五、代数与数论综合问题
数论：概念和问题
数论：概念和问题数论是研究整数性质和整数之间的关系的学科。
它是数学的一个分支，与代数、几何和分析等其他数学领域密切相关。
数论中的问题通常涉及整数的因子、质数、数列、模运算等概念和性质。
以下是数论中一些重要的概念和问题：1. 质数：质数是只能被1和自身整除的整数。
数论中研究质数的分布、性质和生成方法。
2. 因子：因子是能整除给定整数的整数。
数论中研究整数的因子分解、因子性质和因数个数等。
3. 同余：同余是数论中一个重要的概念，用来描述两个整数在模某个数下的相同性质。
例如，如果两个整数在模n下具有相同的余数，则它们可以说是同余的。
4. 模运算：模运算是一种整数除法操作，它可以得到余数。
在数论中，模运算常用于确定整数的奇偶性或确定整数的周期性。
5. 素数定理：素数定理是描述质数分布的重要定理。
它指出，小于等于给定正整数x的质数个数约为x/ln(x)。
6. 费马大定理：费马大定理是数论中的一个重要的定理，它提出了等式x^n + y^n = z^n在整数域上没有非平凡整数解的性质。
7. 小费马定理：小费马定理是费马大定理的一个特殊情况，它指出，如果p是一个质数，a是一个整数，且a与p互质，那么a^(p-1) mod p = 1。
8. 数列：数列是数论研究中的一个重要概念，它是一系列整数按照特定规律排列的序列。
数列问题常常涉及递推关系、收敛性等。
9. 等差数列和等比数列：等差数列是指数值之间的差别恒定的数列，等比数列是指数值之间的比例恒定的数列。
数论中研究了等差数列和等比数列的性质和求和方法。
数论还涉及许多其他概念和问题，例如模方程、欧拉函数、互质性、数论函数、亏格问题等。
它在密码学、编码、计算机科学等领域有着广泛的应用。
数学方法有哪些
数学方法有哪些数学方法是解决问题和推理的重要工具。
它们帮助我们理解自然界和社会现象中的模式和关系。
数学方法的应用范围非常广泛，可以涉及到几乎所有的学科领域。
接下来，我将介绍一些常见的数学方法以及它们在问题解决中的应用。
一、代数方法代数方法是研究符号和符号关系的数学方法。
代数方法可以用来解决方程和不等式问题。
通过使用代数方法，我们可以推导出方程的解或者确定不等式的范围。
代数方法常用于解决实际世界中的物理问题，如运动学问题、力学问题等。
二、几何方法几何方法是研究形状、大小和空间关系的数学方法。
几何方法可以用来解决关于点、线、面、体的位置、形状和变换等问题。
几何方法常应用于建筑、地理、天文学等领域。
通过几何方法，我们可以计算出物体的体积、表面积等属性，并应用到实际问题中。
三、概率与统计方法概率与统计方法是研究随机事件和数据模式的数学方法。
概率与统计方法可以用来计算事件发生的可能性，并进行数据的收集、分析和解释。
概率与统计方法常用于金融、生物学、经济学等领域。
通过概率与统计方法，我们可以评估风险、预测趋势，并帮助做出决策。
四、微积分方法微积分方法是研究变化和积分的数学方法。
微积分方法可以用来求解变化率、速度、面积等问题。
微积分方法常用于物理、工程、经济等领域。
通过微积分方法，我们可以计算出函数的极限、导数、积分等重要概念，并应用到实际问题中。
五、数论方法数论方法是研究整数性质和关系的数学方法。
数论方法可以用来解决有关整数性质的问题，如质数分解、同余方程等。
数论方法常用于密码学、编码理论等领域。
通过数论方法，我们可以加密信息、验证信息的准确性，并保护通信安全。
六、线性代数方法线性代数方法是研究向量、向量空间和线性变换的数学方法。
线性代数方法可以用来解决多个未知变量的线性方程组、矩阵运算等问题。
线性代数方法常用于计算机科学、物理学等领域。
通过线性代数方法，我们可以进行图像处理、数据分析等工作，解决实际问题。
小学数学培优：数论问题之数论综合一
所以满足条件的数一共有18个.
