W,华中师大一附中届高三课外基础训练题三答案

最 新 课 外 训 练 题 (三)
1．若(3sin ,0),(cos ,sin ),0x x x ωωωω==->m n ，在函数()()f x t =⋅++m m n 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为4π，且当[0,]3x π∈时，()f x 的最大值为1。

（1）求函数()f x 的解析式； （2）若13(),[0,]2f x x π+=-
∈，求实数x 的值。

解：由题意得(3sin cos ,sin )x x x ωωω+=+-m n ，
（1）∵对称中心到对称轴的最小距离为
4
π，∴()f x 的最小正周期T π=， 23,1,()3sin(2)232f x x t πππωω∴==∴=-++。

当[0,]3x π
∈时，332[,],sin(2)[,]333322
x x π
πππ-∈-∴-∈-，()[,3]f x t t ∴∈+。

max 1()1,31,2,()3sin(2)32
f x t t f x x π=∴+==-∴=--Q 。

（2）由13()2f x +=-
，得1sin(2)32x π-=-，由[0,]x π∈，得52333x πππ-≤-≤。

故732,366124
x x π
π
πππ-=-∴=或或。

2．如图，四棱锥P —ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，
AB 5,
54,8,4,===∆AB BD AD ABD 由于中.
.222BD AD AB BD AD ⊥=+故ABCD ，
BD AD ABCD PAD ABCD PAD 平面平面平面平面⊂=⊥,,I .PAD BD 平面⊥,.BD MBD MBD PAD ⊂∴⊥面平面平面PAD ∆.3242
3=⨯=PO 中
ADB Rt ∆，5585484=⨯.2455825452=⨯+=S .316322431=⨯⨯=-ABCD P V 已知函数f(x)=x 3-ax 2-3x
⑴ 若f(x)在),1[+∞∈x 上是增函数，求数a 的取值范围。

⑵ 若方程f(x)=(a 2
-3)x-1(a>0)至多有两个解，求实数a 的取值范围。

解: ⑴0323)(2≥--='ax x x f ,又∵)1(23,1x x a x -≤∴≥,当)1(231x
x x -≥时 是增函数，其最小值为0，∴a≤0.
⑵ 由1)3()(2
--=x a x f 得方程x 2-ax 2-a 2x+1=0,令g(x)=x 3-ax 2-a 2x+1则2223)(a ax x x g --=', 令30)(a x a x x g -==='或得.又a>0，∴3a x -=时，g(x)有极大值，127
5)3(3+=-a a g , 当x=a 时，g(x)有极小值，g(a)= -a 3+1.
若方程f(x)=(a 2-3)x-1 (a>0)至多有两解,∴g(a)≥0或0)3(≤-a g .即-a 3+1≥0或0127
53≤+a （舍去）∴0<a≤1.
4．由于2008年初的特大冰冻灾害，某地菜农新种的蔬菜几乎全被冻死，灾后政府及时免费提供某种蔬菜种子，并提供技术指导。

在当时的气候条件下，该蔬菜种子的发芽率为80%，按照技术要求每坑种植3颗种子，且每平方米种植9坑。

（1）若一坑内至少有一颗种子发芽，则称该坑有苗，求一个坑有苗的概率和每平方米有苗坑数ξ的数学期望；
（2）根据以往该蔬菜上市的资料统计，上市时每亩的产量为800公斤、700公斤、600公斤的概率分别为、、，预测上市后每公斤市场价格为16元、12元，10元的概率分别为、、，求该蔬菜每亩销售的平均收益。

解：（1）一个坑有苗的概率0331(10.8)0.992P C =--=。

每平方米有苗的坑数~(9,0.992)B ξ，则90.9928.928E ξ=⨯=。

（2）设上市后每公斤价格为η，则160.3120.5100.212.8E η=⨯+⨯+⨯=（元）每亩蔬菜的平均产量为⨯+⨯+⨯=750（公斤），则该蔬菜每亩销售的平均收益为⨯=9600（元）。

5．已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是左、右顶点），
且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点
A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，则31a c a c +=⎧⎨-=⎩
,解得21a c =⎧⎨=⎩,∴椭圆C 的标准方程 为22
143
x y +=． （Ⅱ）由方程组22143x y y kx m
⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,消去y ，得()2223484120k x kmx m +++-=.
由题意：△()()()22284344120km k m =-+->,整理得：22340k m +->. ①
设()()1122,,M x y N x y 、，则122834km x x k
+=-+， 212241234m x x k -=+,由已知，AM AN ⊥ ， 且椭圆的右顶点为
A (2,0),∴()()1212220x x y y --+=.即()()()22
12
121240k x x km x x m ++-+++=, 也即()()22222412812403434m km k km m k k
--+⋅+-⋅++=++,整理得:2271640m mk k ++=, 解得：2m k =-或27
k m =-，均满足①. 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，舍去. 当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，过定点2(,0)7,故直线l 过定点，且定点的坐标 为2(,0)7
. 6. 已知函数2()1f x x x =+-，α、β是方程()0f x =的两个根(αβ>)，()f x '是的导数,设
11a =，1()()
n n n n f a a a f a +=-'，(1,2,)n =L . (1)求α、β的值；
(2)已知对任意的正整数n 有n a α>,记ln n n n a b a βα
-=-,(1,2,)n =L .求数列{n b }的前n 项和n S ． 解:(1)由 210x x +-=,
得12
x -±=
,12α-∴=
,12β-=。

(2) ()21f x x '=+，221112121
n n n n n n n a a a a a a a ++-+=-=++，
(
2
2221111n n n n n n n n n a a a a a a a a ββαα+++⎛⎫+++ ⎪⎛⎫--==== ⎪--⎝⎭，
∴12n n b b +=
，又111ln a b a βα-===-，∴数列{}n b 是一个首项为
14ln 2,公比为2的等比数列;
∴)(
)4ln
1212421ln 122n n n S -==--。