解三角形应用举例》 教案
教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．考点2 实际应用中的常用术语 术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角的范围是(0°，360°)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度例：(1)北偏东m °：(2)南偏西n °：坡角坡面与水平面的夹角设坡角为α，坡度为i ，则i ＝hl＝tan α坡度坡面的垂直高度h 和水平宽度l的比三、例题精析【例题1】【题干】隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距 3 km的C、D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离．【解析】如图，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，所以AC＝CD＝ 3.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，由正弦定理知BC＝ 3 sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，所以AB＝ 5 km，所以A，B两目标之间的距离为 5 km.【题干】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．【解析】如图所示，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40，此时∠DBF ＝45°.过点B 作BE ⊥CD 于E ，则∠AEB ＝30°.在△BCD 中，CD ＝40， ∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°，由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BDsin ∠BCD ，则BD ＝40sin 30°sin 135°＝20 2.∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°. 在Rt △BED 中，BE ＝DB sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°， 则AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)．故塔高为103(3－3) m.【题干】如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．【解析】设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝10 3 t 海里，BD ＝10 t 海里，在△ABC 中，由余弦定理，有BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6.解得BC ＝ 6.又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC ，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6.∴t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．【题干】(2013·广州模拟)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内的海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 的北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 的北偏东(45°＋θ)(其中sin θ＝2626，0°＜θ＜90°)且与点A 相距1013海里的位置C . (1)求该船的行驶速度(单位：海里/时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．【解析】如图所示，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626.因为0＜θ＜90°，所以cos θ＝1－⎝⎛⎭⎫26262＝52626.BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5.所以船的行驶速度为10523＝155海里/时．(2)法一：如图所示以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B ，C 的坐标分别是B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 与x 轴的交点为D .由题设，得x 1＝y 1＝22AB ＝40， x 2＝AC cos ∠CAD ＝1013·cos(45°－θ)＝30， y 2＝AC sin ∠CAD ＝10 13·sin(45°－θ)＝20. 所以过点B ，C 的直线l 的斜率k ＝2010＝2，直线l 的方程为y ＝2x －40.又点E (0，－55)到直线l 的距离d ＝|0＋55－40|1＋4＝35＜7，所以船会进入警戒水域．法二：如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q .在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝402×2＋102×5－102×132×402×105＝31010.所以sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝1－910＝1010. 在△ABQ 中，由正弦定理，得AQ ＝AB ·sin ∠ABCsin 45°－∠ABC＝402×101022×21010＝40.由于AE ＝55＞40＝AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE ＝AE －AQ ＝15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在Rt △QPE 中，PE ＝QE ·sin ∠PQE ＝QE ·sin ∠AQC ＝QE ·sin(45°－∠ABC )＝15×55＝35＜7.所以船会进入警戒水域．四、课堂运用【基础】1．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 3 km，那么x的值为()A.3B．23C.3或2 3 D．3解析：选C如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得(3)2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，整理得x2－33x＋6＝0，解得x＝3或2 3.2．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50 m B．100 mC．120 m D．150 m解析：选A设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB ＝100，BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.3．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拨高度为(精确到0.1 km)( )A ．11.4B ．6.6C ．6.5D ．5.6解析：选B ∵AB ＝1 000×1 000×160＝50 0003m ， ∴BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝50 00032m. ∴航线离山顶h ＝50 00032×sin 75°≈11.4 km. ∴山高为18－11.4＝6.6 km.【巩固】4.2012年10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.解析：∵由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴xsin 45°＝10sin 60°.