典型问题
6、某工厂有128名工人生产零件，他们每 个月工作23天，在工作期间每人每天可以 生产300个零件.月底将这些零件按17个一 包的规格打包，发现最后一包不够17个.请 问：最后一包有多少个零件？
数学培优
第五部分
数论问题
“一分耕耘一分收获。”
第5讲
数论综合一
掌运用已学过的数论知识，解决 综合性较强的各类数论问题； 学会利用简单代数式处理数论 问题.
典型问题
1、如果某数同时具备如下三条性质： (1)这个数与1的差是质数； (2)这个数除以2的商也是质数； (3)这个数除以9所得的余数是5. 那么我们称这个整数为“幸运数”. 求出所有的两位幸运数.
解：同时满足条件(1)(2)的数必为偶数， 满足条件(3)的两位偶数有14、32、50、 68、86,再考虑条件(、一个五位数8 25 ，方格中的数未知.请问： (1)如果该数能被72整除，这个五位数是多少？ (2)如果该数能被55整除，这个五位数是多少？
解：(1)能被72整除的数，即能被8和9整除.若 这个数能被8整除，个位应填6.再考虑能被9整 除，千位应填6.因此这个五位数是86256.
(2)能被55整除的数，即能被5和11整除.若这个 数能被5整除,个位应填0或5.当个位填0时,若能 被11整除,千位应填5.当个位填5时,千位无论填 几都不满足条件,因此满足条件的数为85250.
典型问题
3、在小于5000的自然数中，能被11整除， 并且所有数字之和为13的数共有多少个？
代数、数论+专练 高三数学强基专题
强基数学代数、数论一、初等数论:整除例1、求出所有的实数x ，使得5671422---+x x x x 与xx +-11都是整除.例2、已知z y x ,,是互不相等且都大于1的正整数，且)1)(1)(1(|---zx yz xy xyz ，求z y x ,,.例3、已知正整数n 在十进制下的各位数码和的13等于其本身，求n 的值.例4、已知n n C )324(][+=的整数部分，证明：)1]([|21++n n C例5、已知正整数y 不超过2022且满足100整除y y+2，求y 的个数.二、初等数论：高斯函数 例1、已知][x 表示不超过x 的最大整数，已知251+=α，则=][12α_______;例2、方程x x x x =++]5[]3[]2[有多少组解？例3、求]2021[...]2[]1[333+++=M 的值例4、已知∑==20210]72[i iY ，则Y 的各位数字是_______;例5、已知n 为正整数，求∑=++=n k k kn n f 01]22[)(阅读材料：1、Dirichet 逼近定理：对于任意给定的实数x 和正实数1≥a ，一定存在互素的正整数q p , 使得a q ≤<0，且211||qaq q p x ≤<- 证明方法：用Farey 数列、连分数、抽屉原理均可以证明，详细证明可以在网上找到. 推论：对于无理数x ，存在无穷多个有理数q p ，使得21||qq p x <-。
这个事实可以作为无理数等价说法，说明任意精度都可以达到. 推论：对于有理数x ，只存在有限个有理数q p ，使得21||qq p x <-，这个事实表明，有理数之间是有空隙的，不可能无限接近. 推论：有理数只能做一阶逼近，无理数可以做二阶逼近，不能做三阶逼近.逼近的阶：如果存在一个只与实数x 有关的实数)(x K ，使得存在无穷多个有理数q p ，满足 n qx K q p x )(||<-，称x 可以作阶为n 的逼近.以上知识均可以在《哈代数论》上找到. 2、ker Kronec 逼近定理：给定无理数]1,0[,∈αθ，则对于任意0>ε，（可以理解为精度） 均存在正整数n ，使得εαθ<-|}{|n （可以理解为}{θn 在]1,0[中稠密）备注：两种逼近方式的额差别在于，ker Kronec 逼近定理在考虑用一组实数}{θn 来对α作逼近（只不过这组实数有些特别），而Dirichet 是考虑用一组有理数来作逼近.3、Farey 数列：我们把]1,0[中的分母不大于n 的既约分数从小到大排成一列，该数列称为n 阶Farey 数列，记为n F 。
考研数学常见解题思路汇总
考研数学常见解题思路汇总数学是考研考试中的一项重要科目，解题思路的熟练掌握对于顺利通过考试至关重要。
