2019年合肥市瑶海区二模——数学试卷+答案
安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学理试题(解析版)
上单调递增，所以 g ( x) g 2 1 1 ，所以函数 g ( x) 在 0, 上 6 6 6
没有最大值，D 错．
7.已知椭圆
x2 y 2 1 ( a b 0 )的左右焦点分别为 F1，F2 ，右顶点为 A ，上顶点为 B ，以线段 F1 A 为直径的 a 2 b2
n
9 9 9 所以 S n 100 10( n 10) ，根据题意 100 10( n 10) 100 200 ，解得 n 10 ． 10 10 10
12.函数 f x e x e1 x b 2 x 1 在(0，1)内有两个零点，则实数 b 的取值范围是
列说法正确的是
0 对称 A.函数 g x 的图象关于点 ， 12
C.函数 g x 在 0， 上单调递增 6
B.函数 g x 的周期是
2
D.函数 g x 在 0， 上最大值是 1 6
答案：C 考点：三角函数函数图象的变换，图象的性质。
h( x) b 2 x 1 ，因为 g ( x) e x e1 x 0 恒成立，所以 g ( x) 单调递增，
且 g (1 x) e
1 x
1 1 y h( x) 在 ,1 内有一个交点，因为 g 2 e ， g (1) e 1 ， B (1, e 1) ， k AB 2(e 1) ，所以 2 2 2 e 2b 2(e 1) ，所以 e b e 1 ，
①②
，得：
2 n 1
9 n 10
n 1
n 1
① 9 n 10
2019合肥二模理科数学试卷 含答案
3．答案：C
解析：由题意可知 b a
=
2,∴b =
2a
，故
x2 a2
−
y2 4a2
= 1，将 P(
6
,
4)
代入，得：
6 a2
−
16 4a2
= 1 ，解
得= a2 2= , b2 8 ，所以双曲线的方程是 x2 − y2 = 1．
sin
2x
+
π 6
−1
，
选项 A，当 x =
− π 时，2x + π
12
6
=0 ， f
−
π 12
= −1 ，所以函数
g
(x)
的图象关于点
−
π 12
,
−1
对称，A
错；
选项 B，函数 g(x) 的周期=T 2=π π ，B 错； 2
选项
C，当
x
∈
0,
π 6
时， 2 x
+
π 6
∈
π 6
,
π 2
，所以函数
g
(x)
在
0,
π 6
上单调递增，C
正确；
选项
D，因为函数
g
(
x)
在
0,
π 6
上单调递增，所以
g
(
x)
<
g
π 6
=
2 −1 =
1，所以函数 g(x) 在 0,
π 6
上没
有最大值，D 错．
7．答案：D
2019年安徽省合肥市中考数学二模试卷及答案解析
2019年安徽省合肥市中考数学二模试卷一、选择题（每小题4分，满分40分）1．（4分）如果“+□＝0”，那么“□”里的数是（）A．B．2C．D．﹣22．（4分）下列各式运算正确的是（）A．m10÷m5＝m5B．（2m2﹣m）÷m＝2mC．（﹣2m）3＝﹣6m3D．（m﹣n）2＝m2﹣n23．（4分）如图是几个相同小正方体组成的立体图形的俯视图，图上的数字表示该位置上方小正方体的个数，这个立方体图形的左视图是（）A．B．C．D．4．（4分）下列多项式，在实数范围内能够进行因式分解的是（）A．x2+4B．C．x2﹣3y D．x2+y25．（4分）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中这样一道题：甲、乙两人一同放牧，两人暗地里数羊，如果乙给甲9只羊，则甲的羊数为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数相同，设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意，可列方程组为（）A．B．C．D．6．（4分）甲、乙两人参加射击比赛，每人射击五次，命中的环数如下表：根据以下数据，下列说法正确的是（）序号一二三四五甲命中的环数（环）67868乙命中的环数（环）510767A．甲的平均成绩大于乙B．甲、乙成绩的中位数不同C．甲、乙的众数相同D．甲的成绩更稳定7．（4分）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OA于点C，交射线OB于点D，再分别以C、D为圆心，OC的长为半径，两弧在∠AOB的内部交于点E，作射线OE，若OC＝10，OE＝16，则C、D两点之间距离为（）A．10B．12C．13D．8．（4分）如图，点A、C、D在⊙O上，AB是⊙O的切线，A为切点，OC的延长线交AB 于点B，∠ABO＝45°，则∠D的度数是（）A．22.5°B．20°C．30°D．45°9．（4分）如图，将两根相同的矩形木条沿虚线MN剪开得到四根完全一样的木条，然后重新围成一个矩形画框．已知矩形木条的两边分别为a、b，且a＞b，则围城的矩形画框的内框ABCD的面积为（）。
安徽省合肥市瑶海区2019年中考二模数学试题含解析
2019年安徽省合肥市瑶海区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）下列各数中，比0小的是（）A．B．﹣（﹣1）C．|﹣1|D．﹣20192．（4分）据报道，2019年参加全国硕士研究生考试的人数约有260万人．其中，“260万”用科学记数法可表示为（）A．26×108B．2.6×106C．0.26×108D．260×104 3．（4分）计算（﹣3a3）2的结果是（）A．﹣3a6B．3a6C．﹣9a6D．9a64．（4分）下图中的几何体的左视图是（）A．B．C．D．5．（4分）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则代数式a+b+c的值为（）A．22B．41C．50D．516．（4分）整数n满足n﹣1＜3＜n，则n的值为（）A．7B．8C．9D．107．（4分）如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO＝CD，则∠A的度数为（）A．45°B．30°C．22.5°D．37.5°8．（4分）抽查员随机抽取甲、乙、丙、丁四台机器生产10个乒乓球直径的长度（规格为直径40mm），整理的平均数（单位：mm）分别为39.96、40.05、39.96、40.05；方差（单位：mm2）分别为：0.36、1.12、0.20、0.5．这四台机器生产的乒乓球既标准又稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁9．（4分）甲打字员计划用若干小时完成文稿的电脑输入工作，两小时后，乙打字员协助此项工作，且乙打字员文稿电脑输入的速度是甲的1.5倍，结果提前6小时完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是（）A．17小时B．14小时C．12小时D．10小时10．（4分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的函数关系图象，其中M 为曲线部分的最低点下列说法错误的是（）A．△ABC是等腰三角形B．AC边上的高为4C．△ABC的周长为16D．△ABC的面积为10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）化简：﹣＝．12．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则字母m的最大整数值为．13．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E为BC的中点，AF＝1，以EF为直径的半圆与DE交于点G，则劣弧的长为．14．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P为边AC 上一点，且AP＝5cm．点Q为边AB上的任意一点（不与点A，B重合），若点A关于直线PQ的对称点A'恰好落在△ABC的边上，则AQ的长为cm．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）先化简，再求值：，其中x+y＝﹣3．16．（8分）互联网给生活带来极大的方便据报道，2016底全球支付宝用户数为4.5亿，2018年底达到9亿．（1）求平均每年增长率；（2）据此速度，2020底全球支付宝用户数是否会超过17亿？请说明理由．（参考数据：≈1.414）四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）在边长为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点A、B、C的坐标分别为（2，1）（5，0）（1，0）．（1）求证：△OAC∽△OBA；（2）在平面直角坐标系内找一点D（不与点B重合，使△OAD与△OAB全等，请直接写出所有可能的点D的坐标．18．（8分）法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2＝z2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解（x，y，z）叫做勾股数．如，（3，4，5）就是一组勾股数．（1）请你再写出两组勾股数：（），（）；（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n 表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2﹣1，z＝n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即a，y，z为勾股数），请你加以证明．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）为开发大西北，某工程队承接高铁修筑任务，在山坡处需要修建隧道，为了测量隧道的长度，工程队用无人机在距地面高度为500米的C处测得山坡南北两端A、B的俯角分别为∠DCA＝45°、∠DCB＝30°（已知A、B、C三点在同一平面上），求隧道两端A、B的距离．（参考数据：≈1.73）20．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与双曲线y＝的一个交点为P（m，2）．（1）求k的值；（2）M （，a），N（n，b）是双曲线上的两点，直接写出当a＞b时，n 的取值范围．六、（本题满分12分）21．（12分）某校为了解学生每月零用钱情况，从七、八、九年级1200名学生中随机抽取部分学生，对他们今年4月份的零用钱支出情况进行调查统计并绘制成如下统计图表：请根据图表中所给的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中共随机抽取了名学生，图表中的m＝，n ＝；（2）请估计该校今年4月份零用钱支出在“30≤x＜40范围的学生人数；（3）在抽样的“节俭型”学生中，有2位男生和4位女生，校团委计划从中随机抽取两人参与“映山红”的公益活动，求恰好抽中一男一女的概率．七、（本题满分12分）22．（12分）我国为了实现到2020年达到全面小康社会的目标，近几年加大了扶贫工作的力度，合肥市某知名企业为了帮助某小型企业脱贫，投产一种书包，每个书包制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万个）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，据统计当售价定为30元/个时，每月销售40万个，当售价定为35元/个时，每月销售30万个．（1）请求出k、b的值．（2）写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数解析式．（3）该小型企业在经营中，每月销售单价始终保持在25≤x≤36元之间，求该小型企业每月获得利润w（万元）的范围．八、（本题满分14分）23．（14分）如图，在凸四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC+∠BCD＝240°．设∠ABC＝α．（1）利用尺规，以CD为边在四边形内部作等边△CDE．（保留作图痕迹，不需要写作法）（2）连接AE，判断四边形ABCE的形状，并说明理由．（3）求证：∠ADC＝α；（4）若CD＝6，取CD的中点F，连结AF，当∠ABC等于多少度时，AF最大，最大值为多少．（直接写出答案，不需要说明理由）．2019年安徽省合肥市瑶海区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）下列各数中，比0小的是（）A．