电路原理-拉普拉斯变换PPT课件
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第6章拉普拉斯变换.ppt
Re{s} 0 而求得X(jw)
例2： x(t) eatu(t) 求拉氏变换
解：
X (s) 0 eat est dt e(sa)t
sa
0
1 sa
Re{s} 0
可见，不同的x(t)可能有相同的X(s)，关键在于 收敛域不同。
收敛域（简称ROC）：使拉普拉斯变换收敛 的S值的范围。ROC的图示——复平面（S平 面）。
T1
T1
T1
Re{s} 1位于ROC内 即
Re{
s}
的全部
1
s值位于
ROC
内
右边信号 对应 右半平面的ROC
• 性质5：如果x(t)是左边信号，且若 Re{s} 0 位于ROC内，则 Re{s} 0 的全部S值都位于 ROC内。
左边信号 ： t T2 时x(t)=0， 对应 左半平面的ROC
Re{s} 1
6.1.2 零极点图
上述各X（s）称为有理的，
只要x(t)是实指数或复指数的线性组合，
N (s)
X（s）就一定是有理的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D(s)
对有理拉普拉斯变换，可用零极点图来形象地表示：分子
多项式的根——零点
分母多项式的根——极点
除常数因子外，零极点图+ROC就是有理拉普拉斯变换的S 平面表示。
Re{s}>-a
得所以
teatu(t) L d ds
eatu(t) L (s
(1 1s a a)2
)
1 -
(s a)2
Re{s}>-a
一般式：（当x(s)有多重极点时有用）
t n-1 eatu(t)L 1
例2： x(t) eatu(t) 求拉氏变换
解：
X (s) 0 eat est dt e(sa)t
sa
0
1 sa
Re{s} 0
可见，不同的x(t)可能有相同的X(s)，关键在于 收敛域不同。
收敛域（简称ROC）：使拉普拉斯变换收敛 的S值的范围。ROC的图示——复平面（S平 面）。
T1
T1
T1
Re{s} 1位于ROC内 即
Re{
s}
的全部
1
s值位于
ROC
内
右边信号 对应 右半平面的ROC
• 性质5：如果x(t)是左边信号，且若 Re{s} 0 位于ROC内，则 Re{s} 0 的全部S值都位于 ROC内。
左边信号 ： t T2 时x(t)=0， 对应 左半平面的ROC
Re{s} 1
6.1.2 零极点图
上述各X（s）称为有理的，
只要x(t)是实指数或复指数的线性组合，
N (s)
X（s）就一定是有理的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D(s)
对有理拉普拉斯变换，可用零极点图来形象地表示：分子
多项式的根——零点
分母多项式的根——极点
除常数因子外，零极点图+ROC就是有理拉普拉斯变换的S 平面表示。
Re{s}>-a
得所以
teatu(t) L d ds
eatu(t) L (s
(1 1s a a)2
)
1 -
(s a)2
Re{s}>-a
一般式：（当x(s)有多重极点时有用）
t n-1 eatu(t)L 1
电路PPT-拉普拉斯变换
)]
1
1 esT
F1(s)
對於本題脈衝序列
f1
(t
)
(t
)
(t
T 2)F1Fra bibliotek(s)
(1 s
1 s
esT
/
2
)
L[
f
(t
)]
1
1 esT
(1 1 esT/2) ss
11
s
( 1
esT
/
2
)
5.拉普拉斯的卷積定理
若： L[ f1(t)] F1(s) L[ f2(t)] F2(s)
返回 上頁 下頁
则：
返回 上頁 下頁
例 一些常用的變換
乘法運算變換
①對數變換 A B AB 為加法運算
lg A lg B lg AB
②相量法
正弦量 i1 i2 i
時域的正弦運算 變換為複數運算
相量 I1 I2 I
拉氏變換
對應
f(t)(時域原函數)
F(s)(頻域象函數)
返回 上頁 下頁
2. 拉氏變換的定義
原函數f(t) 用小寫字母表示，如 i(t), u(t)
返回 上頁 下頁
3.典型函數的拉氏變換
F(s) f (t)estdt 0
(1)單位階躍函數的象函數
f (t) (t)
F(s) L[ (t)] (t)estdt estdt
0
0
1 est s 0
1 s
返回 上頁 下頁
a1sm1 (s p1)n
am
F(s)
K11 s p1
(s
K12 p1)2
(s
K1n1 p1)n1
K1n (s p1)n
信号与系统-拉普拉斯变换ppt
38
部分分式展开法(m<n)
1.第一种情况：单阶实数极点
F(s)
(s
p1 )(s
A( s ) p2 )(s
pn )
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
F (s) k1 k2 kn
s p1 s p2
s pn
求出k1, k2 , k3 kn ,即可将F s展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数