本文将对考研数学常见解题思路进行汇总，并提供一些解题技巧和方法，希望能对考生们的备考有所帮助。
一、代数与数论题型代数与数论是考研数学中的一个重点内容，题型多样，要求考生具备一定的数学知识和分析能力。
在解题时，可以根据具体题目的要求采取以下几种常见的解题思路：1. 利用代数运算性质：对于代数运算性质类的题目，可以利用代数运算的性质进行推导和计算。
比如，利用二项式定理、因式分解、平方差公式等常见的代数运算法则，简化题目并得出结果。
2. 利用数论性质：对于数论类的题目，可以利用数论性质进行分析和推导。
例如，利用素数的性质、同余定理、整除性质等，解决与数论相关的问题。
3. 利用代数方程和不等式的性质：对于代数方程和不等式类的题目，可以利用其性质来推导和求解。
例如，利用方程的根与系数的关系、方程的二次齐次性质、不等式的性质等，解决与方程和不等式相关的问题。
二、几何与概率题型几何与概率是考研数学中的另一个重点内容，要求考生具备一定的几何图形分析和推导能力。
在解题时，可以根据几何图形的特征和性质，以及概率的规律和计算方法，采取以下几种常见的解题思路：1. 利用几何图形的性质和相似三角形：对于几何类的题目，可以利用几何图形的性质、相似三角形的性质等进行分析和推导。
例如，利用圆的性质、直角三角形的性质、相似三角形的对应边比例关系等，解决与几何相关的问题。
2. 利用概率的计算方法和规律：对于概率类的题目，可以利用概率的计算方法和规律进行分析和计算。
例如，利用概率的加法原理、乘法原理、条件概率、全概率公式等，解决与概率相关的问题。
三、数学分析与微积分题型数学分析与微积分是考研数学中的另一个重要内容，要求考生具备一定的数学运算和积分计算能力。
在解题时，可以根据题目的要求和函数的性质，采取以下几种常见的解题思路：1. 利用函数的性质和求导法则：对于函数类的题目，可以利用函数的性质和求导法则进行分析和推导。
数学问题文献综述
数学问题文献综述数学问题一直是数学领域的热门话题，它们具有普适性和重要性，涉及到数学的各个领域，如代数、几何、概率和数论等。
为了更好地了解数学问题的研究现状，本文将对数学问题的文献进行综述，并对当前研究进行拓展和分析。
一、代数问题代数问题是数学领域中最基本的问题之一，包括了整数方程、多项式方程、线性方程等。
其中，整数方程是研究整数解的方程，如费马大定理和黎曼猜想等，多项式方程则是研究多项式函数的零点和解析性质，如伯努利数和不可约多项式等。
目前，代数问题的研究已经涉及到了许多方面，如代数拓扑、代数几何和代数数论等。
其中，代数拓扑是通过代数方法研究拓扑学中的问题，代数几何是研究代数方程与几何的关系，代数数论是研究整数环上的问题，如费马大定理和素数分布等。
此外，代数问题也在计算机科学领域中得到了广泛的应用，如密码学和编码理论等。
二、几何问题几何问题是研究空间中的图形和形状的问题，它们涉及到平面几何、立体几何和拓扑学等。
其中，平面几何研究平面图形的性质和关系，立体几何研究三维图形的性质和关系，拓扑学是研究空间中形状的连续性和不变性。
几何问题的研究早在古希腊时期就已经开始了，如毕达哥拉斯定理和欧几里得几何等。
现代几何问题的研究则主要涉及到了微分几何、拓扑几何和计算几何等。
其中，微分几何是研究曲面和流形的性质和变形，拓扑几何是研究图形和形状的连续性和不变性，计算几何是研究如何利用计算机来解决几何问题。
三、概率问题概率问题是研究随机事件的概率和统计规律的问题，涉及到概率论、统计学和随机过程等。
其中，概率论是研究随机事件发生的概率和分布，统计学是研究如何通过观察数据来推断总体的特征，随机过程是研究随机事件发生的演化过程和规律。
概率问题的研究已经涉及到了许多领域，如生物学、物理学和金融学等。
在生物学中，概率论经常被用来研究遗传和进化的规律，物理学中则用概率论研究粒子的运动和能量转换，金融学中则用概率论研究风险和投资。
数学中的代数与数论
数学中的代数与数论数学是一门研究数量、结构、空间以及变化等概念的学科。
在数学的世界里，代数和数论作为两个重要的分支，对于解决问题和探索数学规律起着至关重要的作用。
本文将从代数和数论的基本概念、理论和应用等方面，介绍数学中的代数与数论。