∴x＝1063m.答案：1063m5．(2013·铜川模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是________海里/小时．解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD ＝CA＝10.在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是5＝10海里/小时．0.5答案：10【拔高】6．如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？解：(1)如图所示，连接MP .依题意，有A ＝23，T 4＝3. ∵T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x . 当x ＝4时，y ＝23sin2π3＝3，∴M (4,3)． 又P (8,0)，∴MP ＝42＋32＝5km.(2)在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5，设∠PMN ＝θ，则0°＜θ＜60°.∵由正弦定理得MP sin 120°＝NP sin θ＝MN sin 60°－θ， ∴NP ＝1033sin θ，MN ＝1033sin(60°－θ)， 故NP ＋MN ＝1033sin θ＋1033sin(60°－θ)＝1033⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ＝1033sin(θ＋60°)． ∵0°＜θ＜60°，∴当θ＝30°时，NP ＋MN 最大，即将∠PMN 设计为30°时，才能使折线赛道MNP 最长．7．为扑灭某着火点，现场安排了两支水枪，如图，D 是着火点，A 、B 分别是水枪位置，已知AB ＝1 5 2 m ，在A 处看到着火点的仰角为60°，∠ABC ＝30°，∠BAC ＝105°，求两支水枪的喷射距离至少是多少？解：在△ABC 中，可知∠ACB ＝45°，由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin ∠ABC， 解得AC ＝15 m.又∵∠CAD ＝60°，∴AD ＝30，CD ＝153，sin 105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24. 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC， 解得BC ＝156＋22m. 由勾股定理可得BD ＝BC 2＋CD 2＝155＋ 3 m ，综上可知，两支水枪的喷射距离至少分别为30 m ，155＋ 3 m.课程小结解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．课后作业【基础】1.如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a kmB.3a kmC.2a kmD ．2a km解析：选B 利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°＝2a 2－2a 2×⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2，故AB ＝3a .2．(2013·永州模拟)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 kmB ．3 2 kmC ．3 3 kmD ．2 3 km解析：选B 如图，由条件知AB ＝24×1560＝6.在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin 30°＝ABsin 45°，所以BS ＝ABsin 45°sin 30°＝3 2.3.如图，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m解析：选C ∵在△ACE 中，tan 30°＝CE AE ＝CM －10AE . ∴AE ＝CM －10tan 30°m. ∵在△AED 中，tan 45°＝DE AE ＝CM ＋10AE， ∴AE ＝CM ＋10tan 45° m ，∴CM －10tan 30°＝CM ＋10tan 45°， ∴CM ＝103＋13－1＝10(2＋3)≈37.3 m.【巩固】4某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m ，则折断点与树干底部的距离是________ m.解析：如图，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，所以∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AOsin 45°＝20sin 60°，解得AO ＝2063 m.答案：20635.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．解：作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M ，DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298，DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130，EF ＝BE －FC 2＋BC 2＝902＋1202＝150.在△DEF 中，由余弦定理得，cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF ＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.【拔高】6.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？解：如图，连接A 1B 2∵由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1A 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200，∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302海里/时．7.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解：(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28.＝14海里/小时．所以渔船甲的速度为BC2(2)法一：在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°. 即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314. 法二：在△ABC 中，因为AB ＝12，AC ＝20，BC ＝28，∠BCA ＝α，由余弦定理，得cos α＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ×BC， 即cos α＝202＋282－1222×20×28＝1314. 因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2 α＝ 1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.。
《解直角三角形的应用(第1课时)》优质教案
1.解直角三角形主要依据是什么
2．解直角三角形主要有哪两种类型
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一：
创设
情境的二楼，一天，他站在教室的窗台前看操场上的旗杆，心想：站在地面上可以利用解直角三角形求得旗杆的高吗他望着旗杆顶端和旗杆底部，测得视线与水平视线之间的夹角各一个，但是，这两个角怎样命名区别呢如图4－4－15，∠CAE，∠DAE在测量中分别叫什么角呢
①[授课流程反思]
本课时在新课引入时以学生熟悉的校园生活为背景，提出了本节课要用到的仰角、俯角，并对这两种角进行了简单的描述，学生应用时应该是水到渠成的.
