灰色系统预测
灰色系统预测
重点内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系统预测GM （1，1）模型，GM（1，N）模型，灰色系统模型的检验，应用举例。
1灰色系统理论的产生和发展动态
1982邓聚龙发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一诞生。
1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。
1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。
目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。
国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。
灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大
1
量实际问题，取得了显著成果。
2灰色系统的基本原理
2.1灰色系统的基本概念
我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。
系统信息不完全的情况有以下四种：
1.元素信息不完全
2.结构信息不完全
3.边界信息不完全
4.运行行为信息不完全
2.2灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别
主要在于对系统内涵与外延处理态度不同；
研究对象内涵与外延的性质不同。
灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。
“黑箱”方法着重系统外部行为数据的处理方法，是因果关系的两
1
户方法，使扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内涵均注重的方法。
2.3灰色系统的基本原理
公理1：差异信息原理。
“差异”是信息，凡信息必有差异。
公理2：解的非唯一性原理。
信息不完全，不明确地解是非唯一的。
公理3：最少信息原理。
灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。
公理4：认知根据原理。
信息是认知的根据。
公理5：新信息优先原理。
新信息对认知的作用大于老信息。
公理6：灰性不灭原理。
“信息不完全”是绝对的。
2.4灰色系统理论的主要内容
灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起了一门新兴的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（G，M）为核心的模型体系。
以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。
1
灰色关联分析
灰色统计
灰色聚类
3灰色系统预测模型
灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。
这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。
3.1灰色系统理论的建模思想
下面举一个例子，说明灰色理论的建模思想。
考虑4个数据，记为)4(
),3(
),1()0(
),2(
)0(
)0(X
)0(
X，其数据见下表：
X
X
1
1
将上表数据作图得
上图表明原始数据)0(X 没有明显的规律性，其发展态势是摆动的。
如果将原始数据作累加生成，记第K 个累加生成为)()1(K X ,并且
1)1()1()0()1(==X X
321)2()1()2()0()0()1(=+=+=X X X
5.45.121)3()2()1()3()0()0()0()1(=++=++=X X X X
5.735.121)4()3()2()1()4()0()0()0()0()1(=+++=+++=X X X X X
得到数据如下表所示。
灰色预测法
灰色预测法1.介绍灰色预测就是灰色系统所做的预测，灰色系统理论是我国著名学者邓聚龙教授创立的一种兼具软硬科学特性的新理论。
灰色系统的具体含义就是：部分信息已知，部分信息未知的某一系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如物价系统，导致物价上涨的因素有很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
2.适用问题灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
比如说人口预测、气象预报、初霜预测、灾变预测（如地震时间的预测）、数列预测（如对消费物价指数的预测）。
灰色预测模型所需要的数据量比较少，预测比较准确，精确度比较高。
样本分布不需要有规律性，计算简便，检验方便。
灰色GM(1,1) 模型是指运用曲线拟合和灰色系统理论进行预测的方法，对历史数据有很强的依赖性，没有考虑各个因素之间的联系，所以误差偏大，只适合做中长期的预测，不适合长期预测。