一、代数的基本概念与理论代数是数学的一门重要分支，研究由数及其间的加减乘除运算及其规律、方程与函数关系等。
它以数的一般性质为基础，研究代数运算法则，如加、减、乘、除和幂的运算规则等。
同时，代数还研究方程与函数的关系，探索数学中的各种规律与性质。
1.1 代数基本概念在代数学中，我们首先需要了解一些基本的代数概念。
其中，最基本的是数字、符号和运算等。
数学中的代数运算包括加法、减法、乘法和除法，它们是数学中最基础的运算法则。
此外，还有幂、开平方、对数等数学运算，它们在解决实际问题中起着重要的作用。
1.2 代数的理论代数的理论是代数学的重要组成部分，它主要研究代数结构的性质和规律。
在代数理论中，我们研究的对象包括群、环、域等代数结构。
其中，群是代数最基础的结构之一，它包括了一组集合和一种二元运算，同时满足封闭性、结合律、单位元和逆元等条件。
另外，环和域作为群的扩展，更加复杂而丰富。
二、数论的基本概念与理论数论是研究整数性质和整数运算的一门学科，它用于研究数的性质、数的奇偶性、素数、因数分解等问题。
数论在密码学、编码和密码破译等领域有着重要的应用。
2.1 数论基本概念在数论中，我们首先需要了解素数、整除、最大公因数、最小公倍数等基本概念。
素数是最基本的数学概念之一，它只能被1和自身整除，不能被其他数整除。
整除是指某个数能够整除另一个数，即没有余数。
最大公因数是指一组数中能够整除所有数的最大数，最小公倍数是指能够整除这组数中的所有数的最小数。
2.2 数论的理论数论的理论研究了各种数学性质和规律，如素数分布、费马小定理、欧拉定理等。
其中，素数分布是研究素数的数量和分布规律的理论，它对于解决一些计算问题和密码学问题非常重要。
七年级上册数学常考题型归纳
七年级上册数学常考题型归纳
一、数学运算题
1、基本运算：要求熟练掌握加减乘除的运算，正确率控制在100%以上。
2、综合运算：要求能够将课上学过的计算方法运用至实际综合问题的求解中。
3、运算能力：要求能够在规定的范围内，特殊情况下或其它时候能够运用相应的运算方法，把复杂问题变为简单问题。
二、分析题
1、假设分析：要求能够从假设证明的角度出发，分析与解决问题。
2、计算分析：要求能够去解决一些特殊的数学问题，根据给出的数据作出相应的数据分析。
3、综合分析：要求能够根据所提供的一系列数据作出判断，做出正确的综合分析，推出正确的结论。
三、图形题
1、几何图形：要求能够识别几何图形，进行快速分析；形状分析；结论推导，形成最佳解决方案。
2、几何运算：要求能够运用几何图形运算，如：斜率求解，直线求斜率，圆的运算等。
3、几何变换：要求能够使用几何变换，如旋转，平移，缩放，翻转等
来解决几何图形位置及大小等问题。
四、代数题
1、代数方程：要求能够解决一元二次方程、一次不定方程、不等式等各类代数方程。
2、函数计算：要求有一定的数学基本运算能力，能够规范计算函数图像以及函数在特定点值。
3、解析几何：要求能够正确把握几何几率与代数几何的区别，在解决坐标几何、原点几何等问题中有所施展。
五、数论题
1、数列数组：要求熟练掌握等差数列、等比数列、级数等数列的特点与计算，能够迅速求解数组。
2、等式的比较：要求能够熟练掌握数论计算中的比较大小规律，知道如何快速判断含有未知数的等式的真假。
3、质数：要求能够判断哪些是质数，哪些是合数，并且能够列出某个定范围内的质数表。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
五、代数与数论综合问题例1、试确定所有正整数n (3)n ≥，使得0123n n n n n c c c c +++∣2. 解：由二项式定理和组合数定义，对所有正整数3n ≥，有01232n n n n n n n c c c c c =++++⋯+0123n n n nc c c c ≥+++21(1)(6)6n n n =+-+ 因此存在正整数l ，使得21(1)(6)32l n n n ++-+=⨯ ①这样1n +和26n n -+可以写成32αβ⨯的形式，其中0α=或1，N β∈ 下面分两种情况讨论： ⑴ 4β≥，这时16(1)n ⎪+，将①式中的第二项改写为 226(1)3(1)8n n n n -+=+-++，由此得 28(6)n n ⎪-+，且216|(6)n n -+/，则26n n -+只能为8或24. 当268n n -+=时，解得1n =-或2；当2624n n -+=时，解得1(12n =±。