B．﹣（﹣1）C．|﹣1|D．﹣2019【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得﹣2019＜0＜＜﹣（﹣1）＝|﹣1|，∴各数中比0小的是﹣2019．故选：D．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2．（4分）据报道，2019年参加全国硕士研究生考试的人数约有260万人．其中，“260万”用科学记数法可表示为（）A．26×108B．2.6×106C．0.26×108D．260×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：“260万”用科学记数法可表示为2.6×106，故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）计算（﹣3a3）2的结果是（）A．﹣3a6B．3a6C．﹣9a6D．9a6【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算即可．【解答】解：（﹣3a3）2＝9a6，故选：D．【点评】本题考查了对积的乘方和幂的乘方法则的应用，主要考查学生运用法则进行计算的能力，注意：①积的乘方，把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，②幂的乘方，底数不变，指数相乘．4．（4分）下图中的几何体的左视图是（）A．B．C．D．【分析】根据左视图是从左面看到的图象判定则可．【解答】解：从左面看从左往右的正方形个数分别为2，1．故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．5．（4分）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则代数式a+b+c的值为（）A．22B．41C．50D．51【分析】根据题目中的数据可知，a、b、c分别为上一行中左上角和右上角的数字之和，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：由图可得，a＝1+5＝6，b＝5+10＝15，c＝10+10＝20，∴a+b+c＝6+15+20＝41，故选：B．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出a、b、c的值．6．（4分）整数n满足n﹣1＜3＜n，则n的值为（）A．7B．8C．9D．10【分析】根据36＜45＜49，得出的取值范围，即可确定n的值．【解答】解：∵3＝，且36＜45＜49，∴6＜＝3＜7，∴n＝7，故选：A．【点评】本题考查了估算无理数的大小，运用“夹逼法”是解决本题的关键．7．（4分）如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO＝CD，则∠A的度数为（）A．45°B．30°C．22.5°D．37.5°【分析】因为∠COD＝∠A+∠OCA，∠A＝∠COA，所以求出∠COD即可解决问题．【解答】解：∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵CO＝CD，∴∠COD＝∠D＝45°，∵OA＝CO，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠COD＝∠OAC+∠OCA＝45°，∴∠A＝22.5°．故选：C．【点评】本题考查切线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握这些性质是解决问题的关键．8．（4分）抽查员随机抽取甲、乙、丙、丁四台机器生产10个乒乓球直径的长度（规格为直径40mm），整理的平均数（单位：mm）分别为39.96、40.05、39.96、40.05；方差（单位：mm2）分别为：0.36、1.12、0.20、0.5．这四台机器生产的乒乓球既标准又稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】先比较出平均数，再根据方差的意义即可得出答案．【解答】解：∵甲、乙、丙、丁的平均数（单位：mm）分别为39.96、40.05、39.96、40.05，∴甲和丙比较标准，∵甲、乙、丙、丁的方差（单位：mm2）是0.36、1.12、0.20、0.5，∴0.20＜0.36＜0.5＜1.12，∴这四台机器生产的乒乓球既标准又稳定的是丙；故选：C．【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．9．（4分）甲打字员计划用若干小时完成文稿的电脑输入工作，两小时后，乙打字员协助此项工作，且乙打字员文稿电脑输入的速度是甲的1.5倍，结果提前6小时完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是（）A．17小时B．14小时C．12小时D．10小时【分析】设甲打字员原计划完成此项工作的时间是x小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是．根据根据“提前6小时完成任务”列出方程并解答．【解答】解：设甲打字员原计划完成此项工作的时间是x小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是甲的1.5倍，即，依题意得：+＝1，整理得：2x﹣12+3（x﹣8）＝2x，解得：x＝12，经检验，x＝12是所列分式方程的解，即甲打字员原计划完成此项工作的时间是12小时；故选：C．【点评】本题考查了分式方程的应用、分式方程的解法；设出未知数表示出甲和乙的工作效率，列出分式方程是解题的关键．10．（4分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的函数关系图象，其中M 为曲线部分的最低点下列说法错误的是（）A．△ABC是等腰三角形B．AC边上的高为4C．△ABC的周长为16D．△ABC的面积为10【分析】由图1看到，点P从B运动到A的过程中，y＝BP先从0开始增大，到达点C时达到最大，对应图2可得此时y＝5，即BC＝5；点P从C运动到A的过程中，y＝BP先减小，到达BP⊥AC时达到最小，对应图2可得此时BP＝4；而后BP又开始增大，到达点A时达到最大y＝5，即BA＝5，所以△ABC为等腰三角形．作AC边上的高BD＝4，即能求得AD＝CD＝3，即AC＝6，再求得△ABC面积．【解答】解：由图1看到，点P从B运动到A的过程中，y＝BP先从0开始增大，到达点C时达到最大，对应图2可得此时y＝5，即BC＝5；点P从C 运动到A的过程中，y＝BP先减小，到达BP⊥AC时达到最小，对应图2可得此时BP＝4；而后BP又开始增大，到达点A时达到最大y＝5，即BA＝5，所以△ABC为等腰三角形．由图形和图象可得BC＝BA＝5，BP⊥AC时，BP＝4过点B作BD⊥AC于D，则BD＝4∴AD＝CD＝，∴AC＝6，∴△ABC的周长为：5+5+6＝16，∴S＝AC•BD＝×6×4＝12△ABC故选项A、B、C正确，选项D错误．故选：D．【点评】本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质．把图形和图象结合理解得到线段长度是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）化简：﹣＝．【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．【解答】解：原式＝2﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．12．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则字母m的最大整数值为3．【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4m＞0，再解不等式得到m的范围，然后在求出范围内确定最大整数即可．【解答】解：根据题意得△＝（﹣4）2﹣4m＞0，解得m＜4，所以字母m的最大整数值为3．故答案为3．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．13．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E为BC的中点，AF＝1，以EF为直径的半圆与DE交于点G，则劣弧的长为π．【分析】连接OG，DF，根据勾股定理分别求出DF、EF，证明Rt△DAF≌Rt△FBE，求出∠DFE＝90°，得到∠GOE＝90°，根据弧长公式计算即可．【解答】解：连接OG，DF，∵BC＝2，E为BC的中点，∴BE＝EC＝1，∵AB＝3，AF＝1，∴BF＝2，由勾股定理得，DF＝＝，EF＝＝，∴DF＝EF，在Rt△DAF和Rt△FBE中，，∴Rt△DAF≌Rt△FBE（HL）∴∠ADF＝∠BFE，∵∠ADF+∠AFD＝90°，∴∠BFE+∠AFD＝90°，即∠DFE＝90°，∵FD＝FE，∴∠FED＝45°，∵OG＝OE，∴∠GOE＝90°，∴劣弧的长＝＝π，故答案为：π．【点评】本题考查的是弧长的计算、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握弧长公式是解题的关键．14．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P为边AC 上一点，且AP＝5cm．点Q为边AB上的任意一点（不与点A，B重合），若点A关于直线PQ的对称点A'恰好落在△ABC的边上，则AQ的长为或4cm．【分析】由对称可知AP＝A'P，AQ＝A'Q，由勾股定理可计算A'C，A'P，作A'H⊥AB构造直角三角形，用勾股定理列方程组即可计算AQ的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，∴BC＝6cm，①若点A'落在BC上，如图：点A关于直线PQ的对称点A'，∵点A关于直线PQ的对称点A'，∴A'Q＝AQ，AP＝A'P，∵AP＝5，∴PC＝3，A'C＝4，A'B＝2，∴A'A＝4，作A'H垂直AB，由勾股定理可得：，设AQ＝AQ'＝x，BH＝y，∴，解得：，故AQ的长为．②若点A'落在AB上，如图：∵点A关于直线PQ的对称点A'，∴PQ⊥AB，∴△APQ～△ABC，∴，∴，∴AQ＝4．综上所述：若点A关于直线PQ的对称点A'恰好落在△ABC的边上，则AQ的长为或4cm．故答案为或4．．【点评】本题考查了轴对称的性质和勾股定理的应用，常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）先化简，再求值：，其中x+y＝﹣3．【分析】根据分式的除法可以化简题目中的式子，然后将x+y的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：＝＝（x+y）2，当x+y＝﹣3时，原式＝（﹣3）2＝9．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确题意分式化简求值的方法．16．（8分）互联网给生活带来极大的方便据报道，2016底全球支付宝用户数为4.5亿，2018年底达到9亿．（1）求平均每年增长率；（2）据此速度，2020底全球支付宝用户数是否会超过17亿？请说明理由．（参考数据：≈1.414）【分析】（1）设平均每年增长率为x，根据2016年底及2018年底全球支付宝用户数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2020年底全球支付宝用户数＝2018年底全球支付宝用户数×（1+增长率）2，即可求出2020年底全球支付宝用户数，将其与17亿比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设平均每年增长率为x，依题意，得：4.5（1+x）2＝9，解得：x1＝0.414＝41.4%，x2＝﹣2.414（舍去）．答：平均每年增长率为41.4%．（2）9×（1+41.4%）2≈17.995（亿）．∵17.995＞17，∴2020底全球支付宝用户数会超过17亿．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）在边长为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点A、B、C的坐标分别为（2，1）（5，0）（1，0）．（1）求证：△OAC∽△OBA；（2）在平面直角坐标系内找一点D（不与点B重合，使△OAD与△OAB全等，请直接写出所有可能的点D的坐标．