展示习题的精彩享受探究的乐趣

展示习题的精彩享受探究的乐趣!"#$$$浙江省绍兴鲁迅中学虞关寿教材是数学高考命题的一个主要依据%每年高考之后%我们不时会发现高考试题中总有几题是直接来自课本中的例习题%或是由课本例习题经适当改变而成的&教材中这些例习题蕴含着丰富的数学思想方法%不时呈现出多姿多彩的数学内容&因此%我们必须充分重视对课本典型例习题的开发与探究&但我们懂得去研究这些课本中的例习题往往要在高考之后%这似乎有’事后诸葛亮(之嫌疑&如何在我们平时的课堂教学中渗透例习题的研究)笔者认为只要我们充分注意到例习题背后的’精彩(%挖掘题中丰富的内涵%通过提出类似问题和解答这些问题%我们一定可获得意外的惊喜%感受由探究带来的乐趣&下面以一道普通的课本习题为例%展示它普通背后的’精彩(&题*教材第二册*上+,-.+/012一边的两顶点是0*3.%$+和1*.%$+%另两边的斜率的乘积是34-%求顶点2的轨迹&问题分析不难求得顶点2的轨迹是椭圆5#!.67#".8"*59:.+&注意到题中的定值34-%恰为求得椭圆方程中的3;#<#=两顶点0*3.%$+和1*.%$+又是椭圆的两个端点&正由于这种’巧合(%可把上面这道习题推广到一般形式&命题>若两定点0*3<%$+和1*<%$+%动点?与两定点连线的斜率乘积是3;#<#%则动点?的轨迹是椭圆5#<#67#;#8"*59:<+&证设点?*5%7+%由@?0A @?183;#<#%得753<A 756<83;#<#%化简得5#<#67#;#8"*59:<+&探究设想B BBBBB BBBB BBBBB BBBB BBBBB BBBB BBBBB BBBBB BBBB B由上面的证明过程的可逆他方面的变式C 发散%如对数的底的限制%二次根号下的限制&这种没有抓住本质的变式与发散是无味的%很容易让学生感到无所适从%挫伤学生的探究热情&环节!对课本例D 的处理%相对来说应该是成功的%从任务的组织到实施都有较高的认知要求%属于’做数学(&学生的活动体现了真正意义上的探究&最后教师抛出凸*凹+函数概念%是否恰当和必要%值得商榷&笔者的观点是%探究活动也要掌握一个度%既要考虑学生目前的接受能力%也要考虑课标与考纲的要求&更何况用图!来解释不等式E F G <;6E F G <H I #E F G <;6H #*<J "+的意义C 引出凸*凹+函数的概念是K 老师抛给学生的%这是违背探究性课堂教学原则的&当学生探究过程中出现困难时%教师应该反思所提问题是否大大超出学生的认知水平&如果没有超出%教师就要想设法为学生的思维搭脚手架%给学生以帮助%而不是包办代替学生的思维%正所谓L 要想使花发%必须给花儿以精心的照料&自主探究性学习方式是新课标所倡导的%也是广大师生所期望的&但要想在课堂中真正实现%却面临着很多困难&作为一线教师应该多学习%多研究%改变观念%寻求策略%使自主探究性学习方式常驻于我们的课堂&参考文献"中华人民共和国教育部制订&普通高中数学课程标准*实验+&北京L 人民教育出版社%#$$!#姚静%宋伟倩%康剑平&他们为什么在应用题上失败了&课程A 教材A 教法%#$$!%D !K M N N O G P M N &Q&R &ST U M O N &Q&V &QW U X M Y W U O Z W E[W P \W N ]^N X O _O UK O G X 3E M ‘M EQW U X M Y W U O Z W E [X O N \O N GW N ]a M W P F N O N G &b F c d N W E e F d a M P M W d Z XO N QW U X M YW U O Z W E f ]c Z W U O F N %#-*D +%D 4.4李忠如译&实施初中学课程标准的教学案例&上海L 上海教育出版社%#$$"*收稿日期L #$$.$!"!+4"中学数学#$$.年第g 期性!可把命题"中的条件与结论划分为三个部分#$两点%&’(!)*和+&(!)*,-点.与两点连线的斜率乘积是’/0(,1点.的轨迹是椭圆20(0340/05"&267(*8由命题"知#由$-91!那么是否也可由$19-:-19$呢;于是提出以下两个问题8问题<椭圆20(0340/05"上任意一点.&2!4*&267(*与椭圆长轴两端点%&’(!)*和+&(!)*相连!连线斜率的乘积为多少;问题探求设点.&(=>?@!/?A B@*!CD %.5/?A B@(=>?@3(!D +.5/?A B@(=>?@’(!E D %.F D +.5/?A B@(=>?@3(F/?A B@(=>?@’(5’/0(08由此可得下面一个命题8命题G若两定点%&’(!)*和+&(!)*!则动点.的轨迹是椭圆20(0340/05"&267(*的充要条件是动点.与这两定点连线的斜率乘积是’/0(8问题G椭圆20(0340/05"上定点.与椭圆上两点%:+的连线斜率存在!且斜率的乘积是’/0(0!则%:+两点的关系怎样;问题探求设点.&(=>?@!/?A B@*!两个点%&(=>?H !/?A BH *!+&(=>?I !/?A BI *8由已知D .%F D .+5’/0(0!得/?A B@’/?A BH (=>?@’(=>?H F /?A B@’/?A BI (=>?