它们都不满足题设. ⑵ 3β≤，这时由132n αβ+=⨯，可以求得1n +只能为 1、2、4、8、3、6、12、24， 相应的n 为 0、1、3、7、2、5、11、23，26n n -+为 6、6、12、48、8、26、116、512。
再由①式及3n ≥知，满足条件的n 有三个，分别是3、7、23. 例2、是否存在无穷多个正整数对(,)m n ，使得21mn ⎪+，21n m ⎪+？ （2013年英国数学奥林匹克）解：存在。
构造数列{}n a ，12a =，25a =，213n n n a a a ++=-，则 213n n n a a a +++= ， 等号两边同乘 2n n a a +- ， 得：22212133n n n n n n a a a a a a ++++-=- ①我们说明 2121n n n a a a +++=，采用数学归纳法 1n =时，12a =，25a =，313a =，22131a a a +=成立假设n t =时成立，则当1n t =+时，由归纳假设21211(3)t t t t t t a a a a a a ++++==- 即 221113t t t t a a a a ++++= ②而再由①式，22212133t t t t t t a a a a a a ++++-=- ③ ②、③两式相加，得 22121213t t t t a a a a ++++++=22211131(3)t t t t t t a a a a a a ++++++⇒+=-= ，故1n t =+时也成立 所以 2121n n n a a a +++= 21(1)n n a a +⇒⎥+ 2n ≥时，2111n n n a a a -++= 21(1)n n a a +⇒⎥+ ，1n =时也有221(1)a a ⎥+。
故1(,)n n a a +即为满足题意的正整数对(,)m n ，命题成立. 例3、数列{}n a 满足12a =，27a =，1232(3)n n n a a a n --=+≥.证明：对任意的n N +∈，21n a -可表为两个正整数的平方和.证：由条件易得325a =，489a =，5317a =，61129a =，74021a =，……注意到221211a ==+，2232534a ==+，而2132a a =-，142a =； 2253171114a ==+，而32112a a =-，2142a =； 22740213950a ==+，而43392a a =-，3502a =；……据此猜测，对每个正整数n 都有 222111(2)(2)n n n n a a a a ---=-+ ①为证①，还需给出关于2n a 的递推关系：2221144n n n n n a a a a a --=+- ②接下来证明式①与式②。
对大于1的n 归纳。
当n=2，3时，验证无误。
设式①、②对于n 成立，则对于n+1， 由式①、②及1123n n n a a a -+=-，有2122132n n n a a a +-=+()222111132222(2)(2)n n n n n n n a a a a a a a ----⎡⎤⎡⎤=+-+-+⎣⎦⎣⎦ 2113(3)(5)n n n n n a a a a a ++⎡⎤=+--⎣⎦22112(4)(3)n n n n a a a a ++⎡⎤+-+-⎣⎦222211184(2)(2)n n n n n n na a a a a a a +++=+-=-+. 2221232n n n a a a ++=+2221113(2)(2)22(22)n n n n n n n a a a a a a a +--⎡⎤⎡⎤=-+++-⎣⎦⎣⎦222211113(84)2(148)n n n n n n n n a a a a a a a a ++++=+-+--+ 221144n n n n a a a a ++=+-.因此，式①、②对于n+1也成立.