②[讲授效果反思]
应用仰角、俯角解决解直角三角形中的问题是本节课的重点，所以本节课选择了3个探究问题，比较基础，希望师生共同了解仰角、俯角的初步应用，接着又选择了4个中考题作为例题讲解，建议每道例题学生先做，然后教师再用多媒体展示答案，突出学生的主体地位和教师的主导作用.
反思，更进一步提升.
图4－4－19
变式如图4－4－20，线段AB，CD分别表示甲、乙两幢楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶A测乙楼顶C的仰角α＝30°，已知甲楼高15米，两楼水平距离为24米，求乙楼的高.
[答案：(8 ＋15)米]
图4－4－20
认真审题是解题的关键，通过运用一元一次方程的概念，学会解决简单的问题．采取启发式教学发挥学生的潜能.
图4－4－22
[答案：潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米]
例3主要是利用俯角构建直角三角形和一次方程，从而求水下深度.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.教材P126练习中的T1，T2.
2.教材P129习题中的T3，T4，T5.
解三角形应用举例
1.2│ 新课感知 新课感知
在日常生活和工农业生产中，为了达到某种目的，常常 想测得一个点与另一个不可到达的点间的距离或在远处的 两个物体之间的距离，这样的想法能实现吗？如何实现呢？
测量距离的问题
例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出 75 ， C 60 AC的距离是55cm， A＝ ＝ ，求A、B 6 2.449 ). 两点间的距离(精确到0.1m ，
10 A
50 40
B
BC 28
∴我舰的追击速度为14n mile/h
又在△ABC中由正弦定理得：
AC BC sin B sin A
即 B=38.2° 故我舰行的方向为北偏东
AC sin A 5 3 故 sin B BC 14
50°- 38.2°=11.8°
课堂小结 1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。 2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知 与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余 弦定理解题。 3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程 图可表示为： 实际问题
15 45
解：在⊿ABC中， ∠A=15°, ∠C=45°-15°=30°. 根据正弦定理，
15 45
BC AB sin A sin C
AB sin A 5sin15 5( 6 2) BC 2.5875(km). sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn C sin 30 2
CD=BC×tan∠DBC=BC×tan15°≈693(m) 答：山的高度约为693米。
28 cos30 sin 60 sin(60 30 ) 42( m)
高中数学教案】人教A版必修5第一章1.2《解三角形应用举例》教案
《解三角形应用举例》教案一、教学目标1.知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.过程与方法（1）通过解决“底部不可到达的物体高度测量”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形的问题的方法.（2）进一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力.3.情感、态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力二、教学重点和难点教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学关键：将实际问题中的高度问题转化为数学问题.教学突破方法：通过分析实践、自主探究、合作交流等一系列的寻求问题解决方法的活动，讨论解决方法，步步改进方法，探求最佳方法.三、教法与学法导航教学方法：本节课是解三角形应用举例的延伸.采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架.通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法.教学形式要坚持“引导——讨论——归纳”，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯.作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.学习方法：学生通过数学建模，自主探究、合作交流，在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华.四、教学过程1.创设情境，导入新课提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.2.主题探究，合作交流例1 如图1，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.图1分析：求AB 长的关键是先求AE ，在△ACE 中，如能求出点C 到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由点C 观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长.解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上.在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD =a ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得： )sin(sin βαβ-=a AC ， h a h AC h AE AB +-=+=+=)sin(sin sin sin βαβαα. 例 2 如图2，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角0454'︒=α，在塔底C 处测得A 处的俯角150'︒=β.