【分析】（1）根据勾股定理得到OA＝＝，OC＝1，OB＝5，求得，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵OA＝＝，OC＝1，OB＝5，∴＝，＝，∴，∵∠AOC＝∠BOA，∴△OAC∽△OBA；（2）如图所示，△OAD即为所求，D（﹣3，1）．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定，正确的作出图形是解题的关键．18．（8分）法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2＝z2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解（x，y，z）叫做勾股数．如，（3，4，5）就是一组勾股数．（1）请你再写出两组勾股数：（6，8，10），（9，12，15）；（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n 表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2﹣1，z＝n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即a，y，z为勾股数），请你加以证明．【分析】（1）根据勾股数扩大相同的正整数倍仍是勾股数，可得答案；（2）根据勾股定理的逆定理，可得答案．【解答】解：（1）请你再写出两组勾股数：（6，8，10），（9，12，15），故答案为：6，8，10；9，12，15；（2）证明：x2+y2＝（2n）2+（n2﹣1）2＝4n2+n4﹣2n2+1＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝z2，即x，y，z为勾股数．【点评】本题考查了勾股数，利用了勾股数扩大相同的正整数倍仍然是勾股数．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）为开发大西北，某工程队承接高铁修筑任务，在山坡处需要修建隧道，为了测量隧道的长度，工程队用无人机在距地面高度为500米的C处测得山坡南北两端A、B的俯角分别为∠DCA＝45°、∠DCB＝30°（已知A、B、C三点在同一平面上），求隧道两端A、B的距离．（参考数据：≈1.73）【分析】作CM⊥AB于M，根据题意得出∠CAM＝∠DCA＝45°，∠CBM＝∠DCB＝30°，CM＝50﹣米，得出AM＝CM＝500米，BM＝500千米，即可得出结果．【解答】解：作CM⊥AB于M，如图所示：根据题意得：∠CAM＝∠DCA＝45°，∠CBM＝∠DCB＝30°，CM＝500米，则AM＝CM＝500米，BM＝CM＝500千米，则AB＝BM﹣AM＝（500﹣500）千米≈366千米；答：钓鱼岛南北两端A、B的距离约为366千米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣俯角；根据题意得出AM和BM的长是解题关键．20．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与双曲线y＝的一个交点为P（m，2）．（1）求k的值；（2）M（，a），N（n，b）是双曲线上的两点，直接写出当a＞b时，n 的取值范围．【分析】（1）将点P坐标代入两个解析式可求m，k的值；（2）根据反比例函数图象性质可求解．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与双曲线y＝的一个交点为P（m，2）．∴∴m＝1，k＝2；（2）∵k＝2，∴双曲线每个分支上y随x的增大而减小，当N在第一象限时，∵a＞b∴n ＞，当N在第三象限时，∴n＜0综上所述：n＞或n＜0．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数交点问题，函数图象的性质，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式．六、（本题满分12分）21．（12分）某校为了解学生每月零用钱情况，从七、八、九年级1200名学生中随机抽取部分学生，对他们今年4月份的零用钱支出情况进行调查统计并绘制成如下统计图表：请根据图表中所给的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中共随机抽取了40名学生，图表中的m＝16，n＝4；（2）请估计该校今年4月份零用钱支出在“30≤x＜40范围的学生人数；（3）在抽样的“节俭型”学生中，有2位男生和4位女生，校团委计划从中随机抽取两人参与“映山红”的公益活动，求恰好抽中一男一女的概率．【分析】（1）由x＜10的人数及其频率可得总人数，总人数乘以20≤x＜40的百分比，再减去20≤x＜30的人数即可得m的值，同理计算出n的值；（2）总人数乘以“30≤x＜40范围的学生人数对应比例；（3）列表得出所有等可能结果数，再利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）本次调查的总人数为2÷0.05＝40（人），m＝40×（1﹣15%+15%）﹣12＝16，n＝40×15%﹣2＝4，故答案为：40、12、4；（2）估计该校今年4月份零用钱支出在“30≤x＜40范围的学生人数约为1200×＝480（人）；（3）列表如下：所以恰好抽中一男一女的概率为＝．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，本题根据B组的人数与所占的百分比求解是解题的关键，也是本题的突破口．七、（本题满分12分）22．（12分）我国为了实现到2020年达到全面小康社会的目标，近几年加大了扶贫工作的力度，合肥市某知名企业为了帮助某小型企业脱贫，投产一种书包，每个书包制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万个）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，据统计当售价定为30元/个时，每月销售40万个，当售价定为35元/个时，每月销售30万个．（1）请求出k、b的值．（2）写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数解析式．（3）该小型企业在经营中，每月销售单价始终保持在25≤x≤36元之间，求该小型企业每月获得利润w（万元）的范围．【分析】（1）待定系数法求出k和b的值即可；（2）利用（售价﹣成本）乘以销售量等于利润可列式求解；（3）根据二次函数的顶点值，及顶点左右两侧增减变化的性质来求解即可．【解答】解：（1）由题意得：，解得．答：k的值为﹣2，b的值为100．（2）由题意得w＝（x﹣18）（﹣2x+100）＝﹣2x2+136x﹣1800，答：函数解析式为：w＝﹣2x2+136x﹣1800．（3）∵w＝﹣2x2+136x﹣1800＝﹣2（x﹣34）2+512，∴当x＝34时，w取最大值，最大值为512；当x＜34时，w随着x的增大而增大；当x＞34时，w随着x的增大而减小．∵当x＝25时，w＝﹣2×252+136×25﹣1800＝350；当x＝36时，w＝﹣2×362+136×36﹣1800＝504．综上，w的范围为350≤w≤512．答：该小型企业每月获得利润w（万元）的范围是350≤w≤512．【点评】本题属于二次函数的应用题，解题时需要明确利润与成本及销量的关系，求符合要求的值时需要结合二次函数对称轴左右两侧函数值的变化性质综合考虑求解．八、（本题满分14分）23．（14分）如图，在凸四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC+∠BCD＝240°．设∠ABC＝α．（1）利用尺规，以CD为边在四边形内部作等边△CDE．（保留作图痕迹，不需要写作法）（2）连接AE，判断四边形ABCE的形状，并说明理由．（3）求证：∠ADC＝α；（4）若CD＝6，取CD的中点F，连结AF，当∠ABC等于多少度时，AF最大，最大值为多少．（直接写出答案，不需要说明理由）．【分析】（1）①分别以C、D为圆心，以CD从为半径画弧，两弧交于点E，②连接DE、CE，△CDE即为所求；（2）由等边三角形的性质得出∠CDE＝∠CED＝∠DCE＝60°，DE＝CE＝CD，得出AB＝CE，∠ABC+∠BCE＝180°，证出AB∥CE，得出四边形ABCE 是平行四边形，即可得出结论；（3）连接AC，由菱形的性质得出AE＝CE＝DE，∠ABC＝∠AEC，得出点E 是△ACD的外接圆圆心，由圆周角定理得出∠AEC＝2∠ADC，即可得出结论；（4）当A、E、F三点共线时，AF的值最大＝AE+EF，由等边三角形的性质和勾股定理求出EF＝DF＝3，得出AF＝AE+EF＝6+3，求出∠ADC ＝75°，由（3）得：∠ABC＝2∠ADC＝150°即可．【解答】（1）解：如图1所示：①分别以C、D为圆心，以CD从为半径画弧，两弧交于点E，②连接DE、CE，△CDE即为所求；（2）解：如图2所示：四边形ABCE是菱形；理由如下：∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝∠DCE＝60°，DE＝CE＝CD，∵AB＝BC＝CD，∠ABC+∠BCD＝240°，∴AB＝CE，∠ABC+∠BCE＝240°﹣60°＝180°，∴AB∥CE，∴四边形ABCE是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCE是菱形；（3）证明：连接AC，如图3所示：∵四边形ABCE是菱形，∴AE＝CE＝DE，∠ABC＝∠AEC，∴点E是△ACD的外接圆圆心，∴∠AEC＝2∠ADC，∴∠ABC＝2∠ADC，∴∠ADC＝α；（4）解：如图4所示：当A、E、F三点共线时，AF的值最大＝AE+EF，∵△CDE是等边三角形，F是D的中点，∴EF⊥CD，DF＝3，∠DEF＝∠CED＝30°，∴EF＝DF＝3，∴AF＝AE+EF＝6+3，由（2）得：AE＝CE＝CD＝DE＝6，∴∠EAD＝∠EDA＝∠DEF＝15°，∴∠ADC＝15°+60°＝75°，由（3）得：∠ABC＝2∠ADC＝150°，∴当∠ABC等于150°时，AF最大，最大值为6+3．【点评】本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、平行线的判定、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质和圆周角定理，证明四边形ABCE是菱形是解题的关键．。
2019年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)-含详细解析
2019年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z满足，则z在复平面内的对应点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若集合，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B=（）A. B. C. D.3.已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=2x，且经过点P（，4），则双曲线的方程是（）A. B. C. D.4.在△ABC中，，则=（）A. B. C. D.5.则下列判断中不正确的是（）A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低6.将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A. 函数的图象关于点对称B. 函数的周期是C. 函数在上单调递增D. 函数在上最大值是17.已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP，则该椭圆离心率是（）A. B. C. D.8.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有（）A. 36种B. 44种C. 48种D. 54种9.函数f（x）=x2+x sinx的图象大致为（）A. B.C. D.10.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对11.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则n的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 1012.