@’(=>?I 5’/(0!化简得=>?H ’I05)!EI 50D J 3J 3H !即点+坐标为&’(=>?H !’/?A BH *!E点%与点+关于原点对称!%+为椭圆的一条直径!即%+过椭圆的中心8从而可知!由-1不能推得$成立!但由%与+的坐标特点以及两者关系!使我们有了这样的一个猜想#若把上述问题和命题中的%:+坐标&’(!)*!&(!)*!改为%&(=>?H !/?A BH *和+&’(=>?H !’/?A BH *!则能否有类似于上面的几个命题呢;问题K给出三个条件#$两点%&(=>?H !/?A BH *和+&’(=>?H !’/?A BH *,-点.与两点%:+连线的斜率乘积是’/0(0,1点.的轨迹是椭圆20(0340/05"&267(=>?H *8是否有由$-91:由$19-:由-19$;问题探求#由问题0知#-19$是成立的8下面探求由$-91#设点.&2!4*!点%&(=>?H !/?A BH *!+&’(=>?H !’/?A BH *8由D .%F D .+5’/0(0得4’/?A BH 2’(=>?H F 43/?A BH 23(=>?H 5’/(0!化简整理即可得点.的轨迹是椭圆20(0340/05"&267(=>?H *8再探求由$19-#设点.&(=>?@!/?A B@*!两个点的坐标可设%&(=>?H !/?A BH *!+&’(=>?H !’/?A BH *!则D .%F D .+5/?A B@’/?A BH(=>?@’(=>?H F/?A B@3/?A BH (=>?@3(=>?H5/0?A B 0@’/0?A B 0H (0=>?0@’(0=>?0H 5/0(0F ?A B 0@’?A B 0H =>?0@’=>?0H5’/0(08由问题L 的探求即可得下面的一个命题8命题K椭圆20(0340/05"上定点.与椭圆上的两点%:+的连线斜率存在!则斜率的乘积是’/0(的充要条件是%:+两点关于原点对称!即%+经过椭圆的中心&定点*8由命题L 知斜率的乘积是’/0(时!%+必经过椭圆的中心&定点*!这两者之间是否存在着一种必然的联系呢;现将上述命题中的斜率乘积是’/0(作适度的变动!把它改变为M"0))N年第O 期中学数学!"#$#%&那么’(会不会也经过某个定点呢)问题*椭圆+#$#,-#"#./上定点0与椭圆上两点’1(的连线斜率存在&且斜率的乘积是!"#$#%&直线’(是否经过某一定点)问题探求设点02$3456&"57869&两个点’2$345:&"578:9&(2$345;&"578;9<由已知%0’=%0(.!"#$#%&把上述坐标代入得"5786!"578:$3456!$345:="5786!"578;$3456!$345;.!"#$#%&化简整理可得3456,:#3456,;#,%5786,:#5786,;#.>&进一步可化为2%!/93452:,;#,69!2%,/9345:!;#.>&把该式展开可得2%!/93456345:,;#!2%!/95786=578:,;#!2%,/9345:!;#.>&再设02+>&->9&则+>.$3456&->."5786&代入上式可得%!/%,/=+>$345:,;#!%!/%,/=->$578:,;#!345:!;#.>2/9又?%’(.!"345:,;#$578:,;#&@直线’(的方程为-!"578:.!"345:,;#$578:,;#2+!$345:9&即+$345:,;#,-"578:,;#!345:!;#.>2#9比较2/92#9两式&可推广得直线’(必过一定点&其坐标为2%!/%,/+>&%!/%,/->9<由上述探求过程的可逆性&即可证得下面一个命题的正确性<命题*椭圆+#$#,-#"#./上定点0与椭圆上两点’1(的连线斜率存在&则直线’(经过定点2%!/%,/+>&%!/%,/->9的充要条件是0’与0(的斜率乘积是!"#$#%<应用举例例A已知椭圆+#$#,-#"#./离心率为/#&长轴的两个端点为’1(&点0为椭圆上不同于椭圆顶点的任一点&则直线0’与0(的斜率之积为<解?B ./#&@C $./#&$#.D C #<?"#.$#!C #&@"#.E C #&@直线0’与0(的斜率之积等于!"#$#.!E C #D C #.!E D<例F已知椭圆+#G ,-##./上有一点’2异于顶点9&连结’与椭圆中心H &延长交椭圆于另一点(&连结’与椭圆右焦点I &延长交椭圆于另一点J <已知直线’J 的斜率为!/&则直线(J 的斜率为<解由题设可知&’与(关于原点对称&则%’J =%(J .!"#$#.!#G&又?%’J .!/&@%(J ./E<图/例K 已知椭圆+#$#,-#"#./上有一定点’2+>&->92异于顶点9&现以’为顶点&作一个等腰L’H (&其中H 为坐标原点&(在椭圆的长轴上&’H.’(&延长’H 1’(分别交椭圆于J 1M 两点<求证N 直线J M 的斜率是定值<证?L’H (为等腰三角形&@%H ’.!%(’<?%H ’.->+>&@%(’.!->+>&又?直线’J 过原点&@%J M =%’M .!"#$#&@可得%J M ."#$#=+>->2为定值9<2收稿日期N #>>G >D />9G/中学数学#>>G 年第O期。