已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ，求出山高CD （精确到1m ）.图2教师：根据已知条件，大家能设计出解题方案吗（给时间给学生讨论思考）？若在△ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？学生：需求出BD 边.教师：那如何求BD 边呢？学生：可首先求出AB 边，再根据∠BAD=α求得.解:在△ABC 中，∠BCA =90°+β，∠ABC =90°-α，∠BAC =αβ-，∠BAD =α.根据正弦定理， )sin(βα-BC =)90sin(β+︒AB.所以 AB =)sin()90sin(βαβ-+︒BC =)sin(cos βαβ-BC .在Rt △ABD 中，得：BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC .将测量数据代入上式，得：BD =)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-'''︒︒︒︒ =934sin 0454sin 150cos 3.27'''︒︒︒≈177.4（m ）.CD =BD -BC ≈177-27.3=150（m ）.学生：山的高度约为150 m.教师：有没有别的解法呢？学生：若在.△ACD 中求CD ，可先求出AC .教师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC ？学生：同理，在△ABC 中，根据正弦定理求得.（解题过程略）例3 如图3，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD （精确到1m ）.图3教师：欲求出CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？学生：在△BCD 中教师：在△BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ，根据条件，易计算出哪条边的长？ 学生：BC 边解:在△ABC 中， ∠A =15°，∠C = 25°-15°=10°，根据正弦定理，A BC sin =CAB sin ， BC =C A AB sin sin =︒︒10sin 15sin 5≈7.452 4（km ）. tan tan81047(m)CD BC DBC BC =⨯∠≈⨯︒≈答：山的高度约为1047m.教材第15页练习第1、2、3题.3.小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.4.课外作业（1）教材第19、20页习题1.2 A 组第6，7，8题（2）为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？答案：20+3320m。
人教版初三数学下册《解直角三角形应用举例(1)教案》
《解直角三角形应用举例（1）教案》-----福州江南水都中学魏文勋【教学设计说明】《解直角三角形的应用》是学生在前一学段学习三角形、勾股定理、锐角三角函数以及直角三角形的边角关系之后的一堂综合运用课。
应用解直角三角形的知识来解决现实生活中建筑物高度的测量问题。
先让学生探究书中例题，而后进行例题的两个变式，这样既能激发学生的学习兴趣，又比较生动形象。
从例题引入，到解两个直角三角形求和得高，从而测量楼高，第二个变式由建筑物的高度通过方程思想求水平距离，由浅入深，步步深入。
最后使学生形成把实际问题通过建立数学模型，转换成数学问题进行求解的思想，并运用构建方程的思想达到数与形的结合。
培养学生探索知识，理论联系实际的能力.【教学目标】1、使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；2、初步培养学生将实际问题转化为解直角三角形问题的能力；3、体验数学思想（划归思想，方程思想）在解直角三角形中的魅力。
【教学重点、难点】教学重点：将实际问题转化为解直角三角形问题。
教学难点：将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间关系进行解题的思想方法。
【温故知新】1、在直角三角形中，____________ ____________________________叫解直角三角形.2、如图，在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：1）边的关系：__________________ 2）角的关系：__________________ 3）边角的关系： sinA=___ __, cosA=___ __, tanA=____ _. 探究一：测量长度问题中仰角与俯角的应用小知识:在视线与水平线所成的角中视线在水平线 的是仰角；视线在水平线 的是俯角；因此，在下图中，仰角为 ；俯角为 ．例1 (P88): 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼有多高?1、仰角：当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角.2、俯角：当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角.设计意图：让学生动脑体验，更好地理解和掌握定义。
《解三角形的实际应用举例》教学设计讲课稿
《解三角形的实际应用举例》教学设计课题：解三角形的实际应用举例一、教材分析本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。
在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。
二、教学目标1、知识与技能①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语（如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等）2、过程与方法①采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用3、情感态度价值观①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值收集于网络，如有侵权请联系管理员删除②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力三、教学重点、难点1、重点：①实际问题向数学问题的转化②掌握运用正、余弦定理等知识方法解三角形的方法2、难点：实际问题向数学问题转化思路的确定四、教学方法与手段本节课的重点是正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形，而正确运用两个定理的关键是要结合图形，明确各已知量、未知量以及它们之间的相互关系。