函数f（x）=e x-e1-x-b|2x-1|在（0，1）内有两个零点，则实数b的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2=3，S4=16，则数列{a n}的公差d=______．14.若，则cos2α+cosα=______．15.若a+b≠0，则的最小值为______．16.已知半径为4的球面上有两点A，B，，球心为O，若球面上的动点C满足二面角C-AB-O的大小为60o，则四面体OABC的外接球的半径为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A+sin2B+sin A sin B=2c sin C，△ABC的面积S=abc．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）求△ABC周长的取值范围．18.如图，三棱台ABC-EFG的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，CB=2GF，BF=CF．（Ⅰ）求证：AB⊥CG；（Ⅱ）若BC=CF，求直线AE与平面BEG所成角的正弦值．19.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？20.已知抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点M（m，9）到其焦点F的距离为10．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|•|BQ|的取值范围．21.已知函数f（x）=a（x+1）ln（x+1）-x2-ax（a＞0）是减函数．（Ⅰ）试确定a的值；（Ⅱ）已知数列{a n}，，T n=a1a2a3•…•a n（n∈N*），求证：＜．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2极坐标方程为ρ2=4ρsinθ-3．（Ⅰ）写出曲线C1和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若P，Q分别为曲线C1，C2上的动点，求|PQ|的最大值．23.已知f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）求f（x）≤1的解集；（Ⅱ）若f（x2）≥a|x|恒成立，求实数a的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵=，∴z在复平面内的对应点为（2，2），位于第一象限．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】C【解析】解：A={x|-2≤x＜1}，B={x|-1＜x＜2}；∴A∩B=（-1，1）．故选：C．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，分式不等式的解法，以及交集的运算．3.【答案】C【解析】解：双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=2x，可得=2，由双曲线经过点P（，4），可得-=1，解得a=，b=2，则双曲线的方程为-=1．故选：C．求得双曲线的渐近线方程可得=2，代入点P的坐标，可得a，b的方程组，解方程即可得到所求双曲线的方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：∵；∴；∴．故选：B．根据即可得出：，解出向量即可．考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．5.【答案】B【解析】解：根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为-0.48，是亏损的，A正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D正确．故选：B．根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项．本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，是基础题．6.【答案】C【解析】解：函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）=2sin（2x+）-1的图象，故：①函数g（x）的图象关于点对称，故选项A错误．②函数的最小正周期为π，故选项B错误．③当时，，所以函数的最大值取不到1．故选项D错误．故选：C．直接利用函数的图象的伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】D【解析】解：如图所示，以线段F1A为直径的圆的方程为：+y2=，化为：x2-（a-c）x+y2-ac0．直线F1B的方程为：bx-cy+bc=0，联立，解得P．k AP=，=-．∵F2B∥AP，∴=-，化为：e2=，e∈（0，1）．解得．另解：F1A为圆的直径，∴∠F1PA=90°．∵F2B∥AP，∴∠F1BF2=90°．∴2a2=（2c）2，解得e=．故选：D．如图所示，以线段F1A为直径的圆的方程为：+y2=，化为：x2-（a-c）x+y2-ac0．直线F1B的方程为：bx-cy+bc=0，联立解得P点坐标，利用F2B∥AP，及其斜率计算公式、离心率计算公式即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率与离心率计算公式、圆的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：根据题意，任务A必须排在前三项执行，分3种情况讨论：①，任务A排在第一位，则E排在第二位，将剩下的2项任务全排列，排好后有3个空位，将B、C安排在3个空位中，有A22A32=12种不同的执行方案，②，任务A排在第二位，则E排在第三位，BC的安排方法有4×A22=8种，将剩下的2项任务全排列安排在剩下位置，有A22=2种安排方法，则有8×2=16种安排方法，③，任务A排在第三位，则E排在第四位，BC的安排方法有4×A22=8种，将剩下的2项任务全排列安排在剩下位置，有A22=2种安排方法，则有8×2=16种安排方法，则不同的执行方案共有12+16+16=44种；故选：B．根据题意，分3种情况讨论：①，任务A排在第一位，则E排在第二位，②，任务A排在第二位，则E排在第三位，③，任务A排在第三位，则E排在第四位，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，注意优先分析受到限制的元素，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：函数f（x）=x2+xsinx是偶函数，关于y轴对称，故排除B，令g（x）=x+sinx，∴g′（x）=1+cosx≥0恒成立，∴g（x）在R上单调递增，∵g（0）=0，∴f（x）=xg（x）≥0，故排除D，当x＞0时，f（x）=xg（x）单调递增，故当x＜0时，f（x）=xg（x）单调递减，故排除C．故选：A．根据函数的奇偶性排除B，再根据函数的单调性排除C，D，问题得以解决．本题考查了函数图象识别和应用，考查了导数和函数单调性的关系，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：根据几何体得到：平面SAD⊥平面SCD，平面SBC⊥平面SCD，平面SCD⊥平面ABCD，平面SAD⊥平面SBC．故选：C．首先把三视图转换为几何体，进一步利用面面垂直的判定的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，面面垂直的判定定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.【答案】D【解析】解：由题意可得第n层的货物的价格为a n=n•（）n-1，设这堆货物总价是S n=1•（）0+2•（）1+3•（）2+…+n•（）n-1，①，由①×可得S n=1•（）1+2•（）2+3•（）3+…+n•（）n，②，由①-②可得S n=1+（）1+（）2+（）3+…+（）n-1-n•（）n=-n•（）n=10-（10+n）•（）n，∴S n=100-10（10+n）•（）n，∵这堆货物总价是万元，∴n=10，故选：D．由题意可得第n层的货物的价格为a n=n•（）n-1，根据错位相减法求和即可求出．本题考查了错位相减法求和，考查了运算能力，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：f（x）=e x-e1-x-2b|x-|，设t=x-，则x=t+，∵0＜x＜1，∴-＜t＜，则函数f（x）等价为y=--2b|t|，即等价为y=--2b|t|在-＜t＜上有两个零点，即-=2b|t|有两个根，设h（t）=-，则h（-t）=-=-（-）=-h（t），即函数h（t）是奇函数，则h′（t）=+＞0，即函数h（t）在-≤t≤上是增函数，h（0）=0，h（）=e-1，h（-）=1-e，当0≤t≤，若b=0，则函数f（x）只有一个零点，不满足条件．若b＞0，则g（t）=2bx，设过原点的直线g（t）与h（t）相切，切点为（a，-），h′（t）=+，即h′（a）=+，则切线方程为y-（-）=（+）（x-a），切线过原点，则-（-）=-a（+），即-+=-a-a，则（a+1）=（-a+1），得a=0，即切点为（0，0），此时切线斜率k=h′（0）==2若2=2b，则b==，此时切线y=2x与h（t）相切，只有一个交点，不满足条件．当直线过点（，e-1）时，e-1=2b×=b，此时直线g（t）=2（e-1）x，要使g（t）与h（t）有两个交点，则＜b＜e-1，当b＜0时，t＜0时，g（t）=-2bx，由-2b=2得b=-，当直线过点（-，1-e）时，1-e=-2b（-）=b，要使g（t）与h（t）有两个交点，则1-e＜b＜-，综上1-e＜b＜-或＜b＜e-1，即实数b的取值范围是，故选：D．利用换元法设t=x-，则函数等价为y=--2b|t|，条件转化为-=2b|t|，研究函数的单调性结合绝对值的应用，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象问题是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．13.【答案】2【解析】解：由a2=3，S4=16，∴a1+d=3，4a1+6d=16，联立解得a1=1，d=2，故答案为：2．利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.【答案】【解析】解：∵，∴cosα=，则cos2α+cosα=2cos2α-1+cosα=2×-1+=-，故答案为：-．根据三角函数的诱导公式求出cosα的值，结合二倍角公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用诱导公式以及二倍角公式是解决本题的关键．15.【答案】【解析】解：根据题意，若a+b≠0，即a≠-b，则有a2+b2≥，则≥+≥2=，即的最小值为；故答案为：根据题意，由基本不等式的性质可得a2+b2≥，进而可得≥+，结合基本不等式的性质分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是构造基本不等式成立的条件．16.【答案】【解析】解：如图，设A，B，C所在球小圆为圆O′，取AB中点E，连接OE，O′E，则∠OEO′即为二面角C-AB-O的平面角，为60°，由OA=OB=4，AB=，得△AOB为等腰直角三角形，∴OE=，∴，，∴，设O-ABC的外接球球心为M，半径为r，利用Rt△BO′M列方程得：，解得：r=．故答案为：．由球面动点C想到以O为顶点，以A，B，C所在球小圆O′为底面的圆锥，作出图形，取AB中点E，∠OEO′=60°，进而求得高和底面半径，列方程求解不难．此题考查了圆锥外接球，二面角等，综合性较强，难度较大．17.【答案】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由，可知：2c=sin C，∴sin2A+sin2B+sin A sin B=sin2C．由正弦定理得a2+b2+ab=c2．∴由余弦定理得，∴．…………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知2c=sin C，∴2a=sin A，2b=sin B．∴△ABC的周长为=∵∈，，∴∈，，∴∈，，∴△ABC的周长的取值范围为，．