第四章 拉普拉斯变换
u
1
•优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进
行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为 普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
2
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
对于f te t 是F j 的傅里叶逆变换
f t e t 1 F j ej td
2π
两边同乘 以e t
f t 1 F j e j t d
2π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 : 对s : j
j
所以
f t 1
j
F
s
estd s
整理得：
Y (s)
2F (s) s2 5s
6
(s
5) y(0 ) y(0 ) s2 5s 6
26
电感元件的s域模型
iL(t) L vL(t)
vL(t)
L
d
iL(t) dt
设 LiL(t) IL(s), LvL(t) VL(s)
应用原函数微分性质
VL (s) LsI L (s) iL (0 ) sL I L (s) LiL (0 )
部分分式展开法(m<n)
1.第一种情况：单阶实数极点
F(s)
(s
p1 )(s
A( s ) p2 )(s
pn )
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
F (s) k1 k2 kn
s p1 s p2
s pn
求出k1, k2 , k3 kn ,即可将F s展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数
第四章 拉普拉斯变换
u
1
•优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进
行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为 普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
2
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
对于f te t 是F j 的傅里叶逆变换
f t e t 1 F j ej td
2π
两边同乘 以e t
f t 1 F j e j t d
2π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 : 对s : j
j
所以
f t 1
j
F
s
estd s
整理得：
Y (s)
2F (s) s2 5s
6
(s
5) y(0 ) y(0 ) s2 5s 6
26
电感元件的s域模型
iL(t) L vL(t)
vL(t)
L
d
iL(t) dt
设 LiL(t) IL(s), LvL(t) VL(s)
应用原函数微分性质
VL (s) LsI L (s) iL (0 ) sL I L (s) LiL (0 )
电路课件第十四章拉普拉斯变换
N (s)
K 1(sj )F (s)sjD (s)sj
N (s)
K 2(sj )F (s)sjD (s)sj
由于F(S)为实系数多项式，K1,K2也是一对共轭复数
设 K 1 K 1 1 K 1 e j1 ,K 2 K 1 1 K 1 e j1
设 K 1 K 1 1 K 1 e j1 ,K 2 K 1 1 K 1 e j1
第14章 拉普拉斯变换
概述：
以往分析方法的局限性
(1)直流电路和正弦电流电路对激励有严格限制，且 只能求稳态响应。
(2)经典法：虽可求全响应，但建立、求解微分方程 都存在困难。
当我们求任何激励下的完全响应时，应用拉氏 变换进行电路分析，称为运算法。其基本步骤类似 于正弦电路的相量法。
时域 电路
经典法、相量法、运算法
f(t)K1e(j)t K2e(j)t
p 1 j,p 2 j
公式二：
一般形式：
ki
N( s ) D' ( s )
s pi
f(t)K 1ep1tK 2ep2tK nepnt
f(t) N (p 1)e p 1 t N (p 2)e p 2 t N (p n )e p n t
D (p 1) D (p 2)
D (p n )
罗必塔法则(补充)
当x a或x 时，两个函数 fx、 x都趋于
1 .设 n m ， D (s) 0 的p 根 1p n为
利用部分分式展开法将F(S)分解为： f(t)K 1ep1tK 2ep2tK nepnt
F (s)K 1 K 2 K n
sp1 sp2
spn
A
Aeat
s a
(sp 1)F (s) K 1 (sp 1) s K 2 p 2 s K n p n
K 1(sj )F (s)sjD (s)sj
N (s)
K 2(sj )F (s)sjD (s)sj
由于F(S)为实系数多项式，K1,K2也是一对共轭复数