通过问题的探究，要让学生结合实际问题，画出相关图形，学会分析问题情景，确定合适的求解顺序，明确所用的定理；其次，在教学中让学生分析讨论，在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路，以提高学生观察、识别、分析、归纳等思维能力。
解直角三角形的应用教案
解直角三角形的应用教案教案标题：解直角三角形的应用教学目标：1. 理解直角三角形的定义和性质。
2. 掌握解决直角三角形相关问题的方法和技巧。
3. 能够应用直角三角形的知识解决实际问题。
教学重点：1. 直角三角形的定义和性质。
2. 直角三角形的解题方法。
3. 直角三角形在实际问题中的应用。
教学难点：1. 将直角三角形的知识应用于实际问题的解决。
2. 理解并运用三角函数的概念和性质。
教学准备：1. 教材：包含直角三角形相关知识的教材。
2. 教具：直尺、量角器、计算器等。
3. 多媒体设备：投影仪、电脑等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用多媒体设备展示一张直角三角形的图像，引发学生对直角三角形的认知和兴趣。
2. 提出问题：你知道直角三角形的定义和性质吗？请简单介绍一下。
3. 学生回答问题，教师适时给予引导和补充。
二、知识讲解（15分钟）1. 通过多媒体设备展示直角三角形的定义和性质，并解释其含义。
2. 介绍三角函数的概念和性质，如正弦、余弦和正切等。
3. 通过示例演示如何利用三角函数求解直角三角形的边长和角度。
三、例题演练（20分钟）1. 提供一些直角三角形的例题，要求学生利用所学知识求解。
2. 学生独立完成例题，教师巡回指导和解答疑惑。
3. 学生互相交流解题思路和方法，加深对知识的理解。
四、应用拓展（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生运用直角三角形的知识解决。
2. 学生独立或小组合作完成应用题，教师提供必要的指导和帮助。
3. 学生展示解题过程和结果，进行讨论和总结。
五、归纳总结（10分钟）1. 教师引导学生总结直角三角形的相关知识和解题方法。
2. 学生回答问题并进行讨论，教师进行点评和补充。
3. 教师给出解题技巧和注意事项，并提供相关练习题进行巩固。
六、作业布置（5分钟）1. 布置一些练习题，要求学生独立完成。
2. 强调作业的重要性，并提供解题思路和方法。
3. 确定下节课的教学内容和要求。
解直角三角形的应用教案
二、教学重点和难点
重点：解直角三角形在测量方面的应用。 难点：综合应用知识程度较高的例 3。
教师活动
1、 回顾三角形 求解的一般公 式。 2、 使学生加深 对基础知识的 识记与理解。 3、 多媒体展示 加深印象。
学生活动
积极思考、 踊 跃回答。
RtABC中的已知条件
应选公式
一般解法
sin A
斜边 c 和一个锐角 A 一 边 一 角 一直角边 a (b)和一个锐 角A
a c b cos A c a tan A b
流， 教师指导。 三 角 形 应 用
450 300 6米
1
五、巩固提高
例 2、如图，河对岸有水塔 AB。在 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30°,向 塔前进 12m 到达 D，在 D 处测得 A 的仰角为 45°，求塔高。
1、 引导学生分 析题目，并回 答计算。 3、 让学生充分 体会到解直角 三角形的用处 之大。
用函数求角度值
二、提出问题，引入新课
我们在生活中，观看一个较高的物体需要抬起头来往上看，用一个词语来描述 叫做什么？（仰视）那低下头看一个物体又怎么描述呢？（俯视） 那么，我们来看一下这个分析图：
教师先提出问 题，待学生回 答完成后，老 师解释仰角、 俯角的概念。
回答问题并 学习新知识
视线 仰角 俯角 水 平 线
视线
三、给出问题，共同探究。
例１、热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30 ，看这栋楼 底部的俯角为 60 ，热气球与楼的水平距离为 120m，你能算出楼的高度吗？ 引导提示： １、你能不能把它抽象成数学问题？ ２、看一下其中的图形是什么形状？ ３、 根据已知条件和所学知识， 这种形状的图形能不 能解？ （解题过程略）
数学人教版九年级下册28.2解直角三角形的应用举例教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“解直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-解决具体问题时，对于角度和边长单位的转换和实际意义的理解。
举例解释：
-难点一：通过图形和实例，解释正弦、余弦、正切函数在不同象限的符号变化，如正弦函数在第二象限为正，在第三象限为负。
-难点二：指导学生如何从复杂的实际问题中提取关键信息，建立直角三角形的数学模型，例如在测量角度时，如何确定观察点与目标点之间的直角关系。
在小组讨论环节，我鼓励学生提出自己的观点和想法，并进行交流。这种开放性的讨论有助于培养学生的创新思维和团队协作能力。但同时，我也意识到在讨论过程中，需要更好地发挥引导作用，引导学生聚焦主题，避免讨论偏离方向。
1.对于基础概念的教学，应更加注重学生的理解程度，及时了解他们的困惑，并进行针对性的解答。
2.在实践活动和小组讨论中，要关注学生的参与度，鼓励他们积极思考、提问和分享，同时也要注意引导他们遵循正确的思考路径。
-难点三：在实际应用中，如何将测量得到的角度值或边长值转换为实际意义，例如将角度转换为方向，或将边长转换为距离。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《解直角三角形的应用举例》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量高度或距离的情况？”（如测量教学楼的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索解直角三角形的奥秘。