……………………………（12分）【解析】（Ⅰ）由已知利用三角形的面积公式可得2c=sinC，由正弦定理化简已知等式可得a2+b2+ab=c2．由余弦定理得，即可得解C的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知2c=sinC，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得a+b+c=sin（A+）+，由范围，可求，利用正弦函数的图象和性质可求△ABC的周长的取值范围．本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】证明：（Ⅰ）取BC的中点为D，连结DF．由ABC-EFG是三棱台得，平面ABC∥平面EFG，从而BC∥FG．∵CB=2GF，∴，∴四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF．∵BF=CF，D为BC的中点，∴DF⊥BC，∴CG⊥BC．∵平面ABC⊥平面BCGF，且交线为BC，CG⊂平面BCGF，∴CG⊥平面ABC，而AB⊂平面ABC，∴CG⊥AB．解：（Ⅱ）连结AD．由△ABC是正三角形，且D为中点得，AD⊥BC．由（Ⅰ）知，CG⊥平面ABC，CG∥DF，∴DF⊥AD，DF⊥BC，∴DB，DF，DA两两垂直．以DB，DF，DA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．设BC=2，则A（，，），E（，，），B（1，0，0），G（-1，，0），∴，，，，，，，，．设平面BEG的一个法向量为，，．由可得，，．令，则y=2，z=-1，∴，，．设AE与平面BEG所成角为θ，则直线AE与平面BEG所成角的正弦值为＜，＞．【解析】（Ⅰ）取BC的中点为D，连结DF，推导出四边形CDFG为平行四边形，从而CG∥DF，DF⊥BC，CG⊥BC．进而CG⊥平面ABC，由此能证明CG⊥AB．（Ⅱ）连结AD．由△ABC是正三角形，且D为中点得，AD⊥BC．由CG⊥平面ABC，CG∥DF，DF⊥AD，DF⊥BC，以DB，DF，DA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz．利用向量法能求出直线AE与平面BEG所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）X所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6．，，，，，，，（Ⅱ）选择延保方案一，所需费用元的分布列为：（元）．选择延保方案二，所需费用Y元的分布列为：（元）．∵EY1＞EY2，∴该医院选择延保方案二较合算．【解析】（Ⅰ）X所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）选择延保方案一，求出所需费用Y1元的分布列和数学期望，选择延保方案二，求出所需费用Y2元的分布列和数学期望，由此能求出该医院选择延保方案二较合算．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）已知M（m，9）到焦点F的距离为10，则点M到其准线的距离为10．∵抛物线的准线为，∴，解得，p=2，∴抛物线的方程为x2=4y．…………………………（5分）（Ⅱ）由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，因为F（0，1），则l：y=kx+1．设A（，），B（x2，），由消去y得，x2-4kx-4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=-4．由于抛物线C也是函数的图象，且，则：．令y=0，解得，∴P，，从而．同理可得，∴=．∵k2≥0，∴|AP|•|BQ|的取值范围为[2，+∞）．……………………………（12分）【解析】（Ⅰ）可得抛物线的准线为，∴，解得，p=2，即可得抛物线的方程．（Ⅱ）设l：y=kx+1．设A（），B（x2，），可得．．同理可得，，即可得|AP|•|BQ|的取值范围．本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题21.【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（-1，+∞），f′（x）=a ln（x+1）-2x．由f（x）是减函数得，对任意的x∈（-1，+∞），都有f′（x）=a ln（x+1）-2x≤0恒成立．设g（x）=a ln（x+1）-2x．∵，由a＞0知，＞，∴当∈，时，g'（x）＞0；当∈，时，g'（x）＜0，∴g（x）在，上单调递增，在，上单调递减，∴g（x）在时取得最大值．又∵g（0）=0，∴对任意的x∈（-1，+∞），g（x）≤g（0）恒成立，即g（x）的最大值为g（0）．∴，解得a=2；（Ⅱ）由f（x）是减函数，且f（0）=0可得，当x＞0时，f（x）＜0，∴f（n）＜0，即2（n+1）ln（1+n）＜n2+2n．两边同除以2（n+1）2得，＜，即＜．从而＜，∴＜①．下面证＜．记，x∈[1，+∞）．∴，∵在[2，+∞）上单调递增，∴h'（x）在[2，+∞）上单调递减，而＜，∴当x∈[2，+∞）时，h'（x）＜0恒成立，∴h（x）在[2，+∞）上单调递减，即x∈[2，+∞），h（x）≤h（2）=2ln4-ln3-3ln2=ln2-ln3＜0，∴当n≥2时，h（n）＜0．∵＜，∴当n∈N*时，h（n）＜0，即＜②．综上①②可得，＜．【解析】（Ⅰ）求出原函数的定义域，求出原函数的导函数，把f（x）是定义域内的减函数转化为f′（x）=aln（x+1）-2x≤0恒成立．再利用导数求得导函数的最大值，由最大值等于0求得a值；（Ⅱ）由f（x）是减函数，且f（0）=0可得，当x＞0时，f（x）＜0，得到f（n）＜0，即2（n+1）ln（1+n）＜n2+2n．两边同除以2（n+1）2得，，即．得到T n＜，则．然后利用导数证明即可．本题考查利用导数求函数的最值，训练了利用导数证明数列不等式，考查化归与转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=4y-3，即x2+（y-2）2=1．…………………………（5分）（Ⅱ）设P点的坐标为（2cosθ，sinθ）．|PQ|≤|PC2|+1=，当时，|PQ|max=．…………………………（10分）【解析】（Ⅰ）根据平方关系式可得C1的直角坐标方程，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的直角坐标方程；（2）|PQ|的最大值为C1上的点到圆心C2的最大值加上半径．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）≤1得|3x+2|≤1，所以-1≤3x+2≤1，解得，所以，f（x）≤1的解集为，．…………………………（5分）（Ⅱ）f（x2）≥a|x|恒成立，即3x2+2≥a|x|恒成立．当x=0时，a∈R；当x≠0时，．因为（当且仅当，即时等号成立），所以，即a的最大值是．…………………………（10分）【解析】（Ⅰ）去掉绝对值，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为，根据基本不等式的性质求出a的最大值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道常规题．。
安徽省合肥市2019届高三第二次模拟考试理科数Word版含答案
安徽省合肥市2019届高三第二次模拟考试理科数一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集，集合，则（）A.[2，3）B.（2，4）C.(3，4]D.(2，4]2.复数，则等于（）A. B. C. D.3.设中变量x，y满足条件，则z的最小值为（）A. B. C. D.4.已知数列{ a n}的前n项和为S n ，点( n，S n)在函数f( x)=的图象上，则数列{ a n} 的通项公式为（）A. B. C. D.5.过点引直线与圆相交于两点，为坐标原点，当面积取最大值时，直线的斜率为 ( ）A. B. C. D.6.将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（）A.24种B.28种C.32种D.16种7.下列四个结论：①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若是周期函数，则不是三角函数”；②命题“”的否定是“③在中，“”是“”的充要条件；④当时，幂函数在区间上单调递减．其中正确命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个8.阅读如图所示的程序框图，若输入m=2016，则输出S等于（）A.10072B.10082C.10092D.201029.已知函数满足对恒成立，则函数（）A.一定为奇函数B.一定为偶函数C.一定为奇函数D.一定为偶函数10.已知函数若函数只有一个零点，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.11.已知一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是等腰梯形，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.12.如图，已知点为的边上一点，，为边的一列点，满足，其中实数列中，，则的通项公式为（）A. B. C. D.二、填空题(本大题共1小题，共5.0分)13.函数在区间上的最大值是.14.设常数，的二项展开式中项的系数为40，记等差数列的前n项和为，已知，，则．15.已知，抛物线的焦点为，直线经过点且与抛物线交于点，且，则线段的中点到直线的距离为.16.已知函数，存在，，则的最大值为( ).三、解答题(本大题共8小题，共96.0分)17.(本小题满分12分)在中，边分别是内角所对的边，且满足，设的最大值为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当为的中点时，求的长．18.（本小题满分 12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为．（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间内的产品件数为，求的分布列与数学期望．19.（本小题满分12分）已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC ＝∠ACD＝90°，∠EAC＝60°，AB＝AC＝AE.（Ⅰ）若P是BC的中点，求证：DP∥平面EAB．（Ⅱ）求平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角θ的余弦值．20.（本小题满分12分）已知点，P是上任意一点，P在轴上的射影为，,动点的轨迹为C，直线与轨迹交于，两点，直线，分别与轴交于点，．（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）以为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数 .(Ⅰ)时，求的单调区间和极值；(Ⅱ)时，求的单调区间( III )当时，若存在，使不等式成立，求的取值范围.22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程．已知直线为参数), 曲线（为参数）.(Ⅰ)设与相交于两点,求；(Ⅱ)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线 ,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．设函数．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若对任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围．安徽省合肥市2019届高三第二次模拟考试理科数答案1. 【分析】本题主要考查了交集的运算，首先化简两个集合，再利用补集与交集的运算法则计算出结果.【解答】解：由题意得：A={y|2≤y≤4}，B={x|3≤x≤4}.则={x|2≤x＜3}.故选A.2. 【分析】本题主要考查了复数的运算，首先利用复数的运算法则把z化简为最简结果，再利用求模公式计算出结果.【解答】解：.故答案为B.3. 【分析】本题主要考查了线性规划的基本运算,由直线交点计算出结果即可.