第二章测量系统的动态特性

测量位移的电位计就是零阶测量系统的 实例。图1-4为其示意图。在由电压激励的 电阻上有一个滑动触头，如果电阻在长度L 为线性分布，则可给出

在多数情况下．由于各种因素的影响，仪器的特性
往往是非线性的。图1- 5所示为方程中包含有高次项的特 性曲线，这对仪表的示值是不利的。但实际测量中，若非 线性幂次不高，则在输入量变化不大的范围内．可以把实 际曲线的某一段用切线或割线来代替，如图l-5a和b所 示．把测量范围取在最接近直线的一段。如同l-5a中，将 测量范围取在-Xa～Xb的范围内，可得到近似线性特性。
第二章 测量系统的动态特性
第一节 测量系统在瞬变参数测量中的动态特性
一、测量系统的动态特性
用来描述测量系统在动态测量过程中输出 量Y与输入量X之间的关系或是反映测量系统对 于随时间变化的输入量的响应特性。
二、测量系统动态特性分析的目的：

研究动态测量中所产生的动态误差。
三、测量系统动态特性分析的意义
经化简可得

经拉氏变换得
sT (s) T (s) T0 (s)
式中， 称为时间常数

方程式(1-11)是热电偶(测温传感器)数学模型的一阶线 性微分方程，这类传感器称为一阶传感器。比较式(1-10) 和式(1-11)，可得该系统的传递函数为

H (s) T (s) 1
量为dQ


式中，丁为热电偶瞬间温度；h为对流时的表面传
热系数；A为热电偶热接点的表面积。在不考虑导热及热
辐射损失的情况下，介质传给热电偶的热量即为热电偶的
储热量。若热电偶吸收热量dQ后，温度上升dT，于是


式中．c。为热电偶热接点
的比定压热容；m为热电偶
热接点的质量。

根据热平衡可得
一、测量系统的阶跃响应 阶跃输入信号x(t)如图l-8所示。其特点是有
直上直下的前沿，即t=0时信号以无限大的速率上 升；当t>0时，信号不再随时间变化而保持信号高 度F，在这一段它具有静态特性。
0 t＜0
xt =
= 1 t＞0
由表2－1可知，单位阶跃函数的拉普
拉斯变换为
1 s

上式经过拉式变换得
sY (s) Y (s) kX(s)
令：
为测量系统的时间常数，K为测量系统的稳态灵
敏度，在线性系统中，K为常数，通常取 为1
于是一阶测量系统的传递函数为
H (s)
Y (s) X (s)

1
s 1

以热电偶测量介质温度T。为例(图1-6)。当热电偶突
然放人温度为T的热水中，每瞬间传给热电偶热接点的热
，于是测量系统输出的拉普
拉斯变换为
Y s H s H sX s H s
s
s

阶跃信号使系统从一个稳态突然过渡 到另一个稳态，对系统是一个严格的考验，
易暴露问题，因而阶跃信号常用作低阶测 量系统的时域动态响应考核的输入信号。
1、一阶测量系统的阶跃响应
仍以前面测温热电偶为例进行分析。设当t=0
有些仪器的非线性程度很强烈，即使限制在很小的测
量范围内，亦不能使非线性误差减小到允许的程度，这种 特性称为根本非线性特性。这时，仪器只能采用非均匀分 度。 2、一阶测量系统的传递函数
若在方程式(2-1)中，a2 .b1 及其以上的系数均为零．则
可得Байду номын сангаас下微分方程
这就是描述一阶测量系统或传感器的微分方程。式(19)两边均除以a。得
d2y
dy

将上式与 a2 有同样形式 H (s)
dt 2 a1
Y (s)
X (s) s2
dt
a0 n 2
2n s
y

b0 n 2
x 比较，其传递函数与之 ，令系统的固有频率为 wn
k m

系统的阻尼比
c
2 km
（系统的阻尼c与临界阻尼cc之比）
第二节 测量系统的动态响应
T0 s
取上式的拉普拉斯反变换（表2－1）， 可得该一阶测量系统对阶跃输入的时间响应 函数，即
T

