用于时间序列的灰色系统预测方法
灰色预测GM(1, 1)模型实现过程
灰色系统预测模型GM(1,1)实现过程灰色系统预测模型GM(1,1) 1. GM(1,1)的一般形式设有变量X (0)＝{X (0)(i)，i=1,2，...，n}为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对X (0)进行一次累加(1—AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列：X (1)＝{X (1)(k )，k ＝1，2，…，n}其中X (1)(k )＝∑=ki 1X (0)(i)＝X (1)(k －1)+ X (0)(k ) (1) 对X (1)可建立下述白化形式的微分方程：dtdX )1(十)1(aX ＝u (2)即GM(1,1)模型。
上述白化微分方程的解为(离散响应)： ∧X (1)(k +1)＝(X (0)(1)－a u )ak e -＋au(3)或∧X (1)(k )＝(X (0)(1)－a u ))1(--k a e ＋au (4) 式中：k 为时间序列，可取年、季或月。
2. 辩识算法记参数序列为∧a , ∧a＝[a,u]T ,∧a 可用下式求解:∧a ＝(B T B)-1B T Y n (5)式中:B —数据阵；Y n —数据列B ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++- 1 (n))X 1)-(n (X 21 ... 1 (3))X (2)X (211 (2))X (1)X (21(1)1(1)(1)(1)(1)）（－－ (6) Y n ＝(X (0)(2), X (0)(3),…, X (0)(ｎ))T (7)3. 预测值的还原由于GM 模型得到的是一次累加量，k ∈{n+1,n+2,…}时刻的预测值，必须将GM 模型所得数据∧X(1)(k +1)(或∧X(1)(k ))经过逆生成即累减生成(I —AGO)还原为∧X (0)(k +1)(或∧X (0)(k ))，即：∧X (1)(k )＝∑=ki 1∧X (0)(i)＝∑-=11k i ∧X(0)(i)＋∧X (0)(k )∧X(0)(k )＝∧X(1)(k )－∑-=11k i ∧X (0)(i)因为∧X(1)(k -1)＝∑-=11k i ∧X(0)(i)，所以∧X (0)(k )＝∧X (1)(k )－∧X (1)(k -1)。
GM(1,1)灰色系统及其预测
• 目前，灰色系统理论得到了极为广泛的应 用，不仅成功地应用于工程控制、经济管 理、社会系统、生态系统等领域，而且在 复杂多变的农业系统，如在水利、气象、 生物防治、农机决策、农业规划、农业经 济等方面也取得了可喜的成就。灰色系统 理论在管理学、决策学、战略学、预测学、 未来学、生命科学等领域展示了极为广泛 的应用前景。
一次累减生成序列
X
(0)
{x (1), x (2),..., x (n)}
(0) (0) (0)
其中
x (k ) x (k ) x (k 1)
(0) (1) (1)
(1)
规定 x (0) 0
3．GM(1,1)模型 令 X (0)为GM(1,1)建模序列，
X
(1)
(0)
( x (1), x (2),..., x (n))
(1) (1)
2.GM(1,1)灰色微分方程 x (k ) az (k ) b
( 0) (1)
的时间响应序列为
b ak b ˆ (k 1) [ x (0) ] e x a a
(1)
(1)
3.取 x (0) x (1) ，则
(1) (0)
k 1, 2,..., n
则灰微分方程的最小二乘估计参数列满足 其中
(1)
( BT B) 1 BT Y n
x (0) (2) (0) Yn x (3) ... (0) x (n)
z (2) 1 (1) z (3) 1 B ... ... (1) z (n ) 1
b ak b ˆ (k 1) [ x (1) ] e x a a k 1, 2,..., n
灰色预测和时间序列预测的优缺点和应用场景比较
灰色预测和时间序列预测的优缺点和应用场景比较灰色预测和时间序列预测是常用的预测分析方法，它们在很多领域都具有广泛的应用。
本文将比较这两个方法的优缺点和应用场景，以期帮助读者更好地理解和使用它们。
一、灰色预测方法灰色预测方法是一种基于信息不完备的小样本预测方法，它可以在数据量较小时对未来趋势进行预测。
它的优点包括：1、适用范围广：灰色预测方法适用于各种经济、社会和科技等领域的短期和中长期预测，对于复杂多变的系统也有较好的适应性。
2、效果显著：灰色预测方法可以针对不平衡数据或缺少有效信息的数据进行预测，准确率较高，在实际应用中表现出较好的效果。
3、计算简单：灰色预测方法原理简单，计算量小，对计算资源的要求较低。
但是，灰色预测方法也存在一些缺点：1、数据需求严格：灰色预测方法对数据要求较高，在数据量不充足的情况下容易出现预测偏差。
2、理论基础不足：灰色预测方法的理论体系相对较弱，缺乏统一的数学架构支撑。
3、易受外部因素影响：灰色预测方法很容易受到外部因素的影响，对于具有较强周期性的数据预测，其效果可能不太理想。
二、时间序列预测方法时间序列预测方法是指将某一现象随时间变化的过程所形成的数值序列作为研究对象，通过对序列的统计特征进行分析来预测未来的趋势。
它的优点有：1、适用性广泛：时间序列预测方法适用于各种领域的数据，并可应用于多种时间序列模型，如ARIMA、ARCH、GARCH等。