【解答】解：的最小值，即求2x+y的最小值，当取K点时为最小值，平移直线y=-2x到K（1,1）时取得最小值为2x+y=2+1=3,即Z最小值=8.故选C.4. 【分析】本题主要考查了定积分的运算和数列的知识，首先由定积分的知识求出f（x）的函数关系式，再利用数列的前n项和与通项公式之间的关系求解.【解答】解：∵f( x)= =，∴当n=1时，.当n≥2时，.当n=1时不符合上式.则.故选D.5. 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，利用基本不等式求出当圆心到直线的距离为1时，三角形的面积最大，从而利用点到直线的距离求解.【解答】解：由题意可知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y=k（x-2）.则圆心到直线l的距离d=.S=.当且仅当，即时取等号.∴=1.解得：k=.故选C.6. 【分析】不同主要考查了组合的应用.把给出的问题分为两类：其中一位同学得到两本小说，其中一位同学得到1本小说和1本诗集，进而解答此题.【解答】解：因为没命同学至少1本书，则一定有两个同学得到两本书，这两本书可能是2本小说，也可能是1本小说和1本诗集，则不同的分法为.故选D.7. 【分析】本题主要考查了命题的真假的判定. ①用否命题的定义进行判定；②根据特称命题的否定是全称命题进行判定；③在由三角形的性质进行判定；④由幂函数的性质进行判定.【解答】解：①命题“若f（x）是周期函数，则f（x）是三角函数”的否命题是“若f （x）不是周期函数，则f（x）不是三角函数”，故①错误；②命题“”的否定是“对于任意x∈R，x2-x-1≥0”，故②正确；③在△ABC中，“sin A＞sin B”等价为a＞b，等价为“A＞B”，则，“sin A＞sin B”是“A＞B”成立的充要条件，故③正确．④当时，幂函数在区间上单调递减，是正确的.则正确命题的个数为3.故选C.8. 【分析】本题主要考查了程序框图与算法的循环结构，由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：第一次执行循环体，S=1，不满足退出循环的条件，i=3；第二次执行循环体，S=4，不满足退出循环的条件，i=5；第三次执行循环体，S=9，不满足退出循环的条件，i=7；…第n次执行循环体，S=n2，不满足退出循环的条件，i=2n+1；…第1008次执行循环体，S=10082，不满足退出循环的条件，i=2017；第1009次执行循环体，S=10092，满足退出循环的条件，故输出的S值为：10092故选C.9. 【分析】本题主要考查的是三角函数的图像与性质.利用已知的等式确定出的一条对称轴.从而利用“左加右减，上加下减”的平移规律，以及偶函数的定义进行解答.【解答】解：由条件可知，即的一条对称轴.又是由向左平移个单位得到的，所以关于对称，即为偶函数.应选D.10. 【分析】本题主要考查了函数的零点的知识，分析已知的条件，把方程的零点的问题转化为两个函数的交点的问题，从而求出a的取值范围.【解答】解：∵只有一个零点，∴方程只有一个根，∴函数y＝f(x)与y＝x＋a的图象只有一个交点，函数图象如下所示：由图象可知 .故选B.11. 【分析】本题主要考查了由三视图由体积的知识.由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，分别求出相应的体积，相减可得答案. 【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，棱台的上下底面的棱长为2和4，故棱台的上下底面的面积为4和16，故选C.12. 【分析】本题主要考查了向量以及数列的知识.由向量的运算法则得出，证明{a n+1}是以2为首项，3为公比的等比数列，即可得出结论.【解答】故选D.13本题主要考查了导数的应用.利用导数确定出函数的单调区间，进而求出最大值.【解答】解：∵，∴y′=1-2sinx.所以，故答案为.14【解答】故答案为10.15可得，从而求出线段AB的中点到直线的距离. 【解答】解：故答案为.16【解答】解：故答案为.17. 解：（Ⅰ）由题设及正弦定理知，，即. 由余弦定理知，，在上单调递减，的最大值.（2）根据题意：利用余弦定理又因为D是AC的中点，所以AD等于，所以18. 解：（Ⅰ）设区间内的频率为，则区间，内的频率分别为和依题意得解得．所以区间内的频率为．（Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以服从二项分布，其中．由（Ⅰ）得，区间内的频率为，将频率视为概率得因为的所有可能取值为0，1，2，3，且，，，．所以的分布列为：所以的数学期望为．19. 证明：（1）取AB的中点F连接DP、PF、EF，则FP∥AC，.取AC的中点M，连接EM、EC，∵AE=AC且∠EAC=60°，∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．∴四边形EMCD为矩形，∴.∴ED∥FP且ED=FP，四边形EFPD是平行四边形．∴DP∥EF，而EF⊂平面EAB，DP⊄平面EAB，∴DP∥平面EAB．（2）过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG，∵ED∥AC，∴ED∥l，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，又∵l⊂平面ABC，∴l⊥平面DGC，∴l⊥DG，∴∠DGC是所求二面角的平面角．20. 解：（Ⅰ）设, ∴,∵.∴∵P在上，∴所以轨迹的方程为．（Ⅱ）因为点的坐标为因为直线与轨迹C于两点，，设点（不妨设），则点．联立方程组消去得．所以，则．所以直线的方程为．因为直线，分别与轴交于点，，令得，即点．同理可得点．所以．设的中点为，则点的坐标为．则以为直径的圆的方程为，即．令，得，即或．故以为直径的圆经过两定点，．21. 解：（Ⅰ）时，令解得，当时，当时，所以的单调递减区间是，单调递增区间是；所以的极小值是，无极大值；（ II ）① 当时，，令解得：，或.令解得：，所以当时，的单调递减区间是，，单调递增区间是；② 当时，，在上单调递减；③ 当时，，令解得：，或令解得：，所以当时，的单调递减区间是，，单调递增区间是；( III )由（ II ）知，当时，在上单调递减.所以，因为存在，使不等式成立，所以，即整理得，因为，所以所以，所以，的取值范围是.22. 解：（I）的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为, ,则.（II）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是,由此当时, 取得最小值,且最小值为.23. 解：（Ⅰ）当时，等价于．①当时，不等式化为，无解；②当时，不等式化为，解得；③当时，不等式化为，解得．综上所述，不等式的解集为．（Ⅱ）因为不等式的解集为空集，所以因为，当且仅当时取等号．所以．因为对任意，不等式的解集为空集，所以令，所以．当且仅当，即时等号成立所以．所以的取值范围为．。
安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学试卷(文)(含解析)
安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学试题（文）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为集合，，所以，故选C.2.若复数满足，则（）A. 1B.C. 2D.【答案】D【解析】因为，所以，则，故选D.3.若双曲线的焦点到渐近线的距离是2，则的值是（）A. 2B.C. 1D. 4【答案】A【解析】双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，所以焦点到其渐近线的距离，故选A.4.在中，，若，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，，，所以，故选A.5.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比净利润占比则下列判断中不正确．．．的是（）A. 该公司2018年度冰箱类电器营销亏损B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】B【解析】因为冰箱类电器净利润占比为负的，所以选项A正确；因为营业收入-成本=净利润，该公司2018年度小家电类电器营业收入占比和净利润占比相同，而分母不同，所以该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润不可能相同，故选项B错误；由于小家电类和其它类的净利润占比很低，冰箱类的净利润是负值，而空调类净利润占比达到，故该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供，即选项C正确；因为该公司2018年度空调类电器销售净利润不变，而剔除冰箱类电器销售数据后，总利润变大，故2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，即选项D正确。
故答案为B.6.若在所围区域内随机取一点，则该点落在所围区域内的慨率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式表示的区域是半径为1的圆，面积为，且满足不等式表示的区域是边长为的正方形，面积为，在所围区域内随机取一点，则该点落在所围区域内的慨率，故选B.7.我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是（）（注：1丈=10尺）A. 1946立方尺B. 3892立方尺C. 7784立方尺D. 11676立方尺【答案】B【解析】由题意可知正四棱锥的高为30.所截得正四棱台的下底面棱长为20，上底面棱长为6，设棱台的高为，由可得，解得，可得正四棱台体积为，故选B.8.将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A. 函数的图象关于点对称B. 函数的周期是C. 函数在上单调递增D. 函数在上最大值是1【答案】C【解析】将函数横坐标缩短到原来的后，得到，当时，，即函数的图象关于点对称，故选项A错误；周期，故选项B错误；当时，，所以函数在上单调递增，故选项C正确；因为函数在上单调递增，所以，即函数在上没有最大值，故选项D错误。
2019届安徽省中考数学二模试卷 (原卷版+解析版)
安徽省2019年中考二模数学模拟试题及答案一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1.的相反数是( )A. B. C. D.2.用百度搜索关键词“北京大学”，百度找到相关结果约39700000个，把数据39700000用科学记数法表示为( )A. 3.97×105B. 39.7×108C. 3.97×107D. 3.97×1093.下列各式计算正确的是( )A.m2+m3=m5B. m2·m3=m6C. (mn2)3=mn6D. m10÷m5=m54.如图是由几个相同小正方体组成的立体图形的俯视图，图上的数字表示该位置上方小正方体的个数，这个立体图形的左视图是( )A. B. C. D.5.下列各式因式分解正确的是( )A. a2+4ab+4b2=(a+4b)2B. 2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2C. 3a2-12b2=3(a+4b)(a-4b)D. a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)6.如图，∠ABD是△ABC的外角，BE平分∠ABD，若∠A=90°，∠C=40°，则∠EBD等于( )A.40°B. 60°C. 65°D. 75°7.甲、乙两人参加射击比赛，每人射击五次，命中的环数如下表：根据以上数据，下列说法正确的是( )A. 甲的平均成绩大于乙B. 甲、乙成绩的中位数不同C. 甲、乙成绩的众数相同D. 甲的成绩更稳定8.某花卉培育基地2018年郁金香产量为4万株，预计2020年郁金香产量达到6万株，求郁金香产量的年平均增长率.设郁金香产量的年平均增长率为x，则可列方程为( )A. 4(1+x)2=6B. 4(1-x)2=6C. 4(1+2x)=6D. 4(1+x2)=69.如图，二次函数y=ax2-bx的图象开口向上，且经过第二象限的点A.