设 K 1 K 1 1 K 1 e j1 ,K 2 K 1 1 K 1 e j1
设 K 1 K 1 1 K 1 e j1 ,K 2 K 1 1 K 1 e j1
第14章 拉普拉斯变换
概述：
以往分析方法的局限性
(1)直流电路和正弦电流电路对激励有严格限制，且 只能求稳态响应。
(2)经典法：虽可求全响应，但建立、求解微分方程 都存在困难。
当我们求任何激励下的完全响应时，应用拉氏 变换进行电路分析，称为运算法。其基本步骤类似 于正弦电路的相量法。
时域 电路
经典法、相量法、运算法
f(t)K1e(j)t K2e(j)t
p 1 j,p 2 j
公式二：
一般形式：
ki
N( s ) D' ( s )
s pi
f(t)K 1ep1tK 2ep2tK nepnt
f(t) N (p 1)e p 1 t N (p 2)e p 2 t N (p n )e p n t
D (p 1) D (p 2)
D (p n )
罗必塔法则(补充)
当x a或x 时，两个函数 fx、 x都趋于
1 .设 n m ， D (s) 0 的p 根 1p n为
利用部分分式展开法将F(S)分解为： f(t)K 1ep1tK 2ep2tK nepnt
F (s)K 1 K 2 K n
sp1 sp2
spn
A
Aeat
s a
(sp 1)F (s) K 1 (sp 1) s K 2 p 2 s K n p n
拉普拉斯变换及其性质课件
信号重建
对于损坏的信号，可以利用拉普拉斯变换进行重 建，恢复出原始信号。
在图像处理中的应用
图像去噪
利用拉普拉斯变换，可以对图像进行去噪处理，去除图像中的噪 声和干扰。
图像增强
通过拉普拉斯变换，可以将图像从空间域转换到频域，对图像进 行增强处理。
图像压缩
利用拉普拉斯变换的稀疏性，可以对图像进行压缩处理，减少存法规则
拉普拉斯变换的加法规则可以表 示为f(t)+g(t)的拉普拉斯变换等 于f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉
普拉斯变换之和。
乘法规则
拉普拉斯变换的乘法规则可以表 示为f(t)g(t)的拉普拉斯变换等于 f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉普拉 斯变换之积。
微分规则
拉普拉斯变换的微分规则可以表示 为df(t)/dt的拉普拉斯变换等于f(t) 的拉普拉斯变换乘以s。
迭代法的优点是计算速度快， 适用于大规模数据的处理。
直接计算法
直接计算法是一种直接根据定义 进行计算的方法。
在拉普拉斯变换的数值计算中， 直接计算法通常采用定义式进行
计算。
直接计算法的优点是原理简单易 懂，但计算量较大，适用于小规
模数据的处理。
数值计算误差分析
误差分析是数值计算中非常重要的一个环节。
在物理学、工程学、经济学等领域中，许多偏微分方程的求解都可 以借助拉普拉斯变换得到解决。
优点
通过拉普拉斯变换，可以将偏微分方程的求解转化为简单的代数问 题，使得求解更加简便。
在信号处理中的应用
定义与公式
01
在信号处理中，拉普拉斯变换被用于分析信号的稳定性和系统
的稳定性。
应用场景
02
在通信、自动控制、图像处理等领域中，许多信号处理问题都
对于损坏的信号，可以利用拉普拉斯变换进行重 建，恢复出原始信号。
在图像处理中的应用
图像去噪
利用拉普拉斯变换，可以对图像进行去噪处理，去除图像中的噪 声和干扰。
图像增强
通过拉普拉斯变换，可以将图像从空间域转换到频域，对图像进 行增强处理。
图像压缩
利用拉普拉斯变换的稀疏性，可以对图像进行压缩处理，减少存法规则
拉普拉斯变换的加法规则可以表 示为f(t)+g(t)的拉普拉斯变换等 于f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉
普拉斯变换之和。
乘法规则
拉普拉斯变换的乘法规则可以表 示为f(t)g(t)的拉普拉斯变换等于 f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉普拉 斯变换之积。
微分规则
拉普拉斯变换的微分规则可以表示 为df(t)/dt的拉普拉斯变换等于f(t) 的拉普拉斯变换乘以s。
迭代法的优点是计算速度快， 适用于大规模数据的处理。
直接计算法
直接计算法是一种直接根据定义 进行计算的方法。
在拉普拉斯变换的数值计算中， 直接计算法通常采用定义式进行
计算。
直接计算法的优点是原理简单易 懂，但计算量较大，适用于小规
模数据的处理。
数值计算误差分析
误差分析是数值计算中非常重要的一个环节。
在物理学、工程学、经济学等领域中，许多偏微分方程的求解都可 以借助拉普拉斯变换得到解决。
优点
通过拉普拉斯变换，可以将偏微分方程的求解转化为简单的代数问 题，使得求解更加简便。
在信号处理中的应用
定义与公式
01
在信号处理中，拉普拉斯变换被用于分析信号的稳定性和系统
的稳定性。
应用场景
02
在通信、自动控制、图像处理等领域中，许多信号处理问题都
《拉普拉斯变换 》课件