2、模型复杂，预测精度高：时间序列预测方法可使用多种复杂模型进行预测，模型优化后可以得到较为精确的预测结果。
3、预测稳定可靠：时间序列预测方法通常采用样本内和样本外检验来验证预测模型的稳定性和可靠性。
但是，时间序列预测方法也存在一些缺点：1、数据需求严格：时间序列预测方法对基础数据的准确性和完整性要求非常高，只有数据质量较高时才能得到准确的结果。
2、影响因素复杂：由于各种外部和内部因素的影响，某些时间序列的预测较为困难。
3、计算资源要求高：时间序列预测方法涉及多个模型、参数和算法，因此需要更高的计算资源和算法优化，计算成本较高。
灰色预测模型及其应用
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (N ) } {6, 3, 8, 10, 7}
4.2 灰色系统的模型
对数据累加
x(1) (1) x(0) (1) 6， x(1) (2) x(0) (1) x(0) (2) 6 3 9， x(1) (3) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) 6 3+8 17， x(1) (4) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) 6 3+8+10 27， x(1) (5) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) x(0) (5)
第四章 灰色预测模型及其应用
灰色预测模型（Gray Forecast Model）是通过少量 的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的 一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决 实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题 的决策时，都必须对未来进行科学的预测. 预测是 根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于 科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述 和分析，并形成科学的假设和判断.
（5）系统预测. 通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰 色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
数据分析中的时间序列分析方法
数据分析中的时间序列分析方法时间序列分析是数据分析中常用的一种方法，通过对时间序列数据的分析，可以揭示出数据的趋势、周期性和随机变动等规律，从而为决策提供有力的支持。
本文将介绍几种常用的时间序列分析方法。
一、平滑法（Smoothing）平滑法是一种常见的时间序列分析方法，其主要目的是去除数据中的随机波动，揭示出数据的长期趋势。
平滑法最常用的方法包括简单移动平均法、加权移动平均法和指数平滑法等。
简单移动平均法将一段时间内的数据取平均值，加权移动平均法则对不同时间的数据进行加权计算，而指数平滑法则是根据数据的权重递推计算平滑值。
二、分解法（Decomposition）分解法是将时间序列数据分解为趋势、季节性和随机成分三个部分的方法。
通过分析趋势部分，可以了解数据的长期变化趋势；分析季节性部分，可以揭示出数据中的周期性变动；而随机成分则代表了不可预测的波动。
常用的分解法有加法分解和乘法分解两种方式。
加法分解是将时间序列数据减去趋势和季节性成分，得到的剩余部分就是随机成分；乘法分解则是将时间序列数据除以趋势和季节性成分，得到的结果同样是随机成分。
三、自回归移动平均模型（ARMA）自回归移动平均模型是一种常用的时间序列预测方法，通过对时间序列数据的自相关和移动平均相关进行建模，可以预测未来时间点的值。
ARMA模型是AR模型和MA模型的结合，AR模型用于描述数据的自相关关系，而MA模型则用于描述数据的移动平均相关关系。
ARMA模型的具体建模过程包括模型的阶数选择、参数估计和模型检验等。
四、季节性ARIMA模型（SARIMA）季节性ARIMA模型是在ARIMA模型的基础上加入季节性成分的一种模型。
季节性ARIMA模型主要用于处理具有明显季节性规律的时间序列数据。
与ARIMA模型类似，季节性ARIMA模型也包括模型阶数选择、参数估计和模型检验等步骤，不同的是在建模时需要考虑季节性的影响。
五、灰色系统模型（Grey Model）灰色系统模型是一种特殊的时间序列预测方法，主要适用于数据样本较少或者数据质量较差等情况。
灰色预测
用最小二乘法估计为
Uˆ
aˆ uˆ
(BT
B)1 BT
y
将a与u的估计值代入微分方程可得
xˆ(1) (k 1) [x(1) (1) uˆ ]eaˆk uˆ
aˆ
aˆ
GM(1,1)模型
求模拟值 x(1) 并累减还原出 x(0) 的模拟值。 对其做累减还原即可得到原始数列的灰色预测 模型为:
Xˆ (0) (k) Xˆ (1) (k 1) Xˆ (1) (k)
灰色生成
将原始数据列中的数据,按某种要求作数据处 理称为生成.对原始数据的生成就是企图从杂 乱无章的现象中去发现内在规律.