若点A的横坐标为-1，则一次函数y=(a+b)x+b的图象大致是( )A. B. C. D.10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E均在边AB上，且∠DCE=45°，若AD=1，BE=3，则DE的长为( )A. 3B. 4C.D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.方程的解是___________________________.12.如图，点A、C、D在⊙O上，AB是⊙O的切线，A为切点，OC的延长线交AB于点B，∠ABO=45°，则∠D=_______.13.如图，双曲线y=上有一点A，过A作AB⊥x轴于B，已知OB=3，△AOB≌△BDC，若反比例函数图象恰好经过BD的中点E，则k=____________.14.如图，在□ABCD中，∠A=60°，AB=8，AD=6，点E、F分别是边AB、CD上的动点，将该四边形沿折痕EF翻折，使点A落在边BC的三等分点处，则AE的长为____________.三、解答题15.计算：.16.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房.求该店有客房多少间？房客多少人？17.在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标是(4，4)，请解答下列问题：(1)将△ABC向左平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标；(2)以点O为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1位似，且位似比为1∶1，并直接写出点A2的坐标.18.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，设△ABC的面积为S.(1)填表：(2)观察上表，试用含m、n的代数式表示S；(3)证明(2)中的结论19.如图，斜坡AC，坡顶A到水平地面BC的距离AB为3m，坡长AC为5m，在A处、C处分别测得CD 顶部点D的仰角为45°、60°，求CD的长(结果保留根号)20.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AD，过点O作OF⊥AD于F，若CD=4cm，BE=1cm，求OF的长.21.“不出城郭而获山水之怡，身居闹市而有林泉之致”，合肥市某区不断推进“园林城市”建设，今春种植了四类花苗，园林部门从种植的这批花苗中随机抽取了2000株，将四类花苗的种植株数绘制成扇形统计图，将四类花苗的成活株数绘制成条形统图.经统计这批2000株的花苗总成活率为90%，其中玉兰和月季的成活率较高，根据图表中的信息解答下列问题：(1)扇形统计图中玉兰所对的圆心角为，并补全条形统计图；(2)该区今年共种植月季8000株，成活了约株；(3)园林部门决定明年从这四类花苗中选两类种植，请用列表法或画树状图求恰好选到成活率较高的两类花苗的概率.22.如图，已知点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，)在抛物线y=ax2+bx+c 上.(1)求抛物线解析式；(2)在第一象限的抛物线上求一点P，使△PBC的面积为.23.如图1，已知等边△ABC中，动点P、Q分别从点A、B出发，以同样速度沿边AB、BC向终点B、C运动.D为AC中点，AQ、CP交于点O，连接OB、OD.(1)∠AOP的度数是 .(2)如图2，当点P运动到AB边的中点时，求证：OB=2OD；(3)若点P不在中点时，OB=2OD还成立吗?请说明理由.安徽省2019年中考二模数学模拟试题及答案一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1.的相反数是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号．【详解】的相反数是.故选B.【点睛】本题主要考查互为相反数的概念．只有符号不同的两个数互为相反数．2.用百度搜索关键词“北京大学”，百度找到相关结果约39700000个，把数据39700000用科学记数法表示为( )A. 3.97×105B. 39.7×108C. 3.97×107D. 3.97×109【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】把39700000这个数用科学记数法表示为3.97×107．故选C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.下列各式计算正确的是( )A. m2+m3=m5B. m2·m3=m6C. (mn2)3=mn6D. m10÷m5=m5【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项、幂的乘方和积的乘方进行计算即可．【详解】A、m2+m3，不能合并，故A错误；B、m2•m3=m5，故B错误；C、(mn2)3=m3n6，故C错误；D、m10÷m5=m5，故D正确；故选D．【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握合并同类项、幂的乘方和积的乘方的运算法则是解题的关键．4.如图是由几个相同小正方体组成的立体图形的俯视图，图上的数字表示该位置上方小正方体的个数，这个立体图形的左视图是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】根据该几何体中小正方体的分布知，其左视图共2列，第1列有1个正方形，第2列有3个正方形，故选B．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．5.下列各式因式分解正确的是( )A. a2+4ab+4b2=(a+4b)2B. 2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2C. 3a2-12b2=3(a+4b)(a-4b)D. a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式写成几个因式的积的形式进行判断即可．【详解】a2+4ab+4b2=(a+2b)2，故选项A不正确；2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2不是因式分解，B不正确；3a2-12b2=3(a+2b)(a-2b)，故选项C不正确；a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)是因式分解，D正确，故选D．【点睛】本题考查的是因式分解的概念，把一个多项式写成几个因式的积的形式叫做因式分解，在判断一个变形是否是因式分解时，看是否是积的形式即可．6.如图，∠ABD是△ABC的外角，BE平分∠ABD，若∠A=90°，∠C=40°，则∠EBD等于( )A. 40°B. 60°C. 65°D. 75°【答案】C【解析】【分析】根据三角形外角性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出即可．【详解】∵∠A=90°，∠C=40°，∴∠ABD=∠A+∠C=90°+40°=130°，∵BE平分∠ABD，∴∠EBD=∠ACD=65°，故选C．【点睛】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，能熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键．7.甲、乙两人参加射击比赛，每人射击五次，命中的环数如下表：根据以上数据，下列说法正确的是( )A. 甲的平均成绩大于乙B. 甲、乙成绩的中位数不同C. 甲、乙成绩的众数相同D. 甲的成绩更稳定【答案】D【解析】【分析】根据已知条件中的数据计算出甲、乙的方差，中位数和众数后，再进行比较即可．【详解】把甲命中的环数按大小顺序排列为：6，6，7，8，8，故中位数为7；把乙命中的环数按大小顺序排列为：5，6，7，7，10，故中位数为7；∴甲、乙成绩的中位数相同，故选项B错误；根据表格中数据可知，甲的众数是8环，乙的众数是7环，∴甲、乙成绩的众数不同，故选项C错误；甲命中的环数的平均数为：（环），乙命中的环数的平均数为：（环），∴甲的平均数等于乙的平均数，故选项A错误；甲的方差=[(6−7)2+(7−7)2+(8−7)2+(6−7)2+(8−7)2]=0.8；乙的方差=[(5−7)2+(10−7)2+(7−7)2+(6−7)2+(7−7)2]=2.8，因为2.8＞0.8，所以甲的稳定性大，故选项D正确.故选D.【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．同时还考查了众数的中位数的求法.8.某花卉培育基地2018年郁金香产量为4万株，预计2020年郁金香产量达到6万株，求郁金香产量的年平均增长率.设郁金香产量的年平均增长率为x，则可列方程为( )A. 4(1+x)2=6B. 4(1-x)2=6C. 4(1+2x)=6D. 4(1+x2)=6【答案】A【解析】【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从4万株增加到6万株”，即可得出方程．【详解】由题意知，设郁金香产量的年平均增长率x，根据2018年郁金香产量为4万株，预计2020年郁金香产量达到6万株，2020年郁金香产量达到4（1+x）（1+x）吨，预计2020年郁金香产量达到6万株，即：4(1+x)2=6．故选A．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2018年和2020的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．9.如图，二次函数y=ax2-bx的图象开口向上，且经过第二象限的点A.若点A的横坐标为-1，则一次函数y=(a+b)x+b的图象大致是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a+b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．【详解】由二次函数的图象可知，a>0，b＜0，当x=-1时，y=a+b>0，∴y=（a+b）x+b的图象在第一、三、四象限，故选D．【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E均在边AB上，且∠DCE=45°，若AD=1，BE=3，则DE的长为( )A. 3B. 4C.D.【答案】C【解析】【分析】以点C为旋转中心，将△ADC顺时针旋转90°，连结EF，如图，先根据等腰直角三角形的性质得∠A=∠ABC=45°，再根据旋转的性质得CD=CF，BF=AD=2，∠DCF=90°，∠CBF=∠A=45°，则可根据“SAS”判断△DCE≌△FCE，得到DE=FE，设ED=x，则BE=4-x，由（2）的证明得到EF=DE=x，BF=AD=1，然后在Rt△BEF中利用勾股定理得到12+（4-x）2=x2，再解方程即可．【详解】以点C为旋转中心，将△ADC顺时针旋转90°，连结EF，如图，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠ABC=45°，∵△ADC顺时针旋转90°得到△BCF，∴CD=CF，BF=AD=1，∠DCF=90°，∠CBF=∠A=45°，∵∠DCE=45°，∴∠FCE=45°，在△DCE和△FCE中，∴△DCE≌△FCE，∴DE=FE，在△BEF中，∵∠EBC=45°，∠CBF=45°，∴∠EBF=90°，∴EF=，∴DE=．故选C.【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．本题的关键是把AD、DE、BE利用旋转组成一个直角三角形．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.方程的解是___________________________.【答案】【解析】【分析】去分母化为整式方程，再求解．【详解】去分母得：1=2（x-1）．解得：．经检验：是原方程的根．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12.如图，点A、C、D在⊙O上，AB是⊙O的切线，A为切点，OC的延长线交AB于点B，∠ABO=45°，则∠D=_______.【答案】22.5°【解析】【分析】先根据切线的性质求出∠AOC的度数，再根据三角形内角和定理求出∠AOB的度数，由圆周角定理即可解答．【详解】∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB，∵∠ABO=45°，∴∠AOB=90°-45°=45°，∴∠ADC=∠AOB=×45°=22.5°，故答案为：22.5°．