第二章测量系统的动态特性

一、测量系统的阶跃响应 阶跃输入信号x(t)如图l-8所示。其特点是有
直上直下的前沿，即t=0时信号以无限大的速率上 升；当t>0时，信号不再随时间变化而保持信号高 度F，在这一段它具有静态特性。
0 t＜0
xt =
= 1 t＞0
由表2－1可知，单位阶跃函数的拉普
拉斯变换为
1 s
，于是测量系统输出的拉普
拉斯变换为
Y s H s H sX s H s
s
s

阶跃信号使系统从一个稳态突然过渡 到另一个稳态，对系统是一个严格的考验，
易暴露问题，因而阶跃信号常用作低阶测 量系统的时域动态响应考核的输入信号。
1、一阶测量系统的阶跃响应
仍以前面测温热电偶为例进行分析。设当t=0

H2 (s)
（2－7）
Y1 (s)
X (s)
H1 (s)
Y (s)
H2 (s)
Y2 (s)
H(s)

同样，由n个环节组成并联系统，其
传递函数为
n
H (s) Hi (s) i 1
（2－8）

式（2－8）表示n个环节并联系统的
总传递函数为各个环节传递函数之和。
3、反馈联接
环节的反馈联接如图2－3所示，HA(s) 和HB(s) 分别为正向环节和反向环节的传递函数，它们也 可由若干个环节以并联、串联或反馈联接方式组 成。 X1 (s) 为输入信号， X2 (s) 为反馈信号。
有些仪器的非线性程度很强烈，即使限制在很小的测
量范围内，亦不能使非线性误差减小到允许的程度，这种 特性称为根本非线性特性。这时，仪器只能采用非均匀分 度。 2、一阶测量系统的传递函数
若在方程式(2-1)中，a2 .b1 及其以上的系数均为零．则
可得如下微分方程
这就是描述一阶测量系统或传感器的微分方程。式(19)两边均除以a。得
比来表示信号间的传递关系，并用H表示。由 式 (２－３)
(ansn an1sn1 ... a0)Y(s) (bmsm bm1sm1 ... b0)X (s)
可得算子形式的传递函数
若用方框图表示：

传递函数分母中S的最高阶为测量 系统输出量最高阶导数，若最高阶为n， 则该系数为n阶测量系统。但常见的测 量系统大部分为零阶、一阶和二阶系 统。高阶系统在一定条件下可以由低 阶系统组合形式逼近，所以对传递函 数的讨论主要以低阶测量系统为主。
三、基本测量系统的传递函数
1、零阶测量系统的传递函数

在方程式(2-1)中假定，除a0 、b0 外所有系数都
为零。这时方程变成最简单的代数方程

a0
用式(1-7)描述的测量系统称为零阶测量系统， 式中s为静态灵敏度。
因式(1-7)是线性方程．所以不管x随时问如何 变化，测量系统输出不受干扰也没有时间滞后，因 此可以认为零阶测量系统(或传感器)有完全理想的 特性。
量为dQ


式中，丁为热电偶瞬间温度；h为对流时的表面传
热系数；A为热电偶热接点的表面积。在不考虑导热及热
辐射损失的情况下，介质传给热电偶的热量即为热电偶的
储热量。若热电偶吸收热量dQ后，温度上升dT，于是


式中．c。为热电偶热接点
的比定压热容；m为热电偶
热接点的质量。

根据热平衡可得

H (s)

Y (s) X (s)

Z (s)Y (s) X (s)Z(s)

H1(s)H 2 (s)
（2－5）
同样，由n个环节组成的串联系统，其
传递函数为
n

H (s) H i (s) i 1
（2－6）
式（2－6）表示n个环节串联系统总的 传递函数为各个环节的传递函数之积。
在瞬变参数动态测量中，要求通过测量系统 所获得的输出信号能准确地重现输入信号的全部 信息。
测量系统的动态响应正是用来评价系统正确 传递和显示输入信号的重要指标。
由于实际被测信号十分复杂，用它作为输入 信号来研究系统的动态特性是困难的。因而，往 往是对测量系统施加某些已知的典型输入信号， 这些典型信号包括阶跃信号、正弦信号、脉冲信 号、斜升信号等，而通常是采用阶跃信号和正弦 信号作为输入量来研究系统对典型信号的响应， 以了解测量系统的动态特性，依此评价测量系统。
第二章 测量系统的动态特性
第一节 测量系统在瞬变参数测量中的动态特性
一、测量系统的动态特性
用来描述测量系统在动态测量过程中输出 量Y与输入量X之间的关系或是反映测量系统对 于随时间变化的输入量的响应特性。
二、测量系统动态特性分析的目的：