最新高中数学必修5《应用举例》教案
最新高中数学必修5《应用举例》教案高中数学必修5《应用举例》教案【一】教学准备教学目标解三角形及应用举例教学重难点解三角形及应用举例教学过程一. 基础知识精讲掌握三角形有关的定理利用正弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角);利用余弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知三边，求三角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形中的三角函数问题.二.问题讨论思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论.思维点拨：：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理.在求值时，要利用三角函数的有关性质.例6：在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭。
一. 小结：1.利用正弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角);2。
利用余弦定理，可以解决以下两类问题：(1) 已知三边，求三角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
3.边角互化是解三角形问题常用的手段.三.作业：P80 闯关训练高中数学必修5《应用举例》教案【二】教学准备教学目标1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)检验;2、实际问题中的有关术语、名称：(1)仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角;(2)方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角;(3)方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等;3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：.com测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等;教学重难点1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)检验;2、实际问题中的有关术语、名称：(1)仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角;(2)方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角;(3)方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等;3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等;教学过程一、知识归纳1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)检验;2、实际问题中的有关术语、名称：(1)仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角;(2)方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角;(3)方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等;3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等;二、例题讨论一)利用方向角构造三角形四)测量角度问题例4、在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东。
《§3 解三角形的实际应用举例》教学案1
《§3 解三角形的实际应用举例》教学案1教学目标1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。
2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
3、培养和提高分析、解决问题的能力。
教学重点难点1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。
2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
教学过程 一、复习引入1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C === 2、余弦定理： ,cos 2222A bc c b a -+=⇔bca cb A 2cos 222-+=,cos 2222B ca a c b -+=⇔ca b a c B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=，⇔abc b a C 2cos 222-+=二、例题讲解引例：我军有A 、B 两个小岛相距10海里，敌军在C 岛，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B 岛和C 岛间的距离，请你算算看。
解：060=A 075=B ∴045=C由正弦定理知0045sin 1060sin =BC6545sin 60sin 1000==⇒BC 海里750600CBA例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度(如图)．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95m ，AB 与水平线之间的夹角为/02060，AC 长为1.40m ，计算BC 的长(保留三个有效数字)．分析：这个问题就是在ABC ∆中，已知AB=1.95m ，AC=1.4m ，求BC 的长，由于已知的两边和它们的夹角，所以可 根据余弦定理求出BC 。
解：由余弦定理，得答：顶杠BC 长约为1.89m.解斜三角形理论应用于实际问题应注意： 1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。