【点睛】本题考查了圆的切线性质、圆心角和圆周的关系及解直角三角形的知识，熟记切线的性质是解题的关键．13.如图，双曲线y=上有一点A，过A作AB⊥x轴于B，已知OB=3，△AOB≌△BDC，若反比例函数图象恰好经过BD的中点E，则k=____________.【答案】6【解析】【分析】过E作EF⊥BD于F，于是得到EF∥CD得到，根据E是BD的中点，得到BF=FC，EF=DC，设AB=a，根据全等三角形的性质得到BC=a，CD=OB=3，于是得到D（3+a，3），A（3，a），根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论．【详解】过E作EF⊥BD于F，则EF∥CD，∴，∵E是BD的中点，∴BF=FC，EF=DC，设AB=a，∵OB=3，△AOB≌△BDC，∴BC=a，CD=OB=3，D（3+a，3），A（3，a），∴反比例函数的解析式为y=，∴E（3+，），∵反比例函数图象点E，∴（3+）×=3a，∵解得：a=2，∴3a=6，∴k=3a=6，故答案为：6.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．14.如图，在□ABCD中，∠A=60°，AB=8，AD=6，点E、F分别是边AB、CD上的动点，将该四边形沿折痕EF翻折，使点A落在边BC的三等分点处，则AE的长为____________.【答案】或【解析】【分析】设点A落在BC边上的A′点，分两种情况：①当A′C=BC=2时；②如图2，当A′B=BC=2时，过A′点作AB延长线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理即可．【详解】设点A落在BC边上的A′点．①如图1，当A′C=BC=2时，A′B=4，设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．过A′点作A′M垂直于AB，交AB延长线于M点，在Rt△A′BM中，∠A′BM=60°，∴BM=2，A′M=2．在Rt△A′EM中，利用勾股定理可得：x2=（10-x）2+12，解得x=．即AE=；②如图2，当A′B=BC=2时，设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．过A′点作A′N垂直于AB，交AB延长线于N点，在Rt△A′BN中，∠A′BN=60°，∴BN=1，A′N=．在Rt△A′EN中，利用勾股定理可得：x2=（9-x）2+3，解得x=．即AE=；所以AE的长为5.6或．故答案为5.6或．【点睛】本题主要考查翻折性质、平行四边形的性质、勾股定理，同时考查分类讨论的数学思想．三、解答题15.计算：.【答案】.【解析】【分析】根据实数的运算法则进行求解即可.【详解】.【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键.16.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房.求该店有客房多少间？房客多少人？【答案】客房8间,房客63人【解析】试题分析：本题考查的是利用一元一次方程解决应用题.根据题意设出未知数，设该店有间客房，以人数相等为等量关系列出方程即可.试题解析：设该店有间客房,则解得答:该店有客房8间,房客63人.17.在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标是(4，4)，请解答下列问题：(1)将△ABC向左平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标；(2)以点O为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1位似，且位似比为1∶1，并直接写出点A2的坐标.【答案】(1)见解析，A1的坐标为(-1，4)；(2)见解析，A2的坐标为(1，-4).【解析】【分析】（1）利用网格得特点和平移的性质写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）根据位似图形的作法求解即可.【详解】(1)如图，△A1B1C1，即为所求，点A的对应点A1的坐标为(-1，4).(2)如图，△A2B2C2，即为所求，点A1的对应点A2的坐标为(1，-4).【点睛】本题考查了作图：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平移变换．18.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，设△ABC的面积为S.(1)填表：(2)观察上表，试用含m、n的代数式表示S；(3)证明(2)中的结论【答案】(1)见解析；(2)；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）按图中给出的信息进行计算即可；（2）根据（1）中得出的结果，我们可看出S的值都是mn的倍，因此；（3）把表示m，n的代数式代入（2）进行证明即可．【详解】(1)第三行第二列的n=17-15+8=10；第二行第三列的S=20×6÷4=30；第三行第三列的S=24×10÷4=60.(2) 根据（1）中得出的结果，我们可看出S的值都是mn的倍，因此；(3)证明：【点睛】本题考查了多项式乘多项式，要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值，再证明规律的过程中，运用整式运算的知识将整式进行正确的化简合并是解题的关键．19.如图，斜坡AC，坡顶A到水平地面BC的距离AB为3m，坡长AC为5m，在A处、C处分别测得CD 顶部点D的仰角为45°、60°，求CD的长(结果保留根号)【答案】CD的长是7(+1)m.【解析】【分析】作DF⊥BC于点F，设CF=x米，在直角△CDF中利用三角函数用x表示出DF的长，在直角△DAE中表示出DE的长，然后根据DF-DE=FE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．【详解】如图，作DF⊥BC于点F，AE⊥DF于点E，设CF=xm在Rt△CDF中，∵∠DCF=60°，∴∠CDF=30°∴CD=2x m，∴在Rt△ADE中，∵∠DAE=45°，∴m.在Rt△ABC中：AB=3，AC=5，∴∵BF=BC+CF，BF=AE，∴解得mCD=2x=7(3+1)m答：CD的长是7(3+1)m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．20.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AD，过点O作OF⊥AD于F，若CD=4cm，BE=1cm，求OF的长.【答案】OF的长为cm.【解析】【分析】连接OD，根据垂径定理和勾投定理求出OD和OE的长，再证明△OFA∽△DEA得出，从而可得结论.【详解】如图，连接OD.∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=4 cm，BE=1 cm，∴DE=2cm在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，即OE2+22=(OE+1)2，解得cm∴cm∴cm在Rt△ADE中，cm∵OF⊥AD，∴∠OFA=∠AED=90°∵∠A=∠A，∴△OFA∽△DEA.∴∴解得cm∴OF的长为cm【点睛】本题主要考查垂径定理、相似三角形的判定和性质，由垂径定理得到OD，OE的长，以及判断△OFA∽△DEA是解题的关键．21.“不出城郭而获山水之怡，身居闹市而有林泉之致”，合肥市某区不断推进“园林城市”建设，今春种植了四类花苗，园林部门从种植的这批花苗中随机抽取了2000株，将四类花苗的种植株数绘制成扇形统计图，将四类花苗的成活株数绘制成条形统图.经统计这批2000株的花苗总成活率为90%，其中玉兰和月季的成活率较高，根据图表中的信息解答下列问题：(1)扇形统计图中玉兰所对的圆心角为，并补全条形统计图；(2)该区今年共种植月季8000株，成活了约株；(3)园林部门决定明年从这四类花苗中选两类种植，请用列表法或画树状图求恰好选到成活率较高的两类花苗的概率.【答案】(1)72°，见解析；(2)7280；(3).【解析】【分析】（1）根据题意列式计算，补全条形统计图即可；（2）根据题意列式计算即可；（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出选到成活率较高的两类树苗的情况数，即可求出所求的概率．【详解】(1)扇形统计图中玉兰所对的圆心角为360°×(1-40%-15%-25%)=72°月季的株数为2000×90%-380-422-270=728(株)，补全条形统计图如图所示：(2)月季的成活率为所以月季成活株数为8000×91%=7280(株).故答案为：7280.(3)由题意知，成活率较高的两类花苗是玉兰和月季，玉兰、月季、桂花、腊梅分别用A、B、C、D表示，画树状图如下：所有等可能的情况有12种，其中恰好选到成活率较高的两类花苗有2种.∴P(恰好选到成活率较高的两类花苗)【点睛】此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，根据统计图得出正确信息是解题关键．22.如图，已知点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，)在抛物线y=ax2+bx+c 上.(1)求抛物线解析式；(2)在第一象限的抛物线上求一点P，使△PBC的面积为.【答案】(1)；(2)点P的坐标为(1，2)或(2，).【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将C（0，）代入求得a的值即可；（2）过点P作PD⊥x轴，垂足为D，根据S四边形ACOB-S△BOC=列式求值即可.【详解】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将C(0，)代入，得-3a=，解得∴抛物线的解析式为(2)过点P作PD⊥x轴于D.设点，∴S四边形ACOB=S梯形PDOC+S△PBD=(=∴S△PBC=S四边形PCOB- S△BOC=-=整理得，解得x=1或x=2.∴点P的坐标为(1，2)或(2，)【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，主要涉及了：二次函数解析式的确定、三角形面积的解法、二次函数的应用等基础知识．23.如图1，已知等边△ABC中，动点P、Q分别从点A、B出发，以同样速度沿边AB、BC向终点B、C运动.D为AC中点，AQ、CP交于点O，连接OB、OD.(1)∠AOP的度数是 .(2)如图2，当点P运动到AB边的中点时，求证：OB=2OD；(3)若点P不在中点时，OB=2OD还成立吗?请说明理由.【答案】(1)60°；(2)证明见解析；(3)成立，理由见解析.【解析】【分析】（1）先证明△ABQ≌△CAP，从而得到∠BAQ=∠ACP，然后利用三角形的外角的性质求解即可；（2）由三角形中位线定理得PD=，再证明△POD∽△COB得，从而可证明OB=2OD；（3）延长OD到E，使OD=DE，连接CE、AO并延长OQ到F，使OF=OC，连接CF、BF,证明△ADO≌△CDE，得AO=CE，再证明△OFC为等边三角形，从而可证△AOC≌△BFC，得BF=AO=EC，最后证明△OBF≌△OEC，得OB=OE=2OD.【详解】（1）∵等边三角形ABC中，AB=AC，∠ABQ=∠CAP=60°又由条件得AP=BQ，∴△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∴∠COQ=∠ACP+∠CAO=∠BAQ+∠CAO=∠BAC=60°,∴∠AOP=60°；(2)证明：连接PD.∵P、D为AB、AC的中点，∴PD∥BC，PD=当P为AB边中点时，Q也为BC边中点，此时B、O、D在一条直线上.∴△POD∽△COB∴∴OB=2OD.(3)成立，如图，延长OD到E，使OD=DE，连接CE、AO并延长OQ到F，使OF=OC，连接CF、BF,∵AD=CD，∴△ADO≌△CDE，∴AO=CE.∵∠COF=∠AOP=60°，OC=OF，∴△OFC为等边三角形.∴OC=FC，∠OCF=∠ACB，∴∠ACO=∠BCF，∴△AOC≌△BFC.∴BF=AO=EC，∴∠AOC=∠BFC=120°∴∠OFB=60°，∴△OBF≌△OEC∴OB=OE=2OD .【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．。