常用的灰色生成方式有: 累加生成,累减生 成,均值生成,级比生成等
灰色生成
累加生成
累加前的数列称原始数列,累加后的数列称为生成数 列.累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法,它在 灰色系统理论中占有极其重要地位,通过累加生成可 以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱的原始数据 中蕴含的积分特性或规律加以显化.累加生成是对原 始数据列中各时刻的数据依次累加,从而生成新的序 列的一种手段.
常用到的灰色预测模型
• GM（1，1）模型——是1阶方程,包含有1个变量 的灰色模型
• GM（1，N）模型——是1 阶方程，包含有N 个 变量的灰色模型。
• GM（0，1）模型——是0 阶方程，包含有N 个变 量的灰色模型。表达式上相当于统计回归
• GM（2，1）模型——是2阶方程，包含有1 个变 量的灰色模型。
模型精度检验
+ 相对误差大小检验法(最常用) + 后验差检验法 + 关联度检验法
模型精度检验
相对误差大小检验法
相对误差大小检验法,它是一种直观的逐点进 行比较的算术检验方法,它是把预测数据与实 际数据相比较,观测其相对误差是否满足实际 要求。 设按该模型以求出Xˆ (1) ，并将 Xˆ (1) 做一次累 减转化为Xˆ (0) ，即
分数灰色预测matlab代码详解
分数灰色预测matlab代码详解
分数灰色预测是一种基于灰色系统理论的非线性预测方法，通过对待预测序列的数据进行分形分析，建立分数阶微分方程模型，从而进行预测。
下面我们将详细介绍该方法的matlab代码实现过程。
1. 数据准备
首先，需要准备待预测的时间序列数据，在matlab中可以通过读取文件或手动输入的方式获取数据。
在本文中，我们将使用matlab 自带的load函数读取一个名为data.txt的文本文件中的时间序列数据。
2. 数据预处理
在进行预测之前，需要对数据进行预处理。
这包括去除噪声、平滑处理、归一化等。
在本文中，我们将采用matlab中自带的smooth 函数进行平滑处理，并使用归一化方法将数据缩放到0至1之间。
3. 模型建立
接下来，需要建立分数灰色预测模型。
在matlab中，可以使用greyest函数进行模型参数估计。
在本文中，我们将使用分数阶微分方程模型，因此需要先通过fracdiff函数估计分数阶微分系数。
4. 模型预测
有了模型之后，就可以进行预测了。
在matlab中，可以使用sim 函数进行模型仿真。
在本文中，我们将使用该函数对模型进行预测，并将预测结果可视化。
5. 结果分析
最后，需要对预测结果进行分析。
可以通过计算误差指标、绘制误差曲线等方式进行分析。
在本文中，我们将计算均方误差和平均绝对误差，并绘制预测结果和实际结果的对比图。
综上所述，以上就是分数灰色预测的matlab代码详解。
通过对上述步骤的实现，可以得到较为准确的预测结果，并帮助我们更好地了解该预测方法的原理和应用。
三角白化权函数的灰色评估模型
三角白化权函数的灰色评估模型1.引言1.1 概述概述部分旨在介绍本篇文章的研究背景和主要内容。
本文关注的主题是三角白化权函数的灰色评估模型，该模型在灰色评估中具有重要应用价值。
灰色评估是一种定量分析方法，用于评估和预测一些缺乏完备信息的系统或问题。
然而，传统的灰色评估模型存在一些局限性和不足之处。
为了克服这些问题，近年来，研究人员提出了一种新的灰色评估模型——三角白化权函数。
该模型通过引入权重因子，能够更准确地评估和预测系统的状态或发展趋势。
本文将首先介绍三角白化权函数的基本原理和定义。
然后，将探讨灰色评估模型的基本原理，包括建模、评估和预测的方法。
接下来，将重点讨论三角白化权函数在灰色评估模型中的应用，以及该模型相对于传统模型的优势和局限性。
通过本文的研究，读者将了解三角白化权函数的概念、原理和应用，以及灰色评估模型在实际问题中的应用和价值。
同时，读者还可以对该模型的优势和局限性有更深入的了解，从而能够更好地应用该模型进行系统评估和决策分析。
总之，本文旨在介绍三角白化权函数的灰色评估模型，并探讨其在实际问题中的应用和优势。
通过本文的阅读，读者将对该模型有更深入的了解，并能够将其应用于实际问题中，提高决策的准确性和有效性。
1.2文章结构文章结构是指文章的组织架构和章节安排，有助于读者更好地理解文章内容。
本文的结构如下：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 三角白化权函数的介绍2.2 灰色评估模型的基本原理3. 结论3.1 三角白化权函数在灰色评估模型中的应用3.2 模型的优势和局限性在引言部分之后，正文部分是主要的内容分析和探讨部分，讨论了三角白化权函数和灰色评估模型的基本原理。