T0
1
t
e



如图1- 9所示。由于热电偶的热惯性，它的
输出值T不可能以无限大的速率突升至T。．而需 要有一个上升过程，即它的响应对于激励有一个 时间滞后。但随时间的推移，T将越来越接近于 T。，当t= τ时，T=0.637。。时间常数τ是由热电 偶的儿何参数和热特性确定，它的大小直接影响 到滞后时间， τ越小表示热惯性小，达到稳态值 的时间越短；反之，时间就越长。所以， τ值是 决定响应函数的重要参数。为进行可靠的动态测 量，应使测量系统的时间常数尽可能小。
时，输出量T=0；当t>0时，热电偶突然被放入介 质中，输入量突然升至 T0 ，该一阶测量系统的 传递函数为式（2－18），即

H
s

T s T0 s


1 s 1
当输入量为阶跃信号，其阶跃量F为T。
时，可得该系统输出量的拉氏函数为

T
s

T s T0 s


1 s 1
H (s)
Y (s) X (s)

s2
n 2 2n s n 2

二阶测量系统或传感器典型的实例为测振仪．如图l-10所示。描述质量
m的运动微分方程为
式中，c为阻尼系数，k为弹性系数，f(t)为干扰力。这是一个强迫阻尼振 动微分方程。
将式(1—22)和式(2-1)比较可得

H2 (s)
（2－7）
Y1 (s)
X (s)
H1 (s)
Y (s)
H2 (s)
Y2 (s)
H(s)

同样，由n个环节组成并联系统，其
传递函数为
n
H (s) Hi (s) i 1
（2－8）

式（2－8）表示n个环节并联系统的
总传递函数为各个环节传递函数之和。
3、反馈联接
环节的反馈联接如图2－3所示，HA(s) 和HB(s) 分别为正向环节和反向环节的传递函数，它们也 可由若干个环节以并联、串联或反馈联接方式组 成。 X1 (s) 为输入信号， X2 (s) 为反馈信号。
馈。

正反馈时系统的传递函数为

H(s) Y(s) H A(s)
（2－9）

X (s) 1 H A(s)HB (s)

负反馈时系统的传递函数为

H(s) Y(s) H A(s)
（2－10）

X (s) 1 H A(s)HB (s)

实际和理论证明，测量系统中采用负反馈可
以使整个系统误差大大减小，以提高测量精度。
通过研究与分析，能够在动态参数测量中选 择合适的测量系统并与所测参数相匹配，使测量 的动态误差限制在试验要求的允许范围内。
四、测量系统的动态特性的数学描述
测量系统的动态特性通常采用常系数线性常微分 方程来描述.其输入量x和输出量y之间的关系：


(2-1)


式中:y为输出量；x为输入量；t为时间；数组a0， a1，…，an与b0，b1，…，bm为与被测对象的物理 参数有关的常数。
在瞬变参数动态测量中，要求通过测量系统 所获得的输出信号能准确地重现输入信号的全部 信息。
测量系统的动态响应正是用来评价系统正确 传递和显示输入信号的重要指标。
由于实际被测信号十分复杂，用它作为输入 信号来研究系统的动态特性是困难的。因而，往 往是对测量系统施加某些已知的典型输入信号， 这些典型信号包括阶跃信号、正弦信号、脉冲信 号、斜升信号等，而通常是采用阶跃信号和正弦 信号作为输入量来研究系统对典型信号的响应， 以了解测量系统的动态特性，依此评价测量系统。
三、基本测量系统的传递函数
1、零阶测量系统的传递函数

在方程式(2-1)中假定，除a0 、b0 外所有系数都
为零。这时方程变成最简单的代数方程

a0
用式(1-7)描述的测量系统称为零阶测量系统， 式中s为静态灵敏度。
因式(1-7)是线性方程．所以不管x随时问如何 变化，测量系统输出不受干扰也没有时间滞后，因 此可以认为零阶测量系统(或传感器)有完全理想的 特性。
对方程进行变换时，在初始条件为零的条件下，
（2-1）式中可用 s , s 2 ,…, s n分别代
替 d / dt , d 2 / dt2 ,…, d n / dtn ,得到:
(ansn an1sn1 ... a0)Y (s) (bmsm bm1sm1 ... b0)X (s)
X(s),Y(s)-测量系统的输入量x(t)和输出量y(t) 的Laplace变换