3.数学方法核心步骤3.1数据的检验与处理首先，为了确保建模方法的可行性，需要对抑制数据作必要的检验处理，设参考数据为(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，计算数列的级比(0)(0)(1)().2,3,...,()x k k k n x k λ-==如果所有的级比()k λ 都在可容覆盖2212(,)n n ee-++ 内，则数列(0)x 可以作为模型GM(1,1)的数据进行灰色预测，否则，需要对(0)x 做必要地变换处理，使其落入可容覆盖内，即取适当的c ，做平移变换(0)(0)()(),1,2,...,y k x k c k n =+=则是数列(0)(0)(0)(0)()((1),(2),...,())y k y y y n =的级比(0)(0)(1)(),2,3,...,()y y k k X k n y k λ-=∈=3.2 建立模型按照下面的办法建立模型GM （1,1）（1） 由上面的叙述知道参考数据列为(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，对其做一次累加（AGO ）生成数列(1)x(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(1)(0)((1),(2),...,())((1),(1)(2),...,(1)())x x x x n x x x x n x n ==+-+其中(1)(0)1()()(1,2,...,)ki x k x i k n ===∑ 。
灰色预测理论详解
单序列灰色预测模型
灰色系统理论认为：系统的行为现象尽管朦胧，数据尽管 复杂，但它必然是有序的，都存在着某种内在规律。不过 这些规律被纷繁复杂的现象所掩盖,人们很难直接从原始 数据中找到某种内在的规律. 灰色生成：建立灰色模型之前，需要对原始时间序列按照 某种要求进行预处理，得到有规律的时间序列数据—生成 列。即对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去 发现内在规律. 常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成,均值生 成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍：
灰色预测理论
胡亚飞 彭
敬
李云飞
吕连磊 苗成林
沈 聪
目录
灰色系统理论简介以及发展 灰色预测理论 —灰色预测简介 —灰色预测类型 —灰色预测模型 —灰色预测检验 案例以及软件实现
灰色系统理论简介
灰色系统理论是由我国著名学者邓聚龙教授于1982年 创立的“以部分信息已知，部分信息未知的小样本、贫信 息”不确定系统为研究对象的一门系统科学新学科，具有 原创性的科学意义，是我国对系统科学的新贡献，目前已 受到国内外学术界的广泛重视，并在农业科学、经济管理、 环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、 图像信息、生命科学、控制科学、航空航天等众多领域中 得到了广泛的应用，解决了许多过去难以解决的实际问题。
(1)
k
累加生成的作用：通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态 势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化。 2.累减生成 对数列求相邻两数值的差，是累加生成的逆运算。 记原始序列为 X(1)=(x(1)(1), x(1)…(2),…),x(1)(n)) 一次累减生成序列为 X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),…,x(0)(n)) 其中，x(0)(k)=x(1)(k)-x(1)(k-1) 累减生成的作用 累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模 方 程用来获得增量信息。
灰色预测法
min min Xˆ 0k X 0k max max Xˆ 0k X 0k
(k)
Xˆ 0k X 0k max max Xˆ 0k X 0k
式中：
Xˆ 0k X 0k 为第k个点 X 0 和 Xˆ 0 的绝对误差； min min Xˆ 0k X 0k 为两级最小差； max max Xˆ 0k X 0k为两级最大差；
二、生成列
为了弱化原始时间序列的随机性，在 建立灰色预测模型之前，需先对原始时间 序列进行数据处理，经过数据处理后的时 间序列即称为生成列。
（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累加
和累减两种。
累加 累加是将原始序列通过累加得到生成列。
累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。
• 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系。
（2）灰色预测法 • 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系
统进行预测的方法。
• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息的系统进行预则，就是对在一定范围内 变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
• 灰色系统理论提出了一种新的分析方法—— 关联度分析方法。灰色预测通过鉴别系统因素 之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析， 并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的 规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建 立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发 展趋势的状况。
ρ称为分辨率，0<ρ<1,一般取ρ=0.5； 对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系 数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据 分别除以第一个数据。