在正文部分结束后，结论部分总结了三角白化权函数在灰色评估模型中的应用，并讨论了该模型的优势和局限性。
通过这样的章节安排，读者可以更好地理解文章内容的逻辑结构，从而更好地掌握三角白化权函数的灰色评估模型。
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事实上，从下面的图形 3-5 中也可以看到原始数列的模拟值与原始数列之间拟合的相当好。
3.8 3.7 3.6 3.5 3.4 3.3 3.2 3.1 3 1 2 3 4 5 6 History data:real line
ˆ 图 3-5 虚线：模拟值 x
( 0)
曲线；实线：原始值 x
( 0)
曲线
在本例中，预测该市 2006 年的第三产业从业人数，则有：
ˆ ( 0 ) (7) x (1) (7) x (1) (6) 24.10 20.25 3.85 （万人） x
GM(1,1)模型参数估计、检验以及作图和预测的 Matlab 程序：
fungry1.m %GM（1,1）模型计算及检验、作图。文件名 fungry1.m function GM1=fungry1(x0) %输入原始数据 x0 T=input('T='); %从键盘输入从最后一个历史数据算起的第 T 时点 x1=zeros(1,length(x0));B=zeros(length(x0)-1,2); yn=zeros(length(x0)-1,1);Hatx0=zeros(1,length(x0)+T); Hatx00=zeros(1,length(x0));Hatx1=zeros(1,length(x0)+T); epsilon=zeros(length(x0),1);omega=zeros(length(x0),1); for i=1:length(x0) for j=1:i x1(i)=x1(i)+x0(j); end end for i=1:length(x0)-1 B(i,1)=(-1/2)*(x1(i)+x1(i+1)); B(i,2)=1; yn(i)=x0(i+1); end HatA=(inv(B'*B))*B'*yn %GM（1,1）模型参数估计 for k=1:length(x0)+T Hatx1(k)=(x0(1)-HatA(2)/HatA(1))*exp(-HatA(1)*(k-1))+HatA(2)/HatA(1); end Hatx0(1)=Hatx1(1); for k=2:length(x0)+T Hatx0(k)=Hatx1(k)-Hatx1(k-1); %累减还原得到历史数据的模拟值 end for i=1:length(x0) %开始模型检验 epsilon(i)=x0(i)-Hatx0(i); omega(i)=(epsilon(i)/x0(i))*100; end % x0；Hatx0; epsilon; omega; %必要时去掉%得到各种数据 c=std(epsilon)/std(x0); p=0; for i=1:length(x0) if abs(epsilon(i)-mean(epsilon))<0.6745*std(x0) p=p+1; end end p=p/length(x0) if p>0.95 & c<0.35 disp('The model is good,and the forecast is:'), disp(Hatx0(length(x0)+T)) elseif p>0.85 & c<0.5 disp('The model is eligibility,and the forecast is:'),
通过累加生成的数列 x
(1)
（3-16）
，计算模型参数 a 和 u 。记：
ˆ [a u ]T a
按如下公式可得模型参数 a 和 u ：
（3-17）
ˆ ( B T B ) 1 B T y n a
上式中：
（3-18）
1 (1) (1) 1 2 ( x (1) x ( 2)) 1 (1) (1) ( x ( 2 ) x ( 3 )) 1 B 2 1 ( x (1) ( n 1) x (1) ( n )) 1 2 y n [ x ( 0 ) ( 2), x ( 0 ) (3), , x ( 0 ) ( n )]T
c S1 S 0 0.0210 0.2676 0.0785
最后计算小误差概率 p ：
（3-27）
p ( 0 ) ( 0 ) 0.6745 S 0