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换分析其极点和零点，可以判断系 统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则系统 不稳定。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
总结与展望
拉普拉斯变换的重要性和应用前景
拉普拉斯变换在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决线性常微分方程 、积分方程、偏微分方程等数学问题的有力工具。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
拉普拉斯变换的运算技 巧
积分性质的运用
积分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么对于任意常数a，函数f(at)的拉普 拉斯变换为aF(as)。
应用场景
在求解某些物理问题时，可能需要将 时间变量乘以常数，此时可以利用积 分性质简化拉普拉斯变换的运算。
REPORT
《拉普拉斯变换》 PPT课件
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
目录
CONTENTS
• 拉普拉斯变换的基本概念 • 拉普拉斯变换的应用 • 拉普拉斯变换的运算技巧 • 拉普拉斯变换的实例分析 • 总结与展望
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
随着科学技术的发展，拉普拉斯变换的应用 领域也在不断拓展，例如在人工智能、机器 学习、数据科学等领域中的应用前景值得关 注。
未来需要进一步加强拉普拉斯变换 的理论研究，提高其在实际问题中 的应用效果，同时探索新的应用领 域，推动科学技术的发展。
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换分析其极点和零点，可以判断系 统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则系统 不稳定。
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SUMMAR Y
05
总结与展望
拉普拉斯变换的重要性和应用前景
拉普拉斯变换在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决线性常微分方程 、积分方程、偏微分方程等数学问题的有力工具。
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SUMMAR Y
03
拉普拉斯变换的运算技 巧
积分性质的运用
积分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么对于任意常数a，函数f(at)的拉普 拉斯变换为aF(as)。
应用场景
在求解某些物理问题时，可能需要将 时间变量乘以常数，此时可以利用积 分性质简化拉普拉斯变换的运算。
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• 拉普拉斯变换的基本概念 • 拉普拉斯变换的应用 • 拉普拉斯变换的运算技巧 • 拉普拉斯变换的实例分析 • 总结与展望
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SUMMAR Y
随着科学技术的发展，拉普拉斯变换的应用 领域也在不断拓展，例如在人工智能、机器 学习、数据科学等领域中的应用前景值得关 注。
未来需要进一步加强拉普拉斯变换 的理论研究，提高其在实际问题中 的应用效果，同时探索新的应用领 域，推动科学技术的发展。
电路原理-拉普拉斯变换PPT课件
收敛域为s平面的右半平面
[ (t)] 1
s
7
例2 求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)] (t)estdt 0
0
(t
)e
st
dt
(t)estdt
0
0
est t0 1
收敛域包括整个s平面。
[ (t)] 1
[sint (t)] s2 2
10
2. 微分定理 (differentiation theorem)
d dt
f (t)
s
f (t) f (0 )
*证明：
d
dt
f (t)
e st d f (t )dt
0
dt
e stdf (t )
f (t)
0
f ()
f (0 )
lim sF(s)
s0
f
(0 )
lim f (t) limsF(s)
t
s0
利用初值定理和终值定理，根据已知的象函数
F(s)可直接在复频域中确定其对应原函数f(t)的初值
和终值。
21
例8 设 f (t) (1 et ) (t) 验证初值定理和终值定理。
2!
t (t)
1 s3
t (n
n1
1)!
(
t
)
1 sn
1
1 sn
t n1 (n 1)!