灰色预测理论-定义
什么是灰色预测法?灰色预测是就灰色系统所做的预测。
所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
简言之，灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述（模糊预测领域中理论、方法较为完善的预测学分支）。
灰色系统的概念是由邓聚龙教授于1982年提出的，它描述部分信急己知，部分未知介于黑白系统之间的系统。
GM（1,1）模型是灰色理论中较常用的预测方法，它以定性分析为先导，定量与定性结合，对离散序列建立微分方程以及白化方程，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤。
灰色系统通过对原始数据的整理来寻求其变化规律，这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径，称为灰色序列的生成。
生成数通过对原始数据的整理寻找数的规律，分为三类：a、累加生成：通过数列间各时刻数据的依个累加得到新的数据与数列。
灰预测
4）模型检验。检验方法与GM（1，1）模型检验类 似。
1.数据的检验与处理 为了保证GM（1，1）建模方法的可行性，需要对已知数 据做必要的检验处理。 设原始数据列为 x (0) ( x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n)) 计算数列的级比 ( 0)
x (k 1) (k ) ( 0 ) , k 2,3,, n. x (k ) 2
第三节 灰预测
灰预测
灰预测是灰色系统理论中的一个重要内容, 它是指基
于灰色系统理论的GM(1,1)模型的预测。灰预测可分
为五类：
1. 数列预测(Sequence Grey Prediction)
级比 (0) (k ) 落于可容区的(大)惯性序列, 可以直接
建立GM(1,1)模型, 以预测数据值的分布, 称为数列灰 预测。概括的来说, 即为对数据大小进行的预测。
对发生在特定时区(季节)的事件作时分布预测, 称为季节 灾变灰预测。通俗的说, 即为对一年或某个季节内发生的灾 变或异常值进行的预测。
灰预测
4. 拓扑灰预测(Topological Grey Prediction)
对于大幅度摆动序列, 按点集拓扑基选取时分布序列, 作 GM(1,1)建模, 预测拓扑基的时分布, 以达到预测摆动序列未 来发展态势的目的, 称为拓扑灰预测。它是一种全波形预测 , 是整体预测。
ˆ (a, u)T ( BT B)1 BTYN 2）用最小二乘法估计得到参数 a
1 (1) (1) ( x (1) x (2)) 2 1 ( x (1) (2) x (1) (3)) 2 B 1 ( x (1) (3) x (1) (4)) 2 1 (1) ( x (4) x (1) (5)) 2
灰色预测原理及实例
灰色预测原理及实例
一、灰色预测原理
灰色预测，是指根据动态系统的过去试验数据和实测数据，利用灰色规律进行预测的一种数学方法。
灰色预测的基本思想是：由内在原理和系统的实际运行数据，建立有关系的关于未来时间的数学模型，即所谓的灰色系统模型，从而建立未来状态的预测模型。
二、灰色预测实例
1、灰色模型在汽车行业的应用
汽车行业是一个特殊的行业，其市场受到很多因素的影响，因此，在汽车行业预测中，灰色模型能够很好地发挥其优势。
首先，根据汽车市场的详细统计数据，如汽车生产量、销售量，可以采集过去一定时间段内（如一年、两年）汽车的生产量及销售量等数据，将这些数据经过一定的模型处理，形成一个灰色模型，利用该模型可以预测汽车行业的今后发展趋势。
2、灰色模型在电力行业的应用。
灰色预测
(5)
x (1) (1) 由于 x (1) (i) 的两个时刻的值，因此， t 涉及到累加列 x
x(i ) (i) 替换为 取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将
2 灰色系统的模型
1 (i ) [ x (i ) x (i ) (i 1)], (i 2,3,..., N ). 2
将（5）写为矩阵表达式
售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要求 作精度检验。
则(6)式的矩阵形式为
y BU
ˆ a T 1 T ˆ U ( B B) B y ˆ u
(6)’
方程组(6)’的最小二乘估计为 (7)
2 灰色系统的模型
ˆ ˆ 把估计值 a与u 代入（4）式得时间响应方程
ˆ ˆ u ˆ u ˆ (1) (k 1) x(1) (1) e ak x ˆ ˆ a a
类似地有
x(1) (3) x (1) ( N ) (0) x (3),..., x (0) ( N ). t t
于是，由式（3）有
ì x ( 0) (2) + ax (1) (2) = u , ï ï ï ï ( 0) ï x (3) + ax (1) (3) = u , ï ï í ï .............................. ï ï ï ( 0) ï x (N ) + ax (1) (N ) = u . ï ï î
2 灰色系统的模型 把 ax
(1)
(i) 项移到右边，并写成向量的数量积形式
(0) a (1) x (2) [ x (2), 1] u a (0) (1) x (3) [ x (3), 1] u (0) a (1) x ( N ) [ x ( N ), 1] u
灰色系统预测GM(1,m)
灰色GM （1,1）模型及其原理1灰色GM （1,1）模型的构建GM （1,1）模型是将离散的随机数经过依次累加成算子，削弱其随机性，得到较有规律的生成数，然后建立微分方程、解方程进而建立模型。