由上式解出Y(s),再由


Y(s) Laplace反变换 y(t)


y(t)即是测量系统对一定输入量x(t)的响应。
五、传递函数 研究测量系统的动态特性常引用传递函数
的概念。 传递函数：是指用输出信号对输入信号之
X1 (s)
Y (s)
+
HHAA ((s)s)
-
X2 (s)
HHBB(s() s)

若输入信号 X1 (s) 与反馈信号 X2(s) 相加后再入
正向环节，它对输入信号起放大作用，则称为正反
馈；若输入信号 X1 (s) 与反馈信号 X2(s) 相减后再输入 正向环节，它对输入信号起抑制作用，则称为负反
T0 (s) s 1
3、二阶测量系统的传递函数 若在方程式(2-1)中，除a2、a1、 a0 、 b0外.以上的系
数均为零．则可得如下微分方程
上式两端除以a0并经拉氏变换可得

令k= b0/ a0 ,通常取为1，wn
a0 a2
式可改写为
a1
2 a0a2
。上

相应的传递函数为
传递函数只是描述系统的动态性能， 不说明系统的物理结构，只要动态特性相 似，不同的系统可以有相似的传递函数。
如热电偶和阻容滤波器，光线示波器 振子和弹簧测力仪，尽管它们的结构相差 甚大，但分别具有相似的一、二阶测量系 统的传递函数。
测量系统往往是由若干测量环节组成， 若已知各组成环节的传递函数，可以方便 地得到整个系统的传递函数，即系统的动 态特性。
(2-1)式的解法
y(t)可以通过对因变量的Laplace变换（拉普 拉斯变换）求解
Laplace变换：

将时域函数 f(t) (定义在t≥0)转换成s域函数
F(s)，即

d L（ f(t) ）=F（s）= f (t)est 0
t
L- Laplace变换运算符号 s- Laplace算子
1、串联环节 两个传递函数分别为 H1 (s) 和 H2 (s) 环节串联后
的测量系统如图2－1所示。
H(s)
X (s)
Z (s)
Y (s)
H1 (s)
H2 (s)
该系统的特点是前一环节的输出信号为 后一环节的输入信号，任何环节的输出信号
对该环节以前的各环节均无反作用。该串联 测量系统的传递函数为
比来表示信号间的传递关系，并用H表示。由 式 (２－３)
(ansn an1sn1 ... a0)Y(s) (bmsm bm1sm1 ... b0)X (s)
可得算子形式的传递函数
若用方框图表示：

传递函数分母中S的最高阶为测量 系统输出量最高阶导数，若最高阶为n， 则该系数为n阶测量系统。但常见的测 量系统大部分为零阶、一阶和二阶系 统。高阶系统在一定条件下可以由低 阶系统组合形式逼近，所以对传递函 数的讨论主要以低阶测量系统为主。
测量系统的动态特性一般可以从时（间 域和频（率）域两方面进行分析。
对于低阶测量系统，当 输入简单的瞬 变信号（如阶跃信号），其系统的动态响 应是在时域中用来描述系统的动态特性； 而当输入为一系列不同频率的正弦信号时， 其相应的输出称为频率响应，而频率响应 是在频域中用来描述系统的动态特性，它 适合于高阶测量系统和周期性复杂的输入 时系统动态响应的研究。
2、并联环节
两个传递函数分别为 H1 (s) 和 H2(s) 的环节并 联的测量系统如图2－2所示，该系统的特点是一 个信号同时输入二个环节的输入端，二个环节输 出信号之和为总输出信号，则该系统传递函数为

H (s)

Y (s) X (s)

Y1(s) Y2 (s) X (s)

H1(s)

H (s)

Y (s) X (s)

Z (s)Y (s) X (s)Z(s)

H1(s)H 2 (s)
（2－5）
同样，由n个环节组成的串联系统，其
传递函数为
n

H (s) H i (s) i 1
（2－6）
式（2－6）表示n个环节串联系统总的 传递函数为各个环节的传递函数之积。