(t )
16
4. 时域位移定理 (time-shift theorem)
第3章 拉普拉斯变换 128页 6.1M ppt版
6.3 拉氏变换的性质：
揭示信号时域特性与复频域描述的关系，主要讨论 ROC
1、 线性。
ax1(t) bx2 (t) aX1(s) bX 2 (s)
ROC:包括 R1 R2
若 R1 与R2 无公共部分，则表明ax1(t) bx2 (t) 的拉氏变换不存在。
当 aX1(s) bX 2 (s) 中有零极点抵消时，ROC 可能会扩大。
第三章 拉普拉斯变换
本章要点 拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉 氏变换 拉氏变换与傅氏变换的关系 拉氏变换的性质，收敛域 卷积定理(S域) 系统函数和单位冲激响应
1
第六章 拉普拉斯变换
6.0 引言
第四章已经讨论过复指数信号est 是 LTI 系统的特征函数 s j ，并对
s j 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ s j ）
7
例三: x(t) ea t eatu(t) eatu(t)
j
X (s) 0 eatestdt eatestdt
0
1 1 sa sa
( a, a)
-a
a
当 a>0 时，这两部分地收敛域有共同部分
a a
此时
X (s)
1 sa
1 sa
2a s2 a2
存在
当 a<0 时这两个 ROC 无公共区域 x(s)不存在。
立叶变换地推广。
3
如果Xx(s) 在 s j 收敛，则 即 s 可以取j
X ( j) Xx(t))eejjtdt tdt
是x(t) 的拉付氏里变叶换变换
X ( j) X (s) 表明傅立叶变换氏是拉氏变换在j 轴上的特例 s j
由傅立叶反变换得到拉斯反变换
第二章拉普拉斯变换.ppt
K11 (s s1)r
(s
K12 s1)r1
...
K1r s s1
F2 (s)
(s s1)r F(s) K11 (s s1)K12 ... (s s1)i1K1i ...
(s s1)r1K1r (s s1)r F2(s)
K11
s2 2
cost 1 d sin t dt
线性、微分定理
Lcost
1
s
s2
2
s2
s
2
Example 3
sin t 1 d cost dt
线性、微分定理
?
Lsin t
1
s
s2
s
2
s2 / s2 2
cos
m
m1
s X c (s) an1s X c (s) a0 X c (s)
n
n1
用 s 替代微分，用1/s 替代积分
五、时域积分特性(定理)
f t Fs
n重f积t分dt n
s n
1
m1
F(s)
f
s nm1 (0 )
n (m)
1(t) F (s) 0 (t)e dt
st
s 1
2)e-at
eat F(s) 0eatestdt
sa 1
前一页 后一页
3)tn(n为整数)
tn F(s)
0t
nest dt
s
t n est
s
0
n
0t
n1est
信号与系统教学第九章拉普拉斯变换PPT课件
80%
幂级数展开
一个解析函数可以展开为幂级数 。
复数域的微积分
01
02
03
导数
复数域函数的导数定义为 函数值的增量与自变量增 量的比值。
积分
复数域函数的积分是函数 值的累积。
微分方程
在复数域中，微分方程是 描述函数行为的一种重要 工具。
03
拉普拉斯变换的求解方法
直接法
定义法
根据拉普拉斯变换的定义， 通过积分计算得出函数的 拉普拉斯变换。
02
01
03
定义法
根据卷积的定义，通过积分计算得出函数的卷积。
表格法
利用卷积表，查表得出函数的卷积。
性质法
利用卷积的性质，简化计算过程。
04
拉普拉斯变换的性质与定理
线性性质
总结词
线性性质是指拉普拉斯变换具有类似于线性代数中的线性性质，即对于两个函 数的和与积，其拉普拉斯变换可以分别通过各自拉普拉斯变换的和与积来获得。
拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析中的应用，有 助于设计更加稳定、可靠的控制系统，提高工程实 践中的控制效果。
信号处理中的拉普拉斯变换
在信号处理中，拉普拉斯变换 用于分析信号的频域特性。通 过将信号从时域转换到频域， 可以更好地理解信号的频率成 分和频率特性。
拉普拉斯变换在信号处理中的 应用包括：信号的频谱分析、 滤波器设计、信号调制与解调 等。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at)的拉普拉斯变换为 |a|F(s/a)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(t-b)的拉普拉斯变换为 e−bF(s)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f'(t)的拉普拉斯变换为 sF(s)-f(0)。
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[sint (t)] s2 2
10
2. 微分定理 (differentiation theorem)
d dt
f (t)
s
f (t) f (0 )
*证明：
d
dt
f (t)
e st d f (t )dt
0
dt
e stdf (t )
收敛域为s平面的右半平面
[ (t)] 1
s
7