故由归纳法知，对每个正整数n ，式①、②皆成立，且式①表明，21(2)n a n -≥为两个正整数的平方和.例4、设{}n a 为整数列，其中2a 为奇数，对任意自然数n ，均有11(3)3n n n n n a a a a ++-+=++.已知2009a 可被2010整除，求最小的整数(2)n n ≥，使n a 可被2010整除.（2010年香港竞赛试题）解： 将题设等式整理得1(1)(1)3(1)n n n a n a n +-=+--.当1n ≠时，1131n n n a a n ++=--1(1)3(1)n n n n a a n n ++⇒=--. 上式两边同除以(1)n n +得13(1)(1)(1)n n a a n n n n n n +=-+-+. 设 (2)(1)n n a b n n n =≥- 易得 13(1)n n b b n n +=-+. 故 13(1)n n b b n n -=--.123(1)(2)n n b b n n --=---，……3212b b =-. 以上等式求和得：22311133()(1)2nn k b b b k kn ==-=---∑.注意到(1)n n a n n b =-，222a b =，则211(1)322n a a n n n ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2(1)(3)32n n a ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦又2a 为奇数，不妨设221()a p p N =+∈，则[](1)(1)3n a n p n =--+. 从而，20092008(20092006)a p =-，又20092010a ，200920060(mod1005)4(mod1005)p p ⇒-≡⇒≡ 从而存在整数q ，使得[](1)(10053)3n a n q n =-++. 由2010|n a ，得2010|(1)(33)670|(1)(1)n n n n -+⇒-+. 故n 为奇数，不妨设21()n r r N =+∈. 因此，335|(1)r r +，所以，min 134r =，n=269. 例5、设数列{}n a 满足121a a ==，127(3)n n n a a a n --=-≥.求证：对于每个n N +∈，12n n a a +++皆为完全平方数. 证明： 易求得数列前几项列为1，1，6，41，281，1926，……注意到21222a a ++=，22323a a ++=，23427a a ++=，245218a a ++=.构造数列{}1:2n x x =，23x =，123(3)n n n x x x n --=-≥.则对于每个n N +∈，n x 为正整数.下面证明：对于每个n N +∈，均有212n n n a a x +++= ①先证一个引理: 数列{}n x 满足对于每个n N +∈，都有2215k k k x x x ++-=. 证明 令221()k k k f k x x x ++=-，则222111()(1)()()k k k k k k f k f k x x x x x x ++-+--=---211111()()330k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x +++-++=+-+=-=， 于是()(1)f k f k =-= 2132(1)5f x x x ==-=. 回到原题，对n 归纳。