研究动态测量中所产生的动态误差。
三、测量系统动态特性分析的意义
d2y
dy

将上式与 a2 有同样形式 H (s)
dt 2 a1
Y (s)
X (s) s2
dt
a0 n 2
2n s
y

b0 n 2
x 比较，其传递函数与之 ，令系统的固有频率为 wn
k m

系统的阻尼比
c
2 km
（系统的阻尼c与临界阻尼cc之比）
第二节 测量系统的动态响应
X(s),Y(s)-测量系统的输入量x(t)和输出量y(t) 的Laplace变换

由上式解出Y(s),再由


Y(s) Laplace反变换 y(t)


y(t)即是测量系统对一定输入量x(t)的响应。
五、传递函数 研究测量系统的动态特性常引用传递函数
的概念。 传递函数：是指用输出信号对输入信号之
2、并联环节
两个传递函数分别为 H1 (s) 和 H2(s) 的环节并 联的测量系统如图2－2所示，该系统的特点是一 个信号同时输入二个环节的输入端，二个环节输 出信号之和为总输出信号，则该系统传递函数为

H (s)

Y (s) X (s)

Y1(s) Y2 (s) X (s)

H1(s)
经化简可得

经拉氏变换得
sT (s) T (s) T0 (s)
式中， 称为时间常数

方程式(1-11)是热电偶(测温传感器)数学模型的一阶线 性微分方程，这类传感器称为一阶传感器。比较式(1-10) 和式(1-11)，可得该系统的传递函数为

H (s) T (s) 1
测量位移的电位计就是零阶测量系统的 实例。图1-4为其示意图。在由电压激励的 电阻上有一个滑动触头，如果电阻在长度L 为线性分布，则可给出

在多数情况下．由于各种因素的影响，仪器的特性
往往是非线性的。图1- 5所示为方程中包含有高次项的特 性曲线，这对仪表的示值是不利的。但实际测量中，若非 线性幂次不高，则在输入量变化不大的范围内．可以把实 际曲线的某一段用切线或割线来代替，如图l-5a和b所 示．把测量范围取在最接近直线的一段。如同l-5a中，将 测量范围取在-Xa～Xb的范围内，可得到近似线性特性。
T0 s
取上式的拉普拉斯反变换（表2－1）， 可得该一阶测量系统对阶跃输入的时间响应 函数，即
T

T0
1
t
e



如图1- 9所示。由于热电偶的热惯性，它的
输出值T不可能以无限大的速率突升至T。．而需 要有一个上升过程，即它的响应对于激励有一个 时间滞后。但随时间的推移，T将越来越接近于 T。，当t= τ时，T=0.637。。时间常数τ是由热电 偶的儿何参数和热特性确定，它的大小直接影响 到滞后时间， τ越小表示热惯性小，达到稳态值 的时间越短；反之，时间就越长。所以， τ值是 决定响应函数的重要参数。为进行可靠的动态测 量，应使测量系统的时间常数尽可能小。
通过研究与分析，能够在动态参数测量中选 择合适的测量系统并与所测参数相匹配，使测量 的动态误差限制在试验要求的允许范围内。
四、测量系统的动态特性的数学描述
测量系统的动态特性通常采用常系数线性常微分 方程来描述.其输入量x和输出量y之间的关系：


(2-1)


式中:y为输出量；x为输入量；t为时间；数组a0， a1，…，an与b0，b1，…，bm为与被测对象的物理 参数有关的常数。
X1 (s)
Y (s)
+
HHAA ((s)s)
-
X2 (s)
HHBB(s() s)

若输入信号 X1 (s) 与反馈信号 X2(s) 相加后再入
正向环节，它对输入信号起放大作用，则称为正反
馈；若输入信号 X1 (s) 与反馈信号 X2(s) 相减后再输入 正向环节，它对输入信号起抑制作用，则称为负反
(2-1)式的解法
y(t)可以通过对因变量的Laplace变换（拉普 拉斯变换）求解
Laplace变换：

将时域函数 f(t) (定义在t≥0)转换成s域函数
F(s)，即

d L（ f(t) ）=F（s）= f (t)est 0
t
L- Laplace变换运算符号 s- Laplace算子
T0 (s) s 1
3、二阶测量系统的传递函数 若在方程式(2-1)中，除a2、a1、 a0 、 b0外.以上的系
数均为零．则可得如下微分方程
上式两端除以a0并经拉氏变换可得

令k= b0/ a0 ,通常取为1，wn
a0 a2
式可改写为
a1
2 a0a2
。上

相应的传递函数为