例2 求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)] (t)estdt 0
0
(t
)e
st
dt
(t)estdt
0
0
est t0 1
收敛域包括整个s平面。
[ (t)] 1
0 (t)estdt dt e st
1
0
f (t )est dt
s
s
0
0
est e( j)t et e jωt
Re[s] 0
e jt cos t j sint
拉普拉斯变换的基本概念
拉普拉斯 变换
拉普拉斯变换的基本性质
拉普拉斯反变换
反变换公式 拉普拉斯变换表 部分分式展开
2
§91 拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换简介
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时
间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数
学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复 频域的代数方程以便求解。
(s a)
0
Re [s] = > Re
1 sa
[a]
[eat (t )] 1
sa
9
§92 拉普拉斯变换的基本性质
1. 线 性 组 合 定 理 (Linear combination theorem) [af1(t)bf2(t)]=a [f1(t)] b [f2(t)]
f (t ) s
f (t) f (0 )
11
微分定理可以推广至求原函数的二阶及二阶以上导数的 拉普拉斯变换，即
d2
dt
2
f (t) s{s
f (t) f (0 )} f (0 )
s2 f (t) sf (0 ) f (0 )
d n
dt
n
f
(t)
sn
f (t ) sn1 f (0 ) sn2 f (0 )
f (n1)(0 )
12
例2 已知
8
例3 求单边指数函数eatε(t) （a为复常数）的拉普
拉斯象函数。
解： F(s) eat (t)estdt 0
e(sa)t (t )dt 0
0 e(sa)t (t)dt e(sa)t (t)dt
0
0
1
e ( sa )t
熟悉的变换 相量法 把时域的正弦运算变换为复数运算
正弦量 i1 i2 i
相 量 I1 I2 I
拉氏变换：
对应
时域函数f(t)(原函数)
复频域函数F(s)(象函数3)
二、拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯正变换
f ( t )仅存在于t 0的时间区间 因果函数(causal
F (s) f (t )estdt =fun[cft(ito)n] ) 0
象函数
原函数
s = + j , 称为复频率(complex frequency)
F(s)称为ƒ(t)的象函数、ƒ(t)称为F(s)的原函数。
从ƒ(t)到F(s)变换称为拉普拉斯正变换 (Laplace
transform) 用符号 [ ]表示对方括号里的时域函数作拉氏变换。
如果f(t)存在于整个时间区间，则用f(t)ε(t) 表示因果函数。4
0
由分部积分法 udv uv vdu
由于
estdf (t) est f (t)
f (t )dest
0
0
0
est f (t)
s
f (t)estdt
0
0
lim est f (t) 0
t
[f(t)]
d dt
F (s) f (t )estdt = [f(t)] 0
象函数F(s) 存在的条件:
f (t )est dt 0
积分的结果不再是 t 的函数，而是s的函 数。拉氏变换是 把一个时间域的函数f(t)变换到 s 域内的复变函数F(s)。
变量 s 称为复频率。应用拉氏变换法进行电路分析称为电
路的一种复频域分析方法，又称运算法。
拉氏变换的积分从t=0-开始，可以计及t=0时f(t)包含的
冲激的情况，从而给计算存在冲激函数电压和电流的电路带 来方便。
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拉普拉斯反变换
如果F(s)已知，要求出与它对应的原函数ƒ(t)， 由F(s)到ƒ(t)的变换称为拉氏反变换，它定义为
f (t) 1
c
j
F
(
s)e
st
ds
=
1[F(s)]
2π j c j
式中c为正的有限常数。用符号 1[ ]表示对方 括号里的复变函数作拉氏反变换。 (inverse Laplace
transform)
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二、典型函数的拉普拉斯变换
例1 求单位阶函数 ( t )的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)] (t)estdt 0
第九章 拉普拉斯变换
线性动态电路 的求解方法
时域分析法
建立电路的输入-输出方程，求解满足给 定初始条件的解。
频域分析法
将时域变到频域（将时域里的微分方程化 为相量代数方程）进行分析，再返回时域。
复频域分析法
将时域变到复频域（将时域里的微分方 程化为复频域函数的代数方程）进行分析， 再返回时域。
1
本章知识要点
例1 求cost(t)及sint(t)的拉普拉斯象函数。
解： [cost (t)]
1 2
e
j t
(t
)
1 2
e
jt
(t
)
1 ejt (t) 1 ejt (t)
2
2
同理可得
11
1
s
( 2s
j
s
j
)
s2
2