当n=1，2时，已知式①成立. 假设式①对(2)n n ≥均成立，则对于1n +有12112(7)(7)2n n n n n n a a a a a a ++-+++=-+-+ 117(2)(2)10n n n n a a a a +-=++-++-2222211710(3)210n n n n n x x x x x --=--=---2211111(3)(3)210(2)210n n n n n n n n n x x x x x x x x x --++-=-+--=+-- 22211112(5)n n n n n x x x x x +-++=+--=. 故对n+1式①也成立.例6、已知数列{}n 12:20,30a a a ==，213n n n a a a ++=-（1n ≥）求所有的n ，使得115n n a a ++是完全平方数. 解: 设1n n n b a a +=+，1c 15n n n a a +=+，则 1121n n n n n n b b a a a a +++++=+++n 112(3)n n n a a a a ++=+-+15n a += 1121n n n n n n b b a a a a ++++-=+--2n n a a +=-所以 1125()n n n n n c c a a a +++-=-2211111()()n n n n n n b b b b b b +-+-+=+-=-， 从而2221111n n n n c b c b c b ++-=-==- 21212(15)()5013167a a a a =+-+==⨯. 设存在正整数,n m 使得2n c m =，则有()()31671501n n m b m b +-=⨯=⨯. 若167,3n n m b m b +=-=，则285,85n m c ==， 若501,1n n m b m b +=-=，则2251,251n m c ==. 由于数列{}n a 严格递增，所以数列{}n c 也严格递增。
又因 2115203085c =+⨯⨯<223153070251c c <=+⨯⨯<=. 所以满足条件的n 只有一个，即n 3=.例7、试求最大的整数λ，使得对于任意正整数数列{}(1)n a n ≥，该数列对所有正数 数n ，均有325n n n n a a a a +++=，则25502211kk k aa λ-=∑.解： 由题意，对于每个正数数n ，都有325n n n n a a a a +++=，1436n n n n a a a a ++++=，2547n n n n a a a a ++++=， 则 31425253647n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a +++++++++++⨯⨯=⨯⨯， 整理，得 167()n n n n a a a a n N ++++=∈.故 25502211k k k a a -=∑1234562550()3a a a a a a =++123456850()a a a a a a =++ 考虑数列{}(1)n a n ≥，定义：1,1,2,3(mod 6)2,4,5,6(mod 6).n n a n =⎧=⎨=⎩；因此，对于每个正整数n ，有3252n n n n a a a a +++==.故数列{}n a 满足题中条件，且25502211850(111222)k k k a a -==⨯+⨯+⨯∑8507=⨯ 考虑另一数列{}(1)n a n ≥，定义其对每一个正整数n ，都有1n a =于是，3251n n n n a a a a +++==，且25502211850(111111)k k k a a -==⨯+⨯+⨯∑8503=⨯.而(3,7)1=，故850λ=例8、求所有的正整数n ，使得()n a b +的展开式中有连续三项的系数成等差数列.解： 设()n a b +的展开式中连续三项的系数分别为11,(11).k k k n n n C C C k n -+≤≤-， 由题意得 112k k k n n nC C C -+=+. 依组合数定义展开并整理得 22(41)420.n k n k -++-= 故1,2n =①因为n N +∈，所以可令 289(21),k m +=+ 即 222k m m =+-. 其中m N +∈ 代入①得 22121(1)2,n m m m =+-=+- 222n m =- 因此，满足题意的n 为22m -型.又由于11k n ≤≤-，则222132m m m +-<<-. 解得 3m ≥ 因此，22(3)n m m =-≥时，上式等号成立例9、设k N +∈，定义11A =, 212(1)2kn n nA n A n +++=+ ()1,2,n =求证：n A 都是整数，并分析其奇偶性。