本例中， S 0 0.2676,
( 0)
（3-28）
0 ，于是，
p ( 0 ) 0.6745 0.2676 ( 0 ) 0.1805 1
( 0)
ˆ ( 0 ) ( n 2)， ( n 1)，x 的预测值（Matlab 程序见后，文件名 fungry1.m）
下面结合一个具体例子加以说明 GM（1,1）模型的建立和检验过程。 【例 3-13】某市第三产业从业人数如表 3-8 所示，试建立 GM（1,1）模型，预测其 2006 年的从业人数。 表 3-8 某市从事第三产业的人数（单位：万人） 年份 人数 2000 2.97 2001 3.23 2002 3.29 2003 3.46 2004 3,59 2005 3.71
(1) ( 0)
作累加
，即作：
x (1) (i ) x ( 0 ) ( m ),
m 1
i
i 1,2, , n
（3-15）
具体地说，就是：
x (1) (1) x ( 0 ) (1) (1) ( 0) (1) x (i ) x (i ) x (i 1), i 2, , n
ˆ ( 0 ) (i ) x
2.97 3.21 3.33 3.45 3.58 3.71
ˆ ( 0 ) (i ) ( 0 ) (i ) x ( 0 ) (i ) x
0 0.02 -0.04 0.01 0.01 0
相对误差（%）
0 0.62 -1.22 0.29 0.28 0
由误差计算结果可以看到，相对误差不超过 2%，模型精度是非常高的。 2．关联度检验。关联系数定义为：
( 0)
ˆ ( 0 ) (i ), (i ) x ( 0 ) (i ) x
(i 1,2, , n ) (i 1,2, , n ) （3-22） (i 1,2, , n )
( 0 ) (i ) 相对误差： (i ) ( 0 ) 100%, x (i )
x ( 0)
然后计算残差数列
( 0)
1 n ( 0) x (i ) n i 1
的均方差 S1 。其定义为：
S1
S12 n 1
n
S12 ( 0 ) (i ) ( 0 )
i 1
2
（3-26）
( 0)
1 n ( 0) (i ) n i 1
本例中， S 0 0.2676, S1 0.0210 。由此计算方差比 c ，
从而， a 0.03653, u 3.04123 这就是说，该市第三产业从业人数的 GM（1,1）预测模型为：
ˆ (1) (i 1) 86.2281e 0.03653i 83.2581 x
下面对得到的模型进行检验。 灰色预测模型检验有残差检验、 关联度检验和后验差检验。 1． 残差检验。残差检验有两种，绝对误差和相对误差检验。 绝对误差：
一般来说，在 0.5, 0.695 时是令人满意的（具体讨论参见灰色系统理论的有关 参考书） 。 3．后验差检验。首先计算原始数列 x
( 0)
的均方差 S 0 。其定义为：
S0
n
2 S0 n 1
2 S0 x ( 0 ) (i ) x ( 0 ) i 1
2
（3-25）
1 1 1 1 1
T
(3.23,3.29,3.46,3.59,3.71) T ，于是有
4.585 7.845 4.585 7.845 11 .22 14.745 18.395 BT B 11 .22 1 1 1 1 1 14.745 18.395 764.2457 56.79 5 56.79 764.2457 56.79 ( B B) 5 56.79
x ( 0 ) (i )
x ( 0 ) (1)
x ( 0 ) ( 2)
x ( 0 ) (3)
x ( 0 ) ( 4)
( 0)
x ( 0 ) (5)
x ( 0 ) ( 6)
如果利用手工计算，则有以下步骤。首先计算累加生成数列 x 表 3-9 序号 i 1 2.97 2.97 由x 2 3.23 6.2
（i）
min((i )) max( (i )) , (i ) max( (i ))
i 1,2, , n
（3-23）
式中，
(i ) 为第 i 个数据的关联系数， 为取定的最大差百分比，一般取 0.5 ；
ˆ 而： (i ) x
( 0)
(i ) x ( 0 ) (i ) , i 1,2, n
1 GM（1,1）模型
设有预测对象的历史数据资料形成的时间序列 x 结果想知道： x
( 0) ( 0)
: x ( 0 ) (1), x ( 0 ) ( 2), x (), x ( 0 ) ( n 2),
根据灰色系统理论，可以针对这个问题建立如下的 GM（1,1）模型。模型所依据的灰色 系统理论在这里就不作介绍，下面介绍具体的模型建立方法和检验方法。首先对 x 生成，得到新的数列 x
本例中，取 0.5 ，经过计算有如表 3-11 所示的结果。