设所要预测的某项指标的原始数据序列为：()()()()()()()()(){}n X X X X X 00000,,3,2,1 =对原始数据序列作一次累加生成处理，获得新的数据序列： ()()()()()()(){}n X X X X1111,,2,1 = 式中：()()()()∑==i k k X i X 101 n i 3,2,1=经过累加处理，新生成的数据序列与原始的数据序列相比，具有平稳性增强而波动性减弱的特点。
对生成数列建立GM （1，1）白化形式的微式方程[4]：()()()u aX dt t dX =+11式中：a 称为发展系数，u 称为内控发展灰数。
利用最小二乘法拟合求得估计参数：()n TT X B BB u a 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 式中：()()()()[]()()()()[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+-=1121121211111n X n X X X B()()()()()()[]n X X X X n 000,,3,2 =将B 带入公式，最终确定GM （1,1）预测模型()()()()a e a X t X at μμ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∧∧100 n t 2,1,0= 将值代入离散模型公式求()()t X ∧1，预测的累加值还原为预测值：()()()()()()1110--=∧∧∧t X t X t X2模型精度的检验2.1残差检验计算残差()()t 0ε及其相对残差()()t q 0，即：()()()()()()1000--=∧t x t x t ε，()()()()()()%100000⨯=t x t t q ε n t ,,2,1 =相对残差()0q 越小，表示模型精度越高。
灰色预测与决策
灰色预测与决策灰色系统中的预测与决策部分主要包括序列算子生成；GM 预测模型即GM(1,1)，GM(1，N),GM(0，N),GM(2,1),Verhulst及GM(r,h)模型和离散灰色模型等；灰色系统预测；灰色关联分析；灰色聚类评估；灰色决策模型等内容。
我们知道灰色系统理论是研究少数据，贫信息不确定性问题的新方法，是通过对原始数据的挖掘、整理中寻求其变化规律。
而且传统的GM(1,1)模型利用的数据是近指数，低增长的数据，所以就需要我们对数据进行处理。
这里可以用缓冲算子、初值化生成算子、均值化生成算子、区间值化生成算子减少干扰或函数变换即对数变换、平移变换、开方变换、余弦函数变换、正切函数变换、负指数函数变换、幂函数变换、中心位似函数变换等缩小级比偏差，使数据适于建模。
1、灰色预测部分:1)、数据经过以上的处理后，基本适于建模，传统的预测模型有GM(1,1)模型，其原始形式如下： ()()b k ax k x =+)()(10，其基本形式如下：()()b k az k x =+)()(10， 此方程是用均值()()k z 1代替()()k x 1，使得数据更平滑，其中()()()()()()k x k x k z 111121)(+-=，叫做方程的背景值，-a 是发展系数，b 是灰作用量。
这里的a,b 是利用最小二乘法求出来的。
白化方程为：()()b k ax dtdx =+)(11 时间响应函数为：()()()()a b e a b x t x t a +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1111)( 时间响应序列为：()()()a b e a b x k x ak +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-∧1)1(01 还原值是：()()()()()()()()()ak a e a b x e k x k x k x -∧∧∧⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+=1110110 模型的求解是先用最小二乘法将a,b 求出，再利用白化微分方程求出解。
灰色预测模型讲解
6.2
序列算子与灰色序列生成
公理 6-1（不动点公理） D 为序列算子，则 D 满足
设 X 为系统行为数据系列，
x(n)d=x(n)
公理 6-2（信息充分利用公理） 系统行为数据序列 X 中的每一个数据 x(k),k=1,2,…,n 都应充分的参与算子 作用的全过程。 公 理 6-3 （ 解 析 化 、 规 范 化 公 理 ） 任意的 x(k)d,(k=1,2,…,n), 皆 可 由 一 个 统 一 的 x(1), x(2) ,…,x(n)的初等解析式表达。
1 x ( k ) n0
x ( k 1) x ( k 1)
x (n ) x(n )
T
T
x(k )
新弱化算子
x ( k )d
1 [kx ( k ) ( k 1) x ( k 1) nx ( n )] ( n k )( n k 1) 2 k 1, 2, , n
6.2
序列算子与灰色序列生成
定义 6-5 设 X 为系统行为数据系列，D 为作用于 X 的算子，X 经过算子 D 作用后所 得序列记为
XD x1d , x2d , , xnd
称 D 为序列算子，称 XD 为一阶算子作用序列。 序列算子的作用可以进行多次，相应的，若 D1,D2,D3 皆为序列算子，我们称 D1D2 为二 阶算子，并称
第6章 灰色系统预测
定义 2 设 X
(0)
ˆ 为原始序列， X
( 0)
为相应的模拟序列，
(0)
为残差序列，则
1 n ( 0) 1 n (0) 2 2 x x (k ) ， S1 ( x (k ) x ) n k 1 n k 1