
解得 ．
故答案为：
点评：
本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
三、解答题
17．某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了 人进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：
满意
不满意
男
女
是否有 的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？
5．已知 ， 是两条不重合的直线， 是一个平面，则下列命题中正确的是（）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
答案：D
利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.
解：
解：选项A中直线 ， 还可能相交或异面，
选项B中 ， 还可能异面，
选项C，由条件可得 或 ．
故选：D.
点评：
4．函数 （其中 ， ， ）的图象如图，则此函数表达式为（）
A． B．
C． D．
答案：B
由图象的顶点坐标求出 ，由周期求出 ，通过图象经过点 ，求出 ，从而得出函数解析式.
解：
解：由图象知 ， ，则 ，
图中的点 应对应正弦曲线中的点 ，
所以 ，解得 ，
故函数表达式为 ．
故选：B.
点评：
本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题.
A． B． C． D．
答案：B
基本事件总数为 个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为 个，由此求出概率.
解：
解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，
取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共 个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共 个，
由 ，公差 ，有 ， ， 成等比数列，所以 ，解得 .进而求出数列 ， 的通项公式；
当 时，由 ，所以 ，当 时，由 ， ，可得 ，进而求出前 项和 ．
解：
解： 由题意知， ，公差 ，有1， ， 成等比数列，
所以 ，解得 ．
所以数列 的通项公式 ．
数列 的公比 ，其通项公式 ．
当 时，由 ，所以 ．
解：
由 ， ，可知 平面 ．
将三棱锥 补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同．
由此易知外接球球心 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，
记 的外心为 ，由 为等边三角形，
可得 ．又 ，故在 中， ，
此即为外接球半径，从而外接球表面积为 ．
故选：A
点评：
本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.
10．设 ， 是双曲线 的左，右焦点， 是坐标原点，过点 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为（）
A． B． C． D．
答案：B
设过点 作 的垂线，其方程为 ，联立方程，求得 ， ，即 ，由 ，列出相应方程，求出离心率.
解：
解：不妨设过点 作 的垂线，其方程为 ，
由 解得 ， ，即 ，
若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了 人发放价值 元的购物券．若在获得了 元购物券的 人中随机抽取 人赠其纪念品，求获得纪念品的 人中仅有 人是女顾客的概率．
附表及公式： ．
答案： 有 的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关； .
由题得 ，根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关；
获得了 元购物券的 人中男顾客有 人，记为 ， ；女顾客有 人，记为 ， ， ， ．从中随机抽取 人，所有基本事件有 个，其中仅有1人是女顾客的基本事件有 个，进而求出获得纪念品的 人中仅有 人是女顾客的概率.
12．已知抛物线 和点 ，直线 与抛物线 交于不同两点 ， ，直线 与抛物线 交于另一点 ．给出以下判断：
①直线 与直线 的斜率乘积为 ；
② 轴；
③以 为直径的圆与抛物线准线相切.
其中，所有正确判断的序号是（）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
答案：B
由题意，可设直线 的方程为 ，利用韦达定理判断第一个结论；将 代入抛物线 的方程可得， ，从而， ，进而判断第二个结论；设 为抛物线 的焦点，以线段 为直径的圆为 ，则圆心 为线段 的中点．设 ， 到准线的距离分别为 ， ， 的半径为 ，点 到准线的距离为 ，显然 ， ， 三点不共线，进而判断第三个结论.
2020届四川省眉山市高三第三次诊断性考试数学（文）试题
绝密★启用前
山东省普通高中2020年高中学业水平等级考试模拟数学试卷
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
答案：D
先求出集合 ，再求交集得出结论.
所以获得纪念品的 人中仅有 人是女顾客的概率 ．
点评：
本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识，属于中档题．
18．已知等差数列 满足 ，公差 ，等比数列 满足 ， ， ．
求数列 ， 的通项公式；
若数列 满足 ，求 的前 项和 ．
答案： ， ； .
当目标函数经过点 时， 取得最大值，最大值为 .
故选：C.
点评：
本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.
7．已知 ， ， 分别是 三个内角 ， ， 的对边， ，则 （）
A． B． C． D．
答案：C
原式由正弦定理化简得 ，由于 ， 可求 的值.
解：
解：由 及正弦定理得 .
所以，所求的概率 .
故选：B.
点评：
本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题．
9．如图，平面四边形 中， ， ， ， 为等边三角形，现将 沿 翻折，使点 移动至点 ，且 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
答案：A
将三棱锥 补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在 中，计算半径 即可.
【考点】三角变换及运用．
16．已知 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ．若 时， ，则不等式 的解集是___________．
答案：
构造 ，先利用定义判断 的奇偶性，再利用导数判断其单调性，转化 为 ，结合奇偶性，单调性求解不等式即可.
解：
令 ，则 是 上的偶函数，
，则 在 上递减，于是在 上递增．
解：
根据直方图知第二组的频率是 ，则样本容量是 ，
又成绩在80～100分的频率是 ，
则成绩在区间 的学生人数是 ．
故答案为：30
点评：
本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生综合分析，数据处理，数形运算的能力，属于基础题.
15．已知 ，且 ，则 __________．
答案：
试题分析：因 ,故 ,所以 ， ,应填 .
解：
解析： 由题得
所以，有 的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关．
获得了 元购物券的 人中男顾客有 人，记为 ， ；女顾客有 人，记为 ， ， ， ．
从中随机抽取 人，所有基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 个．
其中仅有1人是女顾客的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ，共 个．
因为 ，所以 代入上式化简得 .
由于 ，所以 .
又 ，故 .
故选：C.
点评：
本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运Leabharlann 求解能力，推理论证能力，属于中档题.
8．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“ ”表示一个阳爻，“ ”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（）
求证：平面 平面 ；
是否存在满足 的点 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
答案： 证明见解析； 2.
利用面面垂直的判定定理证明即可；
由 ，知 ，所以可得出 ，因此， 的充要条件是 ，继而得出 的值.
解：
解： 证明：因为 是正三角形， 为线段 的中点，
所以 ．
因为 是菱形，所以 ．
因为 ，
所以 是正三角形，
所以 ，而 ，
所以 平面 ．
又 ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，
所以平面 平面 ．
由 ，知 ．